Voir la source de Courbe parallèle

[[Fichier:Offset-curves-of-sinus-curve.svg|vignette|300x300px| Courbes parallèles du graphique de <math>y=1.5 \sin(x)</math> pour les distances <math>d = 0.25, \dots, 1.5 </math>]]
[[Fichier:Offset-definition-poss.svg|vignette|300x300px| Deux définitions d'une courbe parallèle : 1) enveloppe d'une famille de cercles congruents, 2) par une distance normale fixe]]

En [[géométrie]], la '''parallèle''' d'une [[courbe]] est l'[[Enveloppe (géométrie)|enveloppe]] d'une famille de [[Cercle|cercles]] [[Congruence (géométrie)|congruents]] centrés sur la courbe. Elle généralise le concept de ''[[Parallélisme (géométrie)|lignes parallèles (droites)]].'' Elle peut également être définie comme une courbe dont les points sont à une ''[[distance normale]]'' constante d'une courbe donnée<ref name="Willson"/>. Ces deux définitions ne sont pas entièrement équivalentes car la dernière suppose la [[Fonction lisse|régularité]], tandis que la première ne le fait pas<ref name="DevadossO'Rourke2011"/>.

Dans la [[conception assistée par ordinateur]], le terme préféré pour une courbe parallèle est courbe '''décalée'''<ref name="DevadossO'Rourke2011">{{Ouvrage|prénom1=Satyan L.|nom1=Devadoss|prénom2=Joseph|nom2=O'Rourke|titre=Discrete and Computational Geometry|éditeur=Princeton University Press|année=2011|pages totales=128–129|isbn=978-1-4008-3898-1|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=InJL6iAaIQQC&pg=PA128}}</ref>{{,}}<ref name="SendraWinkler2007">{{Ouvrage|prénom1=J. Rafael|nom1=Sendra|prénom2=Franz|nom2=Winkler|prénom3=Sonia|nom3=Pérez Díaz|titre=Rational Algebraic Curves: A Computer Algebra Approach|passage=10|éditeur=Springer Science & Business Media|année=2007|isbn=978-3-540-73724-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=puWxs7KG2D0C&pg=PA10}}</ref>{{,}}<ref name="Agoston2005m">{{Ouvrage|prénom1=Max K.|nom1=Agoston|titre=Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics|passage=586|éditeur=Springer Science & Business Media|année=2005|isbn=978-1-85233-817-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=LPsAM-xuGG8C&pg=PA586}}</ref> (Dans d'autres contextes géométriques, le terme de [[Opérateur de décalage|décalage]] peut également faire référence à la [[translation]]<ref name="Vince2006">{{Ouvrage|prénom1=John|nom1=Vince|titre=Geometry for Computer Graphics: Formulae, Examples and Proofs|passage=293|éditeur=Springer Science & Business Media|année=2006|isbn=978-1-84628-116-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=VkzklwKLv7UC&pg=PA293}}</ref>). Les courbes de décalage sont importantes par exemple dans l'[[usinage]] à [[Machine-outil à commande numérique|commande numérique]], où elles décrivent par exemple la forme de la coupe effectuée par un outil de coupe rond d'une machine à deux axes. La forme de la coupe est décalée de la trajectoire de la fraise d'une distance constante dans la direction normale à la trajectoire de la fraise en chaque point<ref name="Marsh2006">{{Ouvrage|prénom1=Duncan|nom1=Marsh|titre=Applied Geometry for Computer Graphics and CAD|passage=107|éditeur=2nd|année=2006|isbn=978-1-84628-109-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=5wHxT5W424QC&pg=PA107}}</ref>.

Dans le domaine de l'[[infographie]] 2D connue sous le nom de [[Image vectorielle|graphiques vectoriels]], le calcul (approximatif) de courbes parallèles est impliqué dans l'une des opérations de dessin fondamentales, appelée trait, qui est généralement appliquée aux [[Ligne polygonale|polylignes]] ou polybeziers (eux-mêmes appelés chemins) dans ce domaine<ref name="Kilgard">http://www.slideshare.net/Mark_Kilgard/22pathrender, p. 28</ref>.

Sauf dans le cas d'une droite ou d'un [[cercle]], les courbes parallèles ont une [[Structure (mathématiques)|structure mathématique]] plus compliquée que la courbe génératrice<ref name="Willson">{{Ouvrage|prénom1=Frederick Newton|nom1=Willson|titre=Theoretical and Practical Graphics|passage=[https://archive.org/details/graphicscourse00willrich/page/66 66]|éditeur=Macmillan|année=1898|isbn=978-1-113-74312-1|lire en ligne=https://archive.org/details/graphicscourse00willrich}}
</ref>. Par exemple, même si la courbe de référence est [[Fonction lisse|lisse]], ses décalages peuvent ne pas l'être ; cette propriété est illustrée dans la figure du haut, en utilisant une [[Signal sinusoïdal|courbe sinusoïdale]] comme courbe génératrice<ref name="DevadossO'Rourke2011" />. En général, même si une courbe est [[Courbe algébrique|algébrique]], ses décalages peuvent ne pas l'être. Par exemple, les décalages d'une parabole sont des courbes algébriques, mais les décalages d'une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] ou d'une [[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] ne sont pas algébrique, même si ces courbes génératrices elles-mêmes sont algébriques<ref name="SendraWinkler2007" />.

