Voir la source de Coordonnées cartésiennes

{{redirect| Abscisse| autres=l'adjectif « abscissique »| homonymie=Acide abscissique}}
[[File:Rovinna_kartezska_soustava_souradnic.svg|thumb|300px|En coordonnées cartésiennes planaires, la position d'un point ''A'' est donnée par les distances ''x<sub>A</sub>'' (abscisse à l'origine) et ''y<sub>A</sub>'' (ordonnée à l'origine).]]
[[File:Rectangular_coordinates.svg|thumb|300px|En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, la position d'un point ''P'' est donnée par les distances ''x'', ''y'' et ''z''.]]

Un '''système de coordonnées cartésiennes''' permet de déterminer la position d'un [[Point (géométrie)|point]] dans un [[espace affine]] ([[droite (mathématiques)|droite]], [[Plan (mathématiques)|plan]], [[Géométrie dans l'espace|espace de dimension 3]], etc.) muni d'un [[repère cartésien]]. Le mot ''cartésien'' vient du mathématicien et philosophe français [[René Descartes]].

Les coordonnées cartésiennes ont été inventées par René Descartes et [[Pierre de Fermat]]{{sfn|Borceux|2013|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.4}}|p=9}}{{,}}{{sfn|Dieudonné|1985|loc={{chap.|{{II}}}}, {{numéro|1}}|p=1}}{{,}}{{sfn|Dieudonné|1985|loc={{chap.|{{IV}}}}, {{numéro|1}}|p=4}}.

Il existe d'autres [[système de coordonnées|systèmes de coordonnées]] permettant de repérer un point dans le plan ou dans l'espace.

== Abscisse sur une droite affine ==
Sur une [[Droite (mathématiques)#Géométrie affine|droite affine]] <math>D</math>, un '''repère''' est la donnée de : 
* une [[origine (mathématiques)|origine]] <math>O</math>, c'est-à-dire un point distingué de <math>D</math> ;
* un [[vecteur]] <math>\vec{v}</math> de la [[droite vectorielle]] directrice <math>\vec{D}</math>. Ce vecteur porte deux informations :
** une orientation : un point <math>A</math> est à droite de <math>O</math> lorsque le vecteur <math>\overrightarrow{OA}</math> est positivement colinéaire à <math>\vec{v}</math> ;
** une unité : un point <math>A</math> est à la distance <math>r</math> de <math>O</math> lorsque <math>\overrightarrow{OA}=\pm r\cdot \vec{v}</math>.
[[Image:Repere droite.png|right|Repère cartésien sur une droite.]]
Dans ce cas, l{{'}}'''abscisse''' du point <math>M</math> est l'unique [[Nombre réel|réel]] <math>r</math> tel que : <math>\overrightarrow{OM}=r\cdot \vec{v}</math>.

Il y a donc une [[Bijection|correspondance]] entre les points d'une droite affine et l'ensemble des réels.

On peut remarquer qu'il existe des systèmes de graduation non régulière mais le repère n'est plus appelé cartésien (voir [[échelle logarithmique]]).

== Coordonnées cartésiennes dans le plan ==

Dans un [[plan affine]], les coordonnées cartésiennes sont sans doute la manière la plus naturelle de définir un [[système de coordonnées]]. Un '''repère (cartésien)''' du plan affine <math>P</math> est la donnée conjointe de : 
* un point d'origine <math>O</math>.
* deux vecteurs <math>\vec{i}</math> et <math>\vec{j}</math> non colinéaires du plan vectoriel directeur <math>\vec P</math>.
Les '''axes de coordonnées''' sont les droites affines <math>(Ox)=(O,\vec{i})</math> et <math>(Oy)=(O,\vec{j})</math>. Ces droites admettent des graduations respectives fournies par <math>O</math> et les vecteurs <math>\vec{i}</math> et <math>\vec{j}</math>.

[[Image:rp_plan.png|right|représentation d'un repère dans un plan]]

Par un point <math>M</math>, on est en droit de tracer :
* une droite parallèle à <math>(Oy)</math> qui coupe <math>(Ox)</math> en <math>m_x</math> d'abscisse <math>x</math>, dans le repère <math>(O,\vec{i})</math>
* une droite parallèle à <math>(Ox)</math> qui coupe <math>(Oy)</math> en <math>m_y</math> d'abscisse <math>y</math> dans le repère <math>(O,\vec{j})</math>.
Le couple de réels <math>(x, y)</math> est uniquement déterminé par le point <math>M</math>, on l'appelle les '''coordonnées''' de <math>M</math> dans le repère <math>(O;\vec{i},\vec{j})</math> :
* Le réel <math>x</math> est appelé '''l'abscisse''' de <math>M</math> ;
* Le réel <math>y</math> est appelé '''l'ordonnée''' de <math>M</math>.

