Voir la source de Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro

La '''fractale de Cesàro''' fait partie des [[Flocon de Koch#Variantes de la courbe de von Koch|variantes du flocon de Koch]] avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°).

[[Fichier:Koch_Curve_85degrees.png|thumb|Représentation de la fractale de Cesàro]]

== Histoire ==

[[Fichier:Koch curve.svg|thumb|Représentation de la courbe de Koch]]

[[Helge von Koch]] a décrit le flocon auquel on a donné son nom en 1904 dans un article intitulé « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire ». C'est l'une des premières courbes [[fractale]]s à avoir été décrite.

Ces courbes sont nées de l’intérêt apparu à la fin du {{s-|XIX}} par {{citation bloc|des mathématiciens (Weierstrass -peut-être le pionnier-, Cantor, Peano, Lebesgue, Hausdorff, Besicovitch, von Koch, Sierpinski…) concernant des formes géométriques particulières, telles que des courbes continues mais non différentiables, dont la longueur était définie bien que leur domaine soit limité. Ces courbes sont définies comme étant la limite à l'infini d'un certain processus de construction itératif et il est ainsi impossible de les visualiser exactement, mais seulement de façon (très) approchée<ref>{{lien web | auteur = Jean-François Colonna| url = http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/descripteurs/Fractal.01.html | titre = Brève Histoire Illustrée des Fractales | site = lactamme.polytechnique.fr}}.</ref>.}}

La courbe de von Koch en fait partie, étant définie de manière itérative.

[[Ernesto Cesàro]] généralisa cette construction.

Les [[Fractale#Domaines d'application|domaines d'application des fractales]] sont très nombreux (voir l'article général [[Fractale]]).

==Construction==

La construction qui suit est fortement inspirée de celle<ref>{{lien web|auteur= Marc Clifton |url=http://www.codeproject.com/Articles/12524/The-Koch-Curve-Snowflake |titre=The Koch Curve - Snowflake! |site=codeproject.com }}.</ref> de la courbe de Koch (seul l'angle entre la base des triangles et les autres côtés change, passant de 60° dans la démonstration originale  à 85° pour celle de la fractale de Cesàro).
# Tracer un segment horizontal en bas du canevas occupant la largeur de celui-ci.
# Diviser le segment de droite en trois segments de longueurs égales. Construire sur le segment central un triangle isocèle dont la base est contenue dans ce segment, tel que l'angle entre l'un des deux côtés montants du triangle et ce segment soit égal à 85°.
# Supprimer la base du triangle qui vient d'être formé.

Répéter les itérations 2 et 3 pour chaque segment nouvellement formé.

==Complexité==

La [[dimension fractale]] de la courbe de Koch à 85°, ou fractale de Cesàro, est : 
<center><math>D = \frac{\ln(4)}{\ln(2(1+\cos(85^\circ))}.</math></center>

Il s'agit d'une « mesure » de la complexité de cette fractale.

{{Citation bloc|La [[complexité fractale]] est un dérivé de la dimension fractale ''D'', que l'on peut obtenir par un simple calcul :

<center><math>FC = 1000 (D - 2)</math></center>

Cette notion permet de mieux définir les caractéristiques de rugosité de petite taille de la surface analysée. Les analyses de surfaces se déroulant souvent à de très petites échelles, la dimension fractale est en général très faible, c'est pourquoi il est plus pratique de la caractériser par la complexité fractale que par la dimension fractale<ref>[http://dpernuit.online.fr/Stage%20DigitalSurf/ST50/Rapport%20de%20Stage/Chapitre%205%20-%20Interfa%C3%A7age%20de%20la%20librairie%20de%20calcul%20de%20dimension%20fractale.doc dpernuit.online.fr, Chapitre 5. Interfaçage de la librairie de calcul de dimension fractale]</ref>.}}

En appliquant la formule précédente à la fractale de Cesàro, dont la valeur approchée au millième de sa dimension est 1,785, on obtient une complexité fractale qui, arrondie à l’unité, est de –215.

==Liens externes==

*[http://blog.kleinproject.org/?p=479&lang=fr Dimension]
*[http://raphaelle.longuet.free.fr/index.htm Les fractales : une forme de perfection  ?]

== Références ==
<references/>

{{Palette|Fractales}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe fractale|Cesàro]]