Voir la source de Courbure

[[Fichier:Cell-Shape-Dynamics-From-Waves-to-Migration-pcbi.1002392.s007.ogv|vignette|Le déplacement d'une ''[[Dictyostelium discoideum]]'' dont la couleur du contour est fonction de la courbure. Échelle : 5 µm ; durée : 22 secondes.]]

La '''courbure''' d'un objet géométrique est une ''mesure'' quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :
* dans le [[plan euclidien]], une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle et un cercle un objet de [[courbure positive]] constante, valant 1/R (inverse du rayon) ;
* dans l'[[espace euclidien]] usuel à trois dimensions, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère est un objet à deux dimensions de courbure constante positive. Une « [[point col|selle de cheval]] » possède au contraire un point de [[courbure négative]].

Cette notion intuitive de courbure se précise et admet une généralisation à des espaces de dimensions quelconques dans le cadre de la [[géométrie riemannienne]].

Comme l'a montré [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pour le cas des surfaces (''[[theorema egregium]]''), il est très remarquable que la courbure d'un objet géométrique puisse être décrite de façon ''intrinsèque'', c’est-à-dire sans référence aucune à un « espace de plongement » dans lequel se situerait l'objet considéré. Par exemple, le fait qu'une sphère ordinaire soit une surface à [[courbure positive]] constante est complètement indépendant du fait que nous voyons habituellement cette sphère comme étant plongée dans notre espace euclidien à trois dimensions. La courbure de cette sphère pourrait très bien être mesurée par des êtres intelligents bidimensionnels vivant sur la sphère (sortes de « fourmis bidimensionnelles »), à partir de mesures de longueurs et d'angles effectuées sur la sphère. La légende veut que Gauss se soit interrogé sur ces questions en étant confronté aux difficultés de cartographie de la Terre.

== Courbure d'un arc ==
[[Fichier:Cercle osculateur - osculating circle.png|vignette|[[Tangente (géométrie)|Tangente]], cercle tangent (trait plein) et [[cercle osculateur]] (pointillé) en un point ''M'' de la courbe ''C''.]]
{{Article détaillé|Courbure d'un arc}}

=== Courbure d'un arc plan en un point ===

On peut définir la courbure d'un [[arc paramétré|arc]] du plan euclidien de plusieurs façons équivalentes. Il existe cependant deux conventions en usage, l'une faisant de la courbure une quantité obligatoirement positive, l'autre donnant une version algébrique de la courbure. Elle se calcule en chaque point de la courbe, moyennant certaines hypothèses sur les dérivées des fonctions servant à définir celle-ci.

La courbure quantité positive peut être vue comme la norme du vecteur [[accélération]] pour un mobile parcourant la courbe à vitesse constante égale à 1. C'est aussi l'inverse du rayon du [[cercle osculateur]], cercle venant épouser la courbe au plus près au voisinage du point d'étude. C'est pour cela qu'on 
appelle [[rayon de courbure]] l'inverse de la courbure. En ce sens, la courbure indique la propension de la courbe à se comporter comme un cercle de plus ou moins grand rayon, c’est-à-dire à former un virage moins ou plus serré. 

Pour introduire des versions algébrisées de la courbure, il faut munir le plan et la courbe d'une [[orientation (mathématiques)|orientation]] et introduire un [[repère mobile]] adapté au mouvement : le [[repère de Frenet]]. Le signe de la courbure s'interprète alors comme l'indication du sens dans lequel est tournée la [[Lexique des arcs paramétrés|concavité]] de la courbe. La courbure désigne aussi le taux (par unité d'abscisse curviligne) auquel les vecteurs du repère de Frenet tournent par rapport à une direction fixe. Aux [[Point d'inflexion|points d'inflexion]], la courbure change de signe.

=== Courbure d'un arc gauche ===

La courbure peut ensuite être généralisée aux [[Courbe gauche|courbes gauches]] (courbes tracées dans l'espace à trois dimensions). Il y a à nouveau un cercle osculateur qui est une très bonne approximation locale de la courbe. Ce cercle est inclus dans le [[plan osculateur]] et a pour rayon l'inverse de la courbure. 
Mais les mêmes raisons qui empêchent d'[[orientation (mathématiques)|orienter]] de façon compatible tous les plans de l'espace empêchent de définir une courbure algébrique ; elle est donc par convention toujours positive.  
La courbure s'accompagne d'un autre [[invariant]], la [[Torsion d'une courbe|torsion]] qui indique la propension de l'arc à s'éloigner du plan osculateur.

