Voir la source de Déterminant (mathématiques)

{{Voir homonymes|Déterminant}}
{{confusion|Discriminant}}
{{à sourcer|date=octobre 2020}}
[[Fichier:Area parallellogram as determinant.svg|vignette|L'aire du parallélogramme est la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par les vecteurs correspondants aux côtés du parallélogramme.]]
En [[mathématiques]], le '''déterminant''' est une valeur qu'on peut associer aux [[Matrice (mathématiques)|matrices]] ou aux [[application linéaire|applications linéaires]] en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la [[géométrie euclidienne]] en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'[[Orientation (mathématiques)|orientation]]. Il fut initialement introduit en [[algèbre]], pour résoudre un [[système d'équations linéaires]] comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des [[Endomorphisme linéaire|endomorphismes]], la recherche de leurs [[valeur propre|valeurs propres]], les propriétés d'[[indépendance linéaire]] de certaines [[famille (mathématiques)|familles]] de [[espace vectoriel|vecteurs]], mais aussi dans le [[Différentielle|calcul différentiel]], par exemple dans la formule de [[Intégration par changement de variable|changement de variables]] dans les [[Intégrale multiple|intégrales multiples]].

Comme pour de nombreuses [[Opération (mathématiques)|opérations]], le déterminant peut être défini par une collection de propriétés ([[axiome]]s) qu'on résume par le terme « [[forme multilinéaire]] [[Application_multilinéaire#Application_alternée|alternée]] ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir ses champs d'applications.
Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension ''n'' de la notion d'[[aire (géométrie)|aire]] ou de [[volume]] [[Orientation (mathématiques)|orientés]].

Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude du déterminant et de ses généralisations : il s'agit de l'[[algèbre multilinéaire]].

== Histoire des déterminants ==

Les déterminants sont introduits en Occident à partir du {{s-|XVI}} par Cardan<ref name="Knobloch encyclopedia" />, soit bien avant les [[Matrice (mathématiques)|matrices]], qui n'apparaissent qu'au {{s-|XIX}}. Les Chinois sont cependant les premiers{{Référence nécessaire|date=8 septembre 2022}} à utiliser des tableaux de nombres et à appliquer un [[algorithme]] maintenant connu sous le nom de procédé d'[[élimination de Gauss-Jordan]].

=== Premiers calculs de déterminants ===

Dans son sens originel, le déterminant ''détermine'' l'unicité de la solution d'un [[système d'équations linéaires]]. Il est introduit dans le cas de la taille 2 par [[Jérôme Cardan|Cardan]] en 1545 dans son ''[[Ars Magna (Girolamo Cardano)|Ars Magna]]'', sous forme d'une ''règle'' pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues<ref name="Knobloch encyclopedia">{{ouvrage|lang=en|lien auteur=Eberhard Knobloch|chapitre=Determinants|lien éditeur=Ivor Grattan-Guinness|éditeur=I. Grattan-Guinness|titre=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences|lieu=Londres|année=1994|ISBN=978-0-415-03785-3|pages=766-774}}.</ref>. Cette première formule porte le nom de ''regula de modo''.

[[Image:Seki.jpeg|thumb|upright=0.8|Le Japonais [[Seki Kōwa]] introduit le premier des déterminants de taille 3 et 4, à la même époque que l'Allemand [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]].]]

L'apparition des déterminants de taille supérieure demande ensuite plus de cent ans. Alors que le Japon est coupé du monde extérieur, le Japonais [[Seki Kōwa]] et l'Allemand [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] en donnent les premiers exemples presque simultanément.

Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi ''ij'' pour ''a<sub>i, j</sub>''. En 1678, il s'intéresse à un système de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4, correct aux signes près<ref>{{Ouvrage |langue=de |auteur=[[Eberhard Knobloch]] |titre=Der Beginn der Determinantentheorie |sous-titre=Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül |lieu=Hildesheim |éditeur=Gerstenberg |année=1980}}.</ref>. Leibniz ne publie pas ses travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard.

À la même période, Seki Kōwa publie un manuscrit sur les déterminants, où il énonce une formulation générale difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieure<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur=Yoshio Mikami |lien auteur=Yoshio Mikami |titre=The Development of Mathematics in China and Japan |lieu=New York |éditeur=Chelsea Pub. Co. |numéro édition=2 |année première édition=1913}}.</ref>. La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.

=== Déterminants de taille quelconque ===

En 1748, un traité d'algèbre posthume de [[Colin Maclaurin|Maclaurin]] relance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte de la solution d'un système de quatre équations et quatre inconnues<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur=Carl Benjamin Boyer|titre=A History of Mathematics|éditeur=Wiley|année=1968}}.</ref>.

En 1750, [[Gabriel Cramer|Cramer]] formule les règles qui permettent de résoudre un système de ''n'' équations et ''n'' inconnues, mais sans en donner la démonstration<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur=Gabriel Cramer |titre=Introduction to the analysis of algebraic curves |année=1750}}.</ref>. Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées sur la notion de [[signature d'une permutation]]<ref>{{de}} [[Moritz Cantor]], ''Geschichte der Mathematik'', Teubner, 1913.</ref>.

Les mathématiciens s'emparent de ce nouvel objet, avec des articles de [[Étienne Bézout|Bézout]] en 1764<ref>{{Article|auteur1=Étienne Bézout|titre=Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues, et sur les moyens qu'il convient d'employer pour trouver ces Équations|périodique=Mémoires de l'Académie Royale|pages=288–338|date=1764|lire en ligne=https://archive.org/details/123Bezout/mode/2up}}.</ref>, de [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]] en 1771<ref>{{Article|auteur1=Alexandre-Théophile Vandermonde|titre=Mémoire sur l'élimination|périodique=Histoire de l'Académie Royale des Sciences|pages=516–532|lieu=Paris|date=1772|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=IuEEAAAAQAAJ&pg=PA516&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}.</ref> (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la [[matrice de Vandermonde]] actuelle<ref group=Note>{{citation|La grande notoriété n'est assurée en mathématiques qu'aux noms associés à une méthode, à un théorème, à une notation. Peu importe d'ailleurs que l'attribution soit fondée ou non, et le nom de Vandermonde serait ignoré de l'immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui n'est pas de lui !}} Victor-Amédée Lebesgue, conférence d'Utrecht, 1837.</ref> ; c'est un exemple célèbre d'illustration de la [[loi de Stigler]]). En 1772, [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] découvre le lien entre le calcul des déterminants et celui des volumes<ref>{{Article|auteur1=Joseph-Louis Lagrange|titre=Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d'un corps de figure quelconque qui n'est animé par aucune force accélératrice|périodique=Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin|pages=579–616|date=1773|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f580}}.<!--https://books.google.se/books?id=epxGAAAAcAAJ&pg=PA579-->.</ref>.

[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] utilise pour la première fois le mot « déterminant » dans les ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions aujourd'hui de [[discriminant]] d'une [[forme quadratique]] binaire et qui est un cas particulier du déterminant moderne. Il est également près d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit<ref name="St Andrew">L'essentiel des informations de ce paragraphe provient de {{MacTutor|class=history|id=HistTopics/Matrices_and_determinants|title=Matrices and determinants}}</ref>.

