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{{Ébauche|mathématiques}}

En [[optimisation (mathématiques)|optimisation]], les '''critères de Wolfe''' sont un ensemble d'inégalités permettant d'optimiser la méthode de [[recherche linéaire (optimisation)|recherche linéaire]] ; plus précisément, cela permet de sélectionner un [[pas (sciences)|pas]] adéquat pour la recherche linéaire. Ils portent le nom de [[Philip Wolfe]].

== Description ==

Soit <math>f:\mathbb R^n\to\mathbb R</math> une [[Classe de régularité|fonction de classe]] <math>C^1</math>, et soit <math>\mathbf{p}_k</math> une [[direction de descente]]. Un pas <math>\alpha_k</math> est considéré comme satisfaisant ''les critères de Wolfe'' si les deux inégalités suivantes sont vérifiées :

# <math>f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\leq f(\mathbf{x}_k)+c_1\alpha_k\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)</math> ;
# <math>\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\geq c_2\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)</math>.
avec <math>0<c_1<c_2<1</math>.

La première inégalité est connue sous le nom de '''condition d'Armijo''' (ou '''condition de Goldstein''' ou '''condition de Goldstein-Armijo''') et la seconde comme la '''condition de courbure'''. La condition d'Armijo impose que <math>\alpha_k</math> permette de décroître suffisamment <math>f</math>, et la condition de courbure assure que le taux d'accroissement de la fonction <math>\phi(\alpha)=f(\mathbf{x}_k+\alpha\mathbf{p}_k)</math> en <math>\alpha_k</math> est plus grand que <math>c_2</math> fois celui en 0.

Les critères de Wolfe donnent une façon économique de point de vue algorithmique de calculer le pas permettant de diminuer <math>\phi</math> dépendant de <math>\alpha\in\mathbb R</math>. Cependant, les conditions peuvent donner une valeur pour le pas qui n'est pas proche d'un minimum de <math>\phi</math>. Si on modifie la condition de courbure de la manière suivante :

:2.a) <math>\left|\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\right|\leq c_2\left|\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)\right|</math>

alors les conditions 1 et 2.a) prises ensemble sont appelées '''conditions fortes de Wolfe''', puisque <math>\alpha_k</math> est forcément proche d'un [[point critique (mathématiques)|point critique]] de <math>\phi</math>.

== Référence ==
{{en}} J. Nocedal et S. J. Wright, ''Numerical optimization'', Springer Verlag, NY, 1999

== Articles connexes ==
* [[Méthode de Quasi-Newton]]
* [[Méthode du gradient conjugué]]
{{Palette|Optimisation}}
{{Portail|analyse}}

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[[Catégorie:Optimisation]]