Voir la source de Covariant et contravariant


{{autre|la relativité|Principe de covariance générale}}
{{autre|les probabilités|Variance|Covariance}}
{{autre|l’informatique|:en:Covariance and contravariance (computer science)}}
{{autre|la théorie des catégories|Foncteur}}

[[Fichier:Coordonnées covariantes.gif|vignette|Exemple de coordonnées covariantes d'un vecteur (bleu) dans un repère normé mais non orthogonal.]]

Dans le langage courant, on utilise l’adjectif '''covariant'''  lorsque deux phénomènes varient dans le même sens<ref name="langage"/> et  '''contravariant''' lorsque les  deux phénomènes  varient en sens contraires. En [[algèbre linéaire]] ces adjectifs correspondent à des définitions abstraites, le lien avec le sens courant n’étant découvert qu’ultérieurement.

{{Article détaillé|Espace dual}}
{{Article détaillé|Vecteur contravariant, covariant et covecteur}}
{{Article détaillé|Pseudo-vecteur (mathématiques)}}

== Vecteurs covariants / contravariants ==
Soit <math>E</math> un [[espace vectoriel]]. On note <math>E^*</math> son [[espace dual|espace vectoriel dual]] ; ses éléments [[Gentilé|sont appelés]] des  covecteurs (quand on parle d’un vecteur, sans précision, il s’agit d’un vecteur de <math>E</math>). 

Les vecteurs de <math>E</math> sont aussi appelés  '''vecteurs contravariants''' et ceux de <math>E^*</math> '''vecteurs covariants'''. Ces définitions<ref name="Barbotte"/> sont intrinsèques (elles ne dépendent pas d’éléments extérieurs comme les bases par exemple) et, comme toute définition, elles n’ont pas besoin d’être justifiées.

Si l’espace est muni d’un [[produit scalaire]] (ou l’équivalent), ce qui est toujours le cas en physique, la distinction covariant / contravariant disparaît<ref name="Berger2"/>.  Il est donc difficile de comprendre ces notions si on se place ''dès le départ'' dans un espace où on ne les distingue pas.

== Coordonnées covariantes / contravariantes ==
À toute base <math>B</math> de <math>E</math> on fait correspondre de manière [[Canonique (mathématiques)|canonique]] une base <math>B^*</math> de <math>E^*</math> appelée sa [[base duale]].  L’usage d’une base de <math>E</math> implique  ''nécessairement'' l’usage de sa base duale comme base de <math>E^*</math>. On appelle [[coordonnées contravariantes]] les coordonnées d’un vecteur contravariant (donc d’un vecteur de <math>E</math>) dans une base <math>B</math> et [[coordonnées covariantes]] les coordonnées d’un vecteur covariant (donc d’un covecteur de <math>E^*</math>) dans la base <math>B^*</math>. 

Cette distinction est particulièrement importante lorsque <math>E</math> est muni d’un produit scalaire car, bien que l’on ne distingue plus les vecteurs, il y a deux bases distinctes (en général<ref name="ortho"/>) et donc deux systèmes de coordonnées. Dans ce cas, un vecteur <math>x</math> est déterminé aussi bien par ses coordonnées contravariantes <math>x^i</math>  (coordonnées usuelles) que par ses coordonnées covariantes <math>x_i =x \centerdot e_i</math> (produit scalaire)<ref name="cov"/>.

La manipulation des coordonnées covariantes et contravariantes est grandement facilitée par la [[convention de sommation d'Einstein]] ; elle est systématiquement utilisée dans les  articles détaillés données en référence.

Expliquer le choix du vocabulaire mathématique sort du cadre mathématique mais n'est pas dénué d'intérêt pour autant. Pour comprendre le lien avec le sens courant, on considère deux bases de <math>E</math> notées <math>B=(e_1, \cdots, e_n)</math> et <math>B'=(e'_1, \cdots, e'_n)</math> avec <math>e'_i=\lambda\ e_i</math> (<math>\lambda \neq 0</math>). Si <math>u</math> est un vecteur de <math>E</math>, on peut l’écrire sous la forme <math>u=u^i e_i</math> (on utilise la convention d'Einstein) ou encore <math>u=(1/\lambda)\ u^i e'_i</math>, D’où <math>u'^i=(1/\lambda)\ u^i</math> : les coordonnées usuelles du vecteur varient donc dans le ''sens contraire'' de la base. Une étude plus complète (incluant les covecteurs) et plus générale est donnée dans les articles détaillés indiqués en référence.

Ces notions s’étendent de manière canonique aux [[Tenseur#Définition et exemples #Valence|tenseurs]] ainsi qu’aux [[Champ tensoriel|champs de tenseurs]] définis sur une [[variété différentielle]]<ref name="Berger1"/>.

== Bases covariantes / contravariantes ==
Ces adjectifs sont accolés aux bases de façons opposées selon le point de vue des auteurs et il ne semble pas y avoir de définition mathématique qui pourrait les départager. Cela n’a pas grande importance car les calculs sont identiques. 