=== Mesures globales ===

La courbure se mesure en chaque point. La [[sinuosité]] d'un arc, en revanche, décrit le repliement général de l'arc : c'est le rapport entre la [[longueur d'un arc|longueur de l'arc]] et la distance entre ses extrémités. En termes imagés, elle compare la longueur de la trajectoire obtenue en suivant l'arc avec la distance à [[Orthodromie|vol d'oiseau]]. On peut par exemple mesurer la sinuosité d'une figure formée par plusieurs arcs de cercle reliés avec des [[Point d'inflexion|points d'inflexion]], ce qui correspond à des alternances de courbures négatives et positives.

== Courbure d'une surface de R{{3}} ==
[[Fichier:Minimal surface curvature planes-fr.svg|vignette|upright=1.8|Illustration des courbures principales.]]
Pour disposer de versions algébrisées de toutes les notions de courbure introduites, il convient de considérer une surface orientée.
En chaque point de la surface, on définit les courbures principales et directions principales, notions géométriques intuitives 
obtenues à partir des courbes tracées sur la surface. Mais de façon plus profonde, ces objets peuvent être obtenus  comme [[valeur propre|valeurs propres et vecteurs propres]] d'un endomorphisme du plan tangent, l'[[endomorphisme de Weingarten]], qui permet de définir d'autres notions de courbure : [[courbure moyenne]] et courbure de Gauss.

=== Courbures principales en un point ===
{{Article détaillé|courbure principale}}

En un point ''M'' de la surface, on considère un plan tournant, perpendiculaire en ''M'' au plan tangent à la surface. Localement, ce plan intersecte la surface considérée en une courbe. À chacune des courbes ainsi construites est associée sa courbure en ''M''.

Les valeurs minimum et maximum de la courbure portent le nom de '''courbures principales'''. En général, elles sont différentes et, dans ce cas, les plans correspondant aux deux courbures principales sont perpendiculaires entre eux. Leur intersection avec le plan tangent définit les '''directions principales'''. Sur l'illustration ci-contre, les courbures principales sont de signe opposé puisque l'une des courbes tourne sa concavité dans le sens du vecteur normal et l'autre en sens opposé.

=== Introduction des courbures en un point à partir de l'endomorphisme de Weingarten ===
{{Article détaillé| Application de Gauss#Endomorphisme de Weingarten{{!}}Endomorphisme de Weingarten| Courbure moyenne| Courbure de Gauss}}
L'[[application de Gauss]] associe à chaque point de la surface le vecteur normal orienté. En un point ''M'' de la surface, on peut considérer la [[différentielle]] de cette application, qui constitue un endomorphisme du plan tangent appelé [[Application de Gauss#Endomorphisme de Weingarten|endomorphisme de Weingarten]]. Intuitivement, cet endomorphisme indique les petites fluctuations du vecteur normal au voisinage du point ''M''. 

Il s'agit d'un [[Endomorphisme autoadjoint|endomorphisme symétrique]], dont les courbures principales et directions principales sont les valeurs propres et vecteurs propres. 
Les directions principales sont donc bien orthogonales.

On appelle :
* ''[[courbure moyenne]]'' la [[moyenne arithmétique]] des courbures principales, notée <math>\gamma</math> ou <math>H</math> :
*:<math>\gamma</math> ou <math>H=\frac12(\gamma_\max+\gamma_\min)</math>.
*:C'est la demi-[[trace (algèbre)|trace]] de l'[[Application de Gauss#Endomorphisme de Weingarten|endomorphisme de Weingarten]] ;
* ''[[courbure de Gauss]]'' le produit des courbures principales, généralement noté <math>K</math> :
*:<math>K=\gamma_{\max}\,\gamma_{\min}</math>.
*:C'est le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de l'endomorphisme de Weingarten.

Le ''[[theorema egregium]]'' de Gauss montre une différence de nature entre :
* d'une part les courbures principales et la courbure moyenne, qui dépendent de la façon dont la surface est [[plongement|plongée]] dans l'espace ambiant <math>\R^3</math> ;
* d'autre part la courbure de Gauss qui n'implique aucun plongement et reste invariante par toute isométrie locale (déformation respectant les longueurs).

La courbure de Gauss a donc un aspect ''intrinsèque'', et c'est ce concept que l'on généralise aux dimensions supérieures pour définir la courbure d'une [[variété (géométrie)|variété]]. C'est pourquoi elle est parfois simplement dénommée ''courbure''. 

