Voir la source de Courbe plane

{{à illustrer|date=février 2007}}
[[Fichier:Hyperbola.svg|vignette|droite|Courbe hyperbolique.<!-- Non connexe, alors que la définition implique que toute courbe plane est connexe (comme image continue du connexe I) ; soit ne prendre qu'une « moitié » de l'hyperbole, soit changer I en réunion dénombrable d'intervalles, voire autre ? -->]]

En [[mathématiques]], plus précisément en [[géométrie]], une '''courbe plane''' est une [[courbe]] qui est entièrement contenue dans un (unique) [[Plan (mathématiques)|plan]], et qui est identifiable à une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] :

:<math>\alpha: I \longrightarrow \R^2~</math>

où <math>I</math> est un [[Intervalle (mathématiques)|intervalle]] de l'ensemble <math>\R</math> des [[Nombre réel|nombres réels]].

L'[[Image (mathématiques)|image]] d'une courbe est aussi appelée ''support'' de la courbe. Parfois, on utilise aussi l'expression '''courbe''' pour indiquer le support d'une courbe. Une [[courbe]] sur un [[espace euclidien]] de dimension supérieure à 2 est dite ''plane'' si son support est contenu dans un plan lui-même contenu dans l'espace euclidien dans lequel elle est définie.

Une courbe plane est dite '''simple''' si elle ne se recoupe pas, autrement dit, si
:<math>\forall \ (t_1,t_2) \in I^2, t_1 \ne t_2 \Longrightarrow \alpha(t_1) \ne \alpha(t_2)</math>.

== Représentations ==

=== Représentation par une forme cartésienne explicite ===

Une manière de représenter une courbe plane est l'équation :
:<math>y = f(x)\,</math>
telle qu'à chaque point ''x'' corresponde un point ''y'', et de façon que chaque point du plan ''xy'' : {{nobr|(''x'' , ''y'')}} représente le support de la courbe. Une courbe de ce type est également nommée graphique en référence au graphique d'une fonction réelle ; en effet, la représentation peut aussi s'écrire :
:<math>\alpha (t) = (t,f(t))\,</math>
c'est-à-dire comme fonction d'une [[variable indépendante]]. Cette représentation a de nombreuses limites géométriques, du fait que très souvent, une courbe a une description très complexe sous cette forme, qui n'est donc pas adaptée à l'étude des propriétés géométriques.

=== Représentation par une forme cartésienne implicite ===

Une courbe peut également être représentée sous la forme :
:<math>F(x,y)=0\,</math>
c'est-à-dire comme fonction de deux [[variable indépendante|variables indépendantes]]. Cette représentation est, selon certains points de vue, meilleure que la représentation explicite ; cependant, on peut rencontrer des problèmes quand il faut expliciter l'une des deux variables en fonction de l'autre : souvent, c'est très compliqué, quand ce n'est pas impossible.

=== Représentation paramétrée ===

La meilleure représentation est sans aucun doute la représentation paramétrée, du type :
:<math>\alpha : \begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}</math> ou bien <math>\alpha(t) = (\phi(t), \psi(t))</math>

où <math>t \in I</math> s'appelle le '''paramètre'''.

La condition de continuité ne suffit pas pour représenter et étudier les courbes vues comme objets filiformes à une dimension avec les caractéristiques de régularité voulues. La condition supplémentaire est que la courbe plane soit [[Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel|différentiable]] sur <math>I</math>.

Une courbe plane paramétrée <math>\alpha(t) = (\phi(t), \psi(t))</math> est dite différentiable en tout point si les fonctions <math>\phi(t)</math> et <math>\psi(t)</math> ont des dérivées continues en tout point.

On dit qu'une courbe plane paramétrée est '''régulière''' en un point <math>t_0</math> (ou que <math>t_0</math> est un [[point régulier]] pour cette courbe) si <math>\alpha'(t_0) = (\phi'(t_0), \psi'(t_0)) \ne (0,0)</math> ; elle est dite régulière sur I si <math>\alpha'(t) \ne (0,0)</math> en tout point <math>t</math> de <math>I</math>.

Un point <math>t_0</math> tel que <math>\alpha'(t_0) = (0,0)</math> est appelé point '''singulier''' pour la courbe.

== Tangente ==
[[Image:Tangente en a.png|400px|droite|Tangente en un point d'une courbe]]

La régularité de la courbe permet de définir la droite ''tangente'' à la courbe. Soient <math>\alpha(t)</math> une courbe différentiable et <math>P_0 = \alpha(t_0)</math> un point régulier. On peut définir la tangente à la courbe en ce point comme étant la droite passant par <math>P_0</math> et parallèle au [[vecteur]] <math>\alpha'(t_0) = (\phi'(t_0),\psi'(t_0))</math>.

