Voir la source de Détermination d'une fonction multivaluée

En [[mathématiques]], plus particulièrement [[Analyse complexe|en analyse complexe]], une '''détermination''' d'une [[fonction multivaluée]] (à plusieurs valeurs) est une fonction (au sens habituel, donc univaluée) qui prend, en chaque point, l'une des valeurs possibles de la fonction multivaluée<ref>{{Ouvrage|auteur1=Henri Cartan|titre=Fonctions analytiques|passage=32-34,62|éditeur=Hermann|date=1961}}</ref>. L'une des déterminations possibles est en général décrétée ''principale''.

Un cas simple est celui de la fonction [[racine carrée]] d'un nombre [[Nombre réel|réel]] positif qui possède deux déterminations naturelles : <math>\begin{cases} \mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R} \\ 
x\longmapsto\sqrt x \end{cases}</math> et <math>\begin{cases} \mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R} \\ 
x\longmapsto-\sqrt x \end{cases}</math>, la première étant dite principale.

== Exemples ==

=== Mesure d'un angle orienté de vecteurs ===
La mesure d'un [[Angle|angle orienté de vecteurs]] non nuls du plan euclidien orienté étant définie à un multiple de <math>2\pi</math> près, on obtient une ''détermination'' de cette mesure en se restreignant aux valeurs appartenant à un intervalle du type <math>[\theta_0,\theta_0+2\pi[</math> ou <math>]\theta_0,\theta_0+2\pi]</math>.

Pour <math>\theta_0=-\pi</math> et l'intervalle semi-ouvert à gauche, cette détermination est dite ''principale'' ; pour certains auteurs, la détermination choisie est celle obtenue en prenant <math>\theta_0=0</math> et l'intervalle semi-ouvert à droite.

Dans les deux cas, l'angle nul a une mesure nulle.

=== Argument d'un nombre complexe ===
{{Article détaillé|Argument principal d'un nombre complexe}}
Un [[argument d'un nombre complexe]] <math>z</math> non nul, noté <math>\arg z</math>, est une mesure de l'angle <math>\widehat{(1,z)}</math> dans le [[plan complexe]] ; on obtient comme précédemment une ''détermination'' de l'argument en se restreignant à un intervalle du type <math>]\theta_0,\theta_0+2\pi]</math>, la détermination ''principale'' étant obtenue pour <math>\theta_0=-\pi</math>.

Ces déterminations ne sont pas continues sur le plan complexe privé de 0, mais elles le sont sur le plan privé de la [[demi-droite]] engendrée par <math>\mathrm \mathrm{e}^{\mathrm i\theta_0}</math>.

L'argument principal de <math>z</math> est noté <math>\text{Arg} z</math>, et l'on a <math>\arg z=\text{Arg} z+2k\pi,k\in \mathbb Z</math>.

L'argument principal d'un complexe non réel négatif ou nul se calcule par la formule <math>\text{Arg} z=2\arctan \left(\frac{y}{x + \sqrt{x^2+y^2}}\right)=\text{atan2}(y,x)</math> où {{math|''x''}} et {{math|''y''}} désignent respectivement les [[Partie réelle|parties réelle]] et imaginaire de <math>z</math> (voir [[atan2]]).

Dans les logiciels de [[calcul formel]], c'est l'argument principal qui est implémenté :

* En [[Maple]], il est noté <code>argument(z)</code><ref>{{lien web |langue=en |titre=argument |url=https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=argument |site=Maplesoft}}</ref>.
* En [[Mathematica]], il est noté <code>Arg[z]</code><ref>{{lien web |langue=en |titre=Arg |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/Arg.html |site=reference.wolfram}}</ref>.

