Voir la source de Dé

{{Voir homonymes|Dé (homonymie)|D6}}
[[Fichier:dice.jpg|vignette|redresse=1|Deux dés à jouer ordinaires.]]
[[Fichier:Sixsided Dice inJapan.jpg|vignette|redresse=1|Dé à {{nombre|6|faces}} japonais, présentant un trou plus grand que les autres et peint en rouge pour la face {{nobr|numérotée 1}}.]]

Un '''dé''' est un objet, généralement de petite taille et de forme [[Cube|cubique]], qui permet de tirer aléatoirement un [[nombre]] ou un [[symbole]] parmi plusieurs possibilités. 

== Dés ordinaires ==
{{section à sourcer|date=septembre 2018}}
[[Fichier:6sided dice.jpg|vignette|gauche|upright=1|Quatre dés traditionnels cubiques montrant les six faces d'un dé.]]
[[Fichier:Dice made of polymer clay (handmade).jpg|vignette|Divers dés faits maison dans une [[pâte à modeler]] dure.]]

Les dés les plus courants sont des petits [[cube]]s de 1 à {{Unité|2|cm}} de côté ({{Unité|16|mm}} étant le standard), possédant donc {{nombre|6|faces}} numérotées de 1 à 6, généralement à l’aide de motifs de points. Traditionnellement, la somme des nombres situés sur deux faces opposées est égale à 7 ; par conséquent, les faces {{nobr|numérotées 1}}, 2 et 3 se touchent en un sommet du dé. Deux choix sont donc possibles : placer ces faces dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans l’autre sens autour de ce sommet.

Les [[Arête (géométrie)|arêtes]] possèdent un biseau arrondi, pour qu’il roule plus facilement (ce qui fait que la forme exacte d'un dé n'est pas tout à fait un cube mais plutôt une sphère tronquée). Le problème des biseaux se situe au niveau des coins car ceux-ci peuvent s’avérer trop arrondis. Il arrive quelquefois qu’un dé à {{nombre|6|faces}} s’arrête sur un de ses coins s’il est lancé sur une nappe en [[dentelle]], ou en étoffe suffisamment molle.

Les dés sont jetés afin de fournir des nombres [[Hasard|aléatoires]], généralement pour les [[Jeu de hasard|jeux de hasard]], et sont donc un exemple de [[générateur de nombres aléatoires]]. Cependant, comme les numéros sont d’ordinaire figurés à l’aide de trous, certaines faces se voient retirer plus de matériau que d’autres, ce qui provoque un léger biais statistique. Ce biais peut être réduit, comme dans le cas des dés asiatiques où la face {{nobr|numérotée 1}} possède un trou largement plus grand que les autres, ou dans le cas des dés utilisés dans les [[Casino (lieu)|casinos]] où les trous sont remplis avec de la peinture de même densité que le matériau utilisé<ref>{{Lien web |titre=Casino Dice |url=http://www.dice-play.com/DiceCasino.htm |site=www.dice-play.com |consulté le=2021-08-23}}.</ref>.

[[Fichier:Plateau de dé.JPG|vignette|upright=1|Afin d’éviter toute [[fraude]] ou contestation de la part d’un joueur, il est quelquefois utilisé une aire de lancement (tapis) pour les dés, ronde, toujours tapissée et entourée de bords. Cette étoffe, généralement verte, est fréquemment employée dans les [[Casino (lieu)|casino]]s. Un [[Gobelet (vaisselle)|gobelet]] ou, dans certains jeux de société, une [[tour à dés]] sont aussi utilisés pour éviter une fraude au niveau du lancement des dés.]]

Du point de vue pratique, les dés sont jetés, seuls ou en groupes, à la main ou à l’aide d’un récipient destiné à cet usage, sur une surface plane. La face prise en compte pour la lecture de la valeur de chaque dé est celle qui est située sur le dessus lorsqu’il s’arrête.

