Voir la source de Cube

{{voir homonymes}}
{{Infobox Polytope
 | nom                         = Cube
 | image=120px-Hexahedron-slowturn.gif
 | légende                     = Cube en rotation
 | type                        = [[Solide de Platon|Solide platonicien]]
 | faces                       = 6 [[carré]]s
 | arêtes                      = 12
 | sommets                     = 8
 | symbole de schläfli         = {4,3}
 | symbole de wythoff          = 3 {{!}} 2 4
 | diagramme de coxeter–dynkin = [[Fichier:CDel node 1.png|9px]][[Fichier:CDel 4.png|7px]][[Fichier:CDel node.png|5px]][[Fichier:CDel 3.png|6px]][[Fichier:CDel node.png|5px]]
 | groupe de symétrie          =[[Symétrie octaédrique|O<sub>h</sub>]]
 | caractéristique             = 2
 | faces par sommet            = 3
 | sommets par face            = 4
 | volume                      = a³
 | aire                        = 6a²
 | angle diédral               = 90°
 | propriétés                  = [[zonoèdre]] [[Polyèdre#Convexité|convexe]]
 | dual                        = [[Octaèdre régulier]]
}}
En [[géométrie euclidienne]], un '''cube''' est un [[prisme (solide)|prisme]] droit dont toutes les [[face (géométrie)|faces]] sont [[carré]]es donc égales et superposables. Le cube figure parmi les [[polyèdre|solides]] les plus remarquables de l'[[espace (notion)|espace]]. C'est le seul des cinq [[solide de Platon|solides de Platon]] ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « [[hexaèdre]] régulier ». Le  cube est un [[zonoèdre]] à trois générateurs.

Comme il a quatre sommets par face et trois faces par sommet, son [[symbole de Schläfli]] est {4,3}.

L'étymologie du mot ''cube'' est [[Grèce|grecque]] ; ''cube'' provient de ''kubos'', le [[dé]].

Le terme de [[cube (algèbre)|cube]], appliqué à un [[nombre]], désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'[[algèbre géométrique]] était omniprésente, le carré d'un nombre était vu comme la surface d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le [[volume]] d'un cube de côté le nombre initial. L'expression « ''a''<sup>3</sup> » peut se lire « a au cube » et « a cube ».

Le [[Complexe simplicial#Cas particuliers et opérations|1-squelette]] du cube — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un [[théorie des graphes|graphe]] appelé [[graphe hexaédrique]].

== Géométrie ==
[[Image:Cube svg int.svg|vignette|<!--Cube → ça ou rien, c'est pareil ; trouver une légende plus informative-->]]
Le cube est un des [[Solide de Platon|cinq solides de Platon]]. Un cube appartient à la famille des [[prisme (solide)|prismes]] droits. Il possède 8 sommets et 12 [[Arête (géométrie)|arêtes]]. Pour sommets, on peut prendre par exemple les points de <math>\mathbb R^3</math> de coordonnées <math>(\pm 1, \pm 1, \pm 1)</math>. De plus :
* Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
* Les faces opposées sont [[Parallélisme (géométrie)|parallèles]]. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
* Tous les [[Angle dièdre|angles dièdres]] sont [[Angle droit|droits]].
* Les [[diagonale]]s s'intersectent en un unique point, le centre de symétrie du cube, l'[[Barycentre|isobarycentre]] des huit sommets.

Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur égale, disons ''a''. Ses faces sont donc des [[carré]]s d'[[Aire (géométrie)|aire]] ''a''{{2}}.
* L'aire du cube vaut donc 6''a''{{2}} ;
* son [[volume]] vaut ''a''{{3}} ;
* la longueur d'une diagonale vaut ''a''{{sqrt|3}} ;
* la [[sphère circonscrite]] a donc pour rayon ''a''{{sqrt|3}}/2 ;
* la sphère tangente aux arêtes a pour rayon ''a''/{{sqrt|2}} ;
* la [[sphère inscrite]] a pour rayon ''a''/2 ;
* l'angle entre la diagonale et chacune des arêtes adjacentes vaut <math>\arccos\left(\frac1{\sqrt3}\right) \simeq 54{,}74^\circ.</math>
* l'angle entre la diagonale et chacun des plans adjacents vaut <math>\arctan\left(\frac1{\sqrt2}\right) \simeq 35{,}26^\circ.</math>

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot ''cube'' en [[algèbre]].