=== Logarithme complexe ===
{{Article détaillé|Logarithme complexe}}

==== Définition et exemples ====
Les différentes valeurs du [[logarithme complexe]] (de base exponentielle), noté <math>\log</math> ou <math>\ln</math>, d'un complexe non nul <math>z</math> sont définies comme étant les [[Nombre complexe|nombres complexes]] <math>u</math> tels que

: <math>\mathrm{e}^u = z.</math>

Comme <math>z=|z|\mathrm e ^{{\rm i}\arg z}=\mathrm e ^{\ln |z|+\mathrm i\arg z}</math> où <math>\ln</math> est la fonction [[logarithme népérien]] réelle, on a :

: <math>\log{z} = \ln{|z|} + {\rm i}\left(\mathrm{arg}\ z \right)= \ln{|z|} + 
{\rm i}\left(\mathrm{Arg}\ z+2\pi k\right),k\in\mathbb Z </math>

où {{math|Arg(''z'')}} est l'argument principal de <math>z</math>, défini comme étant dans l'[[Intervalle (mathématiques)|intervalle]] {{math|]–&pi; , &pi;]}}. Chaque valeur de <math>k</math> fournit une ''détermination'' de la fonction log à valeurs multiples.

La détermination correspondant à {{math|''k'' {{=}} 0}} est dite ''principale'' et notée parfois <math>\text {Log} </math><ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=J. Lelong Ferrand, J.M. Arnaudiès|titre=Analyse|tome=2|passage=345-347,375-380|éditeur=Bordas|date=1977}}</ref>{{,}}<ref name=":1">{{Ouvrage|auteur1=J.M. Arnaudiès, H. Fraysse|titre=Compléments d'analyse|passage=80-96|éditeur=Dunod Université|date=1989}}</ref> ; on a alors

: <math>\text{Log }{z} = \ln{|z|} + {\rm i}\ \mathrm{ Arg}\ z  </math>.
Par exemple, <math>\text{Log } {\mathrm i} = {\rm i}\ \pi/2  </math>.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est la détermination principale du logarithme qui est implémentée :
* En [[Maple]], elle est notée <code>ln(z)</code><ref>{{lien web |langue=en |titre=ln |url=https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=ln |site=Maplesoft}}</ref>.
* En [[Mathematica]], elle est notée <code>Log[z]</code><ref>{{lien web |langue=en |titre=Log |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/Log.html |site=reference.wolfram}}</ref>.

==== Unicité et développement en série entière ====
La fonction <math>\text {Log} </math> est l'unique détermination du logarithme, continue dans le plan complexe privé des réels négatifs ou nuls, et vérifiant <math>\text {Log }1=0 </math><ref name=":0" />.

On en déduit le [[développement en série entière]], valable pour <math>|z|\leqslant1,z\neq -1 </math> : <math>\text {Log }(1+z)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{z^n}n </math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />.

=== Racine carrée complexe ===
Pour un nombre complexe non nul <math>z = |z|\mathrm e ^{\rm i\text{Arg } z}=r {\rm e}^{{\rm i}\theta} </math>, la détermination principale de la [[racine carrée]] est :

: <math>\mathrm{dp}\sqrt{z} = \sqrt{r}\, {\rm e}^{{\rm i}\theta / 2}</math>

Avec, par prolongement continu, <math>\mathrm{dp}\sqrt{0} =0</math>.

Ainsi, <math>\mathrm{dp}\sqrt{x} =\sqrt x</math> pour <math>x\geqslant0</math> .

Par exemple, <math>\mathrm{dp}\sqrt{-1} = {\rm e}^{{\rm i} \pi / 2}=\mathrm i</math>, <math>\mathrm{dp}\sqrt{\mathrm i} = {\rm e}^{{\rm i} \pi / 4}=(1+\mathrm i)/\sqrt 2</math>.

Le maniement de cette détermination principale est délicat. Par exemple, <math>\mathrm{dp}\sqrt{{\rm e}^{2\rm i\pi}} =\mathrm{dp}\sqrt1=1</math>, mais <math>\mathrm{e}^{2{\rm i}\pi/2}=-1 </math>.

Cette détermination est l'unique détermination dans <math>\mathbb C^*</math> de la racine carrée qui soit continue dans le plan complexe privé des réels négatifs ou nuls, et vérifiant <math>\mathrm{dp}\sqrt{1} =1</math>.