=== Mise en place de la notion moderne de déterminant ===

[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] emploie le mot déterminant dans son sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de synthèse de 1815 sur cette question : {{Citation bloc|{{M.|Gauss}} s'en est servi avec avantage dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae|Recherches analytiques]]'' [sic] pour découvrir les propriétés générales des formes du second degré, c'est-à-dire des [[Polynôme en plusieurs indéterminées|polynômes du second degré à deux ou plusieurs variables]], et il a désigné ces mêmes fonctions sous le nom de ''déterminants''. Je conserverai cette dénomination qui fournit un moyen facile d'énoncer les résultats ; j'observerai seulement qu'on donne aussi quelquefois aux fonctions dont il s'agit le nom de ''[[résultant]]es'' à deux ou à plusieurs lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, ''déterminant'' et ''résultante'', devront être regardées comme synonymes<ref>Augustin Louis Cauchy, « Mémoire  sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs […] », ''Journal de l'École polytechnique'', {{XVIIe|cahier}}, {{tome|X}}, Paris, 1815 — [http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_1_91_0 ''Œuvres complètes'', série 2, {{tome|1}}, {{p.|91-169}}] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x/f118.item {{p.|112-113}}]).</ref>.}}

Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, ainsi que des propositions nouvelles comme le fait que l'[[application transposée]] ne modifie pas le déterminant ainsi que la formule du déterminant d'un produit. [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] propose également une démonstration cette même année.

En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841 dans le [[journal de Crelle]], [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Jacobi]] donne une véritable notoriété à la notion<ref name="St Andrew" />. Pour la première fois, il présente des méthodes de calcul systématiques, sous forme algorithmique. Il devient également possible d'évaluer des déterminants de fonctions avec la naissance du [[jacobien]].

De 1832 à 1844, les travaux de [[Hermann Grassmann|Grassmann]] fondent l'[[algèbre extérieure]] et donnent un sens plus général aux déterminants au travers de la représentation des [[grassmannienne]]s.

Le cadre matriciel est introduit par les travaux de [[Arthur Cayley|Cayley]] et [[James Joseph Sylvester|Sylvester]]. Cayley est également l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit la formule de calcul de l'inverse.

La théorie s'étoffe par l'étude de déterminants ayant des propriétés de symétrie particulières et par l'introduction du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le [[wronskien]] pour les [[Équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]].

En 1867, [[Lewis Carroll]] s’appuie sur le traité ''Theorie und Anwendung der Determinanten'' publié par {{Lien|langue=de |trad=Richard Baltzer (Mathematiker) |texte=Richard Baltzer}} en 1864 pour rédiger lui-même ''{{Langue|en|Elementary Treatise on Determinants: With Their Application to Simultaneous Linear Equations and Algebraical Geometry}}'', dans lequel il énonce dix-sept propriétés dont sept sont, d'après lui, originales<ref>{{en}} [[Lewis Carroll|Charles L. Dodgson]], [https://archive.org/stream/UTL-Carroll-Reel855#page/n0/mode/2up ''{{Langue|en|An Elementary Treatise on Determinants}}''], introduction: « ''Of the seventy Propositions contained in the following treatise, ten are substantially taken from Baltzer's treatise on Determinants; also the Geometrical Tests, given in Chapter VIII, are to be found in most works on Algebraical Geometry: the rest of the matter is, so far as I know, original, and consists of a series of Propositions which the object I had in view obliged me to introduce.'' »</ref>.

== Premiers exemples : aires et volumes ==
Les calculs d'[[aire (géométrie)|aires]] et de [[volume]]s sous forme de déterminants dans des [[espace euclidien|espaces euclidiens]] apparaissent comme des cas particuliers de la notion générale. Cette vision des déterminants permet une approche plus géométrique de leurs propriétés.

=== Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien ===
[[Image:Determinant de vecteur dim 2.svg|thumb|upright=0.9|Le déterminant des vecteurs ''X'' et ''X{{'}}'' est l'aire (orientée) du parallélogramme généré par les deux vecteurs (en bleu).]]
[[Image:Determinant_Addition.svg|thumb|upright=2|[[Preuve sans mots]] de l'égalité Det(''X'' , ''X{{'}}'') = ''y{{'}}x-yx{{'}}'' (pour ''y{{'}}''>''y'' et ''x''>''x{{'}}'').]]
Soit ''P'' le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs <math>X</math> et <math>X'</math> est donné par l'expression analytique
:<math>\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx' </math>
ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique 
:<math>\det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta</math>
dans laquelle <math>\theta</math> est l'[[angle]] orienté formé par les vecteurs <math>X</math> et <math>X'</math>.

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==== Propriétés ====
* La [[valeur absolue]] du déterminant est égale à l'aire du [[parallélogramme]] défini par <math>X</math> et <math>X'</math> (en effet, <math>\|X'\|\sin \theta</math> est la longueur de la hauteur du parallélogramme associée au côté <math>X</math> et l'aire du parallélogramme est <math>\|X\| \times \|X'\|\sin \theta</math>).
* Le déterminant est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme devient une ligne).

Cette annulation apparaît comme un test de [[proportionnalité]] des composantes des vecteurs par [[Règle de trois|produit en croix]].

* Le déterminant des vecteurs <math>X</math> et <math>X'</math> est strictement positif si et seulement si la mesure principale de l'angle entre ces deux vecteurs est comprise dans l'intervalle <math>]0, \pi[</math>.
* L'application déterminant <math>(X, X') \mapsto \det(X,X')</math> est [[bilinéaire]] : la linéarité par rapport au premier vecteur s'écrit{{Retrait|<math>\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')</math>}}et celle par rapport au second vecteur s'écrit{{Retrait|<math>\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y').</math>}}

[[Image:Deux_parallelogrammes-det.png|thumb|upright=1.3|La somme des aires de deux parallélogrammes adjacents (vert et bleu) est égale à celle du parallélogramme gris.]]
On peut illustrer la linéairité en considérant deux parallélogrammes adjacents, l'un défini par les vecteurs ''u'' et ''v'', l'autre par les vecteurs ''u{{'}} et ''v''. L'aire du parallélogramme défini par les vecteurs ''u''+''u{{'}} et ''v'' est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes précédents, à laquelle est enlevée l'aire d'un triangle, et ajoutée l'aire d'un autre triangle ; les deux triangles se correspondant par translation. La formule suivante est vérifiée :{{retrait|<math>\det(u+u', v)=\det(u, v)+\det(u', v).</math>}}

Ce dessin correspond à un cas particulier de la formule de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de façon que les aires aient le même signe, mais il aide à en saisir le contenu géométrique.

==== Généralisation ====
Il est possible de définir la notion de déterminant dans un plan euclidien orienté muni d'une [[base orthonormale]] directe ''B'', en utilisant les coordonnées des vecteurs dans cette base. Le calcul de déterminant donne le même résultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie pour le calcul.

=== Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien ===
Soit ''E'' l'espace euclidien orienté usuel de dimension 3. Le déterminant de trois vecteurs de ''E'' est donné par
:<math>\begin{align}
\det(X,X',X'') &= \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z''
\end{vmatrix}=x \begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} x' & x'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} x' & x'' \\ y' & y'' \end{vmatrix} \\
&= x(y'z''-y''z')-y(x'z''-x''z')+z(x'y''-x''y')\\
&= xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z.
\end{align}</math>

Ce déterminant porte encore le nom de [[produit mixte (dimension trois)|produit mixte]] en dimension 3 ; un procédé visuel pour retrouver cette formule est connu sous le nom de [[Règle de Sarrus#Dimension 3|règle de Sarrus]].

