Voir la source de Développement décimal périodique

{{Exemple flottant
|contenu = <math>\begin{array}{l} 1/9 = 0{,}111111\ldots\\ 1/3  = 0{,}333333\ldots\\ 13/6 = 2{,}166666\ldots\\ 1/37 = 0{,}027027\ldots\\26/37 = 0{,}702702\ldots\\2/37 = 0{,}054054\ldots\end{array} </math>
|légende=Premières décimales de quelques rationnels.}}
En [[mathématiques]], le '''développement décimal périodique''' d'un [[nombre rationnel]] est une écriture qui explicite la suite des [[décimale]]s de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. Ce bloc, ou '''période''', peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc.
== Exemple introductif ==
Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un [[séparateur décimal]] (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. Or 1,333333333333 n'est qu'une [[valeur approchée]] (à 10{{exp|–12}} près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque :
:<math>1{,}333333333333 \times 3 = 3{,}\underbrace{999999999999}_{12\ \mathrm{chiffres}}<3{,}\underbrace{9999999999999}_{13\ \mathrm{chiffres}}<\dotsb<4.</math>
L'[[Division posée|algorithme de division]] appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1.

Pour écrire exactement le quotient 4/3 en notation décimale, il faudrait donc répéter le chiffre 3 à l'infini. Pour d'autres nombres rationnels, il faut répéter d'autres chiffres, voire un bloc de plusieurs chiffres. Ces blocs peuvent aussi être précédés par un bloc d'une ou plusieurs décimales qui ne se répète pas.

== Notations ==
{{Exemple flottant
|contenu=
<math>\begin{array}{l}0{,}583333333333... \\= 0,58\overline{3} \\= 0{,}58\underline{3} \\= 0,58[3]
\end{array}</math>
|légende=Différentes notations de<br> [[développement décimal]] périodique.}}
Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. Cette écriture peut paraître claire lorsqu'une seule décimale est répétée une dizaine de fois, mais d'autres notations sont plus explicites en décomposant le nombre rationnel en trois parties :
* sa [[partie entière]],
* une [[partie décimale]] non périodique,
* une partie décimale périodique.

Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. Ceux-ci sont suivis des chiffres de la (plus courte) période de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant.

== Développement périodique et nombre rationnel ==
=== Écriture décimale d'un rationnel ===

Dans l'idée de convertir en forme décimale un [[nombre rationnel]], représenté ''a priori'' sous forme de [[Fraction (mathématiques)|fraction]] de deux [[Entier naturel|entiers]], on peut [[poser une division]]. Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 :

{|border ="0" cellspacing = "0" 
|- style="text-align:center"
| ||5,||0||0||0||0||0||0||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|74
|- style="text-align:center"
|–||4||4||4||  || || || ||style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black"|0,06756…
|- style="text-align:center"
| || || 5 ||6|| 0|| || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| ||–|| 5 ||1|| 8|| || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || ||   ||4|| 2||0 || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || ||–||3|| 7||0 || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || ||   || || 5||0 || 0|| ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|}

etc. On observe qu'à chaque étape, il y a un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42 et 50. Lorsqu'on arrive au reste 50 et qu'on « abaisse le 0 », on divise à nouveau 500 par 74. On se retrouve dans la même situation qu'au départ. Par conséquent, les décimales se répètent : 0,0675675… = 0,0{{souligner|675}}. Le résultat est prévisible. Les seuls restes possibles — dans ce cas il y en a 74 — sont : 0, 1, 2, … et 73. Dès que l'on retombe sur un reste déjà obtenu, la séquence entière se répète. On peut remarquer de plus que les décimales obtenues sont les mêmes si l'on change la représentation fractionnaire de départ (par exemple {{math|1=5/74 = 25/370}}).

Cet exemple laisse prévoir la propriété suivante :

{{Théorème|Écriture décimale|Le [[développement décimal]] propre<ref name=Propre>Un développement décimal est dit impropre s'il est périodique de période {{math|9}}, et propre sinon. Tout [[nombre réel]] admet un unique développement propre, éventuellement « fini » c'est-à-dire périodique de période {{math|0}} (dans ce cas, on prend l'habitude de ne pas écrire la période).</ref> de tout nombre rationnel est [[Fonction périodique|périodique]]<ref>Dans tout cet article, sauf précision contraire, « périodique » signifie « périodique à partir d'un certain rang ».</ref>.|style=display:table}}

Avant d'en démontrer une version plus précise, éliminons des cas :
*si le dénominateur contient des puissances de {{math|2}} ou {{math|5}}, on peut toujours se ramener au cas où les exposants de 2 et de 5 sont égaux (en multipliant numérateur et dénominateur par une puissance adéquate de {{math|2}} ou {{math|5}}) pour mettre la fraction sous la forme {{sfrac|1|10{{exp|''n''}}}}×''{{sfrac|a|b}}'' où {{math|''b''}} est [[premier avec]] {{math|10}} et ''{{sfrac|a|b}}'' est [[fraction irréductible|irréductible]] (en simplifiant {{math|''a''}} et {{math|''b''}} par leurs éventuels facteurs communs). Ces transformations ne modifient pas le quotient dans la division. De plus, le développement de {{sfrac|1|10{{exp|''n''}}}}×''{{sfrac|a|b}}'' est le même que celui de ''{{sfrac|a|b}}'', à un décalage près de la virgule.
*puis, si {{math|1=''b'' = 1}}, la division de {{math|''a''}} par {{math|''b''}} est instantanée et donne, pour ''{{sfrac|a|b}}'' = {{math|''a''}}, le développement {{math|''a'',{{souligner|0}}}}.