== Autres définitions ==

Il existe d'autres définitions équivalentes du cube :
* les cubes sont les seuls [[polyèdre]]s dont toutes les faces sont carrées ;
* le cube est un [[antidiamant]] d'ordre 3 à sommets réguliers et angles dièdres égaux.

== Groupe des isométries ==
Le groupe des [[Isométrie affine|isométries]] du cube, noté O{{ind|h}}, et le [[sous-groupe]] de ses isométries positives (ses [[Rotation dans l'espace|rotations]]), noté O, sont aussi appelés groupes de '''symétrie octaédrique''', parce que ce sont les mêmes que ceux de son [[polyèdre dual]], l'[[octaèdre régulier]].

Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries :
* 3 axes de rotation d'ordre 4 : axes passant par le centre de deux faces opposées ;
* 6 axes de rotations d'ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées ;
* 4 axes de rotation d'ordre 3 : axes passant par deux sommets opposés ;
* la [[Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie centrale|symétrie centrale]] par rapport au centre du cube ;
* 9 [[Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie orthogonale par rapport à un plan|plans de symétrie]] : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.

Une isométrie du cube [[Point fixe|fixe]] son centre. Elle est donc entièrement définie par l'image d'un sommet A et de deux (B et C) de ses trois voisins (puisque ces trois points forment, avec le centre, un [[Repérage dans le plan et dans l'espace|repère de l'espace]]). Le sommet A peut avoir pour image l'un quelconque, A', des 8 sommets du cube. Pour le sommet B, il y a alors 3 images possibles, parmi les trois voisins de A' puis, pour l'image de C, 2 images parmi les deux voisins restants. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48, dont 24 rotations, une seule des deux images de C donnant la même orientation de A'B'C' par rapport à ABC. Les 24 rotations sont :
* l'application identité, qui est une rotation (d'angle nul et d'axe quelconque) ;
* 3 demi-tours d'axe passant par le centre de deux faces opposées (3 axes possibles) ;
* 6 quart de tours d'axe passant par le centre de deux faces opposées (3 axes possibles et 2 angles possibles) ;
* 6 demi-tours d'axe passant par les milieux de deux arêtes opposées (6 axes possibles) ;
* 8 tiers de tours d'axe passant par deux sommets opposés (4 axes possibles et 2 angles possibles).

Le [[Représentations du groupe symétrique#Représentation φ2|groupe O de ces 24 rotations]] est [[isomorphisme de groupes|isomorphe]] au [[groupe symétrique]] S{{ind|4}}. Une rotation quelconque permute en effet les quatre diagonales du cube, et inversement, une permutation quelconque des quatre diagonales définit une unique rotation.

Les isométries négatives du cube sont les [[antirotation]]s [[Composition de fonctions|composées]] de ces rotations par la symétrie centrale et [[Commuter|commutent]] avec elle. Le groupe O{{ind|h}} est donc le [[Produit direct (groupes)#Produit direct de deux groupes|produit direct interne]] du sous-groupe O par le sous-[[groupe cyclique]] d'ordre 2 engendré par la symétrie centrale. C'est le plus gros des [[Réseau (géométrie)#Dimension 3|7 groupes orthogonaux de réseaux de dimension 3]].

Les 24 isométries négatives sont respectivement :
* la symétrie centrale
* 3 symétries par rapport à un plan passant par le centre du cube et parallèle à une face (3 plans possibles) ;
* 6 composées des symétries précédentes avec un quart de tour d'axe perpendiculaire au plan de symétrie (3 plans possibles et 2 angles possibles) ;
* 6 symétries par rapport à un plan passant par deux arêtes opposées (6 plans possibles) ;
* 8 composées d'un sixième de tour d'axe passant par deux sommets opposés avec la symétrie par rapport au plan passant par le centre du cube et perpendiculaire à cet axe (4 axes possibles et 2 angles possibles). Le plan de symétrie intersecte les arêtes du cube en formant un hexagone régulier.

[[Image:CubeAndStel.svg|vignette|droite|Deux tétraèdres inscrits dans le cube, symétriques l'un de l'autre par la symétrie centrale]]
Enfin, les huit sommets du cube peuvent se répartir en deux [[tétraèdre régulier|tétraèdres réguliers]], symétriques l'un de l'autre par la symétrie centrale. Il en résulte que, sur les 48 isométries du cube, 24 laissent chacun de ces tétraèdres invariant, et 24 échangent les deux tétraèdres. Les 24 isométries du cube laissant les tétraèdres invariants forment le groupe des isométries du tétraèdre : 12 sont des rotations, et 12 des isométries indirectes. Ces 24 isométries permutent les quatre sommets du tétraèdre.