==== Propriétés ====
[[Image:Déterminant-3D.jpg|thumb|right|Illustration de la trilinéarité, det(u+u', v, w) = det(u, v, w) + det(u', v, w).]]
* La valeur absolue du déterminant est égale au [[volume]] du [[parallélépipède]] défini par les trois vecteurs.
* Le déterminant est nul si et seulement si les trois vecteurs sont contenus dans un même plan (parallélépipède « plat »).
* L'application déterminant est [[application multilinéaire|trilinéaire]] : notamment
:<math>\det(aX+bY,X',X'')=a\det(X,X',X'')+b\det(Y,X',X'').</math>

Comme pour la bilinéarité (vu supra), une illustration géométrique peut s'obtenir en considérant deux parallélépipèdes adjacents, c'est-à-dire possédant une face commune.

[[Image:Orientation-déterminant.jpg|thumb|upright=1.5|Il est possible de passer du cube jaune au parallélépipède vert par déformation continue. Ce n'est pas possible pour le parallélépipède rouge qui est l'image miroir du vert.]]

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=== Interprétation du signe du déterminant : orientation ===
{{Article détaillé|orientation (mathématiques)}}
Dans le plan, le signe du déterminant s'interprète comme le signe de l'angle orienté.

Dans l'espace à trois dimensions, le [[cube unité]] sert de référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède non plat possède un déterminant positif s'il est possible de l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir, le cube unité.

Le déterminant est au contraire négatif s'il est nécessaire d'appliquer en plus une symétrie, c'est-à-dire si le cube unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépipède, puis en observant le résultat de cette déformation dans un miroir.
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=== Approche intuitive du déterminant d'une application linéaire ===
Une [[application linéaire]] est une application qui transforme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire. Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application est linéaire si les coordonnées ''x'', ''y'' et ''z'' d'un vecteur ont pour image ''x{{'}}'', ''y{{'}} et ''z{{'}}'' avec :
<center><math>\begin{matrix} x'= ax + by +cz\\ y'= dx + ey+fz \\z'=gx+hy+iz \end{matrix}</math></center>
où ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' et ''i'' sont des nombres.

[[Image:Determinant (1).jpg|thumb|upright=1.5|Exemple d'applications linéaires : la première transforme le cube jaune en un volume vert et la seconde en un volume aplati rouge. Ces deux cas correspondent à des situations différentes en mathématiques. La première fonction du déterminant est de fournir un moyen de séparer ces cas.]]

Pour être plus précis, le déterminant d'une application linéaire est un nombre, qui représente un facteur multiplicatif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume 1, alors le volume du cube vert est la valeur absolue du déterminant de la première application. La deuxième application a un déterminant nul, ce qui correspond à un aplatissement des volumes.

Le déterminant est positif s'il est possible de déformer continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au contraire négatif s'il est nécessaire d'y appliquer en plus une symétrie.

En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour le cube unité jaune. Tout volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du déterminant.

Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un espace dans lui-même dans le cas de toutes les [[Dimension d'un espace vectoriel|dimensions]] finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée : ainsi un « hypercube » ayant ses arêtes de longueur 2 dans un espace euclidien de dimension ''n'' aurait un déterminant (sorte d'« hypervolume ») de 2{{exp|''n''}}. En revanche, si l'espace est de dimension infinie, alors le déterminant n'a plus de sens.

== Cadre d'utilisation ==
=== Déterminant et équations linéaires ===
{{Article détaillé|Règle de Cramer}}
Il existe un cas de calcul numérique très fréquent pour les ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s'agit de la résolution d'un [[Équation linéaire|système d'équations linéaires]]. Si le système possède autant d'équations que de variables, on peut espérer avoir l'existence et l'unicité d'une solution. Mais ce n'est pas toujours le cas, par exemple en cas de répétition de la même équation, plusieurs solutions conviendront.

Plus précisément, à un système de ''n'' équations et ''n'' inconnues peut être associé un déterminant. L'existence et l'unicité de la solution est obtenue si et seulement si le déterminant est différent de 0. Ce problème est l'origine historique de l'introduction des déterminants.

Il est possible, non seulement de garantir l'existence et l'unicité de la solution, mais la [[règle de Cramer]] fournit un calcul exact de la solution à l'aide de déterminants. Cette méthode n'est ni la plus rapide, ni la plus simple, elle est peu pratiquée pour les calculs explicites, elle est néanmoins utile pour établir certains résultats théoriques, tels que la dépendance par rapport aux paramètres.

==== Lien avec l'aplatissement des volumes ====

Un [[système d'équations linéaires|système de 3 équations linéaires]] à 3 inconnues peut être mis sous forme d'une [[équation linéaire]] ''u''(''X'') = ''B'' où ''X'' = (''x'', ''y'', ''z'') est un vecteur dont les composantes sont les inconnues du système, ''u'' une application linéaire de l'espace et ''B'' un vecteur. La résolution du système peut être formulée de façon géométrique : le vecteur ''B'' est-il l'image d'un certain vecteur ''X'' par ''u'' ? Ce dernier est-il unique ? Le déterminant de ''u'' apporte la réponse : l'existence et l'unicité sont obtenues si et seulement s'il est non nul.

En reprenant l'exemple du cube, il suffit de considérer un [[pavage]] de l'espace par le cube jaune et ses images par des translations selon les trois directions. Une famille de cubes jaunes adjacents remplit alors tout l'espace.

* Si le déterminant n'est pas nul, alors l'image de ce pavage est un pavage de parallélépipèdes de couleur verte, remplissant également tout l'espace. Ceci signifie que tous les vecteurs de l'espace sont des vecteurs images. Notamment, le vecteur ''B'' est bien recouvert par l'un des volumes verts. Il est image d'un vecteur ''X'' du volume jaune correspondant.
* En revanche, si le déterminant est nul, alors l'image du pavage ne remplit pas l'espace entier. Dans l'exemple du cube aplati rouge, elle ne remplit qu'un plan. Certains vecteurs ne sont jamais atteints, les autres sont l'image de plusieurs vecteurs à la fois.

Plus généralement, pour un système de ''n'' équations et ''n'' inconnues, le déterminant indique si les images par ''u'' remplissent l'espace entier ou seulement un sous-espace.

=== Déterminant et réduction ===
Les applications linéaires apparaissent non seulement en géométrie élémentaire mais aussi dans de nombreux domaines avancés comme certaines résolutions d'[[équation différentielle|équations différentielles]], la définition d'algorithmes rapides ou la résolution de problèmes théoriques. Il est important de comprendre leur comportement.

Un outil d'analyse fécond consiste à répertorier les axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecteurs par une constante. Ce rapport de dilatation est appelé [[valeur propre]] et les vecteurs auxquels il s'applique [[vecteur propre|vecteurs propres]].

Le phénomène d'aplatissement des volumes peut être mesuré par un déterminant. Il correspond au cas où, selon une certaine direction, les vecteurs sont multipliés par un rapport de dilatation égal à 0 (valeur propre nulle). Plus généralement, toutes les valeurs propres peuvent être obtenues par le calcul d'un déterminant à paramètre, appelé [[polynôme caractéristique]].

=== Déterminant et intégrale multiple ===
[[Image:Jacobien.jpg|thumb|Jacobien.]]
Ainsi que le montre l'approche intuitive, le déterminant caractérise la modification de volume d'un parallélépipède par un [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]]. L'[[intégrale multiple]] est un outil de détermination des volumes dans le cas général. Elle utilise la notion de déterminant dans le cadre du [[intégration par changement de variable|changement de variables]]. Il prend alors le nom de [[jacobien]]. Il peut être imaginé comme le ''rapport des volumes élémentaires'' avant et après changement de variables, en usant de la terminologie des éléments différentiels.