Il reste à étudier le résultat d'une division de {{math|''a''}} par {{math|''b''}} lorsque {{math|''b''}} est strictement supérieur à {{math|1}} et premier avec {{math|''a''}} et {{math|10}}. Dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d'un développement décimal périodique, dont la période est différente de {{math|0}} et {{math|9}} et commence immédiatement après la virgule. De plus, la longueur de cette période — dont la valeur sera précisée [[#Longueur de la période|plus loin]] — est strictement inférieure à {{math|''b''}}.

{{Exemple|nom=Exemples|1=
*<math>\frac3{40}=\frac3{2^3\times5}=\frac{3\times5^2}{2^3\times5^3}=\frac{75}{10^3}=0{,}075\underline{0} = 0,075</math>
*<math>\frac23=0{,}\underline6\Rightarrow\frac{35}3=11{,}\underline6\Rightarrow\frac76=\frac{7\times5}{6\times5}=\frac{35}{3\times10}=1{,}1\underline6</math>
*<math>\frac57=0{,}\underline{714285}\Rightarrow\frac{12}7=1{,}\underline{714285}\Rightarrow\frac3{175}=\frac{3\times4}{175\times4}=\frac{12}{7\times10^2}=0{,}01\underline{714285}</math>
*<math>\frac1{81}=0{,}\underline{012345679}</math>
}}

{{Démonstration/début}}
On effectue la division euclidienne {{math|1=''a = bN + r''{{ind|0}}}} de {{math|''a''}} par {{math|''b''}}, puis les divisions successives de {{math|10''r{{ind|i}}''}} par {{math|''b''}}, donnant pour quotient {{math|''a''{{ind|''i''+1}}}} et pour reste {{math|''r''{{ind|''i''+1}}}}. Le reste n'est jamais nul puisque par hypothèse, ''{{sfrac|a|b}}'' n'est pas un [[nombre décimal]]. La suite de divisions se poursuit donc indéfiniment, et les différents restes {{math|''r{{ind|i}}''}} sont les restes de la division euclidienne de {{math|10''{{exp|i}}a''}} par {{math|''b''}}.

L'[[Division#Algorithmes de la division de nombres décimaux|algorithme de division]] assure que, pour tout {{math|''i''}} : {{math|''N'',''a''{{ind|1}}''a''{{ind|2}}''a''{{ind|3}}…''a''{{ind|''i''}} × 10{{exp|''i''}} {{=}} [[Partie entière|E(''{{sfrac|a|b}}'' × 10{{exp|''i''}})]]}}. Le quotient ''{{sfrac|a|b}}'' a donc bien pour [[développement décimal]] {{math|''N'',''a''{{ind|1}}''a''{{ind|2}}''a''{{ind|3}}…}}.

'''La suite des restes est périodique (dès le début) et la longueur {{math|ℓ}} de sa période est strictement inférieure à {{math|''b''}}.''' Le reste est toujours strictement compris entre <math>0</math> et <math>b</math>. À chaque étape, il n'y a donc que <math>b-1</math> restes possibles, si bien qu'[[Principe des tiroirs|on ne peut pas]] opérer <math>b</math> étapes sans rencontrer deux restes identiques. Notons <math>r_k</math> et <math>r_{k+l}</math> les deux premiers (avec donc <math>0<l<b</math>). <math>r_k=r_{k+l}</math>
si et seulement si <math>10^k a</math> et <math>10^{k+l} a</math> ont même reste dans la division par {{math|''b''}}, c'est-à-dire si l'entier <math> 10^{k+l}a - 10^k a=10^k a (10^l-1)</math> est un multiple de <math>b</math>, ou encore — puisque <math>b</math> est premier avec <math>a</math> et <math>10</math> — si <math>b</math> divise <math>10^l - 1</math>. Dans ce cas, <math>b</math> divise aussi <math>a(10^l -1 )</math>, <math>a</math> et <math>10^l a</math> ont même reste et <math>r_0=r_l</math>. Par conséquent, <math>k=0</math>. Comme, pour tout <math>n</math>, <math>b</math> divise aussi <math>10^n a (10^l -1)</math>, la suite <math>(r_n)_{n\geq 0}</math> est périodique, avec une période de longueur <math>l<b</math>.

'''Le développement décimal est périodique, sa période commence juste après la virgule, et la longueur de sa période divise {{math|ℓ}}.''' Cela résulte immédiatement de ce qui précède et du fait que {{math|''a''{{ind|''i''+1}}}} est le quotient de la division euclidienne de {{math|10''r{{ind|i}}''}} par {{math|''b''}}.

'''La période n'est ni 0 ni 9.'''  Pour tout <math> i</math>, la division euclidienne de <math>10^i r_0</math> par <math>b</math> donne <math> 10^i r_0=\overline{a_1a_2...a_i} \times b + r_i</math>. Une période {{math|0}} donnerait (pour tout {{math|''i''}}) {{math|1=10{{exp|''i''}} ≤ 10''{{exp|i}}r''{{ind|0}} = ''r{{ind|i}}'' < ''b''}}, [[Suite géométrique#Convergence|ce qui est impossible]]. De même une période {{math|9}} donnerait<math> 10^i r_0=(10^i -1)\times b + r_i</math> soit encore <math> 10^i (b- r_0)=b- r_i</math>, ce qui conduirait à  {{math|1=10{{exp|''i''}} ≤ 10{{exp|''i''}}(''b – r''{{ind|0}}) = ''b – r{{ind|i}}'' < ''b''}}, tout aussi impossible.
{{Démonstration/fin}}

=== Écriture fractionnaire d'un développement périodique ===
Pour le développement périodique d'un nombre plus petit que {{math|1}}, lorsque la période commence immédiatement après la virgule, la technique consiste à multiplier le nombre par la bonne puissance de {{math|10}} permettant de décaler complètement la période avant la virgule. Une [[soustraction]] permet alors de faire disparaître la partie décimale.

