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En [[algèbre commutative]], le '''degré d'un [[polynôme]]''' (en une ou [[Polynôme en plusieurs indéterminées|plusieurs indéterminées]]) est le degré le plus élevé de ses termes lorsque le polynôme est exprimé sous sa forme canonique constituée d'une [[Addition|somme]] de [[Monôme (mathématiques)|monômes]]. Le degré d'un terme est la somme des [[Exponentiation|exposants]] des [[indéterminée]]s qui y apparaissent. Le terme ''ordre'' a été utilisé<ref>{{MathWorld|nom_url=PolynomialOrder|titre=Polynomial Order}}.</ref> comme synonyme de ''degré'', mais de nos jours, il fait référence à des concepts différents, bien que connexes.

Par exemple, le polynôme 7''X''{{2}}''Y''{{3}} + 4''X'' – 9 a trois monômes. Le premier est de degré 2 + 3 = 5, le deuxième (4''X''{{1}}''Y''{{exp|0}}) de degré 1, et le dernier (–9''X''{{exp|0}}''Y''{{exp|0}}) de degré 0. Par conséquent, le polynôme est de degré 5, qui est le degré le plus élevé de tous ses monômes.

Pour déterminer le degré d'un polynôme qui n'est pas sous forme standard — par exemple (''X'' + 1){{2}} – (''X'' – 1){{2}} — on doit d'abord le mettre sous forme standard en développant les produits (par [[distributivité]]) et en combinant les termes semblables ; par exemple, (''X'' + 1){{2}} – (''X'' – 1){{2}} = 4''X'', et son degré est 1, bien que chaque terme de la différence soit de degré 2. Toutefois, cela n'est pas nécessaire quand le polynôme est exprimé comme un produit de polynômes sous forme standard, du fait que le degré d'un produit est la somme des degrés de ses facteurs.

== Noms des polynômes par degré ==
Les noms suivants sont affectés aux polynômes en fonction de leur degré<ref>{{lien web|langue=en|url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html|titre=Names of Polynomials|site=mathforum.org<!--|consulté le=21/10/2015-->}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[Saunders Mac Lane]]|auteur2=[[Garrett Birkhoff]]|année=1999|url={{Google Livres|L6FENd8GHIUC|page=107}}|titre=Algebra|numéro d'édition=3|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|passage=107}} donne les nomes (en [[anglais]]) des polynômes de degrés 1 à 5.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur={{Lien|R. Bruce King}}|année=2009|url={{Google Livres|9cKX_9zkeg4C}}|titre=Beyond the Quartic Equation|éditeur=Springer}}, donne les noms (en anglais) des polynômes de degrés 3 à 8.</ref> :
* cas particulier – [[Polynôme nul|nul]] (voir [[#Degré du polynôme nul|§ Degré du polynôme nul]] ci-dessous)
* degré 0 – [[Polynôme constant|constant]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[Igor Chafarevitch|Igor R. Shafarevich]]|année=2003|url={{Google Livres|hpkkJgU8rwcC|page=27}}|titre=Discourses on Algebra|éditeur=Springer|passage=23}}, dit d'un polynôme de degré nul, ''f''(''x'') = ''a''{{ind|0}} : {{Citation|Un tel polynôme est appelé une ''constante'' parce que si l'on y remplace ''x'' par différentes valeurs, on obtient toujours la même valeur ''a''{{ind|0}}}}</ref>
* degré 1 – [[Fonction affine|affine]]
* degré 2 – [[Fonction du second degré|quadratique]]
* degré 3 – [[Fonction cubique|cubique]]
* degré 4 – [[Équation quartique|quartique]]
* degré 5 – [[Équation quintique|quintique]]
* degré 6 – [[Équation sextique|sextique]]
Les noms pour les degrés au-dessus de 3 sont basés sur les [[Adjectif numéral ordinal|nombres ordinaux]] latins, et se terminent en ''-ique''. Cela doit être distingué des noms utilisés pour le nombre d'indéterminées, l'[[arité]], qui sont basés sur les {{Lien|langue=en|trad=Distributive number|fr=Nombre distributif|texte=nombres distributifs}} latins, et se terminent en ''-aire''. Par exemple, un polynôme de degré 2 à deux indéterminées, tel que ''X''{{2}} + ''XY + Y''{{2}}, est dit « quadratique binaire » : ''quadratique'' du fait de son degré 2, ''binaire'' du fait de ses deux variables<ref>Pour que l'exemple soit simple, on a choisi un [[polynôme homogène]], et de même degré en chaque indéterminée.</ref>. Il existe aussi des noms pour désigner le nombre de termes, qui sont également basés sur les nombres distributifs latins, et se terminent en ''-nôme ''; les plus courants sont ''[[Monôme (mathématiques)|monôme]]'', ''[[Binôme (mathématique)|binôme]]'' et ''trinôme ''; ainsi, ''X''{{2}} + Y''{{2}} est un « binôme quadratique binaire ».