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Craps.jpg|Dés cubiques utilisé au [[craps]] (jeu d’argent dans les [[Casino (lieu)|casino]]s).<br>À la différence des dés traditionnels, les points ne sont pas gravés sur les dés, mais imprimés pour respecter l'équilibre ([[équiprobabilité]]). 
Präzisionswürfel.jpg|Dés cubiques transparents.
File:Würfel, gemischt -- 2021 -- 5577.jpg|Divers dés à jouer.
</gallery>

== Histoire ==
Les dés tirent probablement leur origine des os des chevilles (spécifiquement l’[[Os astragale|astragale]]) d’animaux tels le bœuf. Il n’est pas possible de déterminer précisément l’apparition des dés et leur distinction des [[Osselets (jeu)|osselets]], les écrivains antiques semblant confondre les deux jeux. Il est certain en revanche qu’ils datent des temps [[Préhistoire|préhistoriques]]. Leur présence dans des tombes anciennes de la [[Civilisation de la vallée de l'Indus|vallée de l’Indus]], des dés cubiques vieux de {{unité|4300|ans}} y ayant été retrouvés<ref name="jessie55">{{Article|langue = français|année = 1989|mois = février|numéro = 55|périodique = [[Jeux et Stratégie]]|titre = Les plus vieux dés du monde|auteur = Thierry Depaulis|page = 45|consulté le = 2 avril 2019}}.</ref>, semble pointer vers une origine asiatique. À cette époque, la somme de faces opposées ne vaut pas encore systématiquement 7<ref name="jessie55"/>. Le jeu de dé est mentionné dans le ''[[Rig-Veda]]'' et l’''[[Veda|Atharvaveda]]'' indiens<ref>{{refins|2.3, 4.38, 6.118, 7.52, 7.109}}.</ref>{{refins}}.

La connaissance de la [[numération étrusque]], et plus précisément la forme écrite de leurs {{nombre|6|premiers}} chiffres, s’est effectuée en découvrant des dés<ref>Une paire unique de dés d’ivoire conservée à la Bibliothèque Nationale de France, Paris.</ref> à jouer (ou à [[divination étrusque|divination]]) dans les objets familiers accompagnant le mort dans sa tombe.

Les jeux de dés furent populaires ensuite à Rome, particulièrement pendant les [[Fastes (homonymie)|jours fastes]] de l’[[Empire romain]], bien qu’ils fussent interdits, sauf pendant les [[Saturnales]]. [[Horace]] décrivit par exemple ce qu’il présentait comme un jeune homme typique de l’époque, qui perdait son temps aux dés plutôt qu’à dompter son cheval. Jouer de l’argent aux dés était le sujet de plusieurs lois spécifiques ; l’une d’elles statuait qu’aucun procès ne pouvait être demandé par une personne qui autorisait les paris dans sa maison, même s’il avait été attaqué ou si on avait triché contre lui. Les joueurs professionnels étaient cependant courants et certains de leurs dés pipés ont été préservés.

Le [[Musée Saint-Raymond|Musée Saint-Raymond des Antiques de Toulouse]] expose dans une vitrine un dé romain en os : il porte les {{nobr|chiffres 4}}, 5 et 6, chacun répété deux fois. On ignore à quel jeu il servait.

[[Tacite]] rapporte que les tribus germaniques adoraient particulièrement les dés et étaient prêtes à mettre en jeu leur propre liberté après avoir perdu tout le reste. Plusieurs siècles plus tard, les dés devinrent le passe-temps des [[Chevalerie|chevaliers]] et des écoles, et des [[guilde]]s de dés existèrent. Au Moyen Âge le terme "décier", désigne le métier de fabricant de dés<ref>[http://www.medieval-moyen-age.net/article-637613.html « Les Jeux de dés au XIIIe siècle »], ''medieval-moyen-age.net'', 27 juillet 2005.</ref>.