Plus précisément, le comportement d'une application [[différentielle|différentiable]] au voisinage d'un point est, au premier ordre, analogue en termes de modification de volume à une application linéaire ayant comme déterminant le jacobien.
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=== Déterminant et amortissement dans les équations différentielles ===
[[Image:Wronskien.png|upright=1.4|frame|Fig. 9. Exemple du pendule de longueur variable, sans amortissement. En bleu et en rouge sont représentées deux solutions particulières, dans l'espace des phases. L'aire formée par les deux solutions reste constante au cours du temps.]]
En physique, notamment en mécanique du point, l'[[équation différentielle linéaire d'ordre deux]] est fréquente. Elle se présente sous la forme <math>y''=ay'+by+c</math>, dans laquelle <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> peuvent être des coefficients constants ou plus généralement des fonctions (par exemple du temps). Le terme <math>a</math> est appelé facteur d'amortissement.

Cette équation différentielle est associée à un déterminant, appelé [[wronskien]]. Il s'interprète comme une aire dans le plan (''y'', ''y{{'}}'') appelé [[espace des phases]] par les physiciens. Cette aire reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif. S'il n'est pas toujours possible d'exhiber une solution explicite, le wronskien est toujours calculable.

Le wronskien peut être généralisé à toutes les [[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]].
{{clr}}

== Définition du déterminant ==
=== Généralisation à une dimension quelconque ===

Les notions de parallélogramme et de parallélépipède sont généralisées à un [[espace vectoriel]] ''E'' [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]] ''n'' sur ℝ{{note|groupe=Note|texte=Le cas particulier ''n'' =0, correspondant à l'[[espace nul]], demande donc le calcul du déterminant d'une famille de 0 vecteurs, c'est-à-dire d'une famille vide ; on prend par convention le déterminant égal à 1 dans ce cas<ref name=vide/>.}}. À ''n'' vecteurs ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'' de ''E'' est associé un [[parallélotope]]. Il est défini comme la partie de ''E'' formée par l'ensemble des combinaisons des ''x<sub>i</sub>'' à coefficients compris entre 0 et 1
:<math>P=\left\{x=\sum_{i=1}^n t_i x_i \Bigg|\,  \forall i , 0\leq t_i \leq 1\right\}.</math>
Il convient de voir dans ce parallélotope une sorte de ''pavé oblique''.

Lorsque l'espace est muni d'un [[produit scalaire]], il est possible de définir le '''volume''' de ce parallélotope, parfois appelé son hypervolume pour souligner que la dimension de l'espace concerné n'est pas forcément 3. Il vérifie les propriétés suivantes :
* les volumes de deux pavés adjacents par une face s'ajoutent ;
* la multiplication d'un des vecteurs définissant le pavé par une constante induit la multiplication du volume par cette constante ;
* le volume d'un pavé formé par la répétition du même vecteur (ce qui constitue un cas particulier de pavé plat), est nul.

Un changement de produit scalaire sur l'espace ''E'' modifie les mesures de longueurs, angles, et par conséquent de volumes. Cependant la théorie des déterminants montrera qu'à une constante multiplicative près, il n'existe qu'une unique méthode de calcul des volumes dans un espace vectoriel de dimension ''n''.

En reprenant un espace vectoriel ''sans structure particulière'', la notion de déterminant a pour objectif de donner un sens intrinsèque au « volume » du parallélotope, sans référence à un produit scalaire par exemple, c'est-à-dire de construire une fonction ''f'', qui à ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'' associe un [[Nombre réel|réel]], et vérifie les propriétés précédentes. Une telle application est appelée une forme ''n''-linéaire alternée.

=== Formes ''n''-linéaires alternées ===
{{Article détaillé|Application multilinéaire}}
La notion de '''forme ''n''-linéaire alternée''' généralise les propriétés précédentes. Elle se définit comme une application de ''E<sup>n</sup>'' dans ℝ, qui est :
* [[application linéaire|linéaire]] en chaque variable. Ainsi pour des vecteurs ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>, x'<sub>i</sub>'' et deux scalaires ''a'' et ''b''
:<math>f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx'_i,x_{i+1}, \dots, x_n )=a f(x_1, \dots, x_n) + bf(x_1, \dots,x'_i,\dots x_n)</math> ;
* alternée, signifie qu'elle s'annule à chaque fois qu'elle est évaluée sur un ''n''-uplet contenant deux vecteurs identiques
:<math>[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0</math>.

L'article détaillé procède à l'étude systématique des formes ''n''-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension ''n'' non nulle.

Le résultat principal est la possibilité de ramener le calcul de l'image de <math>(x_1,..., x_n)</math> à celui d'images des vecteurs de base par ''n''-linéarité. En outre le caractère alterné permet de changer l'ordre des vecteurs, de sorte qu'il suffit de connaître l'image <math>f(e_1, ... , e_n)</math> des vecteurs d'une base, pris dans l'ordre, pour connaître ''f''. Remettre les vecteurs dans l'ordre fait intervenir la notion de [[permutation]].

{{Théorème|L'ensemble des formes ''n''-linéaires alternées sur un espace vectoriel ''E'' de dimension ''n'' constitue une [[droite vectorielle]].

De plus, si <math>(e_{1},\dots,e_{n})</math> est une base de ''E'', on peut exprimer l'image d'un ''n''-uplet de vecteurs par
:<math>f(x_1,\dots,x_n )=  \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})</math> <ref group=Note name="notations_permutations">Notations : <math>\mathfrak{S}_n</math> désigne l'ensemble des [[permutation]]s de <math>\{1,\cdots,n\}</math> et <math>\varepsilon(\sigma)</math> la [[signature d'une permutation|signature]] de la permutation <math>\sigma</math> (1 pour une permutation paire, -1 pour une permutation impaire).</ref>
avec <math>X_{i,j}</math> la ''i''-ème composante de <math>x_j</math>.}}

=== Déterminant d'une famille de ''n'' vecteurs dans une base ===

'''Définition'''

On suppose ''E'' muni d'une base <math>B=(e_1,\dots,e_n)</math>.
{{énoncé|L'application '''déterminant en base ''B''''' est l'unique forme ''n''-linéaire alternée sur ''E'' vérifiant <math> f(e_1,\dotsc , e_n)=1</math>, abrégé en <math>\det{}_B(e_1,\dotsc , e_n)=1</math> ou encore <math> \det{}_B(B)=1</math>.
}}

On peut se représenter cette quantité comme une sorte de volume de pavé, relativement à la base ''B''.

;Formule de Leibniz

[[Image:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|thumb|upright|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]] introduit les premiers déterminants de taille 3 et plus.]]
Soient ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'' des vecteurs de ''E''. Il est possible de représenter ces ''n'' vecteurs par ''n'' matrices colonnes, formant par juxtaposition une matrice carrée ''X''.

Le déterminant de ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'' relativement à la base ''B'' vaut alors<ref group=Note name="notations_permutations" />
{{énoncé|<math>\det{}_B(x_1,\dots, x_n)=\sum_{\sigma\in \mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j}</math>.}}
Cette formule porte parfois le nom de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]. Elle présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet d'établir plusieurs résultats théoriques.