== Patrons ==

Il existe onze [[Patron (géométrie)|patrons]] du cube ; en voici quatre :
<gallery>
Image:Hexahedron flat.svg| Développement ''en croix'', les carrés latéraux peuvent être placés plus bas ou plus haut
Image:Hexahedron flat z.svg| Développement en ''zigzag''
Image:Hexahedron flat 3.svg| Ce développement tient dans un rectangle de deux sur cinq et minimise l'espace perdu
Image:Hexahedron flat 4.svg|Le carré de gauche peut être placé plus bas ou plus haut
</gallery>

== Sections ==
Un plan et un cube peuvent se rencontrer ou non. S'ils se rencontrent, leur intersection peut dessiner<ref name=Villemin>{{Lien web |auteur= Gérard Villemin|titre=Section du cube |url=http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/CubeSect.htm |date= |site= |consulté le= 3 octobre 2019}}.</ref>
* un point
* un segment
* un triangle
* un quadrilatère, au moins trapèze, parfois un rectangle ou même un losange<ref>{{Lien web |auteur=IREM de Paris Nord|titre=Section du cubes et de  pyramide |url=http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article317|date= |site= |consulté le= 3 octobre 2019}}.</ref>.
* un pentagone. Ce pentagone possède toujours deux paires de côtés parallèles
* un hexagone possédant trois paires de côtés parallèles

Le cube n'ayant que six faces, il n'est pas possible d'obtenir de section ayant plus de 6 côtés.
<gallery>
Image:Cube section3.svg|Section suivant un triangle
Image:Cube section4.svg|Section suivant un trapèze
Image:Cube section losange.svg|Section suivant un losange
Image:Cube section max.svg|Section suivant un rectangle d'aire maximale
Image:Cube section5.svg|Section suivant un pentagone possédant deux paires de côtés parallèles
Image:Cube section6.svg|Section suivant un hexagone possédant trois paires de côtés parallèles
</gallery>

L'intersection d'un plan et d'un cube peut donner trois types de [[Polygone régulier|polygones réguliers]]:
* le triangle équilatéral, pour les plans perpendiculaires à une diagonale et dont la distance à une extrémité de la diagonale est inférieure au tiers de la longueur de celle-ci. Grâce à la [[Section plane|section]] du cube ABCDEFGH par le plan DBE (voir illustration ci-dessous) qui est un [[triangle équilatéral]] DBE de centre Ω, on obtient que la diagonale [AG] du cube est divisée en deux parties [GΩ] et [ΩA] dans le [[Rapport (mathématiques)|ratio]] 2:1. On obtient en outre que le cube est composé de trois solides de même hauteur: deux [[pyramide]]s ADBE et GCHF, et le solide CHFDEB;
* le carré, pour les plans parallèles à une des faces. Mais on peut aussi obtenir un carré en coupant le cube par un plan parallèle à un plan diagonal et à une distance <math> a\frac{\sqrt2-1}{2}</math> de celui-ci;
* l'hexagone régulier, en coupant le cube par le [[plan médiateur]] d'une de ses diagonales.
<gallery>
Image:cube section.svg|Diagonale du cube décomposée en deux parties dans le ratio 2:1 par une section en triangle équilatéral
Image:Cube section square.svg|Section du cube selon un carré. Les sommets supérieurs sont à une distance de A égale à la moitié de AC
Image:Cube section hexagone.svg|Section hexagonale du cube par le plan médiateur de [AG}
</gallery>

Il n'est pas possible d'obtenir un pentagone régulier<ref name=Villemin/> car, la section ayant 5 côtés, le plan coupe nécessairement deux faces opposées du cube, la figure possède donc deux côtés parallèles, ce qui n'arrive pas dans le pentagone régulier.
Il n'est pas possible d'obtenir une section sous forme de triangle rectangle<ref name=Villemin/> car tous les angles du triangle obtenu par section sont aigus.
Il n'est pas possible d'obtenir de section qui soit un trapèze rectangle sans être un rectangle.