La notion se généralise également aux [[Surface (géométrie analytique)|surfaces]] 3D, où on parle alors de '''surface décalée''' ou '''surface parallèle'''<ref name="Agoston2005" />. L'augmentation d'un volume solide par un décalage de distance (constant) est parfois appelée ''dilatation''<ref name="jarek">http://www.cc.gatech.edu/~jarek/papers/localVolume.pdf, p. 3</ref>. L'opération inverse est parfois appelée ''bombardement''<ref name="Agoston2005">{{Ouvrage|prénom1=Max K.|nom1=Agoston|titre=Computer Graphics and Geometric Modelling|éditeur=Springer Science & Business Media|année=2005|pages totales=638–645|isbn=978-1-85233-818-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=fGX8yC-4vXUC&pg=PA645}}</ref>. Les surfaces décalées sont importantes dans l'[[usinage]] à commande numérique, où elles décrivent la forme de la coupe effectuée par une fraise hémisphérique d'une machine à trois axes<ref name="Faux1979">{{Ouvrage|prénom1=I. D.|nom1=Faux|prénom2=Michael J.|nom2=Pratt|titre=Computational Geometry for Design and Manufacture|éditeur=Halsted Press|année=1979|isbn=978-0-47026-473-7|oclc=4859052}}</ref>. D'autres formes de coupe peuvent être modélisées mathématiquement par des surfaces décalées générales.

== Courbe parallèle d'une courbe paramétrique donnée ==
S'il existe une représentation paramétrique régulière <math> \vec x= (x(t),y(t))</math> de la courbe donnée disponible, la deuxième définition d'une courbe parallèle (voir ci-dessus) conduit à la représentation paramétrique suivante de la courbe parallèle avec la distance <math> |d| </math> :

: <math> \vec x_d(t)=\vec x(t)+d\vec n(t)</math> avec le [[Normale (géométrie)|vecteur normal]] unitaire <math>\vec n(t)</math> .

En [[coordonnées cartésiennes]] :

: <math> x_d(t)= x(t)+\frac{d\; y'(t)}{\sqrt {x'(t)^2+y'(t)^2}}</math>
: <math> y_d(t)= y(t)-\frac{d\; x'(t)}{\sqrt {x'(t)^2+y'(t)^2}} \ .</math>

Le paramètre distance <math>d</math> peut être négatif. Dans ce cas, on obtient une courbe parallèle sur le côté opposé de la courbe (voir schéma sur les courbes parallèles d'un cercle). On peut facilement vérifier qu'une courbe parallèle à une droite est une droite parallèle au sens commun, et que la courbe parallèle à un cercle est un cercle concentrique.

=== Propriétés géométriques ===

* Pour une même valeur paramètre, les vecteurs tangents sont colinéaires : <math>\vec x'_d(t) \parallel \vec x'(t),\quad</math>
* En notant  <math>k(t)</math> la [[courbure]] de la courbe donnée, la courbure de la courbe parallèle <math>k_d(t)</math>  est donnée par   <math>k_d(t)=\frac{k(t)}{1+dk(t)}.</math>
* et son rayon de courbure par <math>R_d(t)=R(t) + d,\quad</math> avec <math>R(t)</math> le [[Courbure|rayon de courbure]] de la courbe donnée
* Lorsqu'ils existent, les [[Cercle osculateur|cercles osculateurs]] de courbes parallèles aux points correspondants sont concentriques<ref>Fiona O'Neill: [https://fionasmathblog.com/2022/04/26/planar-bertrand-curves-with-pictures/ ''Planar Bertrand Curves (with Pictures!).'']</ref>.
* Comme pour les [[Parallélisme (géométrie)|droites parallèles]], une droite normale à une courbe est aussi normale à ses parallèles.
* Lorsque des courbes parallèles sont construites, elles auront des points de [[Point de rebroussement|rebroussement]] lorsque la distance de la courbe correspond au rayon de [[courbure]]. Ce sont les points où la courbe touche la [[développée]].
* Si la courbe génératrice est une frontière d'un ensemble plan et que sa courbe parallèle est sans auto-intersections, alors cette dernière est la frontière de la [[somme de Minkowski]] de l'ensemble plan et du disque de rayon donné<ref name="hart30">E. Hartmann: [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf ''Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN.''] S. 30.</ref>.

Si la courbe donnée est polynomiale (ce qui signifie que <math>x(t)</math> et <math>y(t)</math> sont des polynômes), alors les courbes parallèles ne sont généralement pas polynomiales. Dans le domaine de la CAO, c'est un inconvénient, car les systèmes de CAO utilisent des polynômes ou des courbes algébriques. Afin d'obtenir au moins des courbes algébriques, la [[racine carrée]] de la représentation de la courbe parallèle doit pouvoir être résolue. Ces courbes sont appelées ''courbes hodographes pythagoriciennes'' et ont été étudiées par RT Farouki<ref>Rida T. Farouki:
''Pythagorean-Hodograph Curves: Algebra and Geometry Inseparable (Geometry and Computing).'' Springer, 2008, {{ISBN|978-3-540-73397-3}}.</ref>.