En physique, on rencontre souvent la formule de Leibniz exprimée à l'aide du [[symbole de Levi-Civita]], en utilisant la [[convention d'Einstein]] pour la sommation des indices :
:<math>\det(A)=\varepsilon^{i_1\cdots i_n}{A^1}_{i_1}\cdots {A^n}_{i_n}</math>.

;Formule de changement de base

Si ''B'' et ''B{{'}}'' sont deux bases de ''E'', les applications déterminants correspondantes sont proportionnelles (avec un rapport non nul)
{{énoncé|<math>\det{}_{B'}(x_1,\dotsc, x_n)=\det{}_{B'}(B)\times \det{}_{B}(x_1,\dotsc, x_n)</math>.}}
Ce résultat est conforme à l'interprétation en termes de volume relatif.

=== Déterminant d'une matrice ===
{{Article détaillé|Calcul du déterminant d'une matrice}}
Soit une [[matrice (mathématiques)|matrice]] ''A'' = (''a<sub>ij</sub>'') carrée d'ordre ''n'' à coefficients réels. Les [[vecteur colonne|vecteurs colonnes]] de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel ℝ{{exp|''n''}}. Ce dernier est muni d'une [[base canonique]].

Il est alors possible de définir le '''déterminant de la matrice ''A''''' comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique. Il est noté det(''A'') puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence.

Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la [[matrice identité]] vaut 1. Enfin il vérifie la formule de Leibniz :
:<math>\det(A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} 
\varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{ \sigma(i),i}</math><ref group=Note name="notations_permutations" />.

Ce déterminant se note fréquemment avec des barres verticales :
:<math>\det \begin{pmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{vmatrix}.</math>

La présentation matricielle apporte une propriété essentielle : une matrice a le même déterminant que sa [[matrice transposée|transposée]]<ref group=Note name=Wikiversité>Une démonstration est disponible par exemple dans {{Harvsp|Balac|Sturm|2003}}, dans {{Harvsp|Marco|Lazzarini|2012}}, {{Harvsp|Cottet-Emard|2005}} et dans le chapitre « Déterminant » sur [[Wikiversité]] {{infra|Voir aussi}}.</ref>
:<math>\det A = \det \left(^{\operatorname t}\!A\right)</math>,

ce qui signifie que le déterminant de ''A'' se voit aussi comme le déterminant du système des vecteurs lignes, relativement à la base canonique.

=== Déterminant d'un endomorphisme ===

Soit ''u'' un [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] d'un [[espace vectoriel de dimension finie]]. Toutes les [[Matrice d'une application linéaire|matrices représentatives de ''u'']] ont le même déterminant. Cette valeur commune est appelée déterminant de ''u''.

Le déterminant de ''u'' est la valeur par laquelle ''u'' multiplie les déterminants de vecteurs
:<math>\det{}_B(u(x_1),\dots, u(x_n))=\det u \times \det{}_B(x_1,\dots, x_n)</math>.

{{démonstration|titre=Démonstration de ces deux propriétés|contenu= 
On introduit l'application <math>d_{u,B}</math> qui à ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' associe
:<math>d_{u,B}(x_1,\dots,x_n) = \det{}_B(u(x_1), \dots, u(x_n))</math>.
C'est une forme ''n''-linéaire alternée et sa valeur sur les vecteurs de ''B'', qu'on note <math>d_{u,B}(B)</math>, est justement le déterminant de la matrice représentative de ''u'' dans la base ''B''.
La forme <math>d_{u,B}</math> est donc proportionnelle au déterminant en base ''B'', le rapport de proportionnalité se calculant en prenant l'image des vecteurs de ''B''
:<math>d_ {u,B}= d_{u,B}(B) \times \det{}_B</math>,
ce qui signifie, pour un ''n''-uplet de vecteurs :
:<math>\det{}_B(u(x_1),\dots, u(x_n))=d_{u,B}(B) \times  \det{}_B(x_1,\dots, x_n) \qquad (1)</math>.

Il reste à prouver que si ''B{{'}}'' est une autre base de ''E'', ''d<sub>u, B</sub>''(''B'') est identique à ''d<sub>u, B{{'}}</sub>''(''B{{'}}''). Pour cela, on utilise la formule de changement de base dans les deux membres de (1). 
}}

Notamment, les endomorphismes de déterminant 1 conservent le déterminant des familles de vecteurs. Dans le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] [[Groupe général linéaire|GL(''E'')]], ils forment un [[sous-groupe]], noté SL(''E'') et appelé '''[[Groupe général linéaire#Groupe spécial linéaire|groupe spécial linéaire]]'''. Dans un espace réel de dimension 2, ils se conçoivent comme les applications linéaires conservant les aires orientées, en dimension trois les volumes orientés.

{| border="0" align="right"
|+ Effet d'une transvection dans l'espace (conservation du volume)
|
!
|-
| align="center" | [[Image:Transvection-1.jpg|thumb|180px|Cube avant transvection]]
| align="center" | [[Image:Transvection-2.jpg|thumb|310px|Cube après transvection]]
|}

On démontre que ce groupe est engendré par les [[transvection]]s, dont la matrice dans une base adaptée est de la forme

:<math>\begin{pmatrix}
1 &  &  & &   \\ 
& 1 &  \lambda  &  \\ 
&  &\ddots&  &  \\ 
&  &  & 1 &  \\ 
&  &  &  & 1 
\end{pmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}.</math>

Par construction même du déterminant des endomorphismes, deux [[matrice semblable|matrices semblables]] ont le même déterminant.

== Propriétés ==

Quitte à effectuer le choix d'une base, il est possible d'énoncer ces propriétés dans le cadre matriciel.

=== Caractère ''n''-linéaire alterné ===

L'application déterminant sur les familles de vecteurs est une forme multilinéaire alternée. Utiliser cette propriété sur une matrice demande d'exprimer le système de vecteurs colonnes, ou de vecteurs lignes.

Par exemple si la matrice ''A'' admet pour colonnes ''C''<sub>1</sub>..., ''C<sub>n</sub>'' avec ''C<sub>i</sub>'' de la forme ''C<sub>i</sub> = aC '<sub>i</sub> + C ' '<sub>i</sub>''
:<math>\det(C_1,C_2,\dots,aC'_i+C''_i,\dots,C_n)=a\det(C_1,\dots,C'_i,\dots, C_n)+\det(C_1,C_2,\dots,C''_i,\dots,C_n)</math>.

Voici l'effet des [[opération élémentaire|opérations élémentaires]] sur les colonnes de la matrice :
* multiplier une colonne par ''a'', entraîne la multiplication du déterminant par la même valeur ;
* échanger deux colonnes, entraîne la multiplication du déterminant par –1 ;
* ajouter à une colonne une combinaison linéaire des ''autres'' colonnes ne modifie pas le déterminant.

Notamment, si toutes les colonnes sont multipliées par ''a'', le résultat est une multiplication par ''a<sup>n</sup>'' du déterminant
:<math>\det (a \times M) = a^n \times \det M</math>.

