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[[Fichier:Cycloid f.gif|frame|right|Le point mobile engendre une cycloïde droite.]]La '''cycloïde droite''', aussi appelée '''roue d'Aristote''' ou '''roulette de Pascal''', est une [[courbe plane]] [[Courbe#Courbe transcendante|transcendante]], [[trajectoire]] d'un point fixé à un [[cercle]] qui [[Roulette (courbe)|roule sans glisser]] sur une droite ; elle a été appelée ''cycloïde'' pour la première fois par [[Jean de Beaugrand]]<ref>[[Denis Diderot]], ''[[L'Encyclopédie]]'', [[s:Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 4.djvu/596|première édition, tome 4 page 596]].</ref>. Il s'agit donc d'une [[roulette (courbe)|roulette]], ou [[courbe cycloïdale]] particulière dont la [[Directrice (mathématiques)|directrice]] est une droite et dont le point générateur est situé sur le cercle lui-même ; c'est un cas particulier de [[trochoïde]].

Alors que le chewing-gum (point directeur) collé sur le pneu d'une roue de vélo décrit une cycloïde parce qu'il entre en contact avec la chaussée (directrice) à chaque tour de roue, la valve (point directeur) d'une roue de vélo avançant en ligne droite décrit une trochoïde qui n'est pas une cycloïde car elle n'entre pas en contact avec la chaussée (directrice).

== Étymologie et histoire ==
Le mot vient du grec {{grec ancien|κύκλος}}, (« cercle, roue ») et du radical {{grec ancien|-ειδος}}, (« en forme de, semblable à »), bien que cette courbe n'ait pas été connue des [[Grèce antique|Grecs]]. Selon [[Evangelista Torricelli|Torricelli]]<ref>{{ouvrage|lang=la|auteur=Torricelli|titre= De dimensione parabolæ|chap=Appendix de dimensione cycloidis|année=[[1644 en science|1644]]}}.</ref>, son maître [[Galilée (savant)|Galilée]] aurait été le premier à étudier cette courbe et à lui donner ce nom, en [[1599 en science|1599]], mais d'après [[John Wallis]], sa construction aurait été mentionnée par [[Charles de Bovelles]]<ref>{{la}} Bovelles, ''Introductio in Geometriam'', 1503.</ref>, et même encore auparavant au {{XVe siècle}} par [[Nicolas de Cues]] alors qu'il s’essayait à la [[quadrature du cercle]]<ref>{{cf.}} {{la}} [[John Wallis]], ''De cycloide'', Oxford, 1659.</ref>. [[Moritz Cantor]] dément toutefois cette dernière assertion et confirme que Bovelles est le premier à mentionner le problème de la courbe décrite par un point d'une roue roulant sur un plan<ref>{{ouvrage|lang=de|auteur=Moritz Cantor|titre=Vorlesungen über Geschichte der Mathematik|volume=II|numéro d'édition=2|lieu=Leipzig|année= 1899|passage=186-203|lire en ligne=http://www.ub.uni-heidelberg.de/helios/fachinfo/www/math/htmg/vgm/kap51.pdf<!--|consulté le=28/6/15-->}}.</ref>.

Toujours est-il qu’en 1626, [[Marin Mersenne|Mersenne]] en reprit l'étude et essaya, sans succès, de déterminer l'aire sous une arche de cycloïde. {{Citation|Galilée l'avait étudié auparavant : il s'était même occupé de déterminer, par une curieuse méthode empirique, le rapport de la surface d'une arche de cycloïde à la surface du cercle qui l'engendre : pour cela, il avait réalisé, en métal, aussi parfaitement que possible, les deux surfaces, et les avait pesées ; il trouva que l'aire de l'arche vaut trois fois celle du cercle générateur, résultat exact, malgré la bizarrerie du procédé<ref>{{ouvrage|titre=Cet effrayant Génie… L'Œuvre scientifique de Blaise Pascal|prénom1=Pierre|nom1=Humbert|éditeur=Albin Michel|lieu=Paris|année=1947|page=203-204}}.</ref>.}} Il faudra attendre 1634 pour que [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]], un membre de [[Marin Mersenne#Academia Parisiensis|l'académie de Mersenne]], démontre, mathématiquement cette fois, que cette aire est égale à trois fois l'aire du cercle qui l'a engendrée. [[René Descartes|Descartes]], qui fut consulté sur ce calcul, le trouva intéressant mais trivial.

