Voir la source de Cosinus

{{voir homonymes|Cosinus (homonymie)}}

{{Infobox Fonction mathématique
| nom = Fonction cosinus
| image = Graf over cosinus.jpg
| légende = Représentation graphique sur un intervalle de deux périodes de la fonction cosinus.
| notation = <math>\cos</math>
| réciproque = <math>\arccos</math> <small>(sur <math>[0;\pi]</math>)</small>
| dérivée = <math>-\sin</math>
| primitives = <math>\sin + \text{ cte}</math>
| ensemble de définition = <math>\R</math>
| ensemble image = <math>[-1;1]</math>
| parité = paire
| périodicité = <math>2\pi</math>
| zéro = 1
| maxima = 1
| minima = -1
| zéros = <math>\frac{\pi}{2}+k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| points critiques = <math>k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| points d'inflexion = <math>\frac{\pi}{2}+k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| points fixes = [[Nombre de Dottie]]
}}

En [[mathématiques]], le '''cosinus''' d'un [[angle]] non droit d'un [[triangle rectangle]] est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'[[hypoténuse]]. On peut définir plus généralement le cosinus de l'angle entre deux [[vecteur]]s d'un [[espace euclidien]].   
La '''fonction cosinus''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction mathématique]] [[Parité d'une fonction|paire]] de variable réelle. Elle est habituellement citée en deuxième parmi les [[fonctions trigonométriques]], la première étant la [[fonction sinus]]. Elle se déduit de cette dernière par la relation : <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}2-x\right)</math> (le cosinus est le sinus du [[Angles complémentaires|complémentaire]]).   

Les fonctions trigonométriques sont habituellement définies à partir du [[cercle unité]], mais des définitions plus modernes les caractérisent par des [[Série entière|séries entières]] ou comme solutions d'[[équations différentielles]] particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux [[nombres complexes]]. 

La fonction cosinus est utilisée couramment pour [[modèle mathématique|modéliser]] des [[Phénomène périodique|phénomènes périodiques]] comme les [[Son (physique)|ondes sonores]] ou [[Onde électromagnétique|lumineuses]] ou encore les variations de température au cours de l'année.

== Définitions ==

=== Cosinus d'un angle géométrique ===
[[File:Cosinus de A.svg|thumb|Cosinus Â = Côté adjacent (noté a) / Hypoténuse (noté ''h'').|gauche]]
Pour définir le cosinus d'un [[angle]] <math>\widehat{A}</math>, noté <math>\cos \widehat{A}</math>, considérons un [[triangle rectangle]] arbitraire qui contient l'angle <math>\widehat{A}</math>.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
* l’''[[hypoténuse]]'' : c'est le côté opposé à l'[[angle droit]] et le côté le plus long du triangle ;
* le ''côté opposé'' : c'est le côté opposé à l'angle <math>\widehat{A}</math> qui nous intéresse ;
* le ''côté adjacent'' : c'est le côté qui est une jambe de l'angle <math>\widehat{A}</math>, qui n'est pas l'hypoténuse.
On notera :
: ''<math>h</math>'' : la longueur de l'hypoténuse ;
: ''<math>a</math>'' : la longueur du côté adjacent.
Alors :
:<math>\cos \widehat{A} = \frac ah</math>.
Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle choisi, puisque tous les triangles rectangles avec une même mesure d'angle aigu sont [[Triangles semblables|semblables]].

=== Cosinus de l'angle entre deux vecteurs d'un espace euclidien ===
Étant donné deux vecteurs non nuls <math>\vec u, \vec v</math> d'un espace euclidien, on définit le cosinus de l'[[angle]] <math>\widehat{\vec u, \vec v}</math> par la formule : 
<math display=block>\cos\widehat{\vec u, \vec v}=\frac{\vec u\cdot \vec v}{\lVert \vec u \rVert \lVert \vec v \rVert}</math>
où <math>\vec u\cdot \vec v</math> est le [[produit scalaire]] de <math>\vec u\text{ et } \vec v</math> et <math>\lVert \vec u \rVert=\sqrt{\vec u\cdot \vec u}</math> la norme de <math>\vec u</math>.

On retrouve des propriétés similaires au cosinus défini par la trigonométrie grâce à l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]].

=== Fonction cosinus ===
[[Fichier:Cercle trigono.png|vignette|Cercle trigonométrique avec indication du cosinus et du sinus.]]

==== À partir du cercle unité ====
Le [[plan euclidien]] étant rapporté à un [[Coordonnées cartésiennes|système de coordonnées cartésiennes]] <math>(Oxy)</math>, on désigne par [[cercle unité]] ou [[cercle trigonométrique]] le cercle de rayon 1 centré à l'[[Origine (mathématiques)|origine]] <math>O</math>.

Étant donné un réel <math>\omega</math>, La [[demi-droite]] d'origine <math>O</math> <math>(Ou)</math> faisant un [[angle orienté]] de mesure <math>\omega</math> avec <math>(Ox)</math> coupe le cercle en un point <math>M</math> ; par définition, <math>\cos \omega</math> est l'[[abscisse]] de <math>M</math>.