En revanche, il n'existe ''pas de formule simple exprimant le déterminant de la somme A + B de deux matrices''. En effet, appliquer la multilinéarité par rapport aux colonnes demande d'écrire les colonnes de la somme comme ''A<sub>i</sub> + B<sub>i</sub>'', puis d'appliquer ''n'' fois la propriété de linéarité. Finalement, le déterminant de ''A + B'' se scinde en une somme de 2''<sup>n</sup>'' déterminants hybrides det(''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ''A''<sub>4</sub>..., ''B<sub>n</sub>''), formés d'un certain nombre de colonnes de ''A'' et de ''B''. Cependant, cette somme peut s'écrire assez simplement à l'aide des [[mineur (algèbre linéaire)|mineurs]] de ''A'' et de ''B''<ref>{{en}} Marvin Marcus, « Determinants of sums », ''The College Mathematics Journal'', vol. 21, {{n°|2}}, 1990, {{p.|130-135}}.</ref>.

Il est possible d'effectuer également des opérations élémentaires sur les lignes, qui ont les mêmes propriétés que les opérations sur les colonnes. Opérer sur les lignes suivant la technique du [[pivot de Gauss]] fournit une méthode systématique de calcul des déterminants ; c'est la méthode la plus efficace en règle générale, et on montre<ref group=Note>Pour plus de détails, se reporter au [[Calcul du déterminant d'une matrice#Calcul de déterminant et complexité|paragraphe concernant la complexité du temps de calcul]].</ref> que son temps de calcul est de l'[[comparaison asymptotique|ordre]] de O(''n''{{exp|3}}), c'est-à-dire en gros proportionnelle au cube du nombre de lignes de la matrice.

=== Propriétés de morphisme et d'annulation ===

'''Cas d'annulation des déterminants'''<ref group=Note name=Wikiversité/>

* Le déterminant d'un système de ''n'' vecteurs est nul si et seulement si ce [[famille libre|système est lié]] (et ce, quelle que soit la base de référence).
* Le déterminant d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est nul si et seulement si cette matrice (ou endomorphisme) est non inversible.

Ces propriétés expliquent le rôle essentiel que peuvent jouer les déterminants en [[algèbre linéaire]]. Ils constituent un outil fondamental pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base.

'''Propriété de morphisme'''<ref group=Note name=Wikiversité/>
:<math>\det (M \times N) = \det M\times \det N</math>.
Ainsi, le déterminant est un [[morphisme de groupes]] de [[Groupe général linéaire|GL{{ind|''n''}}(ℝ)]] dans (ℝ*, ×). En particulier, si <math>M</math> est inversible alors <math>\det {M^{-1}} = (\det M)^{-1}</math>.

Il existe une généralisation de la formule de déterminant d'un produit pour le cas de deux matrices rectangulaires : c'est la [[formule de Binet-Cauchy]].

=== Cofacteurs et formule de récurrence ===
{{Article détaillé|Comatrice}}
La '''[[comatrice]]''' {{incise|ou matrice des '''cofacteurs'''}} d'une matrice carrée {{math|''A''}} de taille {{math|''n''}} est la matrice carrée de même taille, notée <math>\operatorname{com}A</math>, définie par :
:<math>\left(\operatorname{com}A\right)_{i,j}:=\det\left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)</math>, où
*<math>A'_{i,j}</math> est la matrice carrée de taille {{math|''n''}} déduite de {{math|''A''}} en remplaçant la {{math|''j''}}-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un {{math|1}} sur la {{math|''i''}}-ème ligne ;
*<math>A_{i,j}</math> est la sous-matrice carrée de taille {{math|''n'' – 1}} déduite de {{math|''A''}} en supprimant la {{math|''i''}}-ème ligne et la {{math|''j''}}-ème colonne.

'''Formules de Laplace'''
[[Image:Pierre-Simon Laplace.jpg|upright|thumb|[[Pierre-Simon de Laplace]].]]

On peut calculer le déterminant d'une matrice carrée en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]], permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant de taille {{math|''n''}} à celui de {{math|''n''}} déterminants de taille {{math|''n'' – 1}}. Le déterminant de la [[matrice vide]] est égal à {{math|1}}<ref name=vide>{{Ouvrage|titre=[[Éléments de mathématique]]|sous-titre=Algèbre, Chapitres 1 à 3|auteur=[[N. Bourbaki]]|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|isbn=978-3-540-33849-9|url={{Google Livres|4RIDPH1ULXcC|page=93}}|page=III.93}}.</ref>.

Les formules de développement sont :
*par rapport à la colonne ''j'' :{{retrait|<math>\det A=\sum_{i=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math> ;}}
*par rapport à la ligne ''i'' :{{retrait|<math>\det A=\sum_{j=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math>.}}

'''Comatrice et calcul de l'inverse'''

La formule suivante se déduit des formules de Laplace et les inclut :
:<math>A \times {}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A} = {}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}\times A =\det A\times\mathrm I_n</math>.

La matrice transposée de la comatrice est appelée '''matrice complémentaire''' de {{math|''A''}}. Notamment si <math>\det A\ne0</math>, alors {{math|''A''}} est inversible et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire. Ce résultat, d'intérêt principalement théorique, ne nécessite « que » des calculs de déterminants :
:<math>A^{-1}=\frac1{\det A} \,^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}</math>.

=== Variations de la fonction déterminant ===

La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une matrice ''A'' s'exprime comme somme et produit de composantes de ''A''. Il n'est donc pas étonnant que le déterminant ait de bonnes propriétés de régularité.

==== Déterminant dépendant d'un paramètre ====

Si <math>t\mapsto A(t)</math> est une fonction de [[Classe de régularité|classe C{{exp|''k''}}]] à valeurs dans les matrices carrées d'ordre ''n'', alors <math>t\mapsto \det A(t)</math> est également de classe C{{exp|''k''}}.

La formule de dérivation s'obtient en faisant intervenir les colonnes de ''A''
:<math>\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(\det (A_1(t),\dots, A_n(t))  \right)= \sum_{i=1}^n \det (A_1(t),\dots, A_{i-1}(t),A'_i(t),A_{i+1}(t),\dots, A_n(t))</math>.
Cette formule est formellement analogue à la dérivée d'un produit de ''n'' fonctions numériques.

==== Application déterminant sur l'espace des matrices ====

* L'application qui à la matrice ''A'' associe son déterminant est [[Continuité (mathématiques)|continue]].<br />Cette propriété a des conséquences topologiques intéressantes : ainsi, dans [[Algèbre de Banach|M{{ind|''n''}}(ℝ)]], le [[groupe général linéaire|groupe GL{{ind|''n''}}(ℝ)]] est un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] et le sous-groupe [[Groupe général linéaire#Groupe spécial linéaire|SL{{ind|''n''}}(ℝ)]] est un [[Fermé (topologie)|fermé]].
* Cette application est même [[Classe de régularité|indéfiniment]] [[différentielle|différentiable]].<br />Son [[développement limité]] à l'ordre 1 au voisinage de ''A'' s'écrit{{retrait|<math>\det (A+H)=\det A + {\rm tr }\left( (^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A})\;H\right)+o(\|H\|),</math>}}c'est-à-dire que dans M{{ind|''n''}}(ℝ) muni de [[Norme de Frobenius|son produit scalaire canonique]], la [[comatrice]] s'interprète comme le [[gradient]] de l'application déterminant{{retrait|<math>\nabla \det (A) =\operatorname{com}A</math>.}}Notamment pour le cas où ''A'' est l'identité{{retrait|<math>\det (\mathrm I+H)=1 + {\rm tr } (H)+o(\|H\|)\qquad \nabla \det (\mathrm I) =\mathrm I</math>.}}Ces formules portent parfois le nom d'identités de [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]]. Elles sont établies dans l'article « [[Comatrice]] ».<br>Le caractère différentiable permet d'affirmer que GL{{ind|''n''}}(ℝ) et SL{{ind|''n''}}(ℝ) sont des [[groupe de Lie|groupes de Lie]].
* Elle est en fait [[fonction polynomiale|polynomiale]], ce qui fait de GL{{ind|''n''}}(ℝ) une [[variété algébrique]].
*Ce polynôme est [[Primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|irréductible]]<ref>{{Lien web|lang=en|url=https://math.stackexchange.com/questions/147073/slick-proof-the-determinant-is-an-irreducible-polynomial|titre=Slick proof the determinant is an irreducible polynomial|site=math.[[Stack Exchange Network|stackexchange]].com}}, démonstration extraite de {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Maxime Bôcher]]|titre=Introduction to Higher Algebra|date=1907|page=176-177}}.</ref>.