{{Exemple|:<math>x=0{,}2121\dots=0{,}\underline{21}</math>
:<math>100x=21{,}2121\dots=21{,}\underline{21}</math>
:<math>100x-x=21\Leftrightarrow x=\frac{21}{99}=\frac7{33}.</math>
}}

Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de {{math|10}} pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale.

{{Exemple|:<math>x=3{,}52121\dots=3{,}5\underline{21}</math>
: <math> 10x=35{,}2121\dots =35+0{,}\underline{21}</math>
:<math>10x=35+\frac7{33}=\frac{1162}{33}</math>
:<math>x=\frac{1162}{330}=\dfrac{581}{165}.</math>
}}

Cet algorithme se généralise et conduit au résultat suivant :

{{Théorème|Caractérisation des rationnels|Tout développement périodique est associé à un [[nombre rationnel]]. En particulier, le rationnel associé au développement <math>0,\underline{a_1a_2\dots a_{\ell}}</math> peut s'écrire <center><math>0,\underline{a_1a_2\dots a_{\ell}}=\frac{a_1a_2\dots a_{\ell}}{\underbrace{99\dots 9}_{\ell\text{ chiffres}}}.</math></center>|style=display:table}}

=== Le cas des nombres décimaux ===
{{article détaillé|Développement décimal de l'unité|Nombre décimal}}
Un [[nombre décimal]] est le quotient d'un entier par une [[Puissance d'un nombre|puissance]] de {{math|10}}. On a montré {{supra|Écriture décimale d'un rationnel}} que ces rationnels sont ceux dont le développement propre a pour période {{math|0}}.

Or la méthode du paragraphe précédent fournit des développements impropres. Par exemple, [[Développement décimal de l'unité#Manipulation des décimales|elle conduit à l'égalité {{math|1=0,{{souligner|9}} = {{sfrac|9|9}}}}, c'est-à-dire {{math|1=0,999… = 1}}]], qui est parfois contestée de façon naïve (voir l'article « [[Développement décimal de l'unité]] », qui en donne d'autres preuves et analyse les incrédulités à ce sujet ; le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal).

En résumé :
{{Théorème|Développement décimal périodique d'un nombre décimal|Les réels correspondant aux développements décimaux impropres<ref name=Propre/> sont les nombres décimaux non nuls. Ces nombres ont donc deux développements décimaux, périodiques, l'un de période {{math|0}} et l'autre de période {{math|9}}.|style=display:table}}

;Exemples
:2,5 = 2,4{{souligner|9}}.
:–0,6001 = –0,6000{{souligner|9}}.

Le développement impropre d'un nombre décimal n'est pas celui qui vient spontanément à l'esprit, mais cela ne signifie pas qu'on ne soit jamais amené à l'écrire. Par exemple :
*la [[Développement décimal de l'unité#Fractions et divisions posées|multiplication par {{math|3}} du développement décimal propre de {{math|1/3}}]] est l'une des méthodes pour convaincre que {{math|1=0,999… = 1}} ;
*lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 – ''x'' connaissant celui de ''x'', la forme 0,999… est plus adaptée :
*:''x'' = 0,52121… = 0,5{{souligner|21}}
*:1 – ''x'' = 0,99999… – 0,52121… = 0,47878… = 0,4{{souligner|78}}.

== Période de {{math|1/''n''}} ==
La connaissance d'une période pour le développement décimal de {{math|1/''n''}} permet d'en découvrir par multiplication pour tout quotient {{math|''m''/''n''}}. Le développement de {{math|1/''n''}} possède plusieurs périodes (il suffit, pour en créer une nouvelle, de mettre bout à bout deux périodes identiques) ; l'intérêt est de travailler sur la plus courte que l'on appellera ''la'' période et d'en déterminer certaines propriétés.

=== Longueur de la période ===
Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division de {{math|''m''}} par {{math|''n''}}. Ces restes correspondent aux restes de la division euclidienne de {{math|10''{{exp|i}}m''}} par {{math|''n''}}. Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'[[arithmétique modulaire]] et les notions de [[congruence sur les entiers]] et plus précisément l'[[ordre multiplicatif]]<ref name=Ordre>C'est-à-dire le plus petit entier {{math|ℓ > 0}} tel que {{math|10{{exp|ℓ}} – 1}} soit divisible par {{math|''n''}}, ou encore : l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de {{math|10}} dans le [[Groupe des unités|groupe multiplicatif]] des [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|inversibles de {{math|ℤ/''n''ℤ}}]].</ref> de {{math|10}} modulo {{math|''n''}} :

{{Théorème|Longueur de la période de {{math|''m''/''n''}}<ref>{{Article|titre=Notes sur les développements décimaux périodiques|auteur=Robert Rolland|url=http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Rolland.pdf|revue=Bulletin de l'[[APMEP]]|année=2007|numéro=472|page=741-752}}.</ref>|Soit {{math|''m''/''n''}} une [[fraction irréductible]].
*Si {{math|''n''}} est [[premier avec]] {{math|10}}, la longueur de la période est égale à l'ordre multiplicatif<ref name=Ordre/> de {{math|10}} modulo {{math|''n''}}.
*Plus généralement, si {{math|1=''n = n''{{ind|1}}''n''{{ind|2}}}} où {{math|''n''{{ind|1}}}} est premier avec {{math|10}} et {{math|''n''{{ind|2}}}} est un produit de puissances de {{math|2}} et de {{math|5}}, la longueur de la période est égale à l'ordre multiplicatif de {{math|10}} modulo {{math|''n''{{ind|1}}}}.|style=display:table}}