[[File:Einheitskreis kosinusfunktion senkrecht.gif|thumb|504x504px|Animation montrant le graphique de [[Fonction exponentielle#Dans le plan complexe|<math>y=\cos x </math>]] (où [[Fonction exponentielle#Dans le plan complexe|<math>x </math>]] est l'angle en radians) sur le cercle unité.]]

==== À partir des séries entières ====
La fonction cosinus peut être définie à partir de la [[série entière]], qui converge pour tout réel <math>x</math> :
:<math>\cos x=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math>.
Autrement dit, le cosinus de <math>x</math> est défini comme la [[partie réelle]] de la [[Fonction exponentielle#Dans le plan complexe|série exponentielle de <math>\mathrm{i}x </math>]] :
:<math>\cos x= \frac{\operatorname e^{\mathrm ix} +\operatorname e^{-\mathrm ix}}2</math>.
Cette définition, jointe à celle analogue du [[Sinus (mathématiques)|sinus]] (comme [[partie imaginaire]]), est équivalente à la [[formule d'Euler]].

==== Comme solution d'une équation différentielle ====
{{Article connexe|Problème de Cauchy}}
La série entière précédente est l'unique solution de l'[[équation différentielle]] suivante qui constitue donc une définition équivalente de la fonction cosinus :
:<math>\begin{cases} \forall x \in \R, y''(x)=-y(x) \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0 \end{cases}</math>.

== Propriétés ==
=== Périodicité ===
La fonction cosinus est [[Fonction périodique|périodique]], de période [[Fonction exponentielle#Dans le plan complexe|<math>2\pi </math>]] :
:<math>\forall x \in \R\quad\cos(x+2\pi)=\cos x</math>.
Cette propriété découle directement de la définition à partir du cercle unité {{Supra|À partir du cercle unité}}.

Plus précisément, deux [[Nombre réel|nombres réels]] ont le même cosinus si et seulement si leur somme ou leur différence appartient à <math>2 \pi \Z</math>.

Une autre approche<ref>C'est par exemple ce que fait {{Rudin}}, Dunod, 1998, p. 1-3.</ref> consiste à partir de la [[Fonction exponentielle#Par une série|série entière de l’exponentielle]], et à montrer que cette fonction est périodique de période <math>\mathrm iT</math> pour un certain <math>T>0</math>.

=== Parité ===
La fonction cosinus est [[Parité d'une fonction|paire]] :
:<math>\forall x \in \R\quad\cos(-x)=\cos x</math>.
Cette propriété se déduit en remarquant que la définition à partir du cercle unité est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, et apparaît dans le développement en série entière, qui ne contient que des termes de degrés pairs.

=== Réciproque ===
{{article détaillé|Arc cosinus}}
La fonction cosinus est périodique donc non [[Injection (mathématiques)|injective]]. Aussi, on considère sa [[Restriction (mathématiques)|restriction]] à <math>[0;\pi]</math> qui, elle, est bien [[bijective]] de <math>[0;\pi]</math> vers <math>[-1;1]</math>, et l'on définit alors la [[fonction réciproque]] [[arc cosinus]] :
:<math>
\begin{matrix}
\mathrm{arccos} : & [-1,1] & \to& [0,\pi] \\
& x & \mapsto & \arccos x
\end{matrix}
</math>
qui vérifie donc
:<math>\forall x \in [0,\pi]\quad\arccos(\cos x) = x</math> ;
:<math>\forall x \in [-1,1]\quad\cos(\arccos x) = x</math>.

=== Dérivée ===
La [[dérivée]] de la fonction cosinus est l'opposée de la fonction sinus :
:<math>\forall x \in \R\quad\cos'x=-\sin x</math>.

===Primitive===
Une [[primitive]] de <math>\cos</math> est <math>\sin</math> :
:<math>\forall x \in \R\quad\sin' x=\cos x</math>, à laquelle on peut ajouter une constante <math>C</math>.
L'ensemble des primitives de la fonction cosinus est donc l'ensemble des fonctions <math>F</math> telles que : <math>F(x)=\sin x + C</math>, <math>C \in \R</math>.

=== Limites ===
Pour tout réel <math>x</math>, la fonction cosinus est [[continue]] au point <math>x</math>, donc sa limite en ce point est <math>\cos x</math>.

Du fait de sa périodicité, elle n'a pas de limite en <math>\pm \infty</math>.