=== Exemples ===
[[Fichier:Offset-of-a-circle.svg|vignette| Les courbes parallèles d'un cercle (rouge) sont aussi des cercles]]
* Les courbes parallèles à un cercle de centre {{math|(''x''{{ind|0}} , ''y''{{ind|0}})}} et de rayon {{mvar|r}} sont les courbes d'équations paramétriques
::<math>x_d(t) = x(t) +d \cos(t) = x_0+ (r+d)\cos(t),\ y_d(t) = y(t) +d \sin(t)=y_0+ (r+d)\sin(t)</math>
:Ce sont donc bien des cercles concentriques, de même centre que le cercle de base.
* Les courbes parallèles à une ellipse de centre {{math|(''x''{{ind|0}} , ''y''{{ind|0}})}} et de demi-axes {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont les courbes d'équations paramétriques
::<math>x_d(t) = \left(a+\frac{bd}{\sqrt{a^2\sin^2(t) + b^2\cos^2(t)}}\right)\cos(t),\ y_d(t) = \left(b+\frac{ad}{\sqrt{a^2\sin^2(t) + b^2\cos^2(t)}}\right) \sin(t)</math>
:Ce sont des courbes algébriques octiques, dont certaines rappellent la [[courbe de Talbot]].

== Courbes parallèles d'une courbe implicite ==
[[Fichier:Offset-of-implicit-curve-c4.svg|vignette|250x250px| Courbes parallèles de la courbe implicite (rouge) avec équation <math>x^4+y^4-1=0</math>]]
Généralement la représentation analytique d'une courbe parallèle à une [[courbe implicite]] n'est pas possible. Ce n'est que pour les cas simples de lignes et de cercles que les courbes parallèles peuvent être décrites facilement. Par exemple :

: ''Droite''<math>\; f(x,y)=x+y-1=0\; </math> → fonction distance : <math>\; h(x,y)=\frac{x+y-1}{\sqrt{2}}=d\; </math> (forme normale de Hesse)
: ''Cercle'' <math>\; f(x,y)=x^2+y^2-1=0\;</math> → fonction distance : <math>\; h(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}-1=d\; .</math>

En général, en supposant certaines conditions, on peut prouver l'existence d'une [[Fonction distance signée|fonction de distance orientée]] <math>h(x,y)</math>. En pratique, il faut le traiter numériquement<ref>E. Hartmann: [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf ''Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN.''] S. 81, S. 30, 41, 44.</ref>. En considérant des courbes parallèles, ce qui suit est vrai :

* La courbe parallèle pour la distance ''d'' est la [[ligne de niveau]] <math>h(x,y)=d</math> de la fonction de distance orientée correspondante <math>h</math>.

=== Propriétés de la fonction de distance ===

* <math>| \operatorname{grad} h (\vec x)|=1 \; ,</math>
* <math> h(\vec x+d\operatorname{grad} h (\vec x)) = h(\vec x)+d \; ,</math>
* <math> \operatorname{grad}h(\vec x+d\operatorname{grad}h (\vec x))= \operatorname{grad}h (\vec x) \; .</math>

;Exemple
Le diagramme montre des courbes parallèles de la courbe implicite d'équation <math>\; f(x,y)=x^4+y^4-1=0\; .</math>

''Remarque<ref name="hart30"/>{{,}}<ref>J.A. Thorpe: ''Elementary topics in Differential Geometry'', Springer-Verlag, 1979, {{ISBN|0-387-90357-7}}.</ref>:'' Les courbes <math>\; f(x,y)=x^4+y^4-1=d\; </math> ne sont pas des courbes parallèles, car <math>\; | \operatorname{grad} f (x,y)|=1 \;</math> n'est pas vrai dans la zone d'intérêt.

== Autres exemples ==
[[Fichier:Evolvente-kreis.svg|vignette| Développantes de cercle]]

* Les [[Courbe développante|développantes]] d'une courbe donnée sont un ensemble de courbes parallèles. Par exemple : les développantes d'un cercle sont des spirales parallèles (voir schéma).

Et<ref name="farouki-slides">http://faculty.engineering.ucdavis.edu/farouki/wp-content/uploads/sites/41/2013/02/Introduction-to-PH-curves.pdf, p. 16 "taxonomy of offset curves"</ref> :

* Une [[parabole]] a comme décalages (des deux côtés) des [[Courbe algébrique|courbes algébriques]] de degré 6.
* Une [[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] ou une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] a comme décalages (des deux côtés) une [[courbe algébrique]] de degré 8.
* Une [[courbe de Bézier]] de degré {{Mvar|n}} a pour décalages (à deux côtés) [[Courbe algébrique|des courbes algébriques]] de degré {{Formule|4''n'' − 2}} . En particulier, une courbe de Bézier cubique a comme décalages (à deux côtés) des courbes algébriques de degré 10.