En [[Inde]], les dés étaient utilisés notamment pour jouer à partir du {{s|XI}} une version du jeu d'échecs appelée ''{{Lien|chaturaji}}'' parfois confondue avec le  ''[[Chaturanga]]'', un des ancêtres du [[Échecs|jeu d’échecs]]. Le  ''{{Lien|chaturaji}}'' aurait été joué à cette époque par quatre joueurs avec des dés à {{nombre|8|faces}} marquées 2, 3, 4 et 5, chacun indiquant un des types de pièces du jeu comme devant être jouée ce tour<ref>Jean-Louis Cazaux, ''Guide des échecs exotiques et insolites'', Chiron éditeur, 2000.</ref>. On a d’ailleurs retrouvé en France des jeux d’échecs proche du Chaturanga, datant de l’époque romane et se jouant également avec des dés, où le roi présentait les attributs de [[Charlemagne]].

Dans de nombreux pays asiatiques, les dés sont depuis toujours un passe-temps populaire.

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Knuck dice Steatite 37x27x21 mm.JPG|[[Osselets (jeu)|Osselet]] en [[pierre à savon]].
historical dice.jpg|Collection de dés anciens originaires d’[[Asie]].
Twenty-sided die (icosahedron) with faces inscribed with Greek letters MET 10.130.1158 001.jpg|Dé à vingt faces de l’[[Égypte pharaonique]] ([[Royaume lagide]] ou [[Royaume ptolémaïque]]).
9BFE00 -roman lead die (FindID 103936).jpg|Image composite des faces d'un dé de {{unité|12|mm}} [[Culture latine|romain]], trouvé à [[Leicestershire]] en [[Angleterre]].
Roman dice IMG 4367.JPG|Dé de la [[Rome antique]].
6sided spinner.jpg|Dé [[Toupie (jouet)|toupie]] à six faces.
Dreidel 001.jpg|Un [[sevivon]] (toupie de [[Hanoucca]]).
</gallery>

== Variantes ==
{{section à sourcer|date=septembre 2018}}

=== Dés non cubiques ===
[[Fichier:Des Japan Expo 2012 1.jpg|vignette|redresse=1|Dés à [[Japan Expo]] 2012. On peut apercevoir des dés en métal, brillants dans le noir, transparents ou avec des symboles [[Rune|runiques]].]]
[[Fichier:Des Japan Expo 2012 2.jpg|vignette|redresse=1|Dés à [[Japan Expo]] 2012. On peut apercevoir des dés avec des symboles runiques [[Nain (créature fantastique)|Nains]], ''[[steampunk]]'' ou pour le jeu ''[[L'Appel de Cthulhu (jeu de rôle)|L'Appel de Cthulhu]]''.]]

Certains dés ont la forme d’un [[polyèdre]] autre que le cube. Jadis peu employés dans le jeu, ils sont devenus plus populaires depuis les années 1950, particulièrement après l’introduction des [[Jeu de guerre|{{lang|en|''wargames''}}]], [[Jeu de rôle|jeux de rôle]], [[Jeu de cartes à collectionner|jeux de cartes à collectionner]] et de certains [[Jeu de société|jeux de société]]. Ces dés sont généralement en plastique et leurs faces portent des nombres plutôt que des motifs de points.

S’il s’agit d’une nouveauté aux temps modernes, il semble que certaines cultures anciennes en ont utilisé (en particulier, deux dés [[Icosaèdre|icosaédriques]] datant de la [[Rome antique]] sont exposés au [[British Museum]] de [[Londres]]).

Les [[Solide platonicien|solides platoniciens]] sont utilisés de façon courante pour les dés à 4, 6, 8, 12 et {{nombre|20|faces}}. D’autres formes peuvent être trouvées pour des dés à 2, 3, 5, 7, 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 50, 60, {{nombre|100|}} ou 120 faces, mais à part le dé à {{nombre|10|faces}}, ils sont peu utilisés, à cause de leur rareté et aussi parce que la lecture du nombre devient difficile, les faces étant presque sur le même plan et la verticalité peu visible.