{{Démonstration/début}}
On a déjà démontré {{supra|Écriture décimale d'un rationnel}} que le cas général se ramène au cas où {{math|''n''}} est premier avec {{math|10}} et strictement supérieur à {{math|1}}, et qu'alors :
*il existe un plus petit entier {{math|ℓ > 0}} tel que {{math|10{{exp|ℓ}} – 1}} soit divisible par {{math|''n''}} ;
*pour la suite {{math|(''r{{ind|i}}''){{ind|''i''≥0}}}} des restes, la longueur de la période est égale à cet entier {{math|ℓ (< ''n'')}} ;
*pour la suite {{math|(''a{{ind|i}}''){{ind|''i''≥1}}}} des décimales du quotient, la longueur {{math|ℓ{{'}}}} divise {{math|ℓ}}.
Il ne reste donc plus qu'à vérifier que {{math|ℓ}} divise {{math|ℓ{{'}}}}. Or d'après le § « Écriture fractionnaire d'un développement périodique » [[#Écriture fractionnaire d'un développement périodique|ci-dessus]],
:<math>\frac{r_0}n=0,\underline{a_1a_2\dots a_{\ell'}}=\frac{a_1a_2\dots a_{\ell'}}{10^{\ell'}-1},</math>
si bien que {{math|''n''}} divise {{math|(10{{exp|ℓ{{'}}}} – 1)''r''{{ind|0}}}}. Puisqu'il est premier avec {{math|''m''}} donc avec {{math|''r''{{ind|0}}}}, il divise {{math|10{{exp|ℓ{{'}}}} – 1}}, c'est-à-dire que {{math|ℓ{{'}}}} est un multiple de {{math|ℓ}}.
{{Démonstration/fin}}

En particulier :
*la longueur de la période de {{math|''m''/''n''}} est toujours égale à celle de {{math|1/''n''}} ;
*c'est un diviseur de {{math|φ(''n''{{ind|1}})}}, où {{math|φ}} est l'[[indicatrice d'Euler]]<ref>Pour tout entier {{math|''n'' > 0}}, {{math|φ(''n'')}} est le nombre d'entiers compris entre {{math|1}} et {{math|''n''}} et premiers avec {{math|''n''}}.</ref>.

Lorsque {{math|''n''}} est un [[nombre premier]] différent de {{math|2}} et {{math|5}}, la longueur de la période de {{math|1/''n''}} peut être égale à {{math|''n'' – 1}} (la longueur maximale pour une division par un entier {{math|''n'' > 1}}<ref>Si {{math|''n''}} est premier, {{math|1=φ(''n'') = ''n'' – 1}}, tandis que si {{math|''n''}} est [[Nombre composé|composé]], {{math|1=φ(''n'') < ''n'' – 1}}.</ref>) ; par exemple :
:<math>\frac17=0{,}\underline{142857}\quad{\rm et}\quad\frac1{17}=0{,}\underline{0588235294117647}.</math>
Elle peut aussi être plus petite, comme pour
:<math>\frac 1{11}=0,\underline{09}\quad{\rm et}\quad\frac1{13}=0,\underline{076923}.</math>

Les périodes de longueur maximale sont donc celles des fractions {{math|1/''n''}} où {{math|''n''}} est un nombre premier pour lequel l'ordre de {{math|10}} est {{math|''n'' – 1}}<ref name = "boyer">{{Ouvrage|langue = français|auteur = Pascal Boyer|titre = Petit compagnon des nombres et de leurs applications|éditeur = Calvage et Mounet|pages totales = 648|année = 2019 | isbn = 978-2-916352-75-6|partie = I. Arithmétique de ℤ|numéro chapitre = 2.4|titre chapitre = Développement décimal de 1/p, d'après J. Germoni|passage = 28-34}}.</ref>. On dit alors que {{math|10}} est une [[Racine primitive modulo n|racine primitive modulo {{math|''n''}}]]. Ces nombres, appelés parfois "[[Nombre premier long|nombres premiers longs]]", forment la suite 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97... référencée  [[oeis:A006883|A006883]]  dans l'encyclopédie des suites entières, ou [[oeis:A001913|A001913]] si l'on excepte le 2.

[[Emil Artin]]  a émis l'hypothèse que cette suite est infinie et que sa [[Densité asymptotique|densité]] parmi les nombres premiers est une constante (la même quand on remplace {{math|10}} par certains autres entiers), valant environ {{math|0,374}} (voir l'article sur la [[Conjecture d'Artin sur les racines primitives]])<ref name = "boyer"/>.

Lorsque {{math|''n''}} n'est pas premier, {{math|φ(''n'') < ''n'' – 1}}. La longueur de la période doit diviser {{math|φ(''n'')}} et elle n'est jamais maximale. Ainsi, la longueur de la période de {{math|1/21}} doit diviser {{math|1=φ(21) = 2 × 6 = 12}}. Effectivement, la période de {{math|1/21}} est de longueur {{math|6}} :
:<math>\frac1{21}=0,\underline{047619}.</math>

==== Caractérisation pratique des nombres premiers longs ====
En utilisant le fait que <math>10^d-1=9\times\underset{d\text{ chiffres 1}}{\underbrace{11...1}}</math> on obtient la caractérisation :

{{Théorème|<math>1/p</math> est à période décimale maximale si et seulement si

          1) <math>p</math> est premier ≠ 2,3 et 5.