== Autres exemples ==
* Le polynôme 3 – 5''X'' + 2''X''{{5}} – 7''X''{{9}} est de degré 9.
* Le polynôme (''Y'' – 3)(2''Y'' + 6)(–4''Y'' – 21) est un polynôme cubique.
* Le polynôme (3''Z''{{8}} + ''Z''{{5}} – 4''Z''{{2}} + 6) + (–3''Z''{{8}} + 8''Z''{{4}} + 2''Z''{{3}} + 14''Z'') est un polynôme quintique (du fait que les ''Z''{{8}} s'annulent).
Les formes canoniques des trois exemples ci-dessus sont :
* pour 3 – 5''X'' + 2''X''{{5}} – 7''X''{{9}}, après réarrangement, –7''X''{{9}} + 2''X''{{5}} – 5''X'' + 3 ;
* pour (''Y'' – 3)(2''Y'' + 6)(–4''Y'' – 21), après développement des produits et rassemblement des termes de même degré, –8''Y''{{3}} – 42''Y''{{2}} + 72''Y'' + 378 ;
* pour (3''Z''{{8}} + ''Z''{{5}} – 4''Z''{{2}} + 6) + (–3''Z''{{8}} + 8''Z''{{4}} + 2''Z''{{3}} + 14''Z''), dans lequel les deux termes de degré 8 s'annulent, ''Z''{{5}} + 8''Z''{{4}} + 2''Z''{{3}} – 4''Z''{{2}} + 14''Z'' + 6.

== Comportement lors d'opérations polynomiales ==

=== Comportement lors de l'addition ===
Le degré de la somme (ou de la différence) de deux polynômes est inférieur ou égal au plus grand de leurs degrés, c'est-à-dire que deg(''P + Q'') ≤ max(deg(''P''), deg(''Q'')) et deg(''P – Q'') ≤ max(deg(''P''), deg(''Q'')).

L'égalité est toujours vraie lorsque les degrés des polynômes sont différents.

Par exemple :
* le degré de (''X''{{3}} + ''X'') + (''X''{{2}} + 1) = ''X''{{3}} + ''X''{{2}} + ''X'' + 1 est 3 = max(3,&nbsp;2) ;
* le degré de (''X''{{3}} + ''X'') – (''X''{{3}} + ''X''{{2}}) = –''X''{{2}} + ''X'' est 2 < max(3,&nbsp;3).

=== Comportement lors de la multiplication ===
Le degré du produit de deux polynômes sur un [[anneau intègre]] ''A'' (comme un [[Corps commutatif|corps]]) est la somme de leurs degrés :
{{Retrait|<math>\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q).</math>}}
Par exemple :
* le degré de (''X''{{3}} + ''X'')(''X''{{2}} + 1) = ''X''{{5}} + 2''X''{{3}} + ''X'' est 3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;5 ;
* le degré du produit d'un polynôme par un [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] ''c'' non nul (c'est-à-dire par un polynôme de degré 0) est égal au degré du polynôme, c'est-à-dire que deg(''cP'') = deg(''P'').

Dans la [[Algèbre associative|''A''-algèbre]] des polynômes à coefficients dans ''A'', le [[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces des polynômes|sous-ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à un nombre donné ''n'']] forme ainsi un [[sous-module]] (mais pas un [[sous-anneau]] si ''n'' > 0, du fait qu'il n'est pas fermé pour la multiplication).

Pour les polynômes sur un [[anneau commutatif]] contenant des [[Diviseur de zéro|diviseurs de zéro]], le degré du produit peut être plus petit que la somme des degrés. Par exemple, dans [[Anneau ℤ/nℤ|ℤ/4ℤ]] :
* deg (2) + deg(1 + 2''X'') = 0 + 1 = 1 mais deg(2(1 + 2''X'')) = deg(2 + 4''X'') = deg(2) = 0 ;
* deg(2''X'') + deg(1 + 2''X'') = 1 + 1 = 2 mais deg(2''X''(1 + 2''X'')) = deg(2''X'') = 1.

=== Comportement lors de la composition ===
Le degré du composé d'un polynôme ''P'' par un polynôme non constant ''Q'' sur un anneau intègre est le produit de leurs degrés :
{{Retrait|<math>\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).</math>}}
Par exemple, si ''P''(''T'') = ''T''{{3}} + ''T'' et ''Q''(''X'') = ''X''{{2}} + 1, alors (''P''∘''Q'')(''X'') = ''P''(''Q''(''X'')) = (''X''{{2}} + 1){{3}} + (''X''{{2}} + 1) = ''X''{{6}} + 3''X''{{4}} + 4''X''{{2}} + 2, qui est de degré 6.