Réciproquement, à tout couple <math>(x, y)</math>, correspond un ''unique'' point <math>M</math> de coordonnées d'abscisse <math>x</math> et d'ordonnée <math>y</math>. C'est le point d'intersection des deux droites suivantes :
* La droite parallèle à <math>(Ox)</math> passant par le point de <math>(Oy)</math> d'abscisse <math>y</math> ;
* La droite parallèle à <math>(Oy)</math> passant par le point de <math>(Ox)</math> d'abscisse <math>x</math>.
Cette construction peut être interprétée comme la mise en place d'un [[parallélogramme]] de sommets <math>O</math> et <math>M</math>.

En termes vectoriels, on obtient l'identité suivante :

:<math>\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}</math>

Ce qui permet de faire une correspondance entre le calcul sur des coordonnées et le calcul vectoriel.

=== Cas de la base orthonormée ===
{{Article détaillé|Base orthonormée}}
Les bases orthonormées n'ont de sens que dans les [[espace euclidien|plans affines ''euclidiens'']]. Dans un plan affine euclidien, une base <math>(O;\vec{i},\vec{j})</math> est dit '''orthonormée''' lorsque les vecteurs <math>\vec{i}</math> et <math>\vec{j}</math> sont d'une part de longueur 1 (de norme 1) et d'autre part orthogonaux, c'est-à-dire que le [[produit scalaire]] des deux vecteurs est nul.

Autrement dit, les axes de coordonnées sont deux droites affines orthogonales avec le même système de graduation.
[[Image:Repere orthonorme plan.png|right|250px|Repère orthonormé dans le plan.]]

Dans ce cas, on peut calculer des distances et des orthogonalités en utilisant le [[théorème de Pythagore]]. Voici un formulaire :
* Pour un point <math>M</math> de coordonnées <math>(x,y)</math>, la distance <math>OM</math> s'écrit :
::<math>OM = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
:Dans le dessin ci-à droite, on a placé dans un repère orthonormé les points <math>A</math> de coordonnées <math>(1,1)</math> et <math>B</math> de coordonnées <math>(4,5)</math>. Le calcul de la distance <math>AB</math> est alors :
::<math> AB = \sqrt{ ( 4 - 1 )^2 + ( 5 - 1 )^2 } = 5 </math>
* Les vecteurs <math>\vec{u}(x, y)</math> et <math>\vec{v}(X, Y)</math> sont orthogonaux si et seulement si <math>xX + yY = 0</math>.

Le calcul des distances et des angles étant souvent un objectif de la géométrie plane euclidienne, on privilégie particulièrement les repères orthonormés. À tel point que certains ouvrages réservent le terme de coordonnées cartésiennes à ce type de repère, les autres coordonnées étant appelées ''coordonnées obliques''.

== Coordonnées cartésiennes dans l'espace ==
Le principe de construction sera le même. Dans un espace affine <math>E</math> de dimension 3, un '''repère (cartésien)''' est la donnée conjointe de :
* un point d'origine <math>O</math>,
* et trois vecteurs [[coplanaire|non coplanaires]] <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>, et <math>\vec{k}</math>.
Les '''axes de coordonnées''' sont les droites affines concourantes <math>(Ox)=(O;\vec{i})</math>, <math>(Oy)=(O;\vec{j})</math> et <math>(Oz)=(O;\vec{k})</math>.

[[Image:Repere espace.png|right|Repère cartésien "oblique" dans l'espace.]]

Pour un point <math>M</math>, on est en droit de tracer :
* un plan parallèle au plan <math>Oyz</math> qui coupe <math>Ox</math> en <math>m_x</math> d'abscisse <math>x</math> ;
* un plan parallèle au plan <math>Oxz</math> qui coupe <math>Oy</math> en <math>m_y</math> d'abscisse <math>y</math> ;
* un plan parallèle au plan <math>Oxy</math> qui coupe <math>Oz</math> en <math>m_z</math> d'abscisse <math>z</math>.
Le triplet de réels <math>(x,y,z)</math> est uniquement déterminé par la position du point <math>M</math>. Il s'appelle les '''coordonnées (cartésiennes)''' de <math>M</math> dans le repère <math>(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})</math> :
* le réel <math>x</math> s'appelle '''l'abscisse''' ;
* le réel <math>y</math> s'appelle '''l'ordonnée''' ou la '''profondeur''' ;
* le réel <math>z</math> s'appelle '''la cote''' ou la '''hauteur'''.