Un grand nombre de [[Loi de probabilité|distributions]] de [[probabilité]]s différentes peuvent être obtenues à l’aide de ces dés. Par exemple, deux dés à {{nombre|10|faces}} peuvent être utilisés pour produire un nombre compris entre 1 et 100 (l’un des dés donnant le chiffre des dizaines, l’autre celui des unités, le tirage « 00 » correspondant à 100 ou 0 suivant le jeu pratiqué) afin d’obtenir une distribution linéaire de [[pourcentage]]s. En additionnant les résultats de plusieurs dés, il est possible d’approcher une distribution [[Loi normale|normale]] ; en éliminant les tirages les plus (ou les moins) élevés, de modifier ces distributions{{nobr|, etc.}} à l’aide de ces techniques, les jeux peuvent approcher avec suffisamment de variété les probabilités des événements qu’ils simulent.

L’[[équiprobabilité]] de ces dés (c’est-à-dire la probabilité égale d’obtenir n’importe laquelle de ses faces) est sujette à controverse ; les dés à 6 faces utilisés dans les casinos ont l’obligation légale d’être équiprobables. Les procédés de fabrication utilisés pour les autres types de dés n’ont aucune obligation de ce genre.

Des dés sphériques existent aussi. Leur fonction est identique à celle des dés à {{nombre|6|faces}}, mais ils possèdent une cavité interne [[Octaèdre|octaédrique]] dans laquelle un poids se déplace et provoque leur arrêt dans une direction parmi six. Ils nécessitent cependant une surface plane et horizontale pour fonctionner correctement.

=== Dés non cubiques courants ===
[[Fichier:Dice (typical role playing game dice).jpg|vignette|redresse=1.2|Dés polyédriques à 4, 6, 8, 10, 12 et {{nombre|20|faces}}, couramment utilisés dans les [[jeux de rôle]] et les [[Jeu de guerre|wargames]].]]

Les formes les plus couramment utilisées, en dehors des dés cubiques à {{nombre|6|faces}}, sont :
* le [[tétraèdre]], un dé [[Dé à quatre faces|à {{nombre|4|faces}}]]. Ces dés ne roulant quasiment pas, ils comportent trois nombres sur chaque face, chacun inscrit le long d’une arête, arrangés de telle façon que celui situé soit sur l’arête du bas soit sur le sommet des trois faces visibles soit le même ; ce nombre est celui pris en compte lors d’un lancer.
* l’[[octaèdre]], un dé [[Dé à huit faces|à {{nombre|8|faces}}]]. Chaque face est triangulaire. La somme des faces opposées est généralement égale à 9.
* le [[trapézoèdre pentagonal]], un dé [[Dé à dix faces|à {{nombre|10|faces}}]]. Le seul dé courant qui ne soit pas un solide platonicien. Il est utilisé le plus souvent par paire pour générer les nombres de 0 à 99, l’un figurant les dizaines (00, 10, 20… jusqu’à 90), l’autre les unités (de 0 à 9). La position des {{nobr|faces 00}} et 0 représente 0 ou 100 selon le jeu.
* le [[dodécaèdre régulier]], un dé [[Dé à douze faces|à {{nombre|12|faces}}]]. Chaque face est un [[Pentagone (figure)|pentagone]] régulier.
* l’[[icosaèdre]], un dé [[Dé à vingt faces|à {{nombre|20|faces}}]].

Dans le domaine des [[Jeu de guerre|wargames]] et des [[jeux de rôle]], les dés sont notés en mettant le nombre de faces après : d4 (dé à quatre faces), d6, d8, d10, d12, d20 et d100 (ou d%, sous la forme de deux d10) sont les plus utilisés.