== Courbe parallèle à une courbe avec un coin ==
[[Fichier:Parallel_curves_to_a_curve_with_a_discontinuous_normal.png|vignette| Courbes parallèles à une courbe avec une normale discontinue autour d'un coin]]
Lors de la détermination du chemin de coupe d'une pièce avec un [[angle aigu]] pour l'[[usinage]], il faut définir la courbe parallèle (décalée) à une courbe donnée qui a une normale discontinue au niveau de l'angle. Même si la courbe donnée n'est pas lisse à l'angle aigu, sa courbe parallèle peut être lisse avec une normale continue, ou elle peut avoir des [[Point de rebroussement|pointes]] lorsque la distance de la courbe correspond au rayon de [[courbure]] à l'angle aigu.

=== Éventails normaux ===
Comme décrit ci-dessus, la représentation paramétrique d'une courbe parallèle, <math>\vec x_d(t)</math>, à une courbure donnée, <math>\vec x(t)</math>, avec distance <math>|d|</math> est:

: <math>\vec x_d(t) = \vec x(t) + d\vec n(t)</math> avec le vecteur normal unitaire <math>\vec n(t)</math> .

Dans un virage serré (<math>t = t_c</math>), la normale à <math>\vec x(t_c)</math> donné par <math>\vec n(t_c)</math> est discontinue, c'est-à-dire la limite à gauche de la normale  <math>\vec n(t_c^-)</math> est différente de la limite à droite <math>\vec n(t_c^+)</math> . Mathématiquement,

: <math>\vec n(t_c^-) = \lim_{t \to t_c^-}\vec n(t) \ne \vec n(t_c^+) = \lim_{t \to t_c^+}\vec n(t)</math> .

[[Fichier:Normal_fan_for_defining_parallel_curves.png|vignette| Éventail normal pour définir des courbes parallèles autour d'un angle vif]]
Cependant, on peut définir un éventail normal  <math>\vec n_f(\alpha)</math> qui fournit une [[Interpolation numérique|interpolation]] entre <math>\vec n(t_c^-)</math> et <math>\vec n(t_c^+)</math>, et utilise <math>\vec n_f(\alpha)</math> au lieu de <math>\vec n(t_c)</math> à l'angle aigu :

: <math>\vec n_f(\alpha) = \frac{(1 - \alpha)\vec n(t_c^-) + \alpha\vec n(t_c^+)}{\lVert (1 - \alpha)\vec n(t_c^-) + \alpha\vec n(t_c^+) \rVert},\quad</math> où <math>0 < \alpha < 1</math> .

La définition résultante de la courbe parallèle <math>\vec x_d(t)</math> fournit le comportement souhaité :

: <math>\vec x_d(t) = \begin{cases}
\vec x(t) + d\vec n(t), & \text{ si }t < t_c\text{ ou }t > t_c \\
\vec x(t_c) + d\vec n_f(\alpha), & \text{ si }t = t_c\text{ avec }0 < \alpha < 1
\end{cases}</math>

== Algorithmes ==
En général, la courbe parallèle d'une courbe de [[Courbe de Bézier|Bézier]] n'est pas une autre courbe de Bézier, un résultat prouvé par Tiller et Hanson en 1984<ref>{{Article|auteur1=Tiller|prénom1=Wayne|auteur2=Hanson|prénom2=Eric|titre=Offsets of Two-Dimensional Profiles|périodique=IEEE Computer Graphics and Applications|volume=4|numéro=9|année=1984|doi=10.1109/mcg.1984.275995|pages=36-46}}</ref>. Ainsi, en pratique, des techniques d'approximation sont utilisées. Tout niveau de précision souhaité est possible en subdivisant à plusieurs reprises la courbe, bien que de meilleures techniques nécessitent moins de subdivisions pour atteindre le même niveau de précision. Une étude réalisée en 1997 par Elber, Lee et Kim<ref>{{Article|auteur1=Elber|prénom1=Gershon|auteur2=Lee|prénom2=In-Kwon|auteur3=Kim|prénom3=Myung-Soo|titre=Comparing offset curve approximation methods|périodique=IEEE Computer Graphics and Applications|volume=17|numéro=3|date=May–Jun 1997|doi=10.1109/38.586019|lire en ligne=https://ieeexplore.ieee.org/document/586019/|pages=62-71}}</ref> est largement citée, bien que de meilleures techniques aient été proposées plus récemment. Une technique moderne basée sur l'[[ajustement de courbe]], avec des références et des comparaisons avec d'autres algorithmes, ainsi qu'un code source [[JavaScript]] [[open source]], a été publiée dans un article de blog<ref>{{Lien web |auteur=Levien |prénom=Raph |titre=Parallel curves of cubic Béziers |url=https://raphlinus.github.io/curves/2022/09/09/parallel-beziers.html |date=September 9, 2022 |consulté le=9 septembre 2022}}</ref> en septembre 2022.

