Voir la source de Courbe

{{Autre|la commune du département de l'Orne|La Courbe}}
{{Homonyme|Courbe (homonymie)}}

[[File:Math Two Points Infinitely Many Curves.svg|thumb|Représentation d'une infinité de courbes passant par deux points]]

En [[mathématiques]], plus précisément en [[géométrie]], une '''courbe''', ou '''ligne courbe''', est un objet du [[Plan euclidien|plan]] ou de l'[[Géométrie dans l'espace|espace usuel]], similaire à une [[Droite (mathématiques)|droite]] mais non nécessairement [[Linéarité|linéaire]]. Par exemple, les [[cercle]]s, les [[droite (mathématiques)|droites]], les [[Segment (mathématiques)|segments]] et les [[ligne polygonale|lignes polygonales]] sont des courbes.

La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : '''[[paramétrage|arcs paramétrés]]''', '''[[ligne de niveau|lignes de niveau]]''', '''[[Variété (géométrie)|sous-variétés]] de {{nobr|[[Dimension d'un espace affine|dimension]] 1}}'''. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :
* une courbe peut être décrite par un [[point (géométrie)|point]] qui se meut suivant une [[Loi de composition|loi]] déterminée. La donnée d'une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de {{nobr|dimension 1}} ;
* une courbe peut être vue comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel. 

Ainsi, une '''courbe plane''' peut être représentée dans un [[Repère affine|repère cartésien]] par la donnée de lois décrivant [[Système de coordonnées cartésiennes|abscisse et ordonnée]] en fonction du paramètre ([[équation paramétrique]]) :
:<math>\begin{cases}x=\xi(t)\\ y =\eta(t)\end{cases}</math> ; dans le cas d'une courbe [[point régulier|régulière]], on peut déterminer alors un paramétrage adapté (pour lequel le vecteur vitesse est unitaire), l’[[abscisse curviligne]], qui permet également de définir la [[longueur]] ; la courbe peut aussi être représentée par la donnée d'une [[équation cartésienne]], ou implicite : {{math|''F''(''x'',''y'') {{=}} 0}}.

== Première approche des invariants associés aux courbes ==

La [[géométrie différentielle classique|géométrie différentielle]] a pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue : on définit notamment la [[longueur d'un arc]] de courbe, et les concepts de [[tangente (géométrie)|tangente]] à la courbe, de [[courbure]].

[[image:Tangente2.gif|thumb|right|La tangente est limite des sécantes.]]
=== Tangente à la courbe ===

On commence par définir la [[droite sécante]] entre deux points ''M'' et ''N'' de la courbe : c'est la droite qui les relie. La '''tangente''' en ''M'' peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point ''N'' tend vers ''M''.

La [[Tangente (géométrie)|tangente]] en ''M'' est également la droite « la plus proche possible » de la courbe au voisinage de ''M''. C'est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et de [[dérivée]] d'une fonction, ou encore de [[développement limité]] à l'ordre 1 d'une fonction.

La courbe reste très souvent d'un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du point ''M''. Cependant, en certains points particuliers, appelés [[point d'inflexion|points d'inflexion]] elle traverse sa tangente.

=== Cercle osculateur et courbure ===
[[Fichier:Wag 116-2 circle of curvature.jpg|thumb|Cercle osculateur.]]
On peut également définir le '''[[cercle osculateur]]''' de la courbe au point ''P'' comme le cercle « le plus proche possible » de ''P'', au voisinage de ''P''. On peut montrer que ce cercle embrasse mieux la courbe que ne le fait la tangente, d'où le mot osculateur (dont l'étymologie est « petite bouche »). Mais pour donner un sens précis à cette affirmation il faut introduire la notion de [[contact (géométrie)|contact]].

Le centre du cercle osculateur est appelé '''centre de courbure''' et son rayon le '''[[rayon de courbure]]'''. La '''[[courbure]]''' est, par définition, l'inverse du rayon de courbure. La courbure au point ''P'' est d'autant plus forte que la courbe effectue en ''P'' un virage serré.

=== Torsion d'une courbe gauche et généralisation ===

La [[Tangente (géométrie)|tangente]] décrit bien le comportement de la courbe au [[développement limité|premier ordre]] : la tendance globale de la courbe est d'avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l'information précédente, en donnant la tendance à tourner d'un côté ou de l'autre de la tangente.