=== Dés particuliers ===
Il existe aussi des formes plus rares de dés non cubiques.
* [[Dé à une face|{{nombre|1|face}}]] : [[sphère]] où sont inscrits les chiffres de 1 à 6.
* [[Dé à deux faces|{{nombre|2|faces}}]] : [[cylindre]]. Il s’agit ni plus ni moins d’une [[pièce de monnaie]] possédant un 1 sur une face et un 2 sur l’autre. Lorsqu’un tel tirage est nécessaire, le tirage à [[pile ou face]] est traditionnellement employé.
* [[Dé à trois faces|{{nombre|3|faces}}]] : [[prisme triangulaire]] tronqué et arrondi, il est souvent remplacé par un dé à {{nombre|6|faces}} dont le résultat est divisé par 2, arrondi à l’entier supérieur.
* [[Dé à cinq faces|{{nombre|5|faces}}]] :  [[prisme triangulaire]].
[[Fichier:D07.jpg|vignette|redresse=0.8|Dé à 7 faces.]]
* [[Dé à sept faces|{{nombre|7|faces}}]] : [[prisme pentagonal]].
* [[Dé à quatorze faces|{{nombre|14|faces}}]] : [[bipyramide]] heptagonale.
* [[Dé à seize faces|{{nombre|16|faces}}]] : [[bipyramide]] [[Octogone|octogonale]].
* [[Dé à vingt-quatre faces|{{nombre|24|faces}}]] : [[tétrakihexaèdre]].
* [[Dé à trente faces|{{nombre|30|faces}}]] : [[triacontaèdre rhombique]].
* [[Dé à trente-quatre faces|{{nombre|34|faces}}]] : ''heptadecagonal trapezohedron''.
* [[Dé à trente-sept faces|{{nombre|37|faces}}]], pour remplacer une roulette de casino.
* [[Dé à cinquante faces|{{nombre|50|faces}}]] : [[bipyramide]] [[Icosakaipentagone|icosakaipentagonale]].
* [[Dé à soixante faces|{{nombre|60|faces}}]] : [[pentakidodécaèdre]] ou [[hexacontaèdre trapézoïdal]].
* [[Dé à cent faces|{{nombre|100|faces}}]] : [[zocchièdre]].
* [[Dé à cent vingt faces|{{nombre|120|faces}}]] : [[hexaki icosaèdre]].

<gallery heights="140" widths="180">
D02.JPG|Dé à 2 faces (cylindre).
D03 wood.jpg|Dé à 3 faces.
D05.jpg|Dé à 5 faces.
Black and red round 6-sided die.jpg|alt=Dé à 6 faces sphérique.|Dé à 6 faces sphérique.
D06 sphere cut open.jpg|alt=Dé 6 sphérique ouvert, montrant son mécanisme.|Dé 6 sphérique ouvert, montrant son mécanisme.
D30.jpg|Dé à 30 faces.
D34.jpg|Dé à 34 faces.
D50 dipyramid2.jpg|Dé à 50 faces.
D60 60men-saikoro.JPG|Dé à 60 faces.
Zocchihedron2.jpg|Dé à 100 faces sphérique ou [[zocchièdre]], ici de la marque [[Dé à cent faces#Zocchihedron|Zocchihedron]].
D120.jpg|Dé à 120 faces.
</gallery>

== Numérotation ==
La plupart des faces des dés sont numérotées par une suite ininterrompue de nombres entiers, débutant par un (ou zéro), exprimés par des trous ou des chiffres. Des exceptions existent cependant :
* dé doubleur ou [[videau]], utilisé entre autres au [[backgammon]], portant les {{nobr|nombres 2}}, 4, 8, 16, 32 et 64 et symbolisant le coefficient multiplicatif actuel de la mise initiale. Ce dé n’est pas jeté et sert simplement à noter l’enjeu.
* dés pour le jeu de [[Poker d'as]] où les figures des cartes à jouer sont représentées : as, roi, dame, valet, dix et neuf.
* dé spécifique pour jouer au [[Mah jong|Mah-jong]].
* dés colorés, chaque face portant une couleur différente.
* dés comportant des dessins sur les faces, utilisés par exemple pour déterminer certaines occurrences de [[Jeu de figurines|jeux de figurines]] ou des [[Kama-sutra|positions]] dans un jeu érotique.
* dans le jeu de plateau ''[[Formule Dé]]'', les dés représentent les vitesses de la voiture : leurs chiffres de départ vont croissant, de sorte qu’il faut beaucoup de chance pour doubler une voiture en {{3e|vitesse}} avec le dé de la {{2e|vitesse}}.
* les [[Dé à dix faces|dés à {{nombre|10|faces}}]] officiels du jeu ''[[Vampire : la Mascarade]]'' comportent une [[Ânkh|ankh]] au lieu du 1, pour rappeler la « vie éternelle » des vampires. Les dés de la première édition étaient assortis à la couverture du livre de base : verts, mouchetés gris et noir, avec une rose rose à la place du 1.
* les dés à 6 faces employés dans les trois extensions du jeu de plateau ''[[Talisman (jeu)|Talisman]]'' ({{3e|édition}}) sont numérotés ainsi : 1, 1, 2, 2, 3, 4
*les [[Dé à vingt faces|dés à 20 faces]] compteur de points de vie de [[Magic : L'Assemblée|''Magic: The Gathering'']] ont le symbole de l'extension d’où provient le dés à la place du chiffre 20, et ont la particularité d'avoir leurs valeurs adjacentes qui se suivent
*dé en cristal à 32 faces dont une est numérotée 0 et une autre 00 pour le jeu The Magic Crystal Ball tells your Fortune<ref>{{Lien web |langue=en-GB |titre=Curious Objects: Crystal Fortune Dice – Kim's Curios |url=https://kimscurios.com/2020/11/12/curious-objects-crystal-fortune-telling-dice/#:~:text=Simply,%20these%20wonderful%20little%20divination%20balls%20are%20glass,about%201930,%20and%20are%20made%20from%20lead%20crystal. |consulté le=2025-02-19}}</ref>. 