Un autre algorithme efficace pour la compensation est l'approche par niveau décrite par Kimmel et Bruckstein (1993)<ref>Kimmel and Bruckstein (1993)
 [https://www.cs.technion.ac.il/~ron/PAPERS/offsets_cad1993.pdf ''Shape offsets via level sets'' ] 
 CAD (Computer Aided Design) 
 25(3):154–162.
</ref>.

== Surfaces parallèles (décalées) ==
[[Fichier:Offset_surface.png|droite|vignette| Surface décalée d'une forme irrégulière complexe]]
Les surfaces décalées sont importantes dans l'[[usinage]] à commande numérique, où elles décrivent la forme de la coupe effectuée par une fraise à bout sphérique d'une fraise à trois axes<ref name="Faux1979" />. S'il existe une représentation paramétrique régulière <math> \vec x(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))</math> de la surface donnée disponible, la deuxième définition d'une courbe parallèle (voir ci-dessus) se généralise à la représentation paramétrique suivante de la surface parallèle avec la distance <math> |d| </math> :

: <math> \vec x_d(u,v)=\vec x(u,v)+d\vec n(u,v)</math> avec le vecteur normal <math>\vec n_d(u,v) = {{{\partial \vec x \over \partial u} \times {\partial \vec x \over \partial v}} \over {|{{\partial \vec x \over \partial u} \times {\partial \vec x \over \partial v}}|}}</math> .

Le paramètre de distance <math>d</math> peut aussi être négatif. Dans ce cas, on obtient une surface parallèle sur le côté opposé de la surface (voir schéma similaire sur les courbes parallèles d'un cercle). On vérifie facilement qu'une surface parallèle à un plan est un plan parallèle au sens commun et la surface parallèle d'une sphère est une sphère concentrique.

=== Propriétés géométriques ===

* Pour un même paramètre, les vecteurs tangents sont colinéaires<ref name="barn">{{Ouvrage|prénom1=Eric L.|nom1=Brechner|titre=Geometry Processing for Design and Manufacturing|éditeur=SIAM|année=1992|pages totales=101–|isbn=978-0-89871-280-3|titre chapitre=5. General Offset Curves and Surfaces}}</ref>: <math>{\partial \vec x_d \over \partial u} \parallel {\partial \vec x \over \partial u}, \quad {\partial \vec x_d \over \partial v} \parallel {\partial \vec x \over \partial v}, \quad</math> 
* Les vecteurs normaux pour un même paramètre ont même direction : <math>\vec n_d(u,v) = \pm\vec n(u,v), \quad</math> 
* <math>S_d = (1 + d S)^{-1} S, \quad</math> où <math>S_d</math> et <math>S</math> sont les [[Géométrie différentielle des surfaces|opérateurs de forme]] pour <math>\vec x_d</math> et <math>\vec x</math>, respectivement.

: Les courbures principales sont les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] de l'[[Géométrie différentielle des surfaces|opérateur de forme]], les directions de courbure principales sont ses [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|vecteurs propres]], la [[Courbure de Gauss|courbure gaussienne]] est son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et la [[courbure moyenne]] est la moitié de sa [[Trace (algèbre)|trace]].

* <math>S_d^{-1} = S^{-1} + d I, \quad</math> où <math>S_d^{-1}</math> et <math>S^{-1}</math> sont les inverses des [[Géométrie différentielle des surfaces|opérateurs de forme]] pour <math>\vec x_d</math> et <math>\vec x</math>, respectivement.

: Les rayons de courbure principaux sont les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] de l'inverse de l'[[Géométrie différentielle des surfaces|opérateur de forme]], les directions de courbure principales sont ses [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|vecteurs propres]], l'inverse de la [[Courbure de Gauss|courbure gaussienne]] est son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et le rayon de courbure moyen est la moitié de sa [[Trace (algèbre)|trace]].

On remarque ainsi une similarité avec les propriétés géométriques des courbes parallèles.

== Généralisations ==
Le problème se généralise assez évidemment aux dimensions supérieures, par exemple aux surfaces décalées, et un peu moins trivialement aux [[Surface du tuyau|surfaces de tuyaux]]<ref name="PottmannWallner2001">{{Ouvrage|prénom1=Helmut|nom1=Pottmann|prénom2=Johannes|nom2=Wallner|titre=Computational Line Geometry|éditeur=Springer Science & Business Media|année=2001|pages totales=303–304|isbn=978-3-540-42058-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=6ZrqcYKgtE0C&pg=PA303}}</ref>. Il est à noter que la terminologie pour les versions de dimension supérieure varie encore plus largement que dans le cas planaire, par exemple d'autres auteurs parlent de fibres parallèles, de rubans et de tubes<ref name="Chirikjian2009">{{Ouvrage|prénom1=Gregory S.|nom1=Chirikjian|titre=Stochastic Models, Information Theory, and Lie Groups, Volume 1: Classical Results and Geometric Methods|éditeur=Springer Science & Business Media|année=2009|pages totales=171–175|isbn=978-0-8176-4803-9}}</ref>. Pour les courbes intégrées dans des surfaces 3D, le décalage peut être pris le long d'une [[géodésique]]<ref name="Sarfraz2003">{{Ouvrage|titre=Advances in geometric modeling|passage=72|éditeur=Wiley|année=2003|isbn=978-0-470-85937-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=kfZQAAAAMAAJ&pg=PA72}}</ref>.