          2) <math>p</math> ne divise aucun des nombres <math>R_d=\underset{d\text{ chiffres 1}}{\underbrace{11...1}}</math>, avec <math>d</math> diviseur propre de

<math>p-1</math>.}}

Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres <math>R_d</math> appelés communément "[[Répunit|répunits]]" :

<math>R_3=3. 37</math> , <math>R_4 = 11. 101</math>, <math>R_5 = 41. 271</math>, <math>R_6 = 3. 7. 11. 13. 37</math>, <math>R_7 = 239. 4649</math>{{etc.}}

1/13 n’est donc pas à période maximale car 13 divise <math>R_6</math>, avec 6 diviseur de 12 ;

1/37 n’est pas à période maximale car 37 divise <math>R_6</math>, avec 6 diviseur de 36 ;

1/41 n’est pas à période maximale car 41 divise <math>R_5</math>, avec 5 diviseur de 40{{etc.}}

=== Cycle et permutation ===
Si {{math|''n''}} et {{math|10}} sont premiers entre eux, la [[poser une division|division posée]] pour {{math|1/''n''}} permet de trouver aussi les développements décimaux de {{math|''r<sub>k</sub>''/''n''}} pour tous les restes intervenant dans la division. En effet, {{math|10''r<sub>k</sub>''}} a pour quotient {{math|''a''<sub>''k''+1</sub>}} et pour reste {{math|''r''<sub>''k''+1</sub>}} dans la division par {{math|''n''}}. On retrouve alors, pour le développement périodique de {{math|''r<sub>k</sub>''/''n''}}, celui de {{math|1/''n''}} ayant seulement subi une [[permutation circulaire]] et commençant à {{math|''a''<sub>''k''+1</sub>}}. Ainsi, on a
:<math>\frac1n=0{,}\underline{a_1\dots a_{\ell}},\quad\frac{r_k}n=0{,}\underline{a_{k+1}\dots a_{\ell}a_1\dots a_k}</math>
et l'écriture fractionnaire donne
:<math>\frac{a_{k+1}\dots a_la_1\dots a_k}{9\dots9}=\frac{r_k}n=r_k\times\frac1n=\frac{r_k\times a_1\dots a_{\ell}}{9\dots9}.</math>
En observant les numérateurs, on peut voir que multiplier la période de {{math|1/''n''}} par {{math|''r<sub>k</sub>''}} équivaut à effectuer une permutation circulaire sur les chiffres de ce nombre.

Lorsque la période de {{math|1/''n''}} est de longueur maximale, les restes parcourent tous les entiers de {{math|1}} à {{math|''n'' – 1}}. Dans ce cas, en multipliant la période de {{math|1/''n''}} par tout entier {{math|''m < n''}}, on conservera toujours les mêmes chiffres à une permutation près. La nouvelle période obtenue sera celle de {{math|''m''/''n''}}.

Cette propriété rend remarquables les périodes des nombres {{math|1/''n''}} pour lesquels {{math|10}} est d'ordre {{math|''n'' – 1}}. C'est le cas par exemple de {{math|[[142 857 (nombre)|{{nombre|142857}}]]}} (période de {{math|1/7}}) ou {{math|{{nombre|052631578947368421}}}} (période de {{math|1/19}}) qui sont des [[nombre cyclique|nombres cycliques]]<ref name = "boyer"/>. On a ainsi, pour {{math|1/7}}, dont les restes sont successivement {{math|1}}, {{math|3}}, {{math|2}}, {{math|6}}, {{math|4}}, {{math|5}}, {{math|1}}, {{math|3}}, {{math|2}}, {{math|6}}, {{math|4}}, {{math|5}}{{etc.}}<ref name = "boyer"/>:
* 1 × 142857 = '''1'''42857 ;
* 3 × 142857 = 42857'''1''' ;
* 2 × 142857 = 2857'''1'''4 ;
* 6 × 142857 = 857'''1'''42 ;
* 4 × 142857 = 57'''1'''428 ;
* 5 × 142857 = 7'''1'''4285.
(7 × 142857 = 999999, période de l'écriture décimale impropre de {{math|1}}).

Lorsque la période de {{math|1/''n''}} est de longueur {{math|ℓ < ''n'' – 1}}, seuls {{math|ℓ}} entiers sont concernés, chacun associé à une permutation circulaire de la période de {{math|1/''n''}}. Si l'entier {{math|''m''}}, inférieur à {{math|''n''}} et premier avec {{math|''n''}}, ne fait pas partie de ce premier groupe, on a encore
:<math>m\times\frac1n=\frac{m\times a_1\dots a_{\ell}}{9\dots9}.</math>
Puisque {{math|''m'' ≤ ''n''}}, le produit {{math|''m'' × ''a''<sub>1</sub>…''a''<sub>ℓ</sub>}} est strictement inférieur à {{math|10{{exp|ℓ}}}}. Il s'écrit donc {{math|''b''<sub>1</sub>…''b''<sub>ℓ</sub>}} et constitue la période de
:<math>\frac mn=\frac{b_1\dots b_{\ell}}{9\dots9}=0{,}\underline{b_1\dots b_{\ell}},</math>
différente de la précédente. À chaque permutation de cette nouvelle période est associé un quotient de la forme {{math|''m{{'}}''/''n''}}, où {{math|''m{{'}}''}} est l'un des {{math|ℓ}} restes de {{math|''m''/''n''}}. On [[Partition (mathématiques)|répartit]] ainsi tous les entiers premiers avec {{math|''n''}} et inférieurs à {{math|''n''}} dans des [[ensembles disjoints]] deux à deux contenant {{math|ℓ}} restes consécutifs et associés à {{math|φ(''n'')/ℓ}} périodes différentes.

