Voir la source de Dérivée partielle

{{à sourcer|date=avril 2009}}
[[Fichier:Grafico 3d x2+xy+y2.png|vignette|Graphique de l'équation xx+xy+yy=z avec y=1.]]
En [[mathématiques]], la '''dérivée partielle''' d'une [[fonction de plusieurs variables]] est sa [[dérivée]] par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] en [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] <math>n</math>, de la [[géométrie différentielle]] et de l'[[analyse vectorielle]]. 

La dérivée partielle de la fonction <math>f</math> par rapport à la variable <math>x</math> est souvent notée <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math>.

Si <math>f</math> est une fonction de <math>x_1,\cdots,x_{n}</math>et <math>\mathrm{d}x_1,\cdots,\mathrm{d}x_n</math> sont les [[accroissement infinitésimal|accroissements]] [[asymptote|infinitésimaux]] de <math>x_1,\cdots,x_{n}</math> respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de <math>f</math> est :

:<math>\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,\mathrm dx_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\,\mathrm dx_n</math>.

Cette expression est la « [[différentielle]] totale » de <math>f</math>, chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de <math>f</math>.

Dans le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques : <math>f'=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{\partial f}{\partial x}</math>.

== Exemple ==

Considérons le [[volume]] d'un [[cône (géométrie)|cône]] <math>V</math> ; il dépend de la [[hauteur (géométrie)|hauteur]] <math>h</math> et du [[rayon (géométrie)|rayon]] <math>r</math> de la base suivant la formule
:<math>V=\frac{r^2h\pi}3</math>.

La dérivée partielle de <math>V</math> par rapport à <math>r</math> est 
:<math>\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2rh\pi}3</math>.

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante. 

La dérivée partielle par rapport à <math>h</math> est

:<math>\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{r^2\pi}3</math>

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

On peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés.
:<math>\mathrm dV=\frac{\partial V}{\partial r}\mathrm dr+\frac{\partial V}{\partial h}\mathrm dh=\frac{2rh\pi}3\mathrm dr+\frac{r^2\pi}3\mathrm dh=\left(\frac{ \partial V}{\partial r}\vec e_r+\frac{\partial V}{\partial h}\vec e_z\right)\cdot\left(\mathrm dr\vec e_r+\mathrm dh\vec e_z\right)
</math>
:<math>=\left(\frac{2rh\pi}3\vec e_r+\frac{r^2\pi}3\vec e_z\right)\cdot\left(\mathrm dr\vec e_r+\mathrm dh\vec e_z\right)=\overrightarrow{\operatorname{grad}}\, V\cdot \overrightarrow{\mathrm dOM}</math>
:Le point <math>O</math> est le sommet du cône et <math>M</math> est un point du rayon de la base.

Les [[Équation différentielle|équations différentielles]] faisant intervenir des dérivées partielles, appelées [[équations aux dérivées partielles]], se rencontrent dans de multiples contextes en sciences.

== Définition formelle et propriétés ==
Les dérivées partielles sont définies à partir de [[Limite (mathématiques)|limites]]. Leur définition est analogue à celle des dérivées « ordinaires », qu'elles généralisent.

{{Théorème|nom=Définition|
Soient <math>a=(a_1,\dots,a_n)</math> un point de <math>\R^n</math>, <math>U</math> un [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] de <math>a</math> dans <math>\R^n</math>, et <math>f:U\to\R</math> une fonction de <math>n</math> variables.