Une autre façon de généraliser est (même en 2D) de considérer une distance variable, par exemple paramétrée par une autre courbe<ref name="barn" />. On peut par exemple tracer (enveloppe) avec une ellipse au lieu d'un cercle<ref name="barn" /> comme c'est possible par exemple dans [[Metafont]].
[[Fichier:Envelope_of_ellipses.png|vignette| Une enveloppe d'ellipses formant deux courbes décalées générales au-dessus et au-dessous d'une courbe donnée]]
Plus récemment, [[Adobe Illustrator]] a ajouté une fonctionnalité quelque peu similaire dans la version [[Adobe Creative Suite|CS5]], bien que les points de contrôle pour la largeur variable soient spécifiés visuellement<ref>http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 application of the generalized version in Adobe Illustrator CS5 (also [http://tv.adobe.com/watch/learn-illustrator-cs5/using-variablewidth-strokes/ video])</ref>. Dans les contextes où il est important de faire la distinction entre compensation de distance constante et variable, les [[Acronymie|acronymes]] CDO et VDO sont parfois utilisés<ref name="jarek" />.

=== Courbes de décalage générales ===
Soient une représentation paramétrique régulière d'une courbe, <math> \vec x(t) = (x(t),y(t))</math>, et une seconde courbe paramétrable par sa normale unitaire, <math> \vec d(\vec n)</math>, où la normale de <math>\vec d(\vec n) = \vec n</math> (cette paramétrisation par la normale existe pour les courbes dont la courbure est strictement positive ou négative, et donc convexe, lisse, et non droite). La représentation paramétrique de la courbe générale de décalage de <math>\vec x(t)</math> compensé par <math> \vec d(\vec n)</math> est:

: <math> \vec x_d(t)=\vec x(t)+ \vec d(\vec n(t)), \quad</math> où <math>\vec n(t)</math> est la normale unitaire de <math>\vec x(t)</math> .

On voit bien que le décalage trivial, <math>\vec d(\vec n) = d\vec n</math>, donne des courbes parallèles ordinaires (c'est-à-dire décalées).

==== Propriétés géométriques ====

* Pour un paramètre donné, les vecteurs tangents sont colinéaires<ref name="barn" />: <math>\vec x'_d(t) \parallel \vec x'(t),\quad</math>
* Comme pour les [[Parallélisme (géométrie)|lignes parallèles]], une normale à une courbe est également normale à ses décalages généraux.
* <math>k_d(t)=\dfrac{k(t)}{1+\dfrac{k(t)}{k_n(t)}},\quad</math> avec <math>k_d(t)</math> la [[courbure]] de la courbe générale de décalage, <math>k(t)</math> la courbure de <math>\vec x(t)</math>, et <math>k_n(t)</math> la courbure de <math>\vec d(\vec n(t))</math> pour le paramètre <math>t</math> .
* <math>R_d(t)=R(t) + R_n(t),\quad</math> avec <math>R_d(t)</math> le [[Courbure|rayon de courbure]] de la courbe générale de décalage, <math>R(t)</math> le rayon de courbure de <math>\vec x(t)</math>, et <math>R_n(t)</math> le rayon de courbure de <math>\vec d(\vec n(t))</math> pour le paramètre <math>t</math> .
* Lorsque des courbes de décalage générales sont construites, elles auront des [[Point de rebroussement|pointes]] lorsque la [[courbure]] de la courbe correspond à la courbure du décalage. Ce sont les points où la courbe touche la [[développée]].

=== Surfaces décalées générales ===
Les surfaces décalées générales décrivent la forme des coupes effectuées par une variété de mèches de coupe utilisées par les fraises en bout à trois axes dans l'[[usinage]] à commande numérique . On suppose qu'on a une représentation paramétrique régulière d'une surface, <math> \vec x(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))</math>, et une deuxième surface qui peut être paramétrée par sa normale unitaire, <math> \vec d(\vec n)</math>, où la normale de <math>\vec d(\vec n) = \vec n</math> (cette paramétrisation par normale existe pour les surfaces dont la [[Courbure de Gauss|courbure gaussienne]] est strictement positive, et donc convexe, lisse, et non plate). La représentation paramétrique de la surface décalée générale de <math>\vec x(t)</math> compensé par <math> \vec d(\vec n)</math> est:

: <math> \vec x_d(u,v)=\vec x(u,v)+ \vec d(\vec n(u,v)), \quad</math> où <math>\vec n(u,v)</math> est la normale unitaire de <math>\vec x(u,v)</math> .