<gallery heigths="140" widths="200">
Fichier:Backgammon DoublingCube.jpg|Dé [[videau]] employé au [[backgammon]].
Fichier:White Fudge Dice.jpg|alt=Dés « Fudge » issus du jeu de rôle Fudge.|Dés « Fudge » issus du jeu de rôle ''[[Fudge (jeu de rôle)|Fudge]]''.
Fichier:Math equation dice d6.JPG|Dés mathématiques.
Fichier:Hoo hey how 01.JPG|Dés chinois.
Fichier:The Magic Crystal tells your Fortune.jpg|Boîte du jeu The Magic Crystal Ball tells your Fortune où figure le dé à 32 faces (Fonds Patrimonial du jeu de société)
</gallery>

== Probabilités ==
{{section à sourcer|date=septembre 2018}}
{{loupe|Probabilités des dés}}
[[Fichier:Probabilite nd6.png|vignette|redresse=1|Probabilités d’avoir une valeur et de faire moins qu’une valeur avec le lancer d’un ou plusieurs dés.]]

=== Méthode ===
Pour un simple lancer d’un seul dé à {{nombre|6|faces}} équilibré, la [[probabilité]] d’obtenir n’importe quelle valeur 1 à 6 est exactement de {{fraction|1|6}}. Le tirage suit donc une [[loi uniforme discrète]]. Le tirage de ''n'' dés suit une [[loi multinomiale]] dont les probabilités ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, …, ''p''<sub>6</sub> sont toutes égales à {{fraction|1|6}}, si le dé n’est pas pipé.

Si on jette deux dés et qu’on additionne les nombres obtenus sur les deux faces supérieures, les tirages ne sont plus distribués de façon uniforme mais suivent une [[Loi de probabilité|distribution]] triangulaire :

{| border="0" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|- align="center"
| bgcolor="#cccccc" align="left" | Total des dés || width="25px" | 2 || width="25px" | 3 || width="25px" | 4 || width="25px" | 5 || width="25px" | 6 || width="25px" | 7 || width="25px" | 8 || width="25px" | 9 || width="25px" | 10 || width="25px" | 11 || width="25px" | 12
|- align="center"
| bgcolor="#cccccc" align="left" | Probabilité || {{fraction|1|36}} || {{fraction|2|36}} || {{fraction|3|36}} || {{fraction|4|36}} || {{fraction|5|36}} || {{fraction|6|36}} || {{fraction|5|36}} || {{fraction|4|36}} || {{fraction|3|36}} || {{fraction|2|36}} || {{fraction|1|36}}
|}
Le tirage le plus probable est alors 7.