Pour les courbes de l'espace à trois dimensions, il est possible d'aller plus loin. La courbe, à l'ordre deux, a tendance à avancer en tournant en restant dans le plan contenant le [[cercle osculateur]] (appelé [[plan osculateur]]). Une correction, d'ordre 3, vient s'ajouter, qui correspond à une tendance à s'écarter du plan osculateur. L'invariant correspondant est la '''[[Torsion géodésique|torsion]]''' de la courbe. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane.

Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d'invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d'approximation de plus en plus grands. Enfin, tous ces calculs, pour être réalisés, demandent la vérification d'un certain nombre de conditions de [[classe de régularité|régularité]] des fonctions, et l'exclusion de points ayant un comportement exceptionnel.

== Modes de définition d'une courbe plane ==

Il existe pour les '''courbes planes''' plusieurs modes d'introduction traditionnels.
On se place ici dans le [[plan (mathématiques)|plan]] de la géométrie, muni d'un repère orthonormé <math>(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})</math>. On fait l'hypothèse générale que les fonctions qui apparaissent sont [[dérivée|dérivables]]. La raison de cette limitation apparaîtra un peu plus bas.

=== Équation paramétrique ===
Une courbe définie par une équation paramétrique est le lieu des points {{math|''M''(''x'',''y'')}}, où {{mvar|x}} et {{mvar|y}} sont des fonctions
d'un paramètre {{mvar|t}} prenant ses valeurs dans une partie de <math>\R</math>
:<math>\overrightarrow{OM}=x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}.</math>

En un point où le vecteur [[dérivée|dérivé]] 
: <math>\overrightarrow{OM}'= \frac{{\rm d} \overrightarrow{OM}}{{\rm d} t} = x'(t) \vec{\imath} + y'(t) \vec{\jmath}</math>
est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

L'interprétation cinématique classique est de considérer le paramètre {{mvar|t}} comme le [[temps]], le vecteur dérivé est alors le vecteur [[vitesse]].

Il convient alors de distinguer :
* la courbe, qui est souvent appelée trajectoire, et qui est un sous-ensemble du plan ;
* l'arc paramétré proprement dit qui est la courbe munie de sa « loi de temps », c'est-à-dire le couple de fonctions {{math|''x''(''t'') , ''y''(''t'')}}.

''Remarque'' : La représentation graphique d'une fonction {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} peut être vue comme un cas particulier de courbe paramétrée : en prenant comme paramètre l'abscisse elle-même ({{mvar|t {{=}} x}}), on a {{math|''x''(''t'') {{=}} ''t'' , ''y''(''t'') {{=}} ''f''(''t'')}}.

=== Équation polaire ===

On utilise pour ce type de courbe les [[coordonnées polaires]]. La courbe est alors définie par une fonction <math>\rho(\theta)\,</math> et ses points ont pour coordonnées polaires <math>(\theta, \rho(\theta))\,</math>.

On peut facilement se ramener à une courbe paramétrée, d'[[équation polaire|équations polaires]] <math>x=\rho(\theta)\cos\theta, y=\rho(\theta)\sin\theta\,</math>. Mais les mathématiciens traitent ces courbes par des méthodes adaptées, en introduisant en premier lieu la notion de [[équation polaire|repère mobile]].

=== Équation cartésienne ===
{{Article détaillé|Courbe implicite}}
Étant donné une fonction {{mvar|f}} de {{mvar|x}} et de {{mvar|y}}, on appelle courbe d'équation cartésienne {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} ''C''}}
l'ensemble des points {{math|''M''(''x'',''y'')}} dont les coordonnées vérifient cette équation. 

On parle aussi pour cet ensemble de la '''ligne de niveau''' {{mvar|C}} de la fonction {{mvar|f}}. Si la fonction {{mvar|f}} représente une altitude, on retrouve le concept familier de [[ligne de niveau|courbe de niveau]] d'une carte de géographie.

Par exemple la ligne de niveau {{math|''R'' > 0}} pour la fonction <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math> est le [[cercle]] de centre {{mvar|O}} et de rayon {{mvar|R}}.

Le [[théorème des fonctions implicites]] permet de trouver
l'équation de la [[tangente (géométrie)|tangente]] à cette courbe en un point donné. 
Précisément, un point {{math|''M''(''x'',''y'')}} appartenant à la courbe est dit régulier quand le [[gradient]] de {{mvar|f}} est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est [[orthogonal]]e au vecteur gradient.