== Généralisation aux espaces vectoriels sur d'autres corps et aux modules ==
=== Corps commutatifs ===

Les différentes définitions et propriétés de la théorie des déterminants s'écrivent de façon identique dans le cadre des espaces vectoriels [[Nombre complexe|complexes]] et des matrices à coefficients complexes. Il en est de même sur tout [[corps commutatif]], sauf pour le paragraphe « variations de la fonction déterminant » qui n'a alors pas de sens.

=== Anneaux commutatifs ===
==== Modules libres de dimensions finies ====

La quasi-totalité de la théorie des déterminants peut encore être étendue aux matrices à coefficients dans un [[anneau commutatif]] ''A'' et aux modules libres de dimension finie sur ''A''. Le seul point de divergence est la caractérisation de l'annulation des déterminants.

Ainsi une matrice à coefficients dans un anneau commutatif ''A'' est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans ''A''.

La question de l'algorithme de calcul du déterminant est à reprendre. En effet, la méthode du pivot de Gauss demande d'effectuer des divisions, ce qui n'est pas possible dans l'anneau ''A'' lui-même. Les formules de Leibniz ou de Laplace permettent de faire un calcul sans division, mais restent très coûteuses. Il existe des algorithmes bien plus raisonnables, dont le temps d'exécution est d'[[comparaison asymptotique|ordre]] O(''n''{{exp|4}}) ; notamment, l'algorithme du pivot de Gauss s'adapte dans le cas d'un [[anneau euclidien]], cette adaptation est décrite dans l'article sur le [[théorème des facteurs invariants]]<ref>Voir aussi : {{Lien web |langue=en |auteur=Günter Rote |titre=Division-Free Algorithms for the Determinant and the Pfaffian: Algebraic and Combinatorial Approaches |url=http://page.inf.fu-berlin.de/~rote/Papers/pdf/Division-free+algorithms.pdf |site=[[Université libre de Berlin]]}} (document sur les algorithmes sans division).</ref>.

==== Modules projectifs de type fini ====
Soient ''A'' un [[anneau commutatif]], ''M'' un [[module projectif]] de type fini et ''f'' un endomorphisme de ''M''. Il existe un module ''N'' sur ''A'' tel que le module ''P'' = ''M'' ⊕ ''N'' est libre de type fini (c'est-à-dire de dimension finie). Soit alors ''g'' l'endomorphisme de ''P'' défini par ''g''(''x'', ''y'') = (''f''(''x''), ''y''). Alors le déterminant de ''g'' ne dépend que de ''f'' (et non de ''N''). On l'appelle '''déterminant''' de ''f''. Plusieurs des propriétés élémentaires du déterminant s'étendent à ce degré de généralité.

=== Corps non commutatifs ===
==== Déterminant de Dieudonné ====
Soient ''D'' un corps (non nécessairement commutatif) et (''D''*){{exp|ab}} l'[[abélianisé]] du groupe ''D''* de ses éléments non nuls (c'est le [[groupe quotient]] de ''D''* par son [[groupe dérivé]] [''D''*, ''D''*]). Notons θ le morphisme [[Canonique (mathématiques)|canonique]] de ''D''* sur (''D''*){{exp|ab}}.

Soit ''E'' un [[espace vectoriel]] à droite de dimension finie non nulle sur ''D''. On sait que le [[groupe linéaire]] GL(''E'') est engendré par les [[transvection]]s et les [[dilatation (géométrie)|dilatations]] de ''E''.

Soit ''f'' une dilatation de ''E''. L'ensemble des points fixes de ''f'' est un [[hyperplan]] vectoriel ''H'' de ''E'' et il existe une unique [[droite vectorielle]] ''L'' de ''E'' non incluse dans ''E'' qui est [[Sous-espace stable|stable par ''f'']]. Soit ''v'' un vecteur non nul de ''L''. Il existe un unique élément non nul ''a'' de ''D'' tel que ''f''(''v'') = ''va''. L'élément θ(''a'') de (''D''*){{exp|ab}} ne dépend que de ''f'', et non pas de ''v''. Notons-le ρ(''f'').

Il existe un unique morphisme de groupes φ de GL(''E'') dans (''D''*){{exp|ab}} tel que pour toute transvection ''f'' de ''E'', φ(''f'') = 1 et pour toute dilatation ''f'' de ''E'', φ(''f'') = ρ(''f''). Pour tout élément ''f'' de GL(''E''), on appelle [[déterminant de Dieudonné]], ou déterminant de ''f'', l'élément φ(''f'') de (''D''*){{exp|ab}}.

Pour un endomorphisme ''f'' de ''E'' qui n'appartient pas à GL(''E''), le déterminant de Dieudonné de ''f'' est défini comme étant 0. En adjoignant 0 à (''D''*){{exp|ab}} comme [[élément absorbant]] (on prolonge la multiplication par {{nobr|1=0.''g'' = ''g''.0 = 0}} pour tout ''g'' dans (''D''*){{exp|ab}}), on obtient un morphisme<ref>{{Article|auteur=[[Jean Dieudonné]]|titre=Les déterminants sur un corps non commutatif|année=[[1943 en science|1943]]|revue=Bulletin de la [[Société mathématique de France|SMF]]|vol=71|p.=27-45|doi=10.24033/bsmf.1345}}(note p. 36).</ref> surjectif de [[monoïde]]s de End<sub>''D''</sub>(''E'') dans (''D''*){{exp|ab}} ∪ {0}.

==== Norme réduite ====
On note ''D'' un corps (commutatif ou non) et soit ''K'' le centre de ''D''. On suppose que la dimension de ''D'' sur ''K'' est fini. Soit ''E'' un espace vectoriel de dimension finie non nul sur ''D''. La ''K''-algèbre End<sub>''D''</sub>(''E'') des endomorphismes de ''E'' est simple et centrale (son centre est ''K''). Il y a donc une notion de [[norme réduite]] Nrd ''f'' d'un endomorphisme ''f'' de ''E'', c'est alors un élément de ''K''. Si ''D'' est commutatif (c'est-à-dire si End<sub>''D''</sub>(''E'')''D'' = ''K''), la norme réduite d'un élément de End<sub>''D''</sub>(''E'') = End<sub>''K''</sub>(''E'') est alors le déterminant.

La norme réduite d'un élément d'une [[algèbre simple]] centrale sur ''K'' généralise le déterminant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel sur un corps commutatif.