L'aire maximale d'une section du cube de côté {{formule|''a''}} est<ref>{{article|nom=Chuanming Zong|titre=What is known about unit cubes|périodique=Bulletin of the amarican mathematical society|volume=42|numéro=2|date=26 juin 2005|lire en ligne=https://www3.math.tu-berlin.de/combi/wp_henk/wp-content/uploads/2013/03/S0273-0979-05-01050-5.pdf}}, p. 5</ref> <math> a^2\sqrt 2</math>. Cette aire est obtenue par la section suivant un plan contenant deux arêtes opposées du cube.

== Le cube et les autres polyèdres ==
Le [[polyèdre dual|dual]] du cube est l'[[octaèdre]] régulier. Ce qui explique que les deux solides possèdent le même groupe d'isométries.

Le cube s'inscrit dans un [[dodécaèdre régulier]] : les sommets du cube sont des sommets du dodécaèdre et les arêtes du cube sont formées de segments joignant deux sommets non consécutifs dans une face [[Pentagone (figure)|pentagonale]] du dodécaèdre. Il y a ainsi cinq façons d'inscrire un cube dans un dodécaèdre régulier.

On peut aussi inscrire le cube dans un [[dodécaèdre rhombique]]. Les sommets du cube correspondent aux sommets d'ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube correspondent aux diagonales des losanges.

== Fascination du cube ==

Le cube a joué un rôle important dans la géométrie et la cosmologie grecque. [[Platon]] le classe comme le quatrième solide, le premier construit à l'aide de [[Triangle#Cas particuliers|triangles isocèles rectangles]] :
{{début citation}}
Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment un quadrangle. Six de ces quadrangles en s'accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est un cube (''[[Timée (Platon)|Timée]]'', 54c - 55 d){{fin citation}}

Comme chaque solide de Platon, le cube est associé à un élément. Comme élément le plus stable, il est associé à la [[Terre]].

Dans une autre clé symbolique, il symbolise le monde matériel et l'ensemble des [[quatre éléments]]. Symbole de stabilité, il se trouve souvent à la base des trônes<ref>{{Ouvrage|langue = |auteur1 = Jean Chevalier|auteur2=Alain Gheerbrant|titre = Dictionnaire des symboles|lieu = |éditeur =[[Éditions Robert Laffont|Laffont]]|année = 1982|pages totales = |isbn = |lire en ligne = |passage = 328}}.</ref>.

Le cube a été l'objet d'un problème qui s'est révélé insoluble : la [[duplication du cube]] à la règle et au compas.

Dans la cosmologie de [[Johannes Kepler|Kepler]], le cube est associé à la [[Saturne (planète)|planète Saturne]].

On retrouve aussi le cube dans la symbolique [[franc-maçon]]ne. Le cube y symbolise les progrès que doit faire le [[Grade maçonnique|compagnon]] pour passer de la pierre brute au solide parfait.

|Il a également inspiré de nombreuses œuvres d'art, donnant naissance à un mouvement artistique : le [[cubisme]]. Celles-ci peut aller jusqu'à représenter des corps difformes sous forme de carré (voir par exemple la [[Tête Carrée]] de Nice).

''[[Cube (film)|Cube]]'' fait partie d'une séquence de trois films canadiens. [[Apple]] a produit l'ordinateur [[Power Mac G4 Cube|Cube]], [[Nintendo]] la console [[GameCube]]. Le [[Rubik's Cube]] est un [[casse-tête]] dont la réflexion se base sur des associations de couleur. Comprendre sa solution fait appel à un [[groupe de permutations]].

On retrouve un [[cube tronqué]] dans le tableau [[Melencolia de Dürer|''Melencolia'']] d'[[Albrecht Dürer]]. L'[[Atomium]] de Bruxelles est un cube. En effet, le cube est un des réseaux possibles en [[cristallographie]] pour l'[[Argent (métal)|argent]], l'[[or]], le [[cuivre]], le [[platine]], le [[diamant]], le [[Chlorure de sodium|sel]], entre autres.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | wiktionary = cube
 | wiktionary titre = cube
|commons=Category:Cubes
}}
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=2|
*[[Cubane]]
*[[Cube adouci]]
*[[Cuboctaèdre]]
*[[Cuboctaèdre tronqué]]
*[[Petit rhombicuboctaèdre]]
}}
=== Lien externe ===
{{Lien web|auteur=Matthieu Aubry|url=http://matthieu.net/cheminlepluscourt/cube.php|titre=Le chemin le plus court sur le cube|site=matthieu.net}}

{{Palette|Prismatoïdes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Prismatoïde]]
[[Catégorie:Cube| ]]
[[Catégorie:Zonoèdre]]
[[Catégorie:Solide de Platon]]