Pour {{math|1=''n'' = 27}} par exemple, on a {{math|1=[[Indicatrice d'Euler#Calcul|φ(27) = 2 × 9]] = 18}} et {{math|1/27}} a pour période {{math|037}}. Cette période engendre 5 autres périodes qui sont les seules possibles, à une permutation circulaire près, de tout quotient {{math|''m''/27}} où {{math|''m''}} et {{math|27}} sont premiers entre eux.
*'''0'''37 pour {{math|1=''m'' = 1}}, 37'''0''' pour {{math|1=''m'' = 10}}, 7'''0'''3 pour {{math|1=''m'' = 19}} ;
*'''0'''74 pour {{math|1=''m'' = 2}}, 74'''0''' pour {{math|1=''m'' = 20}}, 4'''0'''7 pour {{math|1=''m'' = 11}} ;
*'''1'''48 pour {{math|1=''m'' = 4}}, 48'''1''' pour {{math|1=''m'' = 13}}, 8'''1'''4 pour {{math|1=''m'' = 22}} ;
*'''1'''85 pour {{math|1=''m'' = 5}}, 85'''1''' pour {{math|1=''m'' = 23}}, 5'''1'''8 pour {{math|1=''m'' = 14}} ;
*'''2'''59 pour {{math|1=''m'' = 7}}, 59'''2''' pour {{math|1=''m'' = 16}}, 9'''2'''5 pour {{math|1=''m'' = 25}} ;
*'''2'''96 pour {{math|1=''m'' = 8}}, 96'''2''' pour {{math|1=''m'' = 26}}, 6'''2'''9 pour {{math|1=''m'' = 17}}.

{{Théorème|Périodes des {{math|''m''/''n''}}|Si l'ordre de {{math|10}} est {{math|ℓ}}, il existe {{math|φ(''n'')/ℓ}} périodes possibles — à une permutation circulaire près — pour un quotient de la forme {{math|''m''/''n''}} où {{math|''m''}} et {{math|''n''}} sont premiers entre eux. Ces périodes sont obtenues en multipliant la période de {{math|1/''n''}} par {{math|''m''}} (inférieur à {{math|''n''}}).|style=display:table}}

=== Construction ===
Si {{math|''n''}} est premier avec {{math|10}}, on peut construire la période de {{math|1/''n''}} en [[poser une division|posant la division]] mais on peut aussi la reconstituer uniquement par multiplication à partir de son dernier terme.

L'égalité
:<math>10r_{\ell-1}=a_{\ell}n + r_{\ell}=a_{\ell}n+1</math>
permet de dire que
:<math>a_{\ell}n \equiv 9\pmod {10}</math>
ou, plus simplement, que ce produit doit se terminer par {{math|9}}.

Comme {{math|''n''}} est premier avec {{math|10}}, un tel nombre {{math|''a''<sub>ℓ</sub>}} existe. Il n'en existe d'autre part qu'un seul compris entre {{math|1}} et {{math|9}}. On peut le trouver en résolvant l'[[Équation diophantienne ax+by = c|équation diophantienne]] {{math|1=''nx'' – 10''y'' = 9}}. Le nombre {{math|''a''<sub>ℓ</sub>}} étant trouvé, on en déduit la valeur de {{math|''r''<sub>ℓ–1</sub>}}.

D'autre part, si l'on note
:<math>a_1\dots a_{\ell}</math>
la période recherchée, on sait, par [[permutation circulaire]], que
: <math>r_{\ell-1} \times a_1\dots a_{\ell} = a_{\ell}a_1\dots a_{\ell-1}.</math>
Ce produit permet de déterminer {{math|''a''<sub>ℓ–1</sub>}} qui, réinjecté dans la même égalité, permet de trouver {{math|''a''<sub>ℓ–2</sub>}} et de proche en proche, permet de découvrir tous les chiffres de la période.

Par exemple, pour déterminer la période de {{math|1/7}}, on cherche d'abord le chiffre qui multiplié par {{math|7}} donne un nombre se terminant par {{math|9}}. Puisque {{math|1=7 × 7 = 49}}, on peut poser
: <math>a_{\ell}= 7</math>
puis, comme
: <math>10r_{\ell-1} = 7 \times 7 + 1,</math>
on sait que
: <math>r_{\ell-1} = 5.</math>

Les chiffres successifs de la période se trouvent en remplissant progressivement la [[multiplication]] à trous
: <math>5\times a_1\dots a_{\ell} = a_{\ell}a_1\dots a_{\ell-1}</math>
{| width="100%" align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="4" 
|- valign="top"
| width="16%" |