Elle est discontinue sur <math>\mathbb C^*</math>, et [[Racine d'un nombre complexe#Détermination continue|il n'existe aucune détermination de la racine carrée qui soit continue sur]] <math>\mathbb C^*</math>.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est cette détermination principale qui est implémentée :
* En [[Maple]], elle est notée <code>sqrt(z)</code><ref>{{Lien web |langue=en |titre=sqrt |url=https://fr.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=MTM/sqrt |site=maplesoft}}</ref>.
* En [[Mathematica]], elle est notée <code>Sqrt[z]</code><ref>{{lien web |langue=en |titre=Sqrt |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/Sqrt.html |site=reference.wolfram}}</ref>.

=== Fonction puissance ===
Si <math>\alpha </math> est un complexe quelconque, la détermination principale de <math>z^\alpha</math> est définie pour <math>z = |z|\mathrm e ^{\rm i\text{Arg } z}=r {\rm e}^{{\rm i}\theta} </math> non nul par <ref name=":0" />:
: <math>\mathrm{dp}\ z^\alpha = \text {e}^{\alpha \text{ Log }z}=r^\alpha \text{e}^{\text{i }\alpha \theta}</math>

Pour <math>\alpha=1/2</math>, on retrouve la détermination principale de la racine carrée.

Par exemple, <math>\rm{dp}\ \rm i^{\rm i}=\mathrm{e}^{-\pi/2}</math>.

=== Arc tangente complexe ===
Comme, pour <math>u</math> complexe, <math>\tan u=\frac{{\rm e}^{2\rm i u}-1}{{\rm e}^{2{\rm i} u}+1}</math>, <math>\tan u=z</math> équivaut à <math>{\rm e}^{2{\rm i} u}=\frac{1+{\rm i} z}{1-{\rm i} z}</math>.

La détermination principale de l'[[arc tangente]] est donc définie pour <math>z\neq\rm i,-\rm i</math> par <ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />
: <math>{\rm Arctan}\ z=\frac1{2{\rm i}}{\rm Log}\frac{1+{\rm i} z}{1-{\rm i} z}</math>.

Cette définition concorde avec celle de la [[Arc tangente|fonction <math>\arctan</math> définie sur les réels]].

{{Démonstration/début}}

Pour <math>x</math> réel, la définition ci-dessus donne <math>\rm{Arctan}\ x=\frac1{2{\rm i}}{\rm Log}\frac{1+{\rm i} x}{1-{\rm i} x}=
\frac1{2{\rm i}}{\rm Log}\frac{(1+{\rm i} x)^2}{1+x^2}=\frac1{\rm i}{\rm Log}\frac{1+{\rm i} x}{\sqrt{1+x^2}}=
\frac1 {\rm i}{\rm i}\text{ Arg}(1+{\rm i} x )=\text{ Arg}(1+{\rm i} x )</math> qui est bien égal à <math>\arctan x</math>.

{{Démonstration/fin}}


Le développement en série entière, valable pour <math>|z|\leqslant1,z\neq\text{i},-\text{i} </math> est : <math>
\text{Arctan } z=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1}
</math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est cette détermination principale qui est implémentée :
* En [[Maple]], elle est notée <code>arctan(z)</code><ref name=":2">{{lien web |langue=en |titre=arcsin, arccos, ... |url=https://fr.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=invtrig |site=Maplesoft}}</ref>.
* En [[Mathematica]], elle est notée <code>ArcTan[z]</code><ref>{{Lien web |langue=en |titre=ArcTan |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcTan.html |site=reference. wolfram}}</ref>.

=== Argument tangente hyperbolique complexe ===
La tangente hyperbolique complexe étant reliée à la tangente par la relation : <math>
\tanh z=\text{i}\tan(z/\text{i})
</math>, la détermination principale de l'[[Tangente hyperbolique réciproque|argument tangente hyperbolique]] est définie pour <math>z\neq1,-1</math> par  <ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" /> :
: <math>{\rm Artanh}\ z=\text{i }\text{Arctan }(z/\text{i})=\frac1{2}{\rm Log}\frac{1+ z}{1-z}</math>.

