Voir la source de Développement décimal

En [[mathématiques]], le '''développement décimal''' est une façon d'écrire des [[nombre réel|nombres réels]] [[Nombre positif|positifs]] à l'aide des [[Puissance de 10|puissances de dix]] (d'[[Exposant (mathématiques)|exposant]] [[Signe (arithmétique)|positif ou négatif]]). Lorsque les nombres sont des [[entier naturel|entiers naturels]], le développement décimal correspond à l'[[système décimal|écriture en base dix]]. Lorsqu'ils sont [[nombre décimal|décimaux]], on obtient un développement décimal limité. Lorsqu'ils sont [[nombre rationnel|rationnels]], on obtient soit, encore, un développement décimal limité, soit un développement décimal illimité, mais alors nécessairement [[suite périodique|périodique]]. Enfin, lorsqu'ils sont [[nombre irrationnel|irrationnels]], le développement décimal est illimité et non périodique.

== Cas des nombres entiers ==
Tout nombre entier possède une écriture décimale qui nous est naturelle car enseignée depuis notre enfance. Nous prenons conscience du fait qu'il ne s'agit que d'une écriture lorsque les circonstances nous mettent en contact avec d'autres [[système de numération|systèmes de numération]].
 
'''Exemple :''' {{nobr|123 827 {{=}} 1×10{{5}} + 2×10{{4}} + 3×10{{3}} + 8×10{{2}} + 2×10{{exp|1}} + 7×10{{exp|0}}}}

== Cas des nombres décimaux ==
Un nombre décimal  est un [[nombre rationnel]] représentable par une [[Fraction (mathématiques)|fraction]] la forme {{sfrac|N|10<sup>''n''</sup>}} où {{var|N}} est un [[entier relatif]] et {{var|n}} un [[entier naturel]]. De façon équivalente, un nombre décimal est aussi un nombre rationnel représentable par une fraction {{sfrac|''p''|''q''}} où la [[décomposition en facteurs premiers]] de {{var|q}} ne comprend que les entiers 2 et 5.

Tout nombre décimal possède  un développement décimal limité comportant éventuellement des puissances de dix à exposant négatif. Les exposants non nuls du développement de {{sfrac|N|10<sup>''n''</sup>}} sont tous supérieurs ou égaux à −{{var|n}}.

'''Exemple :'''
:<math>\begin{align}\frac{1267}{625} & = \frac{1267 \times 16}{10000} = \frac{2 \times 10^4 + 2\times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2\times 10^0}{10^4}\\
& = 2\times 10^0 + 2\times 10^{-2} + 7\times 10^{-3} + 2\times 10^{-4}
\end{align}</math>
Et on vérifie très simplement à l'aide d'une calculatrice que <math>\frac{1267}{625} = 2{,}0272 = 20272\times 10^{-4}</math>.

Réciproquement, tout nombre possédant un développement décimal limité est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par une puissance de dix adéquate pour retomber sur un entier.

== Cas des nombres rationnels ==
{{article détaillé|Développement décimal périodique}}
Aborder l'écriture décimale de la plupart des nombres rationnels implique souvent un algorithme sans fin car l'écriture ne s'arrête jamais. On parle de développement décimal illimité.

'''Exemple :''' [[Division]] de 13 par 7
{| cellpadding=3px cellspacing=0px
| style="border-right:1px solid;" | 13 || style="border-bottom:1px solid;" | 7
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;60  || 1,85714285...
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;40  || 
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;50 || 
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;10 || 
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;30 || 
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;20 || 
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;60 || 
|-
| style="border-right:1px solid;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;40&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || 
|-
|}

Puisque l'on obtient de nouveau le reste 6 (avant dernière ligne), en abaissant le 0, on se trouvera à diviser encore 60 par 7, à ré-obtenir pour quotient 8, pour reste 4, etc. Le cycle 857142 s'appelle la période du développement décimal illimité périodique. On écrira <math display=inline> \frac{13}7= 1{,}\underline{857142}\dots</math>. Toutefois, il est aussi possible de faire ressortir la période en plaçant une barre au-dessus de celle-ci ou plus rarement en l'encadrant entre crochets [].

La période du développement décimal ne commence pas toujours juste après la virgule : <math> \frac{83}{70} = 1{,}1\underline{857142}\dots</math>.

On peut démontrer que tout nombre rationnel possède un développement décimal illimité périodique. Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise ''P'' par ''Q'', dans la division de ''P'' par ''Q'', on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est ''r'', on cherche alors à diviser 10''r'' par ''Q''. Les restes de la [[division euclidienne|division]] sont en nombre fini (0, 1, ..., ''Q'' – 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. Si on appelle ''r''<sub>1</sub> et ''r{{'}}''<sub>1</sub> les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10''r''<sub>1</sub> par ''Q'' sera identique à celle de 10''r{{'}}''<sub>1</sub> par ''Q'', et donnera le même quotient ''q''<sub>1</sub> = ''q{{'}}''<sub>1</sub> et même reste ''r''<sub>2</sub> = ''r{{'}}''<sub>2</sub> et ainsi de suite.