=== Équation intrinsèque ===
Il s'agit de décrire une courbe par une équation reliant exclusivement les [[invariant]]s euclidiens : [[abscisse curviligne]], [[rayon de courbure]] (ou courbure), rayon de torsion (ou torsion).
Pour les [[Courbe plane|courbes planes]], l'invariant de torsion n'intervient pas. À la différence des systèmes précédents, de telles équations déterminent par nature les courbes indépendamment de leur orientation dans l'espace : les courbes sont donc définies à un [[Déplacement (géométrie)|déplacement]] près. Les équations les plus simples déterminent en général des courbes de type spirale.
{{Exemple|nom=Exemples|
{{mvar|s}} désignant l’[[abscisse curviligne]] et {{mvar|R}} le [[rayon de courbure]] :
*<math>R^2+s^2=16a^2</math> ({{mvar|a}} donné) détermine une [[cycloïde]] ;
*<math>R \times s=a^2</math> ({{mvar|a}} donné) détermine une [[clothoïde]] ;
*<math>R = a \times s</math> ({{mvar|a}} donné) détermine une [[spirale logarithmique]].}}

== Définition des courbes gauches ==

On se place cette fois dans l'espace à trois dimensions usuel, muni d'un repère orthonormé <math>(O, \vec{i}, \vec{j},\vec{k})</math>. 

=== Équation paramétrique ===

L'équation paramétrique prend cette fois la forme
:<math>\overrightarrow{OM}=x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath} + z(t)\vec{k}.</math>

Le principe du calcul de la tangente est le même : en un point où le vecteur [[dérivée|dérivé]] 
: <math>\overrightarrow{OM}'= \frac{{\rm d} \vec{OM}}{{\rm d} t} = x'(t) \vec{\imath} + y'(t) \vec{\jmath}+ z'(t)\vec{k}</math>
est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

=== Équations cartésiennes ===

Une équation de la forme {{math|''F''(''x'',''y'',''z'') {{=}} ''C''}} définit un ensemble appelé surface de niveau de la fonction {{mvar|F}}. Sous [[Transversalité|certaines conditions]], l'intersection de deux surfaces de niveau définit une courbe et permet le calcul de sa tangente.

Voici le détail de ces conditions pour l'intersection 
:<math>\begin{cases}F(x,y,z)=C\\G(x,y,z)=D.\end{cases}</math>
Si les fonctions {{mvar|F}}et ''G'' sont [[différentielle|différentiables]] et que les vecteurs gradients de {{mvar|F}} et ''G'' en un point ''M'' de l'intersection sont des vecteurs indépendants, alors la courbe d'intersection possède une tangente dirigée par le vecteur
:<math>\vec{T}=\vec{\nabla} F \wedge  \vec{\nabla} G.</math>

Avec les [[conique]]s, on a un exemple très classique d'introduction des courbes par intersection de surfaces : ce sont les courbes obtenues par intersection d'un [[cône (géométrie)|cône de révolution]] et d'un plan.

=== Équation intrinsèque ===
Le principe est le même que pour les courbes planes, mais l'invariant de torsion peut intervenir. Par exemple, ''R'' le [[rayon de courbure]] et ''T'' le rayon de torsion, <math>R = a</math> et <math>T = b</math> (''a, b'' donnés) déterminent une [[Hélice (géométrie)#Hélice circulaire|hélice circulaire]].

== Considérations topologiques ==

Lorsqu'on relâche l'exigence de dérivabilité des fonctions définissant les courbes, la situation peut singulièrement se compliquer.

=== Un exemple surprenant : la courbe de Peano ===
[[Image:Peanocurve.svg|upright=2|thumb|Les trois premières étapes de la construction de la [[courbe de Peano]].]]
En [[1890]], [[Giuseppe Peano|Peano]] découvrit une [[courbe de Peano|« courbe » aux propriétés étranges]] : 
*elle est définie par une application continue de [0, 1] dans le plan ;
*sa trajectoire est l'ensemble des points du carré [0, 1]×[0, 1].

L'illustration représente les premières étapes de la construction de cette courbe, qu'on range aujourd'hui dans la catégorie des [[fractale]]s.

Avec cet exemple, ou en considérant d'autres constructions de courbes [[fractale]]s telles que le [[flocon de Koch]] ou la [[courbe du dragon]], la notion de dimension semble perdre de sa pertinence. Il est possible en effet que l'image du segment [0,1] par une application continue ait une [[dimension de Hausdorff]] strictement supérieure à 1, ou même une [[mesure d'un ensemble|mesure]] [[mesure de Lebesgue|de Lebesgue]] différente de 0.

=== Théorème de Jordan ===

Même dans le cadre très général des courbes continues, un résultat de [[topologie]] à l'énoncé apparemment élémentaire reste vérifié : une boucle délimite un intérieur et un extérieur.