Réciproquement, à tout  triplet de réels <math>(x,y,z)</math> correspond un ''unique'' point <math>M</math> d'abscisse <math>x</math>, d'ordonnée <math>y</math> et de cote <math>z</math>. Ce point s'obtient comme l'intersection :
* du plan parallèle au plan <math>Oyz</math> passant par le point de <math>Ox</math> d'abscisse <math>x</math>,
* du plan parallèle au plan <math>Oxz</math> passant par le point de <math>Oy</math> d'abscisse <math>y</math> et
* du plan parallèle au plan <math>Oxy</math> passant par le point de <math>Oz</math> d'abscisse <math>z</math>.
Ces trois plans ainsi que les trois plans de bases <math>Oxy</math>, <math>Oxz</math> et <math>Oyz</math> dessinent un [[parallélépipède]].

Il y a correspondance biunivoque entre tout point <math>M</math> et tout triplet de réels appelés alors système de coordonnées de <math>M</math>.

De même que dans le plan, ces coordonnées se réinterprètent via l'écriture vectorielle :

:<math>\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j} + z\vec{k}</math> 

=== Repères orthonormés ===
{{Article détaillé|Base orthonormée}}
[[Image:Repere orthonorme espace.png|right|300px|Repère orthonormé dans l'espace.]]
Dans un espace affine euclidien de dimension 3, un repère <math>(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})</math> est dit '''orthonormé''' lorsque les vecteurs <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>, et <math>\vec{k}</math> sont unitaires et deux à deux orthogonaux. Cette deuxième condition s'écrit :
:<math>\langle\mathbf{i}\mid\mathbf{j}\rangle=0 </math> ;  <math> \langle\mathbf{j}\mid\mathbf{k}\rangle=0 </math> ; <math> \langle\mathbf{k}\mid\mathbf{i}\rangle=0 </math>

Comme dans le plan, il sera nécessaire de prendre un repère orthonormé si l'on désire travailler sur des distances et des angles. La distance s'écrira alors :

:<math>OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>

== Coordonnées cartésiennes en dimension ''n'' ==

Les observations précédentes permettent de remarquer un lien entre couple ou triplet de réels et vecteurs du plan ou de l'espace. Ce lien se généralise à tout [[espace vectoriel]] ou affine de dimension finie sur un corps '''K'''.

Si  <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n})</math> est une base d'un espace vectoriel sur un corps '''K''' alors, pour tout vecteur <math>\vec{v}</math>, il existe un unique ''n''-uplet <math>(x_1, x_2, \dots,x_n) \,</math> élément de '''K'''<sup>''n''</sup> &nbsp;tel que :

:<math>\vec{v} = x_1\vec{e_1}+ x_2 \vec{e_2}+\dots +x_n\vec{e_n} \,</math> .

Ce ''n''-uplet est appelé système de coordonnées cartésiennes du vecteur <math>\vec{v}</math> dans la base <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}</math>). La correspondance entre chaque vecteur et chaque ''n''-uplet permet de construire un [[isomorphisme]] d'espaces vectoriels entre '''V''' et '''K'''<sup>''n''</sup>.

Pour travailler sur des systèmes de coordonnées de points, il suffit d'ajouter à la base précédente un point ''O'' appelé origine. Les coordonnées du point ''M'' étant celles du vecteur <math>\overrightarrow{OM}</math>.

Enfin, pour travailler sur des distances, il sera nécessaire de construire une [[Base orthonormée|base orthonormale]] (dans laquelle tous les vecteurs sont de norme 1 et chaque vecteur est orthogonal à tous les autres). La distance ''OM'' s'exprimera alors sous la forme suivante :

:<math> OM = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} \,</math>

== Cinématique dans l'espace ==
Les quantités cinématiques, position, [[vitesse]] et [[accélération]] sont données par :

<math>\begin{align}
\overrightarrow {OM} &=x\overrightarrow{u_x} + y\overrightarrow{u_y} + z\overrightarrow{u_z}\\
\dot{\overrightarrow{OM}} &=\dot x\overrightarrow{u_x} + \dot y\overrightarrow{u_y} + \dot z\overrightarrow{u_z}\\
\ddot{\overrightarrow{OM}} &=\ddot x\overrightarrow{u_x} + \ddot y\overrightarrow{u_y} + \ddot z\overrightarrow{u_z}\\
\end{align}
</math>

== Coordonnées cartésiennes dans l'espace-temps ==

Les coordonnées cartésiennes ont été imaginées par Descartes au {{s|XVII|e}} et ont été largement utilisées par la suite en [[mécanique newtonienne]] pour décrire l'[[espace (notion)|espace physique]] selon [[trois dimensions]] (souvent symbolisées par les lettres ''x'', ''y'', ''z''). La [[relativité restreinte]] a constitué une véritable [[révolution scientifique]], et a amené dès les années 1900 des scientifiques comme [[Henri Poincaré]] et [[Hermann Minkowski]] à concevoir l'espace et le [[temps]] comme indissociablement liés, dans ce que l'on appelle l'[[espace-temps]], théorisé par la notion d'[[espace de Minkowski]]. Aux trois dimensions d'espace s'ajoute ainsi la quatrième dimension du [[temps]].