Soit ''L'' un élément maximal (pour la relation d'inclusion) de l'ensemble des sous-corps commutatif de ''D'' (il en existe), et alors ''L'' contient ''D''. Par exemple, si ''D'' est le corps ℍ des quaternions, on peut prendre pour ''L'' le corps ℂ des nombres complexes. Soit alors ''E''<sub>0</sub> le ''L''-espace vectoriel sous-jacent à ''E'', et End<sub>''D''</sub>(''E'') est une sous-''K''-algèbre unitaire de End<sub>''L''</sub>(''E''<sub>0</sub>), et on peut donc considérer tout élément de End<sub>''D''</sub>(''E'') comme un élément de End<sub>''L''</sub>(''E''<sub>0</sub>). Pour tout élément ''f'' de End<sub>''D''</sub>(''E''), la norme réduite de ''f'' n'est autre que le déterminant de ''f'' considéré comme élément de End<sub>''L''</sub>(''E''<sub>0</sub>). Cet élément ne dépend que de ''f'' (et non pas de ''L''), et il appartient à ''K''. Si ''D'' = ℍ, alors la norme réduite d'un élément de End<sub>ℍ</sub>(''E'') est un nombre réel positif ou nul.

=== Formule de composition ===
Le résultat suivant<ref>{{Harvsp|Bourbaki|2007|p=III.112-113}} ; {{Ouvrage|lang=en|titre=Elements of Mathematics|sous-titre=Algebra I, Chapters 1-3|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|éditeur=Springer|année=1990|isbn=978-3-54064243-5|page=546-547|url={{Google Livres|STS9aZ6F204C|page=546}}}}.</ref> peut servir à établir des formules de composition sur les [[Norme (arithmétique)|normes]].

Soient ''A'' un anneau commutatif et ''n''{{2}} matrices ''M{{ind|i,j}}'' (1 ≤ ''i, j ≤ n'') à coefficients dans ''A'', carrées d'ordre ''m'' et qui [[Éléments permutables dans un anneau|commutent entre elles]]. Alors, la [[matrice par bloc]]s (carrée d'ordre ''mn'')
<center><math>\begin{pmatrix}
M_{1,1}&M_{1,2}&\cdots&M_{1,n}\\
M_{2,1}&M_{2,2}&\cdots&M_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
M_{n,1}&M_{n,2}&\cdots&M_{n,n}\end{pmatrix}</math></center>
a même déterminant que la matrice (carrée d'ordre ''m'') ''D''(''M''{{ind|1,1}}… , ''M{{ind|n,n}}''), où ''D''(''X''{{ind|1,1}}… , ''X{{ind|n,n}}'') est le [[polynôme en plusieurs indéterminées|polynôme en les indéterminées ''X{{ind|i,j}}'']] ([[Polynôme homogène|homogène de degré ''n'']] et à coefficients entiers) égal au déterminant de la matrice
<center><math>\begin{pmatrix}
X_{1,1}&X_{1,2}&\cdots&X_{1,n}\\
X_{2,1}&X_{2,2}&\cdots&X_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
X_{n,1}&X_{n,2}&\cdots&X_{n,n}\end{pmatrix}</math>.</center>

== Notes et références ==
=== Notes ===
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=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Matrice/Déterminant|wikiversity titre=Déterminant}}
{{catégorie principale|Déterminant}}
=== Articles connexes ===
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{{Début de bloc solidaire}}
;Calcul
* [[Calcul du déterminant d'une matrice]]
* [[Déterminant par blocs]]
* [[Complexité de la multiplication de matrices]]
{{Fin de bloc solidaire}}
{{Début de bloc solidaire}}
;Algèbre
* [[matrice de Hankel|Déterminant de Hankel]], lié aux [[suite récurrente linéaire|récurrences linéaires]]
* [[Hyperdéterminant]]
* [[Résultant]] de deux polynômes, et le [[discriminant]] qui en est un cas particulier
* [[Mineur (algèbre linéaire)|Mineur]], lié au calcul du [[Rang (mathématiques)|rang]]
* [[Polynôme caractéristique]]
* [[Règle de Cramer]]
* [[Pfaffien]] d'une matrice antisymétrique
* [[Immanant d'une matrice]]
* [[Permanent (mathématiques)|Permanent]]
{{Fin de bloc solidaire}}
{{Début de bloc solidaire}}
;Analyse
* [[Wronskien]]
* [[Jacobien]]
* [[discriminant hessien|Hessien]], lié à l'étude des [[point critique (mathématiques)|points critiques]]
* [[Déterminant fonctionnel]], généralisation en dimension infinie
{{Fin de bloc solidaire}}
{{Début de bloc solidaire}}
;Géométrie
* [[Déterminant de Gram]]
* [[Forme volume]]
* [[Orientation (mathématiques)|Orientation]]
* [[Produit mixte]]
* [[Propriétés métriques des droites et plans]]
{{Fin de bloc solidaire}}
{{Début de bloc solidaire}}
;Autres déterminants particuliers
* [[Déterminant de Vandermonde]]
* [[Déterminant circulant]]
* {{Lien|trad=Hadamard's maximal determinant problem|Problème du déterminant maximal de Hadamard}}
{{Fin de bloc solidaire}}
{{Début de bloc solidaire}}
;Chimie
* [[Déterminant de Slater]]
{{Fin de bloc solidaire}}
}}

=== Bibliographie ===
* {{Artin1}}
*{{Ouvrage|titre=Algèbre et analyse|sous-titre=cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés|auteur=S. Balac|auteur2=F. Sturm|éditeur=[[PPUR]]|année=2003|page=459-486|url={{Google Livres|-LbuKvfK9AkC|page=459}}|chap=Un outil pratique : le déterminant|numéro chapitre=11.1}}
* {{Ouvrage|auteur1= [[Henri Cartan]]|titre=Cours de calcul différentiel |sous-titre=avec exercices |éditeur= Hermann|collection=Méthodes |année=2007 |pages totales=355 |isbn= 978-2705667023}}
*{{Ouvrage|titre=Algèbre linéaire et bilinéaire|auteur=F. Cottet-Emard|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|année=2005|page=23-55|url={{Google Livres|IGNzrIkcfPYC|page=23}}|chap=Déterminants|numéro chapitre=2}}
* {{Gabriel}}{{Commentaire biblio SRL|Pour une introduction matricielle basée sur les [[transvection]]s.}}
* {{Ouvrage|auteur1=Joseph Grifone|titre=Algèbre linéaire|lien éditeur=Éditions Cépaduès|éditeur=Cépaduès|année=2011|numéro d'édition=4|pages totales=448|isbn=978-2854289626}}
* {{Lang1}}
*{{Ouvrage|titre=Mathématiques L1|sous-titre=cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés|auteur=J.-P. Marco|auteur2=L. Lazzarini|éditeur=[[Pearson (maison d'édition)|Pearson]]|année=2012|page=529-554|url={{Google Livres|x9Ml5YRIeEgC|page=529}}|chap=Déterminants|numéro chapitre=20}}

=== Liens externes ===
{{liens}}
*{{Lien archive|horodatage archive=20220731172920|auteur=[[Daniel Perrin]]|date=1997|url=https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Debats-et-controverses/Divers/Dorier.pdf|titre=Lettre à Jean-Luc Dorier sur l'importance des déterminants (à propos de son habilitation)}}
*[http://xavier.hubaut.info/coursmath/mat/determ.htm Déterminants], sur le site ''Mathématique du secondaire'' de Xavier Hubaut
*[http://www.les-mathematiques.net/b/e/d/node1.php Formes multilinéaires et déterminant], sur le site les-mathematiques.net

{{Palette|Algèbre linéaire}}
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