{|border ="0" cellspacing = "0" 
| .||. || .||.||.||7
|-
|×|| || || || ||5
|-
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"| .{{exp|3}}
|style="border-top:thin solid black"| 5
|}

| width="16%" |

{|border ="0" cellspacing = "0" 
| .||. || .||.||5||7
|-
|×|| || || || ||5
|-
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"| . {{exp|2}}
|style="border-top:thin solid black"| 8
|style="border-top:thin solid black"| 5
|}

| width="16%" |

{|border ="0" cellspacing = "0" 
| .||. || .||8||5||7
|-
|×|| || || || ||5
|-
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"| . {{exp|4}}  
|style="border-top:thin solid black"| 2
|style="border-top:thin solid black"| 8
|style="border-top:thin solid black"| 5
|}

| width="16%" |

{|border ="0" cellspacing = "0" 
| .||. || 2||8||5||7
|-
|×|| || || || ||5
|-
|style="border-top:thin solid black"|  
|style="border-top:thin solid black"|  . {{exp|1}}  
|style="border-top:thin solid black"| 4
|style="border-top:thin solid black"| 2
|style="border-top:thin solid black"| 8
|style="border-top:thin solid black"| 5
|}

| width="16%" |

{|border ="0" cellspacing = "0" 
| .||4 || 2||8||5||7
|-
|×|| || || || ||5
|-
|style="border-top:thin solid black"|  . {{exp|2}}  
|style="border-top:thin solid black"| 1
|style="border-top:thin solid black"| 4
|style="border-top:thin solid black"| 2
|style="border-top:thin solid black"| 8
|style="border-top:thin solid black"| 5
|}

| width="16%" |

{|border ="0" cellspacing = "0" 
| 1||4 || 2||8||5||7
|-
|×|| || || || ||5
|-
|style="border-top:thin solid black"| 7 
|style="border-top:thin solid black"| 1
|style="border-top:thin solid black"| 4
|style="border-top:thin solid black"| 2
|style="border-top:thin solid black"| 8
|style="border-top:thin solid black"| 5
|}
|}

Ce principe peut être utilisé dans la construction de la [[#Cycle et permutation|période de {{math|1/19}}]], dont le dernier chiffre est {{math|1}} et dont l'avant-dernier reste est {{math|2}}.

=== Structure ===
On se place ici dans le cas où ''n'' est premier, supérieur ou égal à 7 et l'on suppose que la période la plus courte de 1/''n'' est de longueur ℓ = ''st'' où ''s'' > 1. La période est alors constituée de ''s'' blocs de ''t'' chiffres. Si l'on note ''A''<sub>1</sub>, … ''A''<sub>''s''</sub> ces blocs, ils peuvent être vus comme l'écriture décimale de ''s'' nombres. La somme de ces ''s'' nombres est alors toujours un multiple de 10<sup>''t''</sup> – 1 = 99…9. De plus, on peut démontrer<ref>{{Article|lang=en|auteur=B. D. Ginsberg|titre=Midy's (nearly) secret theorem. An extension after 165 years|revue={{Lien|College Mathematics Journal}}|vol=35|année=2004|p.=26-30}}.</ref> que si le nombre de blocs n'est que de 2 ou 3, la somme est exactement égale à 10<sup>''t''</sup> – 1.

Par exemple, la période de 1/7 est 142857, partageable en 6, 3 ou 2 blocs :
* en deux blocs : 142 + 857 = 999 ;
* en 3 blocs : 14 + 28 + 57 = 99 ;
* en 6 blocs : 1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 (divisible par 9).

Cette propriété porte le nom de [[théorème de Midy]].

== Fragments d'histoire ==
L'écriture décimale des entiers apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques notamment en Orient. L'idée de prolonger les opérations au-delà de l'unité est présente en Chine dès le {{s|III|e}} mais la partie décimale y est présentée sous forme d'une fraction décimale<ref>{{ChemlaShuchun}}, {{p.|1004-1005}}.</ref>. La présentation d'un nombre décimal avec une partie entière, une virgule et une partie décimale apparaît dans les écrits du mathématicien [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi|Ibrahim Uqlidisi]] au {{s|X|e}} quand il présente le [[chiffres arabes|système de numération indien]]<ref>{{Crossley}}, {{p.|140}}.</ref> mais le calcul des nombres sous forme de fractions reste prédominant<ref>{{Benoît Chemla Ritter}}, {{p.|339}}.</ref>. Le [[système décimal]] arrive en Europe tardivement (vers le {{s|X|e}}) et c'est [[Simon Stevin]] qui prône l'écriture décimale des nombres fractionnaires qu'il appelle les rompus. Dans son traité ''La Disme'', écrit en 1585, il précise les méthodes de calcul sur les écritures décimales et envisage que celles-ci puissent être illimitées et s'appliquer même à des [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]] (nombres incommensurables)<ref>{{Harvsp|Crossley|1987}}.</ref>{{,}}<ref>[http://ufr6.univ-paris8.fr/maths/DOXhist/MM09_algebrisation.pdf Voir quelques extraits] du texte de Stevin.</ref>.

Au cours du {{s|XVIII|e}}, les mathématiciens se préoccupent de la période décimale des fractions. Un des premiers à utiliser une notation spécifique pour la période d'un nombre fractionnaire est John Marsh<ref>{{en}} John Marsh, ''Decimal Arithmetic Made Perfect'', Londres, 1742, {{p.|5}}.</ref>, qui signale le début et la fin de la période par un point placé au-dessus du chiffre. H. Clarke<ref>{{en}} H. Clarke, ''The Rationale of Circulating Numbers'', Londres, 1777, {{p.|15}}-16.</ref> préfère l'apostrophe tandis que d'autre utilisent des accents avant et après la période<ref>{{Cajori}}, paragraphe 289.</ref>. Tout est fait pour faciliter le calcul des fractions sous forme décimale et, tout comme il existe des [[Table de logarithmes|tables de logarithmes]] ou des tables de sinus, existent aussi des tables de périodes. [[Jean le Rond D'Alembert]] en publie dans son ''[[Encyclopédie méthodique]]''<ref>Jean Le Rond d'Alembert, Jerôme de La Lande, Charles Bossut, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, ''[[Encyclopédie méthodique]] : Mathématiques'', Panckoucke, 1785, {{Google Livres|d_DV5k7tIkEC|aperçu}}, article « Fraction », {{p.|110}}.</ref>. La révolution française privilégie le système décimal dans les unités de mesure et encourage le calcul sous forme décimale. On trouve ainsi dans ''Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au {{1er|vendémiaire}} an 10, avec des tables de rapports et de réductions'', par C.H. Haros, une table donnant les périodes des fractions de dénominateurs inférieurs à 50<ref>R. Mansuy, ''[http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/Haros/Haros.html Les calculs du citoyen Haros]'', janvier 2008.</ref>.