Un nombre décimal possède aussi un développement décimal illimité de période 0.

Réciproquement, tout développement décimal illimité périodique correspond à l'écriture d'un rationnel.
:'''Exemple :''' 3,25723723723... = ''x''
::100''x'' = 325,723723723...
::100''x'' – 325 = ''y'' = 0,723723723... On peut remarquer que, si ''y'' est rationnel, ''x'' le sera aussi.
::''y'' = 0,723723....
::1000''y'' = 723,723723723...
::1000''y'' = 723 + ''y'' 
::999''y'' = 723 
::''y'' = {{sfrac|723|999}}. ''y'' est alors un rationnel et ''x'' aussi.

La méthode se généralise pour tout développement décimal illimité périodique. On se débarrasse de la [[mantisse]] par une multiplication par la puissance de dix adéquate et par la [[soustraction]] d'un nombre entier. On obtient alors un nombre ''y'' s'écrivant 0,périodepériodepériode... sur lequel on effectue le même type d'opération que plus haut : multiplication par la puissance de 10 adéquate 10<sup>''n''</sup>''y'' = période + ''y''. La résolution de l'équation précédente prouve que ''y'' est rationnel et donc que ''x'' est rationnel.

Cette méthode de décalage sera employée par la suite pour calculer de façon analogue la somme des termes d'une [[suite géométrique]].

;Cas particulier de 0,99999999....
{{article détaillé|Développement décimal de l'unité}}
En utilisant la technique précédente, on obtient 10''y'' = 9,99999... = 9 + ''y''. La résolution de l'équation précédente mène donc à ''y'' = 1.

1 possède donc deux « développements décimaux illimités » périodiques : 1,000000… et 0,9999…. Selon la définition d'un développement décimal illimité sur <math>\mathbb{R}</math>, seul sera retenu le premier développement illimité, le second s'appelant un développement impropre. Il en est plus généralement de même pour tous les nombres décimaux sauf 0 : on a ainsi, par exemple, 3/5 = 0,6000000... = 0,5999999..., et là encore, seul le premier développement est retenu.

== Cas des nombres réels ==
Si ''x'' est un nombre réel, on construit les suites de nombres décimaux suivantes : 
:<math>u_n = \frac{E(10^n \times x)}{10^n}</math> et <math>v_n = \frac{E(10^n \times x) + 1}{10^n}</math> où ''E''(''a'') désigne la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de ''a''.
''u<sub>n</sub>'' s'appelle l'approximation décimale de ''x'' par défaut à 10<sup>-''n''</sup> et ''v<sub>n</sub>'' celle par excès.

On démontre facilement que ''u<sub>n</sub>'' et ''u''<sub>''n''+1</sub> ne diffèrent (éventuellement) que sur la ''n''+1{{e}} décimale qui est de 0 pour ''u<sub>n</sub>''  et de ''a''<sub>''n''+1</sub> pour ''u''<sub>''n''+1</sub>.

''u<sub>n</sub>'' s'écrit alors 
:<math>u_n = \sum_{k = 0}^{n}a_k10^{-k}</math> 
où ''a<sub>0</sub>'' est un entier relatif et où tous les ''a<sub>k</sub>'' pour ''k'' = 1 à n sont des entiers compris dans {0, …, 9}.

On démontre aussi que (''u<sub>n</sub>'')  et (''v<sub>n</sub>'') sont des [[théorème des suites adjacentes|suites adjacentes]] encadrant ''x'', donc elles convergent vers ''x''. On appelle alors développement décimal illimité la suite (''a<sub>n</sub>'') et on remarquera que  
:<math>x = \sum_{k = 0}^{+ \infty}a_k10^{-k}</math>.

Réciproquement, si (''a<sub>n</sub>'') est une [[suite d'entiers]] tels que tous les ''a<sub>k</sub>'' pour ''k'' = 1 à ''n'' sont des entiers compris dans {0, …, 9}, on démontre que la série <math>U_n = \sum_{k = 0}^{n}a_k10^{-k}</math> est convergente dans '''R'''  vers un réel <math>x = \sum_{k = 0}^{+ \infty}a_k10^{-k}</math>. Il faut maintenant distinguer deux cas :
* Si la suite (''a<sub>n</sub>'') converge vers 9 (tous les termes égaux à 9 à partir d'un certain rang ''k''), alors ''x'' est un décimal d'ordre ''k'' – 1. La suite (''u<sub>n</sub>'')  définie dans la première partie ne coïncidera pas à la suite  (''U<sub>n</sub>''). La suite (''a<sub>n</sub>'') ne sera pas appelée un DDI.
* Si la suite ne converge pas vers 9, la suite (''u<sub>n</sub>'')  définie dans la première partie coïncidera à la suite  (''U<sub>n</sub>'') . La suite (''a<sub>n</sub>'') sera appelée un DDI.
Cette construction d'un développement illimité permet de retrouver le '''développement propre''' d'un décimal 3,5670000…, ou d'un rationnel 3,25743743743… .