D’un point de vue théorique, la base <math>B=(e_1, \cdots, e_n)</math> étant constituée de vecteurs contravariants et permettant de calculer les coordonnées contravariantes d’un vecteur contravariant, il peut sembler naturel de l’appeler base contravariante. Pour les mêmes raisons,  la base duale <math>B^*</math> est alors nommée base covariante.

D’un autre point de vue,  la base <math>B=(e_1, \cdots, e_n)</math> est constituée des vecteurs <math>e_i</math> où <math>i</math> est en a position "basse"; or,  dans la convention d’Einstein, cette position est appelée "position covariante"<ref name="ogden"/>. Il peut alors sembler naturel de l’appeler base covariante et d'effectuer les calculs avec ces vecteurs de la même manière qu’avec leurs coordonnées. Dans ce cas la base duale <math>B^*</math> est nommée base contravariante.

En pratique la convention d’Einstein est très utile et répandue, même si d'un point de vue théorique elle n’est pas nécessaire<ref name="maths"/>. C’est donc l'importance que l’on porte à cette convention qui détermine la nomenclature employée.

== Abus de langage ==
Il est courant de désigner un vecteur (et plus généralement un tenseur) par ses coordonnées dans une base (non nécessairement précisée). On dira, par exemple «  le vecteur covariant <math>x_i</math> » au lieu de « le vecteur <math>x</math> dont les coordonnées covariantes sont <math>x_i</math> ». C’est bien sûr un [[abus de langage]] (il n’y a pas d’ambiguïté car <math>x_i</math> est un réel et non un vecteur) et on remarque que l’[[adjectif]] covariant est affecté au vecteur (ce qui, par exemple, en physique n’a plus lieu d’être) au lieu de ses coordonnées.

Dans le même esprit on peut parler de « la base <math>e_i</math> » et même, si on adopte le second point de vue, de  « la base covariante <math>e_i</math> » ; là encore il n’y pas d’ambiguïté car <math>e_i</math> est un vecteur et non une base. 

On devrait cependant s’interdire de parler « du vecteur covariant <math>e_i</math> » car c’est  faux dans le cas général et au mieux non pertinent. 

== Notes ==
{{Références| références= 
<ref name="langage">COVARIANT, ANTE, adj. et subst.
Étymol. et Hist. 1877 covariant subst. (Littré Suppl.); 1932 adj., supra ex. 1. Composé de co-* et variant*; cf. angl. covariant, de même sens (1853-1905, NED Suppl.2).</ref>

<ref name="Berger1">{{harvsp|Berger|p=20|id=Berger}}.</ref>

<ref name="Berger2">{{harvsp|Berger|p=21|id=Berger}} isomorphismes musicaux. Voir aussi [[Pseudo-vecteur (mathématiques)#Cas euclidien|ici]]</ref>

<ref name="Barbotte">{{harvsp|Barbotte|p=16|id=Barbotte}}.</ref>

<ref name="ortho">Dans le cas particulier où la base  est orthonormale, elle est égale à sa base duale ce qui entraîne l’égalité des coordonnées.</ref>

<ref name="maths">Dans la plupart des ouvrages mathématiques, on écrit <math>x=\sum_{i=1}^n x_i e_i</math>.</ref>

<ref name="cov"> Cela ''n’est pas la définition'' des coordonnées covariantes : c’est juste une conséquence de l’introduction du produit scalaire .</ref>

<ref name="ogden"> Voir par exemple {{harvsp|[Ogden,23]|p=33|id=Ogden|sec=1.4}}, sec. 1.4.</ref>

}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage |langue=fr | auteur=Marcel Berger, Paul Gauduchon et Edmond Mazet| titre=Le spectre d'une variété riemannienne| éditeur=Springer-Verlag| lieu=Berlin · Heidelberg| année=1971| collection=Lecture Notes in Mathematics| id=Berger}}

* {{Ouvrage |langue=fr | auteur=Jean Barbotte| titre=Le calcul tensoriel| éditeur=Bordas| lieu=Paris| année=1948| collection=Bibliothèque de la science moderne | id=Barbotte}}

* {{Ouvrage |langue=en | auteur=RW Ogden| titre=Nonlinear Elastic Deformations| éditeur=Courier Corporation| année=2013| id=Ogden}}

== Articles connexes ==
{{Autres projets
  | wikt = covariance
  | wikiversity = Repère euclidien non orthonormé
  | wikiversity titre = Repère euclidien non orthonormé
}}
* [[Pseudo-vecteur (mathématiques)|Pseudo-vecteur]]
* [[Tenseur]]
* [[Vecteur contravariant, covariant et covecteur]]

{{Palette|Tenseur}}

{{Portail|mathématiques|physique}}

[[Catégorie:Espace vectoriel]]
[[Catégorie:Calcul tensoriel]]

[[ca:Covariància i contravariancia de vectors]]
[[es:Covariancia y contravariancia]]
[[ru:Ковариантность и контравариантность]]
[[sv:Kontravariant vektor]]
[[zh:共變和反變]]