Avec trois dés ou plus, la distribution se rapproche d’une [[Loi normale|distribution normale]] avec l’ajout de chaque dé (conséquence du [[théorème central limite]]). La distribution de probabilité exacte F<sub>''i''</sub> pour un nombre <math>i</math> de dés peut être calculée par [[produit de convolution|convolution]] répétée de la distribution de probabilité d’un dé simple avec elle-même :
:{{formule | F<sub>''i''</sub>(''m'' ) {{=}} ∑<sub>''n''</sub> F<sub>1</sub>(''n'' ) F<sub>''i''-1</sub>(''m'' - ''n'' )}}.

En s’inspirant de la [[Toupie (jouet)|toupie]] [[Sevivon]], il est possible de construire des générateurs aléatoires de n’importe quelle valeur.{{refsou}}

=== Déterminer si un dé est « pipé » ===
Un dé est dit « pipé » si la loi n’est plus uniforme. Lorsque c’est intentionnel, on s’arrange pour qu’un résultat sorte plus fréquemment, ou au contraire moins fréquemment, les autres faces ayant la même probabilité d’apparition entre elles. S’il s’agit d’un défaut non intentionnel, chaque face va avoir une probabilité propre.

Si l’on jette le dé plusieurs fois de suite, on ne va pas obtenir une alternance stricte de valeurs. Par exemple, si l’on tire un dé deux fois de suite, on a {{nombre|6|chances}} sur 36, soit 16,6{{souligner|6}}… % de chances, d’obtenir deux fois le même résultat (chaque doublon a {{nombre|{{fraction|1|36}}|chances}} d’apparaître, et il y a {{nombre|6|doublons}}) ; dans un cas sur six, on obtient deux fois le même lancer. La fréquence observée pour chaque événement va se voir s’approcher de la fréquence théorique sur un grand nombre de lancer, {{nobr|par exemple 100}}.

Si l’on fait ''n'' lancers, pour savoir si le dé est équilibré (c’est-à-dire si l’on a effectivement {{fraction|1|6}} de chances d’avoir chaque figure), il faut utiliser un [[test du χ²]] d’adéquation à cinq degrés de liberté (puisqu’il y a six résultats mais que leurs probabilités sont complémentaires). Le nombre de lancers minimal est de 30 (5 divisé par la fréquence théorique, {{fraction|1|6}} = 0,16{{souligner|6}}…, cf. ''[[Test du χ²#Conditions du test|Test du χ² > Conditions du test]]''). Si l’on appelle O<sub>''i''</sub> le nombre de lancers donnant le chiffre ''i'', on a le tableau de résultats suivant :

{| class="wikitable"
|+ Résultat de ''n'' lancers
|-
! Résultat !! Nombre d’occurrences
|-
! 1
| O<sub>1</sub>
|-
! 2
| {{O2}}
|-
! 3
| O<sub>3</sub>
|-
! 4
| O<sub>4</sub>
|-
! 5
| O<sub>5</sub>
|-
! 6
| O<sub>6</sub>
|}
avec ∑<sub>''i'' </sub>O<sub>''i''</sub> = ''n''

Le χ² est
: <math>\chi^2 =  
\sum_{i=1}^6 \frac{(\mathrm{O}_i - n \times 1/6)^2}{n \times 1/6}
= \frac{6}{n} \cdot \sum_{i=1}^6 (\mathrm{O}_i - n/6)^2
</math>

{| class="wikitable"
|+ Quantiles de la loi du χ² à cinq degrés de liberté
|-
! Fiabilité<br /> (''p'')
! bgcolor="#BBBBFF" | 99 %<br />(''p'' = 0,99)
! bgcolor="#CCCCFF" | 95 %<br />(''p'' = 0,95)
! bgcolor="#DDDDFF" | 90 %<br />(''p'' = 0,9)
! 50 % <br />(''p'' = 0,5)
! bgcolor="#FFEEEE" | 10 % <br />(''p'' = 0,1)
! bgcolor="#FFDDDD" | 5 %<br />(''p'' = 0,05)
! bgcolor="#FFCCCC" | 1 %<br />(''p'' = 0,01)
! bgcolor="#FFBBBB" | 0,1 %<br />(''p'' = 0,001)
|-
! χ²
| bgcolor="#BBBBFF" | 0,55
| bgcolor="#CCCCFF" | 1,15
| bgcolor="#DDDDFF" | 1,61
| 4,35
| bgcolor="#FFEEEE" | 9,24
| bgcolor="#FFDDDD" | 11,07
| bgcolor="#FFCCCC" | 15,09
| bgcolor="#FFBBBB" | 20,52
|}

