Voir la source de Courbe d'Edwards

{{Ébauche|mathématiques|cryptologie}}
En [[mathématiques]], une '''courbe d'Edwards''' est une [[courbe elliptique]] découverte par le mathématicien [[Harold Edwards]]<ref>{{Article|langue=en
|titre= A normal form for elliptic curves
|nom1= Edwards |prénom1= Harold M.
|périodique=Bulletin of the American Mathematical Society
|année= 2007
| vol=44
| pages= 393-422
| url= http://www.ams.org/bull/2007-44-03/S0273-0979-07-01153-6/home.html
|consulté le=16 décembre 2010}}</ref>. Les courbes d'Edwards, et en particulier leurs variantes dites [[courbe d'Edwards tordue|tordues]], font partie des courbes utilisées pour la [[cryptographie sur les courbes elliptiques]]<ref>{{article |langue=en
|url= http://www.win.tue.nl/~cpeters/presentations/2008.s3cm.pdf
|titre= EdwardsCurves
|nom1= Peters |prénom1= Christiane
|périodique= S<sup>3</sup>CM
|jour= 10 |mois= juillet |année= 2008
|consulté le= 28 mars 2010}}</ref>. [[Daniel J. Bernstein|Bernstein]] et Lange ont mentionné plusieurs avantages de ces courbes comparativement aux [[fonctions elliptiques de Weierstrass]].

== Definition ==
[[Fichier:Edward-curves.svg|droite|vignette|Des courbes d'Edwards d'équation ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;''d''&nbsp;·''x''<sup>2</sup>·''y''<sup>2</sup> sur les nombres réels pour ''d''&nbsp;=&nbsp;-300 (rouge), ''d''&nbsp;=&nbsp;-√8 (jaune) et ''d''&nbsp;=&nbsp;0.9 (bleu).]]
Une courbe d'Edwards sur un [[corps commutatif]] ''K'' de [[Caractéristique d'un corps|caractéristique]] différente de 2 est une courbe d'équation :

: <math> x^2 + y^2 = c^2(1 + d x^2 y^2) \, </math>
pour deux [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] <math>c \in K</math> et <math>d \in K \setminus \{0,1\}</math>, avec <math> cd (1 - c^4 d) \neq 0 \,</math>.

Le cas particulier <math>c = 1</math> est très commun, de telle sorte que la formule se réduit le plus souvent à :

: <math> x^2 + y^2 = 1 + d x^2 y^2 \, </math>

== Structure de groupe ==

Toutes les courbes d'Edwards sont [[Géométrie birationnelle|birationnellement équivalentes]] à une [[fonctions elliptiques de Weierstrass|courbe elliptique de Weierstrass]].  Tout comme les courbes elliptiques, les courbes d'Edwards peuvent être munies d'une [[groupe (mathématiques)|structure de groupe]] généralement [[notation additive|notée additivement]].

L'[[élément neutre]] est le point <math>(0, c)</math>.

L'addition est l'opération suivante :
:<math> (x,y) + (u,v) \mapsto \left( \frac{x v + u y}{c(1 + d x u y v)}, \frac{y v - x u}{c(1 - d x u y v)} \right) \, </math>

L'[[opposé (mathématiques)|opposé]] d'un point <math>(x,y)</math> est le point <math>(-x,y)</math>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Edwards curve|346827088}}
<References/>

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Courbe elliptique]]
* [[Fonction elliptique de Weierstrass]]
* [[Courbe d'Edwards tordue]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-edwards.html ''Edwards curves''] sur ''hyperelliptic.org''

{{Portail|mathématiques|cryptologie}}

[[Catégorie:Fonction elliptique|Edwards]]