Par ailleurs, certains auteurs<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès|titre=Cours de mathématiques, t. 3, Géométrie et cinématique, 2e éd.|passage=p 509|lieu=|éditeur=Dunod Université|date=1977|pages totales=|isbn=|lire en ligne=}}</ref> désignent la courbure de Gauss par ''courbure totale'', appellation en conflit avec la désignation suivante.

=== Courbure totale de la surface ===

La courbure totale d'une surface orientée ''S'' de l'espace est l'intégrale de la courbure de Gauss sur la surface. Elle s'interprète également comme l'aire (algébrique) balayée par le [[vecteur normal]] unitaire sur la sphère unité. Sa valeur est donnée par la [[formule de Gauss-Bonnet]] : elle ne dépend que de la [[topologie]] de la surface.

== Courbure d'une variété riemanienne ==

En [[géométrie riemannienne]], la courbure est un [[tenseur]] introduit à partir de la notion de [[Connexion (mathématiques)|connexion]]. Cet objet s'est dégagé comme le plus pertinent, mais il peut être difficile à appréhender en raison du formalisme nécessaire à son introduction. La courbure sectionnelle d'une variété riemannienne, d'abord plus simple, véhicule autant d'information que le tenseur de courbure, et permet de faire le lien avec la courbure de Gauss.

=== Courbure sectionnelle ===
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : [[courbure sectionnelle]]}}

On définit une courbure sectionnelle pour chacun des 2-plans inclus dans chacun des [[Espace tangent|espaces tangents]] d'une [[variété riemannienne]]. Si ''P'' est un tel plan en un point ''m'', on considère en premier lieu la famille des [[géodésique]]s issues de ''m'' selon les vecteurs de ''P''. Cette famille constitue une surface paramétrée incluse dans la variété, image du 2-plan par l'application [[Fonction exponentielle|exponentielle]].

La courbure sectionnelle du 2-plan est alors la [[courbure de Gauss]] de cette surface. Formellement, la collection de toutes les courbures sectionnelles constitue une application sur la [[grassmannienne]] des 2-plans, à valeurs réelles.

=== Définition du tenseur de courbure ===

Soit une variété affine M de dimension <math>n</math>, c'est-à-dire une variété munie d'une [[connexion affine]] <math>\nabla</math>. À partir de cette connexion, on définit le ''tenseur de courbure'', ou ''[[tenseur de Riemann]]'' <math>\mathcal{R}</math>. Ce tenseur est défini pour ''X, Y'' et ''Z'' [[Champ de vecteurs|champs de vecteurs]] sur la variété par :

::<math>\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ \nabla_X\nabla_Y Z \ - \ \nabla_Y\nabla_X Z \ - \ \nabla_{[X,Y]}Z</math>,

où [''X'', ''Y''] est le [[crochet de Lie]] de X et Y. <math>\mathcal{R}(X,Y)</math> est un champ d'[[endomorphisme]] de l'espace [[fibré tangent]] ''TM'' : à tout champ de vecteur ''Z'', il associe un nouveau champ de vecteur noté ''R''(''X'', ''Y'')''Z''.

==== Introduction d'une métrique ====

On munit la variété affine ''M'' d'un tenseur métrique ''g'' : <math>(M,g)</math> est alors une [[variété riemannienne]], et on peut définir une courbure à valeurs réelles par :
::<math>\mathcal{R}(X,Y,Z,W) \ = \ g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W)</math>.

En composantes dans une base locale <math>\vec{e}_{\mu}</math>, <math>\mathcal{R}(X,Y)Z</math> est le ''vecteur'' qui s'écrit :
::<math>\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ \vec{e}_{\mu}</math>.

où les <math>R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma}</math> sont les composantes du tenseur de courbure. On a alors :
::<math>g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W) \ = \ g_{\mu \lambda} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ W^{\lambda} \ = \ W_{\mu} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma}</math>.

En prenant sa trace (par rapport à ''X'' et ''Y''), on obtient le tenseur de courbure de Ricci, et en prenant la trace de celui-ci, on obtient la [[courbure scalaire]] (qui est une fonction de ''M'' dans <math>\R</math>).

=== Courbure scalaire, ou courbure de Ricci ===

{{Article détaillé|courbure scalaire}}

=== Exemples ===

* Pour l'espace euclidien, la courbure scalaire est nulle.
* Pour la sphère de dimension <math>n</math> de rayon 1, la courbure scalaire vaut <math>n(n-1)</math>.