Cette définition concorde avec celle de la [[Tangente hyperbolique réciproque|fonction <math>\text{artanh}</math> définie sur]] <math>]-1,1[</math>.

Le développement en série entière, valable pour <math>|z|\leqslant1,z\neq1,-1 </math> est : <math>
\text{Artanh } z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}
</math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est cette détermination principale qui est implémentée :
* En [[Maple]], elle est notée <code>arctanh(z)</code><ref name=":2" />.
* En [[Mathematica]], elle est notée <code>ArcTanh[z]</code><ref>{{Lien web |langue=en |titre=ArcTanh |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcTanh.html |site=reference.wolfram}}</ref>.

=== Arc sinus complexe ===
Comme, pour <math>u</math> complexe, <math>\text{e}^{\text{i}u}=\cos u+\text{i}\sin u</math>, et <math>\cos^2u=1-\sin^2u</math>, <math>\sin u=z</math> implique <math>\text{e}^{\text{i}u}=v+\text{i}z,v^2=1-z^2</math>.

La détermination principale de l'[[arc sinus]] est donc définie par <ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />:
: <math>\text{Arcsin }z=\frac1\text{i}\text{Log }(\text{dp}\sqrt{1-z^2}+\text{i}z)</math>.
Cette définition concorde avec celle de la [[Arc sinus|fonction <math>\arcsin</math> définie]] <math>[-\pi/2,\pi/2]</math>.

Le développement en série entière, valable pour <math>|z|\leqslant1 </math> est : <math>
\text{Arcsin }z=\sum_{k=0}^\infty \frac{\binom{2k} k }{4^k (2k+1)}z^{2k+1}
</math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est cette détermination principale qui est implémentée :

* En [[Maple]], elle est notée <code>arcsin(z)</code><ref name=":2" />.
* En [[Mathematica]], elle est notée <code>ArcSin[z]</code><ref>{{Lien web |langue=en |titre=ArcSin |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcSinh.html |site=reference.wolfram}}</ref>.

=== Argument sinus hyperbolique complexe ===
Le sinus hyperbolique complexe étant relié au sinus par la relation : <math>
\sinh z=\text{i}\sin(z/\text{i})
</math>, la détermination principale de l'[[argument sinus hyperbolique]] est définie par  <ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" /> :
: <math>{\rm Arsinh}\ z=\text{i }\text{Arcsin }(z/\text{i})=\text{Log }(\text{dp}\sqrt{1+z^2}+z)</math>.

Cette définition concorde avec celle de la [[Sinus hyperbolique réciproque|fonction <math>\text{arsinh}</math> définie sur les réels]].

Le développement en série entière, valable pour <math>|z|\leqslant1 </math> est : <math>
\text{Arsinh }z=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{\binom{2k} k }{4^k (2k+1)}z^{2k+1}
</math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est cette détermination principale qui est implémentée :

* En [[Maple]], elle est notée <code>arcsinh(z)</code><ref name=":2" />.
* En [[Mathematica]], elle est notée <code>ArcSinh[z]</code><ref>{{Lien web |langue=en |titre=ArcSinh |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcSinh.html |site=reference.wolfram}}</ref>.

== Existence et unicité d'une détermination d'une fonction réciproque d'une fonction holomorphe ==
{{...}}
Il existe un [[théorème d'inversion locale]] pour une fonction <math>f</math> holomorphe sur un voisinage d'un point <math>a</math> vérifiant <math>f'(a)\neq0</math> affirmant qu'il existe une détermination <math>g</math> de la réciproque de <math>f</math> holomorphe sur un voisinage de <math>b=f(a)</math>, vérifiant <math>g(b)=a</math>.

== Voir aussi ==

* [[Branche principale (mathématiques)|Branche principale]]
* [[Point de branchement]]
* [[Valeur principale de Cauchy]]

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Principal value|1030234332}}
{{MathWorld|nom_url=PrincipalValue|titre=Principal Value}}
<references />

{{Portail|analyse}}
[[Catégorie:Analyse complexe]]