Une fois encore, le décalage trivial, <math>\vec d(\vec n) = d\vec n</math>, donne des surfaces parallèles ordinaires (c'est-à-dire décalées).

==== Propriétés géométriques ====

* Comme pour les [[Parallélisme (géométrie)|droites parallèles]], le plan tangent d'une surface est parallèle au plan tangent de ses décalages généraux<ref name="barn" />.
* Comme pour les [[Parallélisme (géométrie)|lignes parallèles]], une normale à une surface est également normale à ses décalages généraux<ref name="barn"/>.
* <math>S_d = (1 + SS_n^{-1})^{-1} S, \quad</math> où <math>S_d, S,</math> et <math>S_n</math> sont les [[Géométrie différentielle des surfaces|opérateurs de forme]] pour <math>\vec x_d, \vec x,</math> et <math>\vec d(\vec n)</math>, respectivement.

: Les courbures principales sont les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] de l'[[Géométrie différentielle des surfaces|opérateur de forme]], les directions de courbure principales sont ses [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|vecteurs propres]], la [[Courbure de Gauss|courbure gaussienne]] est son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et la courbure moyenne est la moitié de sa [[Trace (algèbre)|trace]].

* <math>S_d^{-1} = S^{-1} + S_n^{-1}, \quad</math> où <math>S_d^{-1}, S^{-1}</math> et <math>S_n^{-1}</math> sont les inverses des [[Géométrie différentielle des surfaces|opérateurs de forme]] pour <math>\vec x_d, \vec x,</math> et <math>\vec d(\vec n)</math>, respectivement.

: Les rayons de courbure principaux sont les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] de l'inverse de l'[[Géométrie différentielle des surfaces|opérateur de forme]], les directions de courbure principales sont ses [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|vecteurs propres]], l'inverse de la [[Courbure de Gauss|courbure gaussienne]] est son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et le rayon de courbure moyen est la moitié de sa [[Trace (algèbre)|trace]].

Là encore, il y a similarité avec les propriétés géométriques des courbes de décalage générales.

=== Dérivation des propriétés géométriques pour les décalages généraux ===
Les propriétés géométriques répertoriées ci-dessus pour les courbes et les surfaces décalées générales peuvent être dérivées pour des décalages de dimension arbitraire. Soit une représentation paramétrique régulière d'une surface à ''n'' dimensions, <math> \vec x(\vec u)</math>, où la dimension de <math>\vec u</math> est ''n''-1. Supposons également que vous ayez une deuxième surface à ''n'' dimensions qui peut être paramétrée par sa normale unitaire, <math> \vec d(\vec n)</math>, où la normale de <math>\vec d(\vec n) = \vec n</math> (cette paramétrisation par normale existe pour les surfaces dont la [[Courbure de Gauss|courbure gaussienne]] est strictement positive, et donc convexe, lisse, et non plate). La représentation paramétrique de la surface décalée générale de <math>\vec x(\vec u)</math> compensé par <math> \vec d(\vec n)</math> est:

: <math> \vec x_d(\vec u) = \vec x(\vec u)+ \vec d(\vec n(\vec u)), \quad</math> où <math>\vec n(\vec u)</math> est la normale unitaire de <math>\vec x(\vec u)</math> . (Le décalage trivial, <math>\vec d(\vec n) = d\vec n</math>, donne des surfaces parallèles ordinaires. )

On remarque tout d'abord que la normale de <math>\vec x(\vec u) = </math> la normale de <math>\vec d(\vec n(\vec u)) = \vec n(\vec u),</math> par définition. Maintenant, nous allons appliquer le différentiel par rapport à <math>\vec u</math> en <math>\vec x_d</math>, qui donne ses vecteurs tangents générant son plan tangent.

: <math> \partial\vec x_d(\vec u) = \partial\vec x(\vec u)+ \partial\vec d(\vec n(\vec u))</math>

Il apparait que les vecteurs tangents pour <math>\vec x_d</math> sont la somme des vecteurs tangents pour <math>\vec x(\vec u)</math> et son décalage <math> \vec d(\vec n)</math>, qui partagent la même unité normale. Ainsi, la surface décalée générale partage le même plan tangent et normal avec <math>\vec x(\vec u)</math> et <math>\vec d(\vec n(\vec u))</math> . Cela correspond à la nature des enveloppes.

On considère maintenant les [[équations de Weingarten]] pour l'[[Géométrie différentielle des surfaces|opérateur de forme]], qui peut être écrit comme <math>\partial\vec n = -\partial\vec xS</math> . Si <math>S</math> est inversible, <math>\partial\vec x = -\partial\vec nS^{-1}</math> . Il faut rappeler que les courbures principales d'une surface sont les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] de l'opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|vecteurs propres]], la courbure de Gauss est son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et la courbure moyenne est la moitié de sa [[Trace (algèbre)|trace]]. L'inverse de l'opérateur de forme conserve ces mêmes valeurs pour les rayons de courbure.

En remplaçant dans l'équation la différentielle de <math>\vec x_d</math>, on a:

: <math> \partial\vec x_d = \partial\vec x - \partial\vec n S_n^{-1},\quad</math> où <math>S_n</math> est l'opérateur de forme pour <math>\vec d(\vec n(\vec u))</math> .