=== Valeurs remarquables ===
[[Image:Unit circle angles color.svg|right|thumb|350px|Quelques angles communs (<math>\theta</math>) sur le [[cercle unité]]. Les angles sont indiqués en [[Degré (angle)|degrés]] et en [[radian]]s, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (<math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>).]]Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le [[théorème de Wantzel]] s'applique ; pour plus de détails, voir l'article [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques]].
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#ffdead;" |<math>x</math> (angle)
! colspan="2" style="background:#ffdead;" |<math>\cos x</math>
|-
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Degré (angle)|Degré]]s
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Radian]]s
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Grade (angle)|Grades]]
| style="background:#efefef;" align="Center" |Exacte
| style="background:#efefef;" align="Center" |Décimale
|-
| align="Center" |0
| align="Center" |0
| align="Center" |0
| align="Center" |1
| align="Center" |1
|-
| align="Center" |180
| align="Center" |<math>\pi</math>
| align="Center" |200
| align="Center" | -1
| align="Center" | -1
|-
| align="Center" |15
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" |16 {{frac|2|3}}
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| align="Center" |0,965925826289068
|-
| align="Center" |165
| align="Center" |<math>\frac{11\pi}{12}</math>
| align="Center" |183 1/3
| align="Center" |<math>-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| align="Center" | -0,965925826289068
|-
| align="Center" |30
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" |33 {{frac|1|3}}
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| align="Center" |0,866025403784439
|-
| align="Center" |150
| align="Center" |<math>\frac{5\pi}{6}</math>
| align="Center" |166 {{frac|2|3}}
| align="Center" |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| align="Center" | -0,866025403784439
|-
| align="Center" |45
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" |50
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| align="Center" |0,707106781186548
|-
| align="Center" |135
| align="Center" |<math>\frac{3\pi}{4}</math>
| align="Center" |150
| align="Center" |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| align="Center" | -0,707106781186548
|-
| align="Center" |60
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" |66 {{frac|2|3}}
| align="Center" |<math>\frac{1}{2}</math>
| align="Center" |0,5
|-
| align="Center" |120
| align="Center" |<math>\frac{2\pi}{3}</math>
| align="Center" |133 {{frac|1|3}}
| align="Center" |<math>-\frac{1}{2}</math>
| align="Center" | -0,5
|-
| align="Center" | 75
| align="Center" |<math>\frac{5\pi}{12}</math>
| align="Center" |83 {{frac|1|3}}
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} </math>
| align="Center" |0,258819045102521
|-
| align="Center" |105
| align="Center" |<math>\frac{7\pi}{12}</math>
| align="Center" | 116 {{frac|2|3}}
| align="Center" |<math>-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} </math>
| align="Center" | -0,258819045102521
|-
| align="Center" |90
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" |100
| align="Center" |0
| align="Center" |0
|-
| align="Center" |36
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{5}</math>
| align="Center" |40
| align="Center" |<math>\frac{1 + \sqrt{5}}{4} </math>
| align="Center" |0,8090169944
|-
| align="Center" | 54
| align="Center" |<math>\frac{3\pi}{10}</math>
| align="Center" | 60
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
| align="Center" | 0,5877852523
|-
| align="Center" | 126
| align="Center" |<math>\frac{7\pi}{10}</math>
| align="Center" | 140
| align="Center" |<math>-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
| align="Center" | -0,5877852523
|}

La solution de l'équation <math>\cos x = x</math> est ''[[ipso facto]]'' un [[nombre remarquable]], appelé [[nombre de Dottie]].

== Relation avec les nombres complexes ==
{{...}}
Le cosinus est utilisé pour déterminer la [[partie réelle]] d'un [[nombre complexe]] <math>z</math> donné en [[coordonnées polaires]], par son module <math>r</math> et son argument <math>\varphi</math> :
:<math>\Re (z) = \Re\left(r \mathrm e^{\mathrm i \varphi}\right)= r \cos\varphi</math>.

=== Cosinus avec un argument complexe ===
La fonction cosinus peut s'étendre sur le [[Plan complexe|domaine complexe]], où elle est une [[fonction entière]] :
:<math>\forall z \in \Complex\quad\cos z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} = \frac{\mathrm e^{\mathrm i z}+\mathrm e^{-\mathrm i z}}2</math>.
On a alors : <math>\cos z=\cos \Re(z) \cosh \Im(z)-\mathrm i\sin \Re(z)\sinh \Im(z)</math>.
{{Démonstration|Pour <math>z=x+\mathrm{i}y, x, y</math> réels,
:<math>\cos z=\frac{1}{2}\left[\mathrm e^{\mathrm{i}x-y}+\mathrm e^{-\mathrm ix+y}\right]=\frac12\mathrm e^{-y}\left[\cos x+\mathrm i\sin x\right]+\frac12\mathrm e^y\left[\cos x-\mathrm i\sin x\right]=\cos x\cosh y-\mathrm i\sin x\sinh y</math>.
}}
En particulier, pour <math>y\in\R</math>, on a <math>\cos(\mathrm iy)=\cosh y</math>, ce qui montre que la fonction cosinus [[Croissance exponentielle|croît exponentiellement]] sur l'axe imaginaire<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Jean Dieudonné]]|titre=Calcul infinitésimal|passage=186|éditeur=Hermann|date=1980|isbn=978-2-7056-5907-3|oclc=6787042}}.</ref>.

== Calcul numérique ==
{{voir|Sinus (mathématiques)#Calcul numérique}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{MathWorld|nom_url=Cosine|titre=Cosine}}
{{Liens}}

{{Palette|Trigonométrie}}
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Cercle]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Fonction trigonométrique]]
[[Catégorie:Analyse harmonique]]
[[Catégorie:Fonction de référence]]