Voir la source de Courant (mathématiques)

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], [[topologie différentielle]] et [[théorie géométrique de la mesure]], un '''courant''' au sens de [[Georges de Rham]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Georges de Rham|titre=Differentiable Manifolds: Forms, Currents, Harmonic Forms|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2012|année première édition=1984|url={{Google Livres|Q1XmCAAAQBAJ}}}}, traduit de ''Variétés différentiables : formes, courants, formes harmoniques'', [[Hermann (éditions)|Hermann]], Paris, 1955.</ref> est une [[forme linéaire]] sur l'espace des [[forme différentielle|formes différentielles]] à [[Support de fonction|support]] [[Compacité (mathématiques)|compact]] sur une [[variété différentielle|variété lisse]]. Formellement, les courants ressemblent aux [[Distribution (mathématiques)|distributions]], mais sur un espace de formes différentielles. Dans un cadre géométrique, ils peuvent représenter l'intégration sur des sous-variétés pouvant présenter des [[Singularité (mathématiques)|singularités]]. Le [[théorème de Stokes]] se généralise aux courants.

== Définitions ==
Soit ''M'' une variété lisse. Un courant de dimension ''m'' sur ''M'' (et de degré dim(''M'') – ''m'') est une forme linéaire, sur l'espace Ω{{expInd|''m''|c}}(''M'') des ''m''-formes différentielles sur ''M'' à support compact, qui est [[Continuité (mathématiques)|continue]] [[Distribution (mathématiques)#Espace des fonctions tests|au sens des distributions]]<ref>Pour une définition plus précise de la topologie adoptée sur Ω{{expInd|''m''|c}}(''M''), voir {{Harvsp|de Rham|2012|p=34-40}}.</ref>.

Soit <math>\mathcal D_m(M)</math> l'[[espace vectoriel]] [[Nombre réel|réel]] des ''m''-courants sur ''M''. On définit un opérateur de bord
:<math>\partial\colon \mathcal D_{m+1}(M)\to \mathcal D_m(M)</math>
par
:<math>\partial T(\omega) := T({\rm d}\omega).</math>

On peut voir alors que les courants représentent une généralisation des sous-variétés. En effet, si ''N'' est une sous-variété compacte orientée de dimension ''m'' de ''M'', on peut lui associer le courant [''N''] défini par
:<math>[N](\omega)=\int_N\omega.</math>
Le courant –[''N''] correspond à la variété –''N'' (c'est-à-dire ''N'' munie de l'[[Orientation (mathématiques)|orientation]] opposée).

Alors, la définition du bord <math>\partial T</math> d'un courant est justifiée par le [[théorème de Stokes]] :
:<math>\int_{\partial N} \omega = \int_Nd\omega.</math>

On définit le '''support''' du courant ''T'', noté
:<math>\mathrm{spt}(T),</math>
comme étant le plus petit [[Fermé (topologie)|fermé]] ''C'' tel que
:<math>T(\omega) = 0</math>
si le support de ω est disjoint de ''C''.

On note <math>\mathcal E_m</math> le [[sous-espace vectoriel]] de <math>\mathcal D_m</math> des courants à supports compacts.

== Exemples ==
Puisque
:<math>\Omega_c^0(M)=C^\infty_c(M),</math>
un exemple de 0-courant est donné par la [[fonction δ de Dirac]] :
:<math>T(f) = f(0).</math>

Plus généralement, toute [[mesure signée]] [[Mesure régulière|régulière]] <math>\mu</math> est un 0-courant :
:<math>T(f) = \int f(x)\, d\mu(x).</math>

Soit (''x'', ''y'', ''z'') les coordonnées dans '''R'''<sup>3</sup>. Alors, un exemple de 2-courant à support compact est :
:<math> T(a\,dx\wedge dy + b\,dy\wedge dz + c\,dx\wedge dz) = \int_0^1 \int_0^1 b(x,y,0)\, dx \, dy.</math>

== Topologie ==
L'espace des ''m''-courants possède naturellement une [[topologie faible#Topologie faible-* du dual|topologie faible-*]], comme [[dual topologique]] des ''m''-formes différentielles à support compact. Cela permet alors de définir la notion de '''convergence faible'''. On dit qu'une [[suite (mathématiques)|suite]] ''T''<sub>''k''</sub> converge faiblement vers ''T'' si

:<math>T_k(\omega) \to T(\omega),\qquad \forall \omega.\,</math>

Il existe une norme plus forte sur l'espace des courants qui est la [[norme de masse]].

Une norme intermédiaire existe aussi, la [[norme bémol]].

À noter que deux courants sont proches :
* en norme de masse s'ils diffèrent d'une petite partie ;
* en norme bémol s'ils sont égaux à une petite déformation près.

== Cas particuliers ==
{{Section à recycler|date=avril 2016}}{{Incompréhensible|date=avril 2016}}
* <math>R_m</math> désigne les ''courants rectifiables''<ref>{{Planetmath|titre=Rectifiable current}}.</ref>
* <math>I_m</math> désigne les ''courants intégraux'' :
: <math>I_m = \{ T \in R_m\mid\partial T \in R_{m-1} \}</math>
* <math>F_m</math> désigne les ''integral flat chains'' (ou ''chaînes intégrales plates'') :
: <math>F_m = \{ T + \partial S\mid T \in R_m, S \in R_{m+1} \}</math>
* <math>P_m</math> désigne les ''chaînes polyédriques intégrales'' : c'est le [[sous-groupe]] additif de <math>\mathcal E_m</math> engendré par les [[simplexe]]s orientés.
<math>
\left.
\begin{array}{ccccccc}
P_m & \quad \subset \quad & I_m & \quad \subset \quad & R_m & \quad \subset \quad & F_m
\\
\mathrm{chaines~poly\acute edriques~int\acute egrales}&&\mathrm{courants~int\acute egraux}&&\text{courants rectifiables} & &\text{integral flat chains}
\\
\cap & & \cap & & \cap & & \cap
\\
\mathbf{P}_m & \quad \subset \quad & N_m & \quad \subset \quad & \mathbf{R}_m & \quad \subset \quad & \mathbf{F}_m
\\
\mathrm{chaines~poly\acute edriques~r\acute eelles} &  & \text{courants normaux} & & \text{courants rectifiables} & &\text{real flat chains}
\\
&  &  & &  & & \cap
\\
&  &  & &  & &\mathcal E_m\subset\mathcal D_m
\end{array}
\right.
</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Current (mathematics)|704467055|type=note|point=non}} et {{Planetmath|titre=Current}}.
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
*[[Homologie singulière]]
*[[Cohomologie de De Rham]]

=== Bibliographie ===
* {{en}} {{Lien|trad=Frank Morgan (mathematician)|Frank Morgan (mathématicien)|texte=Frank Morgan}}, ''Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide''
* {{en}} [[Hassler Whitney]], ''Geometric Integration Theory''

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse fonctionnelle]]
[[Catégorie:Topologie différentielle]]
[[Catégorie:Théorie des distributions]]
[[Catégorie:Théorie géométrique de la mesure]]