Voir la source de Coordonnées canoniques

{{À wikifier| date=février 2021}}
{{sources à lier| date=février 2025}}
En [[mathématiques]] et en [[Mécanique newtonienne|mécanique classique]], '''les coordonnées canoniques''' sont des ensembles de [[Système de coordonnées|coordonnées]] sur l'[[espace des phases]] qui peuvent être utilisées pour décrire un [[système physique]] à un moment donné dans le temps. Les coordonnées canoniques sont utilisées dans la [[Mécanique hamiltonienne|formulation hamiltonienne]] de la mécanique classique. Un concept étroitement lié apparaît également en [[mécanique quantique]] ; voir le [[théorème de Stone-von Neumann]] et [[Relation de commutation canonique|les relations de commutation canoniques]] pour plus de détails.

Comme la mécanique hamiltonienne est généralisée par [[Géométrie symplectique|la géométrie symplectique]] et que [[Transformation canonique|les transformations canoniques]] sont généralisées par [[Géométrie de contact|les transformations de contact]], la définition du {{s-|XIX}} des coordonnées canoniques en mécanique classique peut être généralisée à une définition plus abstraite du {{s-|XX}} des coordonnées sur le [[Fibré cotangent|faisceau cotangent]] d'une [[Variété (géométrie)|variété]] (la notion mathématique d'espace des phases).

== Définition en mécanique classique ==
En [[Mécanique newtonienne|mécanique classique]], les coordonnées canoniques sont des coordonnées <math>q^i</math> et <math>p_i</math> dans l'espace des phases qui sont utilisés dans le formalisme hamiltonien. Les coordonnées canoniques satisfont aux relations fondamentales [[Crochet de Poisson|entre crochets de Poisson]] :

: <math>\left\{q^i, q^j\right\} = 0 \qquad \left\{p_i, p_j\right\} = 0 \qquad \left\{q^i, p_j\right\} = \delta_{ij}</math>

Un exemple typique de coordonnées canoniques est pour <math>q^i</math> être les [[coordonnées cartésiennes]] habituelles, et <math>p_i</math> être les composants de l'[[Quantité de mouvement|élan]]. D'où en général le fait que les coordonnées <math>p_i</math>sont appelées «moments conjugués».

Les coordonnées canoniques peuvent être obtenues à partir des [[coordonnées généralisées]] du formalisme [[Équations de Lagrange|Lagrangien]] par une [[transformation de Legendre]], ou d'un autre ensemble de coordonnées canoniques par une transformation canonique.

== Définition sur les faisceaux cotangents ==
Les coordonnées canoniques sont définies comme un ensemble spécial de coordonnées sur le [[fibré cotangent]] d'une variété . Ils sont généralement écrits comme un ensemble de <math>\left(q^i, p_j\right)</math> ou <math>\left(x^i, p_j\right)</math> avec les ''x'' ou les ''q'' désignant les coordonnées sur la variété sous-jacente et les ''p'' désignant le moment conjugué, qui sont [[Forme différentielle de degré un|des formes 1]] dans le fibré cotangent au point ''q'' dans la variété.

Une définition commune des coordonnées canoniques est tout ensemble de coordonnées sur le faisceau cotangent qui permet à la forme [[Forme de Liouville|canonique]] d'être écrite sous la forme

: <math>\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i</math>

qui est une différentielle totale. Un changement de coordonnées qui préserve cette forme est une transformation canonique ; c'est un cas particulier de [[symplectomorphisme]], qui est essentiellement un changement de coordonnées sur une [[variété symplectique]].

Dans l'exposition suivante, nous supposons que les variétés sont des variétés réelles, de sorte que les [[vecteurs cotangents]] agissant sur des [[vecteurs tangents]] produisent des [[Nombre réel|nombres réels]].

== Développement formel ==
Étant donné une variété {{Mvar|Q}}, un [[Champ de vecteurs|champ vectoriel]] {{Mvar|X}} sur {{Mvar|Q}} (une [[Section d'un fibré|section]] du [[fibré tangent]] {{Formule|''TQ''}} ) peut être pensé comme une fonction agissant sur le [[fibré cotangent]], par la dualité entre les [[Espace tangent|espaces tangent]] et [[Espaces cotangent|cotangent]]. Autrement dit, définir une [[Fonction (mathématiques)|fonction]]

: <math>P_X: T^*Q \to \mathbb{R}</math>

tel que

: <math>P_X(q, p) = p(X_q)</math>

est valable pour tous les vecteurs cotangents {{Mvar|p}} dans <math>T_q^*Q</math> . Ici, <math>X_q</math> est un vecteur dans <math>T_qQ</math>, l'espace tangent à la variété {{Mvar|Q}} au point {{Mvar|q}} . La fonction <math>P_X</math> est appelée la ''[[fonction momentum]]'' correspondant à {{Mvar|X}}

En [[Atlas (topologie)|coordonnées locales]], le champ vectoriel {{Mvar|X}} au point {{Mvar|q}} peut s'écrire

: <math>X_q = \sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}</math>

où les <math>\partial /\partial q^i</math> sont le cadre de coordonnées sur {{Mvar|TQ}} . Le momentum conjugué a alors l'expression

: <math>P_X(q, p) = \sum_i X^i(q)\; p_i</math>

où les <math>p_i</math> sont définis comme les fonctions de momentum correspondant aux vecteurs <math>\partial /\partial q^i</math> :

: <math>p_i = P_{\partial /\partial q^i}</math>

Les <math>q^i</math> avec les <math>p_j</math> forment ensemble un système de coordonnées sur le [[faisceau cotangent]] <math>T^*Q</math> ; ces coordonnées sont appelées les ''coordonnées canoniques''.

== Coordonnées généralisées ==
En mécanique lagrangienne, un ensemble différent de coordonnées est utilisé, appelé coordonnées généralisées. Celles-ci sont communément désignées par <math>\left(q^i, \dot{q}^i\right)</math> avec <math>q^i</math> appelé la [[position généralisée]] et <math>\dot{q}^i</math> la vitesse généralisée. Lorsqu'un [[Champ vectoriel symplectique|hamiltonien]] est défini sur le fibré cotangent, les coordonnées généralisées sont liées aux coordonnées canoniques au moyen des [[Équations de Hamilton-Jacobi|équations d'Hamilton – Jacobi]].

== Notes et références ==
{{...}}
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Analyse discriminante linéaire]]
* [[Variété symplectique]]
* [[Espace des phases]]
* [[Symplectomorphisme]]
* [[Quantité de mouvement|Moment cinétique]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|prénom1=Herbert|nom1=Goldstein|lien auteur1=Herbert Goldstein|prénom2=Charles P., Jr.|nom2=Poole|prénom3=John L.|nom3=Safko|titre=Classical Mechanics|lieu=San Francisco|éditeur=Addison Wesley|année=2002|pages totales=347–349|isbn=0-201-65702-3|lire en ligne=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Classical-Mechanics/9780201657029.page}}
* [[Ralph Abraham (mathématicien)|Ralph Abraham]] et [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London {{ISBN|0-8053-0102-X}}.  ''Voir section 3.2'' .
{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Système de coordonnées|canoniques]]
[[Catégorie:Mécanique hamiltonienne]]
[[Catégorie:Géométrie symplectique]]
[[Catégorie:Pages avec des traductions non relues]]