Dans cette théorie, Minkowski utilise une représentation simplifiée de l'espace-temps en coordonnées cartésiennes, le [[diagramme de Minkowski]], avec une dimension d'espace et la dimension de temps (symbolisée par ''ct'', où ''c'' est la [[vitesse de la lumière]] et ''t'' le temps), pour rendre compte de phénomènes tels que la [[dilatation du temps]], la [[contraction des longueurs]] ou encore la notion de [[simultanéité]], sans utiliser d'[[équation|équation mathématique]].

== Introduction historique par Descartes ==
L'introduction des coordonnées cartésiennes est faite dans le livre premier de la géométrie de René Descartes comme un outil afin de résoudre le problème de Pappus. Il montre en fait dans ce livre, comment résoudre un problème géométrique par un [[calcul algébrique]], participant à la naissance de la [[géométrie analytique]]<ref>{{harvsp |Descartes|1637|id="livre premier"}}</ref>.
{{Citation bloc| Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent ces deux aussi prolongées, s’il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles; comme vous voyez ici qu’elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T. (...)
|René Descartes |La géométrie, livre premier<ref>[[wikisource:fr:Page:Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V.djvu/331|Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V, p. 331]]</ref>{{,}}<ref>[[wikisource:fr:Page:Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V.djvu/332|Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V, p. 332]]</ref>
.}}

== Notes et références ==
{{références}}

== Annexes ==
{{autres projets
  | wikiversity = Repérage et coordonnées
  | wikiversity titre = Repérage et coordonnées
}}
=== Articles connexes ===
* [[Repérage dans le plan et dans l'espace]]
* [[Géométrie analytique]]
* [[Système de coordonnées]]
** [[Coordonnées cylindriques]]
** [[Coordonnées polaires]]
** [[Coordonnées sphériques]]
* [[Diagramme de Minkowski]]
* [[Horizontale et verticale]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Francis | nom=Borceux | titre=Geometric trilogy'', {{t.|{{II}}}} :'' An algebraic approach to geometry | traduction titre=Trilogie de géométrie », {{t.|{{II}}}} : « Une approche algébrique de la géométrie | lieu=Cham | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]], hors {{coll.}} | date=11/2013 | réimpression={{date|8/20216}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVII}}-430 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn10=3-319-01732-2 | isbn1=978-3-319-01732-7 | isbn2=978-3-319-34752-3 | ean=9783319017327 | oclc=1129014536 | bnf=446747519 | doi=10.1007/978-3-319-01733-4 | s2cid=117005292 | sudoc=241124646 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-01733-4 | lire en ligne={{Google Livres|id=-9m4BAAAQBAJ}} | consulté le=11/11/2024 | libellé=Borceux 2013}}.
* {{Ouvrage | langue=en | langue originale=fr | prénom=Jean | nom=Dieudonné | lien auteur=Jean Dieudonné | traduction=[[Judith D. Sally]] | titre=History of algebraic geometry | sous-titre=an outline of the history and development of algebraic geometry | titre original=Cours de géométrie algébrique traduction, {{t.|{{Ier}}}} | traduction titre=Histoire de la géométrie algébrique : un aperçu de l'histoire et du développement de la géométrie algébrique | lieu=New York | éditeur=[[Chapman & Hall]], hors {{coll.}} | date=5/1985 | réimpression={{date|12/2019}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XII}}-186 | format livre={{dunité|15,8|24,7|cm}} | isbn10=0-412-99371-6 | isbn1=978-0-412-99371-8 | isbn2=978-0-367-45170-7 | ean=9780412993718 | oclc=423998623 | bnf=37411473s | doi=10.1201/9780203751800 | s2cid=197441066 | sudoc=151803226 | présentation en ligne=https://www.routledge.com/History-Algebraic-Geometry/Dieudonn/p/book/9780412993718 | lire en ligne={{Google Livres|id=_uhlf38jOrgC}} | consulté le=11/11/2024 | libellé=Dieudonné 1985}}.
* {{ouvrage |auteur=[[René Descartes]] |titre=Le Livre Premier de La Géométrie de Descartes |année=1637 |pages totales=18 |lire en ligne=http://www.bibnum.education.fr/geometrie/Le-Livre-Premier-de-La-G%C3%A9om%C3%A9trie-de-Descartes |id="livre premier"}}

{{Palette|René Descartes|Systèmes de coordonnées orthogonales}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Système de coordonnées|cartésiennes]]

[[fi:Koordinaatisto#Suorakulmainen koordinaatisto]]