Voir la source de D'alembertien

{{Ébauche|analyse|physique}}
Le '''d'alembertien''', ou '''opérateur d'alembertien''', est la généralisation du concept du [[Opérateur laplacien|laplacien]] dans une [[métrique minkowskienne]]. Il apparaît en particulier en [[électromagnétisme]] pour décrire la propagation des [[onde électromagnétique|ondes électromagnétiques]] ainsi que dans l'[[équation de Klein-Gordon]].

Le d'alembertien{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|p=184, {{col.|1}}}}{{,}}{{note|groupe=N|La graphie {{graphie|dalembertien}} est usitée{{sfn|Pérez|2016|p=217}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|p=232}}.}} est ainsi désigné à la suite de [[Hendrik Lorentz]] ({{date-|1853|en science}}-{{date-|1928|en science}}){{sfn|Lorentz|1909|loc={{numéro|12}}|p=17}}. Son [[Éponymie|éponyme]] est [[Jean Le Rond d'Alembert]] ({{date-|1717|en science}}-{{date-|1783|en science}}){{sfn|Pérez|2016|p=217}}{{,}}{{sfn|Reuse|2012|p=308}} qui l'a découvert en {{date|1747|en science}}{{sfn|Ivanov|1989|p=5, {{col.|2}}}}.

== Formule ==
Le d'alembertien, en général noté par un carré <math>\Box</math>, s'écrit, dans un [[système de coordonnées cartésiennes]],
:<math>\Box = - \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}</math> , où ''c'' est la [[vitesse de la lumière]] ou, d'une manière plus générale, la [[célérité]] de l'onde (qui peut être acoustique) ; on peut l'écrire en fonction du [[laplacien]] par :
:<math>\Box = - \Delta + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}</math>.

Plus généralement, partant de la [[métrique de Minkowski]] ''η{{sub|ab}}'', on peut réécrire le d'alembertien selon la formule
:<math>\Box = \eta^{\mu\nu} \frac{\partial}{\partial x^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\nu} = \partial_\mu\partial^\mu = \partial^\mu\partial_\mu,</math>
où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées ''t'', ''x'', ''y'', ''z''. Cette définition est cependant dépendante de la [[métrique de Minkowski|convention de signe de la métrique]], aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

== Application ==
Le d'alembertien apparait dans l'[[équation d'onde]] du [[Équations de Maxwell#Quadripotentiel|quadripotentiel électromagnétique]] et est, d'une manière plus générale, l'équation qui modélise toute propagation d'une onde acoustique ou électromagnétique :
:<math>\Box A^\mu = 0.</math>

L'[[équation de Klein-Gordon]] fait également intervenir l'opérateur :
:<math>(\Box +m^2) \psi = 0.</math>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
==== Publications originales ====
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Hendrik A. | nom=Lorentz | lien auteur=Hendrik Lorentz | titre=The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat | traduction titre=La théorie des électrons et ses applications aux phénomènes lumineux et de chaleur rayonnante | lieu=Leipzig | éditeur=[[Teubner-Verlag|B. G. Teubner]] | collection={{langue|de|texte=Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen}} | numéro dans collection=29 | année=1909 | numéro d'édition=1 | pages totales=[4]-332 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | oclc=490169299 | bnf=458792310 | sudoc=020377169 | lire en ligne=https://archive.org/details/theoryofelectron00loreuoft | consulté le=9 janvier 2022 | libellé=Lorentz 1909}}.

==== Manuels d'enseignement supérieur ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez | champ libre=avec la collab. d'Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=5/2016 | numéro d'édition=3 | pages totales={{XXIII}}-439 | format livre={{dunité|17,7|24|cm}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn=978-2-10-077295-7 | ean=9782100772957 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=9 janvier 2022 | libellé=Pérez 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=François A. | nom=Reuse | titre=Électrodynamique | lieu=Lausanne | éditeur=[[Presses polytechniques et universitaires romandes]] | collection=Traité de physique | date=20/9/2012 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXIV}}-615 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | isbn10=2-88074-878-X | isbn=978-2-88074-878-4 | ean=9782880748784 | oclc=826838429 | bnf=43525185v | sudoc=165165359 | présentation en ligne=https://www.epflpress.org/produit/548/9782880748784/electrodynamique | lire en ligne={{Google Livres|id=RIrUU_vb_2cC}} | consulté le=9 janvier 2022 | libellé=Reusse 2012}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Claude | nom1=Semay | prénom2=Bernard | nom2=Silvestre-Brac | titre=Relativité restreinte | sous-titre=bases et applications | lieu=Malakoff | éditeur=Dunod | collection=Sciences sup | date=11/2021 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|10/2005}} | pages totales={{X}}-309 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-082836-3 | isbn=978-2-10-082836-4 | ean=9782100828364 | oclc=1286364270 | bnf=46915115k | sudoc=258655097 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-restreinte-bases-et-applications-cours-et-exercices-corriges-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=wmFMEAAAQBAJ}} | consulté le=9 janvier 2022 | libellé=Semay et Silvestre-Brac 2021}}.

==== Dictionnaires et encyclopédies ====
* {{Chapitre | langue=en | prénom=A. B. | nom=Ivanov | titre=d'Alembert operator | auteur ouvrage=[[Michiel Hazewinkel]] (éd.) | titre ouvrage=[[Encyclopædia of Mathematics|Encyclopaedia of mathematics]] | tome={{III}} | titre tome=D – Feynman measure | lieu=Dordrecht, Boston et Londres | éditeur=[[D. Reidel|Reidel]], [[Springer Science+Business Media|Kluwer Academic]] | année=1989 | numéro d'édition=1 | pages totales={{IX}}-491 | format livre={{unité|31|cm}} | isbn=1-556-08002-6 | ean=9781556080029 | oclc=491733089 | bnf=37357904f | doi=10.1007/978-94-009-5994-1 | sudoc=07547509X | lire en ligne={{Google Livres|id=8aHsCAAAQBAJ}} | consulté le=9 janvier 2022 | passage=5 | libellé=Ivanov 1989}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|5/2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=9 janvier 2022 | partie={{s.v.}} d'alembertien | passage=184, {{col.|1}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

=== Articles connexes ===
* [[Équation de d'Alembert]]
* [[Métrique minkowskienne]]

=== Liens externes ===
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{{Liens}}

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