La tangente a une [[équation cartésienne]] au point <math>t_0</math> :
:<math>\psi'(t_0) \cdot (X - \phi(t_0)) - \phi'(t_0) \cdot (Y - \psi(t_0)) = 0 </math>

et pour équations paramétrées :
:<math>\begin{cases} X_t = \phi'(t_0) (t-t_0) + \phi(t_0) \\ Y_t = \psi'(t_0) (t-t_0) + \psi(t_0) \end{cases}</math>

Dans le cas d'une courbe représentée explicitement par une équation <math>y=f(x)</math>, la tangente au point <math>(x_0,y_0)</math> est donnée par la relation :
:<math>f'(x_0) \cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0</math>.

Dans le cas d'une courbe représentée par une équation implicite <math>F(x,y)=0</math>, la tangente au point <math>(x_0,y_0)</math> est donnée par la relation :
:<math>F_{x_0}\cdot(x-x_0) + F_{y_0}\cdot(y-y_0) = 0</math>

où <math>F_{x_0}</math> (respectivement <math>F_{y_0}</math>) désigne la [[dérivée partielle]] par rapport à <math>x</math> (respectivement <math>y</math>) de <math>F</math>, évaluée au point <math>x_0</math> (respectivement <math>y_0</math>).

== Normale ==

La régularité de la courbe permet de définir la droite ''normale'' à la courbe au point <math>t_0</math>, d'équation cartésienne :
:<math>\phi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi(t)) + \psi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi(t)) = 0</math>.

Cette équation devient, avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent :
* Pour une représentation explicite :
:<math>f'(x_0) \cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0</math>.
* Pour une représentation implicite :
:<math>F_{y_0}\cdot(x-x_0) - F_{x_0}\cdot(y-y_0) = 0</math>.

== Cosinus directeurs ==

D'après la définition même de la [[dérivée]], on obtient :
:<math>\frac {\psi'(t)}{\phi'(t)} = \tan \theta</math>

ce qui, d'un point de vue géométrique, représente la pente de la droite tangente à la courbe, autrement dit la [[Fonction trigonométrique|tangente]] (au sens trigonométrique du terme) de l'angle que cette tangente forme avec l'axe horizontal (''l'axe des 'x'''). De cette relation, on peut extraire les cosinus directeurs de la tangente à la courbe :

:<math>\cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}</math>

:<math>\sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}</math>

== Reparamétrage ==

Soient <math>\alpha : I \longrightarrow \R^2</math> une courbe plane différentiable, et <math>t = t(s)</math> une fonction définie sur l'intervalle <math>S</math> et à valeurs dans <math>I</math>. Alors la courbe :

:<math>\beta = \alpha \circ t : S \longrightarrow \R^2,</math>

telle que pour tout <math>s \in S, \beta(s) = \alpha(t(s))</math>, est un reparamétrage de la courbe <math>\alpha</math>. Le reparamétrage est dit régulier si <math>t(S) = I</math> et si <math>\forall s \in S, t'(s) \ne 0</math>.

On vérifie alors le théorème suivant : si <math>\beta = \alpha \circ t</math> est un reparamétrage de la courbe <math>\alpha </math> par <math>t=t(s)</math> alors

:<math>\beta' (s) = \frac {dt}{ds} \alpha' (t(s))</math>

:'''Démonstration'''
:Si <math>\alpha (t) = (\phi(t),\psi(t))</math> alors <math>\beta(s) = (\phi(t(s)), \psi(t(s)))</math> et d'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :

:<math>\frac {d\phi(t(s))}{ds} = \frac {d\phi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}</math>

:<math>\frac {d\psi(t(s))}{ds} = \frac {d\psi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}</math>

:et ainsi on obtient :

:<math>\beta'(s) = \frac {dt}{ds} \left(\frac {d\phi}{dt} , \frac {d\psi}{dt} \right) = \frac {dt}{ds} \alpha'(t(s))</math>

== Longueur d'une courbe ==
{{Article détaillé|Longueur d'un arc}}
=== Longueur d'un arc paramétré ===

Soient <math>\alpha(t) = (\phi(t),\psi(t))</math> une courbe différentiable sur I, et <math>[a,b]\subseteq I</math>. Alors la longueur de l'arc de courbe compris entre <math>\alpha(a)</math> et <math>\alpha(b)</math> vaut :
:<math>L(\alpha) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2} \cdot dt</math>.

Si de plus <math>\beta(s)</math> est un reparamétrage de la courbe, alors :
:<math>L(\alpha) = L(\beta) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \| ds</math>.