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary=courbure}}
=== Article connexe ===
[[Relativité générale]]
=== Liens externes ===
{{Lien web|langue=fr|url=http://images.math.cnrs.fr/Espaces-courbes.html|titre= Espaces courbes| auteur=[[Pierre de la Harpe]]| année=2004| site=images.math.cnrs.fr| consulté le=6 septembre 2018}}.

{{Lien web |langue=fr |url=http://images.math.cnrs.fr/Visualiser-la-courbure.html| titre=Visualiser la courbure| auteur=Johann Colombano| année=2017| site=images.math.cnrs.fr| consulté le=6 septembre 2018}}.

=== Bibliographie ===

* {{Bourguignon1}} {{commentaire biblio|Superbe introduction non technique au sujet.}}
* {{en}} Lee Carson Loveridge, ''Physical and Geometric Interpretations of the Riemann Tensor, Ricci Tensor, and Scalar Curvature'' {{arxiv|gr-qc/0401099}} {{commentaire biblio|Remarquable article pédagogique écrit en 2004 (18 pages)}}

==== Aspects historiques ====

* Jean-Jacques Szczeciniarz, ''L’Invention de la courbure''. Hermann, 2013.
* Luciano Boi, ''Le Problème mathématique de l'espace - Une quête de l'intelligible'', Springer, 1995 {{ISBN|978-3-54058922-8}} {{commentaire biblio|Une histoire philosophique du concept mathématique d'espace, de la géométrie euclidienne au développement des géométries modernes non euclidiennes, dont la version riemannienne, indispensable pour la formulation de la relativité générale. Niveau premier cycle universitaire minimum.}}
* {{en}} Marvin Jay Greenberg, ''{{Langue|en|Euclidean and Non-Euclidean Geometries – Development and History}}'', Freeman, {{4e}} éd. 2007 {{ISBN|978-0-71679948-1}} {{commentaire biblio|Un livre de mathématiques qui retrace l'histoire et le développement des géométries non euclidiennes, essentiellement à deux dimensions (géométries de Gauss, Bolai et Lobachevsky). Accessible à l'« honnête homme » cultivé.}}
* {{en}} [[Max Jammer]], ''{{Langue|en|Concepts of Space - The History of Theories of Space in Physics}}'', Dover, {{3e}} éd. 1993 {{ISBN|978-0-48627119-4}}. {{commentaire biblio|Une histoire érudite du concept d'espace, depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours. Niveau premier cycle universitaire.}}

==== Aspects techniques ====

* {{DoubrovineFomenkoNovikov}} – Première partie : géométrie des surfaces, des groupes de transformations et des champs (Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields). {{commentaire biblio|Une introduction très pédagogique à la géométrie, avec des applications à la physique, écrite par des spécialistes russes. L'approche étant plutôt intuitive, cet ouvrage est accessible à partir du premier cycle universitaire pour un bon étudiant motivé.}}
* {{BergerGostiaux1}} {{commentaire biblio|Ouvrage issu d'un cours de [[Magistère (diplôme)|magistère]] de mathématiques.}}
* {{Spivak1}} {{commentaire biblio|Traité de référence en cinq volumes.}}
* {{Berger1}} {{commentaire biblio|Comme l'indique son titre, le grand géomètre français nous convie ici à une longue (824 pages) promenade panoramique dans le monde de la géométrie riemannienne. Les divers résultats sont pour la plupart donnés sans démonstrations détaillées, mais avec les références idoines pour le lecteur qui souhaiterait mettre « les mains dans le cambouis » . Le dernier chapitre donne les bases techniques du domaine.}}
* {{GallotHulinLafontaine}} {{commentaire biblio|Devenu une référence incontournable de la géométrie riemannienne.}}

==== Ouvrages de physique théorique ====

* {{en}} Theodore Frankel, ''The Geometry of Physics - An introduction'', [[Cambridge University Press]], 2004, {{2e}} éd. révisée et illustrée {{ISBN|978-0-52153927-2}}
* {{en}} Mikio Nakahara, ''Geometry, Topology and Physics'', Institute of Physics Publishing, 2003, {{2e}} éd. illustrée {{ISBN|978-0-75030606-5}}
* {{en}} Charles Nash et Siddhartha Sen, ''Topology and Geometry for Physicists'', Academic Press, 1983 {{ISBN|978-0-12514080-5}}
* {{en}} [[Yvonne Choquet-Bruhat]] et [[Cécile DeWitt-Morette]], ''Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics'', North-Holland, 1989 {{ISBN|978-0-44486017-0}}

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Variété différentielle|Courbure en géométrie différentielle}}
{{Portail|géométrie|physique}}

[[Catégorie:Courbure|*]]