Dit en termes moins vagues, si une courbe continue <math>f:[a,b]\to \R^2</math> est [[courbe fermée|fermée]] (les deux extrémités coïncident) et simple (la fonction est injective sur {{math|[''a'' , ''b''[}}, c'est-à-dire la courbe ne se recoupe pas elle-même) alors elle sépare le plan en deux [[Connexité (mathématiques)|composantes connexes]], l'une bornée (l'intérieur), l'autre non bornée (l'extérieur). De plus la courbe est la [[frontière (topologie)|frontière]] (au sens topologique) de chacune de ces deux parties.

[[Théorème de Jordan|Ce théorème]] ne connut une démonstration que tardivement (en 1905, par [[Oswald Veblen]]) après plusieurs tentatives incomplètes. Il convient de noter que la courbe de Peano n'est pas une courbe simple, même si les fonctions obtenues à chaque étape de sa construction le sont.

=== Plongement, nœud ===
[[Image:TorusKnot-3-8.png|right|thumb|Exemple de nœud.]]
{{article détaillé|Nœud (mathématiques)}}

Soit {{mvar|I}} un intervalle. L'application <math>f:I\to \R^3</math> est appelée [[plongement]] lorsqu'elle réalise un [[homéomorphisme]] de {{mvar|I}} sur son image {{math|''f''(''I'')}}. De même on parle de courbe fermée plongée pour une application <math>f:{\mathbb S}^1 \to \R^3</math> définie sur le [[cercle unité]] et qui constitue un homéomorphisme sur son image.

Il est possible de plonger le cercle de plusieurs façons, non équivalentes, dans l'espace de dimension trois. La classification des plongements possibles constitue la [[théorie des nœuds]].

== Courbes algébriques ==
{{article détaillé|Courbe algébrique}}
[[Fichier:SextiqueCaRMetal.svg|thumb|Un exemple de sextique du plan.]]

Une courbe du plan est dite algébrique si son équation cartésienne est polynomiale. Le plus grand degré (somme des degrés en {{mvar|x}} et en {{mvar|y}}) de l'équation cartésienne est appelé le degré de la courbe. Par exemple, la courbe ci-contre a pour équation cartésienne <math>x^2y^4+x^4+2y^4-3x^2=1</math>, le premier terme est de degré 2 + 4 = 6, et tous les autres termes sont de degré inférieur à 6. C'est donc une courbe de degré 6, ou [[Courbe sextique|sextique]].

Selon son degré, une courbe algébrique du plan est :
* une [[droite (mathématiques)|droite]] si elle est de degré 1 ;
* une [[conique]] si elle est de degré 2 ;
* une [[courbe cubique]] si elle est de degré 3 ;
* une [[Courbe quartique|quartique]] si elle est de degré 4 ;
* une [[Courbe quintique|quintique]] si elle est de degré 5 ;
* etc.

Une courbe algébrique sur le corps des complexes est une [[surface de Riemann]]; dans ce cas,elle est topologiquement équivalente à un [[tore]] à {{mvar|g}} trous ; l’entier {{mvar|g}} est appelé le [[genre (mathématiques)]] de la courbe. Le genre dépend du degré et des points singuliers de la courbe. Par exemple, une [[courbe elliptique]] (qui est une cubique sans singularité) de <math>\Complex^2</math> est de genre 1, mais une cubique admettant un point singulier est de genre 0.

Lorsqu'elle est [[unicursale]], une courbe algébrique admet une représentation paramétrique.

Dans l'espace, une équation cartésienne polynomiale en {{mvar|x}}, {{mvar|y}} et {{mvar|z}} décrit une ''surface algébrique''. Une courbe algébrique de l'espace est alors définie comme une intersection de [[Variété algébrique|surfaces algébriques]]. Par exemple, l'intersection de deux [[quadriques]] est en général formée de deux [[conique]]s disjointes. L'étude de ces objets, et donc en particulier des courbes algébriques, est la [[géométrie algébrique]].

== Courbe transcendante ==
Une courbe transcendante est une courbe dont l'équation cartésienne ne peut être représentée par une équation polynomiale finie.

Dans ce cas, l'équation cartésienne de la courbe, quand elle peut être écrite, comporte des suites infinies et/ou des intégrales et/ou d'autres fonctions transcendantes.

== Voir aussi ==
{{autres projets|wikt=courbe|commons=Category:Curves}}
[http://www.mathcurve.com/ Mathcurve.com]

{{Palette|Courbes|Étude de courbe}}

{{portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe|*]]