La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent alors l'objet de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée « l'Hélène des géomètres<ref name="Montucla">{{ouvrage|auteur=J.-E. Montucla|titre=Histoire des Mathématiques|sous-titre= dans laquelle on rend compte de leurs progrès depuis leur origine |volume=2|passage=55|chap=livre I. Progrès de la géométrie et des mathématiques à la manière des Anciens|éditeur=Henri Agasse|année=1799 (an VII)|lieu=Paris}}</ref>. » Après Descartes, [[Blaise Pascal|Pascal]] (sous le pseudonyme de Dettonville) offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement du pendule. En 1658, [[Christopher Wren]] démontra que la longueur d'une arche de cycloïde est égale à quatre fois le diamètre du cercle qui l'a générée. En 1656-1659, [[Christian Huygens]] étudie ses propriétés isochrones et les applique à la conception d'une horloge dans laquelle le pendule est suspendu entre deux lames correctement recourbées (« joues ») pour obtenir l'[[Isochrone|isochronisme]] du battement, préalable indispensable pour permettre la construction d'[[horloge]]s marines et donc la détermination du « secret des [[longitude]]s »<ref>[[Michel Blay]] et [[Robert Halleux]], ''La science classique, {{sp-|XVI|-|XVIII}}'', {{p.|278}}.</ref>. Enfin, ses propriétés [[Courbe brachistochrone|brachistochrones]] furent étudiées à partir de [[1696]] par [[Jean Bernoulli]], puis par [[Isaac Newton]], [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], [[Jacques Bernoulli]] et le [[Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital|marquis L'Hôpital]]. Il s'agissait d'un des premiers problèmes de variations, et son étude fut le point de départ de l'élaboration du [[calcul des variations]].

== Définition mathématique ==
La courbe peut être définie [[paramétrage|paramétriquement]] par l'[[équation]] suivante :
:<math>\left\{\begin{matrix}  x(\theta)=R(\theta - \sin\ \theta) \\ y(\theta)=R(1 - \cos\ \theta)\end{matrix}\right.</math>,
ce qui correspond (sur un intervalle convenable) à  l'équation cartésienne
:<math>x/R= \arccos(1-y/R) - \sin (\arccos(1-y/R))= \arccos(1-y/R) -\sqrt{2y/R-y^2/R^2}</math>.
* On peut également la définir par une [[Courbe#Équation intrinsèque|équation intrinsèque]] :
:<math>R_c^2+s^2=16R^2</math>, où <math>R_c\,</math> représente le [[rayon de courbure]], <math>s\,</math> l'[[abscisse curviligne]] et <math>R\,</math> le rayon du cercle.

== Propriétés et applications ==
[[File:Evolute of cycloid.gif|thumb|La cycloïde rouge est la développée de la bleue.]]
=== Propriétés générales ===
Une arche de cycloïde a une longueur de 8''R'' et une aire de 3{{math|π}}''R''{{2}}. Le calcul de la longueur est proposé dans l'article « [[Longueur d'un arc]] ».

La [[Roulette (courbe)|roulette]] de la pointe d'une [[cardioïde]] roulant sur une cycloïde de même longueur est rectiligne.

La [[Radiale d'une courbe|radiale]] de la cycloïde est un cercle de rayon 2''R''.

La [[développée]] de la cycloïde est une cycloïde [[Translation (géométrie)|translatée]] ({{cf.}} figure).