Par exemple, si on fait un tirage avec un dé équilibré, le χ² est supérieur ou égal à 0,55 avec une probabilité de 0,99. Il est supérieur ou égal à 15,09 avec une probabilité de 0,01.

== Expressions liées au dé ==
[[Fichier:Joostens - De Alea, 1642 - 4630507.tif|vignette|upright=1|''De Alea'' par [[Paschier Joostens]] (1642).]]

* « Les dés sont jetés », traduction littérale du [[latin]] {{lang|la|''alea jacta est''}} (aussi traduite par « le sort en est jeté »){{note| groupe=alpha|On traduit aussi cette expression latine par « le sort en est jeté », car en latin le mot ''alea'' avait déjà, à côté du [[sens propre]] « dé », le [[sens figuré]] de « sort ».}}, phrase prononcée par [[Jules César]] après qu’il eut franchi le [[Rubicon]].
: Cette phrase signifie qu’on a fait une action irréversible, et que l’avenir est entre les mains du [[hasard]].
* « Un coup de dé », représente le hasard.
:Voici un exemple : ''cette opération s’est jouée sur un coup de dé''. Cette phrase signifie qu’une partie importante de ladite opération s’est accomplie par la chance, par le hasard.
: Un autre exemple est la fameuse phrase de [[Stéphane Mallarmé]] : {{citation|Un coup de dés jamais n’abolira le hasard.}}
* {{citation|Dieu ne joue pas aux dés}} d’[[Albert Einstein]] lors de sa confrontation avec la [[physique quantique]].
:Signifiant par là son sentiment (et ce pour quoi il va passer le reste de sa vie) d’un Univers prédictible.
: Ce qu’il expliquera également{{refnec}} en disant que si l’on n'est pas capable d’appréhender l’ensemble de l’Univers, c’est tout simplement que l’on ne possède pas encore la totalité des lois qui régissent cet Univers ; mais qu’une fois qu’on les possède, il devient alors possible, en théorie, sans prendre en compte un temps hypothétique infini de calcul, de déterminer les caractéristiques passées, présentes et à venir de n’importe quel élément composant l’Univers.
: Cette idée de prédictibilité est contredite fondamentalement par le [[principe d'incertitude]] d'[[Werner Heisenberg|Heisenberg]]
* « Les dés sont pipés » signifie que quelqu’un ne joue pas le jeu. Par exemple, une personne qui avait les réponses lors d’un examen : les dés étaient pipés.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| commons=Category:Dice
| wiktionary = dé
| wiktionary thésaurus = dé}}

=== Articles connexes ===
{{colonnes|nombre=2|taille=30|
* [[Table des caractères Unicode/U2600]] : les symboles 2680 à 2685 (en [[hexadécimal]]) représentent les faces des dés traditionnels<br>{{grossir|⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅}}
* [[Jeu de dés]]
* [[Dés non-transitifs]]
* [[Dés de Sicherman]]
* [[Polyèdre]]
* [[Tour à dés]]
* [[Système sénaire]]
}}

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/Dice.html {{lang|en|''Dice''}}] (''Wolfram MathWorld'', analyse des probabilités aux dés)
* {{en}} [http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_05_16_05.html {{lang|en|''Fair Dice''}}] (étude des différents polyèdres conduisant à des dés équilibrés)
* {{lien brisé|url=http://www.cracktwo.com/2010/11/most-unique-collection-of-gaming-dice.html|titre=Une collection de 150 dés de tous genres et de toutes cultures}}

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{{Portail|jeux}}

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