La dérivée partielle (d'ordre 1, ou première) de <math>f</math> au point <math>a</math> par rapport à la <math>j</math>{{e}} variable <math>x_j</math> est, si elle existe, la [[dérivée directionnelle]] de <math>f</math> au point <math>a_j</math> dans la direction du <math>j</math>{{e}} vecteur de la [[base canonique]]<ref>{{Ouvrage|titre=Cours d'analyse|vol=1|titre volume=Analyse vectorielle|auteur=Srishti D. Chatterji|éditeur=[[PPUR]]|année=1997|url={{Google Livres|GtaDSFURUNAC|page=79}}|page=79}}.</ref>, ou encore, la [[dérivée]] au point <math>a_j</math> de la [[fonction réelle d'une variable réelle]] <math>x\mapsto f(a_1,\dots,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots,a_n)</math> :
:<math>\frac{ \partial f}{\partial x_j}(a) =
\lim_{h \to 0}{
f(a_1, \dots , a_{j-1}, a_j+h, a_{j+1}, \dots ,a_n) -
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }
</math>.
|style=display:table}}

Même si toutes les dérivées partielles <math>\frac{ \partial f}{\partial x_1}(a),\, \dots,\, \frac{ \partial f}{\partial x_n }(a) </math> existent en un point donné, la fonction peut ne pas être [[Fonction continue|continue]] en ce point<ref>Les [[Contre-exemple|contre-exemples]] abondent. Voir celui de {{Ouvrage|auteur=S. Sarfati|auteur2=M. Fegyvères|titre=Mathématiques : méthodes, savoir-faire et astuces|page=375-376|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|année=1997|url={{Google Livres|1Fvh1S0hWyUC|page=376}}}} (repris par exemple dans {{Ouvrage|auteur=F. Cottet-Emard|titre=Analyse|vol=2|page=31|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|année=2006|url={{Google Livres|dFxzhVxKMngC|page=31}}}} et dans {{Ouvrage|auteur=X. Oudot|auteur2=M. Allano-Chevalier|titre=Maths [[Classes préparatoires physique, chimie, sciences de l'ingénieur|PCSI]]-[[PTSI]] {{1re|année}}|page=493-494|éditeur=[[Hachette Éducation]]|année=2008|url={{Google Livres|oC2A7iP7n5YC|page=494}}}}<!--et aussi dans https://books.google.fr/books?id=OPbkD-d-w-kC&pg=PA238 et dans https://books.google.fr/books?id=_gnXWziBhT8C&pg=PA421 etc.-->) et celui de {{Ouvrage|auteur=H. Muller|auteur2=A. Boisseau|auteur3=Weidenfeld|titre=Mathématiques PTSI|page=447|éditeur=Bréal|année=2008|url={{Google Livres|59Bghq6DScEC|page=447}}}} ou celui, plus simple, de {{Note autre projet|wikiversité|Calcul différentiel/Différentiabilité#Différentielles des fonctions de Rp dans Rq|« Différentielles des fonctions de R{{exp|p}} dans R{{exp|q}} »|début=}}</ref>. On dispose toutefois d'une [[condition suffisante]] de [[Différentielle|différentiabilité]] — et, ''a fortiori'', de continuité — d'une fonction en un point :

{{Théorème |nom=Théorème |Si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) de <math>f</math> sont définies dans un voisinage de <math>a</math> et continues au point <math>a</math>, alors <math>f</math> est différentiable en ce point. Il suffit même que l'une des dérivées partielles soit définie au point <math>a</math> et que les autres soient définies dans un voisinage de <math>a</math> et continues au point <math>a</math><ref>Voir {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Tom M. Apostol]]|titre=Mathematical Analysis|numéro d'édition=2|passage=357}}, {{Lang|en|Theorem}} 12.11, ou {{Note autre projet|wikiversité|Calcul différentiel/Différentiabilité#Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit|« Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit »|début=}}</ref>.
|style=display:table}}

Par conséquent, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] <math>U</math> alors la différentielle l'est aussi. Dans ce cas, on dit que <math>f</math> est de [[Classe de régularité|classe]] <math>C^1</math> sur <math>U</math>.

Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de <math>f</math> en un point donné <math>a</math> est appelé [[gradient]] de <math>f</math> au point <math>a</math> :

:<math>\overrightarrow{\operatorname{grad}}f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)</math> ; on le note aussi <math>\overrightarrow{\nabla} f(a) </math> (lire « [[nabla]] »).