=== Courbe brachistochrone ===
[[Fichier:Brachistochrone.gif|thumb|right|Courbe brachistochrone]]La cycloïde est une [[courbe brachistochrone]] au sens de Roberval, c'est-à-dire qu'elle représente la courbe sur laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans un champ de [[pesanteur]] uniforme, de sorte que son temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, c'est la courbe de descente la plus rapide pour aller d'un point A à un point B.

=== Courbe tautochrone ===
[[File:Tautochrone curve.gif|thumb|right|250px|La cycloïde est une courbe tautochrone. Les flèches bleues représentent l'accélération. Dans le graphique, ''t'' est le temps et ''s'' l'[[abscisse curviligne]] parcourue.]]
La demi-arche de cycloïde est également une [[courbe tautochrone]], c'est-à-dire une courbe telle que tout point matériel lâché sans vitesse initiale sur la courbe arrive en un point donné (celui ayant la plus basse altitude pour la cycloïde) en un temps indépendant du point de départ.

=== Courbe isochrone ===
Elle est enfin une courbe [[isochrone]] au sens de [[Christian Huygens|Huygens]], c'est-à-dire telle qu'un point matériel se déplaçant sans frottement sur elle a un mouvement périodique dont la période est indépendante de la position initiale.

Ces deux dernières propriétés, ainsi que le fait que la développée d'une cycloïde soit aussi une cycloïde, expliquent son utilisation dans la conception de [[pendule cycloïdal|pendules cycloïdaux]] en horlogerie<ref name = "SNS">{{Chapitre|titre ouvrage = Au-delà du compas|sous-titre ouvrage = La géométrie des courbes|auteur institutionnel = [[Scuola Normale Superiore]]|année = 2000|pages totales = 91|isbn = 88-8263-015-3|langue = français|titre chapitre = La géométrie des courbes|auteurs ouvrage = [[Enrico Giusti]], Franco Conti|auteur1 = Enrico Giusti|page = 36}}.</ref>.

=== Autres propriétés remarquables ===
La trajectoire d'une particule soumise sans vitesse initiale à un [[champ électrique]] et un [[champ magnétique]] orthogonaux uniformes est une cycloïde orthogonale au champ magnétique.

Des propriétés [[caustique]]s particulières font que la cycloïde est également utilisée en optique.

== Voir aussi ==
* Lorsque le point mobile n'est pas situé sur le cercle mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci, on parle alors de [[cycloïde allongée]] ou [[cycloïde raccourcie|raccourcie]], qui sont toutes deux des cas  particuliers de [[trochoïde]].
*''[[Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes]]'', sur la façon de déterminer la tangente à la cycloïde, par [[Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital|Guillaume de L'Hôpital]].
*En [[cosmologie]], la variation de la taille d'un modèle d'[[univers fini de Friedmann]] en fonction de son âge est représentée par une cycloïde.
* [[Paradoxe de la roue d'Aristote]]

== Liens externes ==
{{Autres projets|commons=Category:Cycloid}}
*Nicolas Erdrich, «[https://k-you.fr/Site/Activites/Cycloides.html Trochoïdes]», sur k-YOU
*Marie-Laure Prévost, « [http://www.bnf.fr/documents/chroniques56.pdf Un théorème de géométrie de Blaise Pascal découvert dans le manuscrit des ''Pensées''] », ''Chroniques de la [[Bibliothèque nationale de France|BnF]]'', {{n°|56}}, nov.-{{date-|décembre 2010}}, {{p.|24}}
* {{Lien web|url=http://www.mathcurve.com/courbes2d/cycloid/cycloid.shtml|titre=Cycloïde|site=mathcurve.com}}
* {{Lien web|url=http://villemin.gerard.free.fr/Construc/Cycloide.htm|titre=Cycloïde|série=Courbes étonnantes|auteur=G. Villemin}}
* {{mathworld |nom_url=Cycloid |titre=Cycloid}}
* [http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/cycloi_j.html Animation java paramétrable]

== Notes et références ==
<references />

{{Palette|Courbes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe]]