On démontre que cette définition construit une [[bijection]] entre les réels et les suites (''a<sub>n</sub>'') d'entiers tels que tous les ''a<sub>k</sub>'' pour ''k'' = 1 à ''n'' sont dans {0, …, 9} et la suite ne [[Suite stationnaire|stationne pas]] à 9.

== Régularité dans les développements décimaux illimités ==
{{...}} 
Sauf pour les décimaux et les rationnels dont le développement illimité est périodique, il n'est en général pas possible de « prévoir » les décimales d'un réel. Seuls des calculs poussés permettent de découvrir les premières décimales (on connaît jusqu'à présent les {{unité|1 241 100 000 000}}  premières décimales de {{mathPi}}.)

Des études portant sur la fréquence des entiers dans les développements décimaux de <math>\sqrt{2}</math> ou de {{mathPi}} sont menées.

Lorsque la fréquence d'apparition de chaque chiffre est de 10 % dans le développement décimal, et, plus généralement, lorsque la fréquence d'apparition d'une suite de ''n'' chiffres donnée est (pour chaque suite) de 10<sup>''-n''</sup>, on dit que le réel est un [[nombre normal]].

== Curiosités ==
* Le réel dont le développement décimal est 0,1234567891011121314151617… (soit la suite croissante des [[entiers naturels]]) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est la [[constante de Champernowne]], du nom du mathématicien anglais qui l'a inventé en 1933. Ce nombre est évidemment irrationnel, mais aussi [[nombre transcendant|transcendant]] (prouvé par [[Kurt Mahler]] en 1961), et [[nombre normal|normal]] en base dix.
* La [[constante de Copeland-Erdős]] 0,2357111317192329313741…, constituée de la succession des [[Nombre premier|nombres premiers]], est elle aussi [[nombre normal|normale]] en base dix.
* Le réel dont le développement décimal est 0,110001000000000000000001…, c'est-à-dire la somme des puissances factorielles négatives de 10 (10{{-1}} + 10<sup>−2</sup> + 10<sup>−6</sup> + … + 10<sup>−''k''!</sup> + …) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est appelé la [[Nombre de Liouville#Constante de Liouville|constante de Liouville]] parce qu'il figure parmi [[Nombre de Liouville|les premiers exemples explicites]] de [[nombre transcendant|nombres transcendants]], fournis par [[Joseph Liouville]].
* Le développement décimal est impossible dans un système positionnel [[système décimal sans zéro|sans zéro]], c'est-à-dire que le développement décimal dépend non seulement d'un système de numération positionnel, mais également de l'usage du [[zéro]] positionnel.
*Si l'on tire au hasard, [[loi uniforme continue|uniformément]], un nombre réel entre 0 et 1, les chiffres de son développement décimal forment une suite de [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendantes]] [[loi uniforme discrète|uniformes]] sur ⟦0, 9⟧. Ce fait est la clé de la démonstration du [[Nombre normal#Théorème du nombre normal|théorème du nombre normal]], dû à [[Émile Borel]] : à l'occasion de cette démonstration, [[Émile Borel]] a découvert le [[lemme de Borel-Cantelli]], et a démontré la première version connue de la [[loi forte des grands nombres]].

== Développement en base quelconque ==
Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la [[Base (arithmétique)|base]] 10.
Tout ce qui précède s'applique à n'importe quel nombre entier ''b'' (comme base), supérieur à 1.
Cette fois, les nombres admettant deux développements seront ceux de la forme <math>\frac a{b^k}</math>, les nombres rationnels restant caractérisés par la périodicité de leur développement.

En fait la base 10 présente surtout un intérêt pratique, dans le sens où c'est la plus utilisée. Les bases 2 et 3 notamment sont très intéressantes.

En [[base 2]], l'application <math>d:\{0,1\}^{\N^*}\rightarrow [0,1]</math> qui associe à une suite <math>(\epsilon_n)_{n\ge 1}</math>, où <math>\epsilon_n</math> vaut 0 ou 1, le nombre <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{2^n}</math>, est [[surjective]] (car tout nombre réel admet un développement en base 2). Elle n'est pas bijective, puisque précisément les [[Rationnel dyadique|rationnels dyadiques]], c’est-à-dire ceux de la forme <math>\frac a{2^k}</math>, admettent deux développements.
 		 
En [[Système ternaire|base 3]], l'application qui à la même suite  <math>(\epsilon_n)_{n\ge 1}</math> associe le nombre <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2\epsilon_n}{3^n}</math> est maintenant [[Injection (mathématiques)|injective]]. Elle n'est pas surjective : son [[Image d'une application|image]] est l'[[ensemble de Cantor]].

On peut tirer de cette représentation des objets de prime abord paradoxaux, par exemple une ''surjection'' continue du segment <math>[0,1]</math> dans le carré <math>[0,1]\times[0,1]</math> (voir [[Courbe remplissante]]).

== Articles connexes ==
* [[Écriture décimale positionnelle]]
* [[Développement décimal de l'unité]]


== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Approximation diophantienne]]
[[Catégorie:Série (mathématiques)]]