Si <math>f</math> est de classe <math>C^1</math>, alors le gradient de <math>f</math> au point <math>a</math>, quand il est non nul, a une interprétation géométrique : il indique la direction selon laquelle <math>f</math> varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

== Dérivées partielles d'ordre supérieur ==
{{Voir|Théorème de Schwarz}}

Lorsque la dérivée partielle <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}</math> est définie au [[voisinage (mathématiques)|voisinage d'un point]], il se peut qu'elle admette elle-même des dérivées partielles d'ordre 1 en ce point : elles sont appelées dérivées partielles d'ordre 2, ou secondes, de <math>f</math> ; la dérivée partielle d'ordre 1 de <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}</math> au point <math>a</math> par rapport à la <math>j</math>{{e}} variable est notée <math>\frac{\partial^2f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a)</math>. On définit de manière analogue des dérivées partielles d'ordre supérieur.

Si <math>f</math> est deux fois dérivable en un point alors toutes les dérivées partielles secondes de <math>f</math> en ce point existent et l'ordre de dérivation peut être changé sans que cela modifie le résultat, d'après le [[théorème de Schwarz]] :
:<math>\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}</math>.

Si toutes les dérivées partielles secondes de <math>f</math> sont définies et continues sur un ouvert <math>U</math>, alors {{supra|Définition formelle et propriétés}} la [[Différentielle#Différentielle d'ordre supérieur|différentielle seconde]] de <math>f</math> l'est aussi. Dans ce cas, on dit que <math>f</math> est de classe <math>C^2</math> sur <math>U</math>.

== Notation ==
{{Avertissement|texte=Certaines informations présentées dans cette section ne font pas l'objet d'un consensus et doivent être utilisées avec précautions. Votre aide est la bienvenue dans l'onglet discussion.}}

Le [[Notations delta en sciences#∂ (symbole d rond)|caractère ∂, symbole de la dérivation partielle]], est appelé ''d'' rond, ou parfois ''d'' ronde (à ne pas confondre avec <math>\delta</math>, le delta minuscule de l'[[alphabet grec]]).

Soit <math>f</math> une fonction de <math>x</math>, <math>y</math> et <math>z</math>. 

La dérivée partielle par rapport à la première variable est notée :
:<math>\mathrm D_1f</math>{{exp|{{Harv|Chatterji|1997|texte=Chatterji p. 79}}}}, <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>f_x'</math> ou <math>\partial_x f</math>

et celles du second ordre :
:<math>\mathrm D_{1,1}f</math>{{exp|{{Harv|Chatterji|1997|texte=Chatterji p. 123}}}}, <math>\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2}</math>, <math>f_{x,x}''</math>, <math>\partial_{x,x} f</math> ou <math>\partial^2_x f</math>.

Celles du second ordre impliquant deux variables — appelées '''dérivées mixtes du second ordre'''<ref name=Chatterji121>{{Harvsp|Chatterji|1997|p=121}}.</ref> — s'écrivent :

:<math>\mathrm D_{1,2}f</math>{{exp|{{Harv|Chatterji|1997|texte=Chatterji p. 123}}}}, <math>\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y}</math>, <math>f_{x,y}''</math> ou <math>\partial_{x,y} f</math>.

et

:<math>\mathrm D_{2,1}f</math>{{exp|{{Harv|Chatterji|1997|texte=Chatterji p. 123}}}}, <math>\frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x}</math>, <math>f_{y,x}''</math> ou <math>\partial_{y,x} f</math>.

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifier celles qui sont maintenues constantes. 

Dans des domaines comme la [[thermodynamique]] ou la [[mécanique statistique]], la dérivée partielle de <math>f</math> par rapport à <math>x</math>, les variables <math>y</math> et <math>z</math> étant maintenues constantes, est souvent notée <math>\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}</math>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Divergence (analyse vectorielle)]]
* [[Matrice jacobienne]]
* [[Rotationnel]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse à plusieurs variables]]
[[Catégorie:Dérivée|Partielle]]