[[Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|[[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) par {{Lien|lang=de|Gottlieb Biermann}} (1887), d'après un portrait par [[Christian Albrecht Jensen]] (1840).]]
Une grande avancée et une formalisation de ces notions sont faites par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' en 1801. Gauss se préoccupe de déterminer facilement le développement périodique de tout rationnel. Cet objectif le conduit à travailler sur les restes dans la division par ''n'' qu'il appelle les [[congruence sur les entiers|résidus]]. Il définit l'[[ordre d'un groupe|ordre]] d'un nombre modulo ''n'' comme le plus petit entier non nul ''k'' tel que ''a<sup>k</sup>'' ait pour reste 1 modulo ''n''. Il s'intéresse aux [[racine primitive modulo n|racines primitives]] : celles dont les puissances modulo ''n'' permettent de donner tous les entiers inférieurs à ''n'' et premier avec ''n''. Une racine primitive ''a'' étant choisie, il définit l'indice d'un nombre ''b'' comme l'entier ''i'' tel que ''a''<sup>''i''</sup> a pour reste ''b'' modulo ''n''. Cet indice ''i'' s'appelle de nos jours le [[logarithme discret]]. Il remarque que si ''n'' est premier ou [[Nombre primaire|puissance d'un nombre premier]], il existe des racines primitives. Dans le chapitre 6 de son traité, il applique ces connaissances aux fractions. Il remarque que toute fraction peut se décomposer en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions dont le dénominateur est une puissance de nombre premier. Pour chacun de ces dénominateurs ''n'', il détermine une racine primitive ''a'' modulo ''n''. Il détermine ensuite l'indice ''i'' de 10 dans la base ''a''. Il sait alors que la période de 1/''n'' a pour longueur φ(''n'')/''i'', dont il détermine la valeur. Il prouve ensuite que la fraction ''m''/''n'' a une période de même longueur et que cette période est à choisir entre ''i'' périodes différentes, à une permutation près. Il démontre ensuite que l'indice de ''m'' lui permet de déterminer quelle période il doit choisir ainsi que la permutation à effectuer. Il fournit alors pour chaque entier ''n'', premier ou puissance de nombre premier, des tables donnant les périodes et les indices de tous les nombres premiers inférieurs à ''n''<ref name="Cousquer">{{Lien web|auteur=Eliane Cousquer|url=http://mediamaths.fr/pdf/gauss.pdf|titre=Gauss|site=médiamaths}}. — Présentation du texte de [[Carl Friedrich Gauss]], ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', et son utilisation pour les développements décimaux périodiques.</ref>.

On peut illustrer sa démarche sur un exemple : il s'agit de chercher le développement décimal de
: <math>X= \frac{251}{351}.</math>
La première étape consiste à décomposer 351 en [[Décomposition en produit de facteurs premiers|produit de facteurs premiers]] :
: <math>351 = 3^3\times 13.</math>
Il faut ensuite décomposer cette fraction en éléments simples. Il faut trouver deux entiers ''x'' et ''y'' tels que
:<math>X= \frac x{27}+\frac y{13}.</math>
La résolution de l'[[équation diophantienne ax+by = c|équation diophantienne]] 13''x'' + 27''y'' = 251 donne pour décomposition :
:<math>X= \frac {11}{27}+\frac 4{13}</math>.
On prend d'abord ''n'' = 27. La [[table numérique]] fournit comme racine primitive 2, l'indice de 10 est de 6, et l'indice de 11 est 13 = 2×6 + 1<ref name="Cousquer"/>. Il existe 6 périodes possibles et celle associée à l'indice 1 est, d'après les tables<ref name="Cousquer"/>, 074 donc la période associée à 11 est 074 permutée de deux cases, soit 407 :
: <math>\frac{11}{27}=0,\underline{407}.</math>
On prend ensuite ''n'' = 13. La table<ref name="Cousquer"/> donne deux périodes, la racine primitive est 6, et 4 est d'indice 10 = 5×2. La période de 4 est la période d'indice 0 (076923) décalée de 5 cases :
: <math>\frac{4}{13}=0,\underline{307692}.</math>
La somme de ces deux nombres a une période de longueur multiple commun des deux longueurs, ici, de longueur 6.
:<math> X= 0,\underline{407407}+ 0,\underline{307692}=0,\underline{715099}.</math>
À partir du {{s|XIX|e}} et jusqu'au développement des calculatrices, nombreux sont les ouvrages permettant de calculer à la main les périodes des nombres fractionnaires.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Recurring decimal|6938675|type=note}}
<references/>

== Voir aussi ==

=== Lien externe ===
{{Lien web|auteur=Jérôme Germoni|url=http://math.univ-lyon1.fr/~germoni/diffusion/crdp.pdf|titre=Développement décimal de 1/''p'' (d'après O. Mathieu), diaporama|site=[[Centre national de documentation pédagogique|CRDP]] de [[Université Claude-Bernard-Lyon-I|Lyon 1]]|année=2006}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Fraction]]