Ensuite, on utilise à nouveau les [[équations de Weingarten]] pour remplacer <math>\partial\vec n</math> :

: <math>\partial\vec x_d = \partial\vec x + \partial\vec x S S_n^{-1},\quad</math> où <math>S</math> est l'opérateur de forme pour <math>\vec x(\vec u)</math> .

Ensuite, on résout pour <math>\partial\vec x</math> et multiplie des deux côtés par <math>-S</math> pour revenir aux [[équations de Weingarten]], cette fois pour <math>\partial\vec x_d</math> :

: <math>\partial\vec x_d (I + S S_n^{-1})^{-1} = \partial\vec x,</math>
: <math>-\partial\vec x_d (I + S S_n^{-1})^{-1}S = -\partial\vec xS = \partial\vec n.</math>

Ainsi, <math>S_d = (I + S S_n^{-1})^{-1}S</math>, et l'inversion des deux côtés donne <math>S_d^{-1} = S^{-1} + S_n^{-1}</math> .

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Parallel curve|1114283222}}
{{Références}}

== Articles connexes ==
=== Bibliographie ===
* {{MathWorld|nom_url=ParallelCurves|titre=ParallelCurves}}
* {{article |auteur= Josef Hoschek |langue=en |titre= Offset curves in the plane |périodique=CAD |numéro= 17 |année=1985 |pages= 77–81}}.
* {{article |auteur= Takashi Maekawa |langue=en |titre=An overview of offset curves and surfaces |périodique=CAD |numéro=31 |année=1999 |pages= 165–173}}.
* {{article|langue=en| doi = 10.1016/0167-8396(90)90023-K| titre = Analytic properties of plane offset curves| journal = Computer Aided Geometric Design| volume = 7| numéro = 1–4| pages = 83–99| année = 1990| nom1 = Farouki | prénom1 = R. T. | nom2 = Neff | prénom2 = C. A. }}
* {{article|langue=en| doi = 10.1016/S0010-4485(98)00066-9 | titre=Computing offsets of NURBS curves and surfaces | journal=Computer-Aided Design | date=1999 | volume=31 | numéro=2 | pages=147–156 | prénom=Les A. | nom=Piegl| citeseerx=10.1.1.360.2793 }}
* {{ouvrage|langue=en|prénom=Ian R. |nom=Porteous|titre=Geometric Differentiation: For the Intelligence of Curves and Surfaces|année=2001|éditeur=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-00264-6|passage=1–25|numéro d'édition=2nd}}
* {{chapitre |langue=en|prénom1=Nicholas M. |nom1=Patrikalakis|prénom2=Takashi |nom2=Maekawa |titre ouvrage= Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing |année=2010 |année première édition=2002 |éditeur=Springer Science & Business Media |isbn=978-3-642-04074-0 |passage=Chapter 11 |titre chapitre= Offset Curves and Surfaces |lire en ligne= http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node210.html }}.
* {{lien conférence|langue=en |prénom1=François |nom1=Anton |prénom2=Ioannis Z. |nom2=Emiris |prénom3=Bernard |nom3=Mourrain |prénom4=Monique |nom4=Teillaud | lien auteur4 =Monique Teillaud |titre communication = The O set to an Algebraic Curve and an Application to Conics |conférence =International Conference on Computational Science and its Applications |date conférence=mai 2005 |lieu conférence=Singapore |éditeur=Springer Verlag |passage=683–696}}
* {{ouvrage|langue=en|prénom=Rida T. |nom=Farouki |titre=Pythagorean-Hodograph Curves: Algebra and Geometry Inseparable |année=2008 |éditeur=Springer Science & Business Media |isbn=978-3-540-73397-3 |passage=141–178}} {{Commentaire biblio|Les pages indiquées sont le matériel général et d'introduction.}}
* {{chapitre |langue=en |auteurs ouvrage=Y.-S. Ma (éd.) |titre ouvrage= Semantic Modeling and Interoperability in Product and Process Engineering: A Technology for Engineering Informatics |année=2013 |éditeur=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4471-5073-2 |titre chapitre =Computation of Offset Curves Using a Distance Function: Addressing a Key Challenge in Cutting Tool Path Generation |prénom1=C. K. |nom1=Au |prénom2=Y.-S. |nom2=Ma |passage=259–273}}

=== Articles connexes ===
* [[Placage de relief|Cartographie en relief]]
* [[Espace métrique|Fonction distance]] et [[fonction distance signée]]
* [[Carte de distances|Carte de distance]]
* [[Offset (imprimerie)]]
* [[Voisinage tubulaire]]

=== Liens externes ===

* [https://mathcurve.com/courbes2d/parallele/parallele.shtml Courbes parallèles] sur mathcurve.com

{{Palette Transformations différentielles des courbes planes}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie différentielle]]
[[Catégorie:Courbe]]
[[Catégorie:Pages avec des traductions non relues]]