=== Longueur et forme cartésienne explicite ===

Si la courbe est représentée sous forme cartésienne explicite <math>y=f(x)</math> alors, comme <math>\frac{dx}{dx} = 1</math> et <math>\frac {df(x)}{dx} = \frac {dy}{dx}</math>, la longueur de la courbe est donnée par :
:<math>L = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\cdot dx}</math>.

=== Paramétrage avec les coordonnées polaires planes ===

Une forme de paramétrage qui revêt une importance notable dans l'étude des mathématiques, de la géométrie et dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, est celle des [[Coordonnées polaires|coordonnées polaires planes]]. Étant donné une courbe paramétrée en coordonnées polaires par la forme cartésienne <math>r=r(\theta)</math>, avec c ≤ θ ≤ d, et par la forme paramétrée :
:<math>\begin{cases} \phi(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ \psi(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}</math>, de paramètre θ.

Alors ses dérivées sont : <math>\begin{cases}\phi'(\theta) = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta \\ \psi'(\theta) = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta \end{cases}</math>

et donc la longueur de l'arc est :

:<math>L = \int_{c}^{d}{\sqrt {\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2} \cdot d\theta} = \int_{c}^{d}{\sqrt {r(\theta)^2 + r'(\theta)^2} \cdot d\theta} = \int_{c}^{d}{\sqrt {r(\theta)^2 + \left(\frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot d\theta}</math>.

== Abscisse curviligne ==
On définit l''''abscisse curviligne''' ou '''paramètre longueur d'arc''' comme étant le reparamétrage particulier obtenu en fixant la borne inférieure d'intégration ''a'', de façon que l'intégrale <math>s(t) = \int_{a}^{t}{\| \alpha'(u) \| du}</math> ne dépende que de la borne supérieure ''t'', vue comme variable. Cette fonction est, géométriquement, la longueur de l'arc de courbe à partir d'un point fixe ''a'', affectée éventuellement d'un signe. Il est toujours possible de paramétrer de nouveau la courbe selon l'abscisse curviligne. Dans ce cas, pour déterminer la tangente en un point, on sait qu'elle est parallèle à un vecteur tangent unitaire. On démontre que l'on peut toujours paramétrer de nouveau une courbe au moyen de l'abscisse curviligne de la façon suivante :

étant donné que <math>s'(t) = \|\alpha'(t)\| >0</math>, on peut inverser <math>s(t)</math>, et son inverse est <math>t=t(s)</math>. Alors on obtient le reparamétrage par l'abscisse curviligne donné par : <math>\beta(s) = \alpha(t(s))</math>.

On démontre ensuite que le vecteur tangent est unitaire :
:<math>\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1</math>.

== Courbure ==

Soit <math>\beta(s)</math> une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne et <math>\beta'(s)</math> son vecteur tangent unitaire. Considérons la fonction <math>k : S\longrightarrow \R , s\longmapsto k(s) = \| \beta''(s)\|</math>. Alors la fonction <math>k(s) \ge 0</math> est dite [[courbure]] de la courbe.

Si la courbe est représentée explicitement, sa courbure est :
:<math>k = \frac{f''(x)}{ \left(1 + f'^{2} \right)^{3/2}} </math>.

En revanche, pour une courbe représentée par une équation implicite, la courbure est évaluée par :

:<math>k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}} </math>.

== Formules de Frenet ==

{{voir aussi|géométrie différentielle classique}}
Une courbe (suffisamment régulière) de l'espace possède, en tous ses points, un système de référence, dit '''trièdre de Frenet''', donné par un triplet de vecteurs ''tangent'', ''normal'' et ''binormal''. Une telle courbe est plane si et seulement si le vecteur binormal est toujours nul.

Soit <math>\beta(s) = (\phi(s), \psi(s))</math> une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire tangent est déterminé par :

:<math>T(s) = \beta'(s) = (\phi'(s), \psi'(s)).</math>

Le vecteur unitaire normal est déterminé par :

:<math>N(s) = \mathrm{i} \cdot T(s) = (- \psi'(s), \phi'(s)),</math>

où {{math|i}} est l'[[unité imaginaire]] telle que <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>. Grâce à la définition de la courbure, on peut donner une autre forme au vecteur unitaire normal :

:<math>N(s) = \frac {T'(s)}{\| T'(s) \|} = \frac {T'(s)}{k(s)}.</math>

On démontre que le vecteur <math>T'</math> est orthogonal à ''T'' et donc parallèle à ''N''.

