Voir la source de Décagone

{{Infobox Polytope
|nom=Décagone régulier
|image=Regular polygon 10 annotated.svg
|légende=<!--déjà dans le nom donc redite inutile-->
|type=[[Polygone régulier]]
|arêtes=10
|diagonales=35
|sommets=10
|symbole de schläfli={10}
|diagramme de coxeter–dynkin=
|groupe de symétrie=
|angle interne=144°
|propriétés=[[Polygone constructible|Constructible]]
}}

Un '''décagone''' est un [[polygone]] à 10 [[Sommet (géométrie)|sommets]], donc 10 côtés et 35 [[diagonale]]s.

La [[Polygone#Somme des angles|somme des angles internes]] d'un décagone [[Polygone simple|non croisé]] vaut {{Formatnum:1440}}[[Degré (angle)|°]].

Un décagone [[Polygone régulier|régulier]] est un décagone dont les dix côtés ont la même longueur et dont les [[Angle interne|angles internes]] ont même mesure. Il y en a deux : un [[Polygone régulier étoilé|étoilé]] (le [[Décagramme (géométrie)|décagramme]] noté [[Symbole de Schläfli|{10/3}]]) et un [[Polygone convexe|convexe]] (noté {10}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « ''le'' décagone régulier ». Il est [[Construction à la règle et au compas|constructible]].

== Aire d'un décagone régulier ==

L'[[Aire (géométrie)|aire]] d'un décagone régulier de côté {{math|''a''}} vaut
{{Retrait|<math>\frac{5~a^2}2\cot\tfrac{\pi}{10}=\frac{5~a^2}2\sqrt{5+2\sqrt5}.</math>}}

== Constructions d'un décagone régulier ==

=== Construction approximative à l'aide du rapporteur ===

Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte :

* Tracer un cercle Γ de centre O.
* Soit A un point quelconque appartenant à Γ.
* Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon que l'angle <math>\widehat {AOB}</math> mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°. Pour placer le point B, il faut utiliser un [[rapporteur]], ce qui peut être source d'inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n'est jamais très précis).
* Il ne reste plus qu'à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restants.
* Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

=== Construction exacte à partir d'un [[Pentagone (figure)|pentagone]] ===

Après avoir [[Construction du pentagone régulier à la règle et au compas|construit un pentagone régulier]], il est facile de construire un décagone régulier : par [[Bissectrice|bissection]].
* Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone.
* [[Constructions du milieu d'un segment|Tracer le milieu]] de chaque côté du pentagone.
* Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle.
* Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.

=== Construction exacte à partir d'un [[rectangle d'or]] ===
[[File:Regular pentagon construction2.png|thumb|OE est la longueur d'un côté d'un décagone régulier, et DE est le côté d'un pentagone régulier, tous deux inscrits dans le cercle.]]
* Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].
* La [[médiatrice]] de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en deux points. Soit D l'un de ces points.
* Tracer le milieu C de [OA].
* Le cercle de centre C et de rayon CD coupe [OB] en E (les proportions AE/OA et OA/OE sont égales au [[nombre d'or]]).
* Reporter 10 fois de suite la longueur OE sur le cercle Γ (à partir d'un point quelconque du cercle) pour obtenir les sommets d'un décagone régulier.
* Relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

=== Variante de la construction précédente ===
[[File:Regular Decagon Inscribed in a Circle.gif|thumb|Animation de la construction du décagone régulier]]
* Tracer Γ, O, A, B, C, D, E comme ci-dessus.
* Le cercle de centre C et de rayon OC coupe [CD] en F.
* Terminer comme ci-dessus en reportant 10 fois la longueur DF (égale à la longueur OE précédente).

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Decagons
|wiktionary=décagone}}
=== Articles connexes ===
* [[Théorème de Gauss-Wantzel]]
* [[Table de lignes trigonométriques exactes]]
* [[Nombre décagonal]]
* [[Nombre décagonal centré]]
=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=Decagon|titre=Decagon}}
* [http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=deca.xml Animation pour la construction simple d'un décagone régulier avec un rapporteur]
<!--
* [http://www.lyc-gide-uzes.ac-montpellier.fr/Vie/Productions/regle_et_compas/d%C3%A9cagone.htm Animation pour la dernière construction d'un pentagone régulier]-->

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polygone]]
[[Catégorie:Construction géométrique]]