Finalement, les '''formules de Frenet''' et la '''courbure''' pour une courbe plane, quel que soit son paramétrage <math>\alpha(t) = (\phi(t),\psi(t))</math>, sont :

:<math>T(t) = \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}</math>

:<math>N(t) = \frac {\mathrm{i} \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}</math>

:<math>k(t) = \frac {\alpha''(t) \cdot (\mathrm{i} \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}</math>

== Exemples de courbes planes ==

=== Courbes planes classiques ===

{{colonnes|taille = 18|
*La [[Droite (mathématiques)|droite]]

*Le [[cercle]]
**Le [[cercle unité]]

*les [[cissoïde]]s :
**La [[cissoïde de Dioclès]]
**La [[conchoïde de Sluze]]

*Les [[conique]]s :
**l'[[ellipse (mathématiques)|ellipse]]
**la [[parabole]]
**l'[[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]

*les [[courbe cycloïdale|courbes cycloïdales]] :
**la [[cycloïde]]
**l'[[épicycloïde]]
**l'[[hypocycloïde]]
**la [[cardioïde]]
**la [[néphroïde]]
**l'[[astroïde]]
**la [[Deltoïde (courbe)|deltoïde]]

*Les courbes [[isochrone]]s :
**L'[[isochrone de Huygens]]
**L'[[isochrone de Leibniz]]
**L'[[isochrone paracentrique]] 
**L'[[isochrone de Varignon]]

*les [[lemniscate]]s :
**Le [[lemniscate de Bernoulli]]
**Le [[lemniscate de Gerono]]
**Le [[lemniscate de Booth]]

*Les [[spirale]]s :
**La [[spirale d'Archimède]]
**La [[spirale hyperbolique]]
**La [[spirale logarithmique]]
**La [[spirale de Fermat]]
**La [[clothoïde]] ou spirale d'Euler
**La [[spirale de Cotes]]
**La [[spirale de Galilée]]
**Le [[lituus (courbe)|lituus]]

*la [[signal sinusoïdal|sinusoïde]]
*la [[fonction exponentielle]]
*l'{{Lien|langue=en|trad=Atriphtaloid|fr=atriphtaloïde|texte=atriphtaloïde}}
*la [[chaînette]]
*Le [[folium de Descartes]]
*l'[[Hélice (géométrie)|hélice]]
*les [[conchoïde]]s
*le [[limaçon de Pascal]]
*Les [[Rose (fleur)|pétales de rose]]
*La [[strophoïde]]
*La [[Courbe de Lamé|superellipse]]
*la [[tractrice]] 
*La [[trisectrice de Maclaurin]]
*la [[courbe du chien]]

*les courbes [[enveloppe (géométrie)|enveloppes]]
*les [[courbe développante|courbes développantes]]
}}

=== Constructions ===

* La [[courbe du dragon]]
* Le [[flocon de Koch]]
* Les [[Courbe de Bézier|courbes de Bézier]]
* Les [[spline]]s
* [[courbe de largeur constante]]

=== Courbes analytiques ===

* [[Courbe fermée]]
* [[Longueur d'un arc|Courbe rectifiable]]
* [[Théorème de Jordan|Courbe de Jordan]]
* [[Courbe de Peano]]
* [[Courbe de Sierpinski]]

=== Courbes algébriques ===

Une [[courbe algébrique]] est une [[variété algébrique]] de {{Lien|trad=Dimension of an algebraic variety|Dimension d'une variété algébrique|texte=dimension}}1, généralement exprimée sous la forme d'un [[polynôme]] de degré divers. Des exemples incluent :

* Les [[Droite projective|droites projectives]]
* Les courbes quadriques, autre nom des [[conique]]s, de degré 2
* Les [[Courbe cubique|courbes cubiques]], de degré 3
** La cubique d'[[Maria Gaetana Agnesi|Agnesi]]
* Les [[Courbe quartique|courbes quartiques]], de degré 4
** La [[courbe de Klein]]
* Les [[Courbe quintique|courbes quintiques]], de degré 5
** La [[quintique de l'Hospital]]
* Les [[Courbe algébrique réelle plane#Degré et terminologie|courbes sextiques]], de degré 6
* Les [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]]
* Les [[Courbe hyperelliptique|courbes hyperelliptiques]]
* Les [[Courbe modulaire|courbes modulaires]]
* Les [[Courbe de Fermat|courbes de Fermat]]

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===

* [[Courbe]]
* [[Différentielle]]
* [[Dérivée]]
* [[Géométrie différentielle classique]]

=== Références ===
{{Traduction/Référence|it|Curva piana|7052364}}

=== Liens externes ===

* {{fr}} [http://www.mathcurve.com Mathcurve] : une encyclopédie des courbes

{{Palette|Étude de courbe}}

{{Portail|géométrie}}


[[Catégorie:Courbe|Plane, Courbe]]

[[es:Curva plana]]