Cette propriété caractérise les anneaux intègres. La condition ''Q'' non constant est importante. Par exemple, si ''P''(X) = ''X''{{2}} – 4 et ''Q''(''X'') = 2, alors (''P''∘''Q'')(''X'') = ''P''(''Q''(''X'')) = 0, de degré {{math|–∞ ≠ 2×0}}. La propriété est vraie avec ''Q'' égal à une constante non nulle, à condition que cette constante ne soit pas racine du polynôme ''P.''

Sur un anneau non intègre, le degré du composé est toujours inférieur ou égal au produit des degrés, et peut lui être strictement inférieur. Par exemple dans ℤ/4ℤ, deg(2''T'') × deg(1 + 2''X'') = 1 × 1 = 1, mais 2''T'' ∘ (1 + 2''X'') = 2(1 + 2''X'') = 2 + 4''X'' = 2, qui est de degré 0.

=== Degré et [[Parité (mathématiques)|parité]]===
En [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2, {{refsou|date=juillet 2020|le degré d'un polynôme pair non nul est pair et le degré d'un polynôme impair non nul est impair}}. (Les [[réciproque]]s sont [[trivial]]ement fausses.)

== Degré du polynôme nul ==
Le degré du [[Polynôme constant|polynôme nul]] est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, {{math|−1}} ou {{math|−∞}})<ref>{{Harvsp|Shafarevich|2003|page=27}}, {{Traduire passage|says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined."|date=juillet 2020}}<br />
{{Ouvrage|langue=en|nom=Childs|prénom=Lindsay N.|année=1995|url={{Google Livres|rUApHgaTVx0C|page=279}}|titre=A Concrete Introduction to Higher Algebra|numéro d'édition=2|éditeur=Springer|passage=233}}, utilise −1.<br />
{{Ouvrage|langue=en|nom=Childs|prénom=Lindsay N.|année=2009|url={{Google Livres|qyDAKBr_I2YC|page=288}}|titre=A Concrete Introduction to Higher Algebra|numéro d'édition=3|éditeur=Springer|passage=287}}, utilise −∞, {{Traduire passage|however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that <math>-\infty+m=-\infty</math> for ''m'' any integer or <math>m=-\infty</math>".|date=juillet 2020}}</ref>.

Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus. En tant que tel, son degré est indéfini. Les propositions pour le degré des sommes et des produits de polynômes dans la section ci-dessus ne s'appliquent pas si l'un quelconque des polynômes concernés est le polynôme nul<ref>{{MathWorld|auteur=Barile, Margherita|nom_url=ZeroPolynomial|titre=Zero Polynomial}}.</ref>.

Il est commode, cependant, de définir le degré du polynôme nul comme étant ''moins l'infini'', {{math|−∞}}, et d'introduire les règles arithmétiques<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom=Axler|prénom=Sheldon|année=1997|url={{Google Livres|ovIYVIlithQC|page=64}}|titre=Linear Algebra Done Right|numéro d'édition=2|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|passage=64}}, {{Traduire passage|gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results."|date=juillet 2020}}</ref> {{math|1=max(''a'', −∞) = ''a''}} et {{math|1=''a'' + (−∞) = −∞}}.

Les exemples suivants illustrent comment cette extension vérifie les [[#Comportement lors d'opérations polynomiales|règles de comportement]] ci-dessus :
* le degré de la somme (''X''{{3}} + ''X'') + 0 = ''X''{{3}} + ''X'' est 3, ce qui vérifie le comportement attendu, puisque {{math|3 ≤ max(3, −∞)}} ;
* le degré de la différence ''X'' – ''X'' = 0 est {{math|−∞}}, ce qui vérifie le comportement attendu, puisque {{math|−∞ ≤ max(1, 1)}} ;
* le degré du produit 0(''X''{{2}} + 1) = 0 est {{math|−∞}}, ce qui vérifie le comportement attendu, puisque {{math|1=−∞ = −∞ + 2}}.

== Calculé à partir des valeurs d'une fonction ==
Le degré d'un polynôme {{math|''f''}} peut être calculé par la formule
{{Retrait|<math>\deg f=\lim_{x\to+\infty}\frac{\log|f(x)|}{\log x}.</math>}}
Cette formule généralise le concept de degré à certaines [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] qui ne sont pas [[Fonction polynomiale|polynomiales]]. Par exemple :
* le degré de la [[fonction inverse]], ''x'' ↦ 1/''x'', est −1 ;
* le degré de la [[racine carrée]], {{sqrt|&nbsp;}}, est 1/2 ;
* le degré du [[logarithme]], log, est 0 ;
* le degré de la [[fonction exponentielle]], exp, est {{math|+∞}}.
Un autre formule pour calculer le degré de ''f'' à partir de ses valeurs est
{{Retrait|<math>\deg f=\lim_{x\to\infty}\frac{xf'(x)}{f(x)}.</math>}}
(Ceci provient de la [[règle de L'Hôpital]].)

== Extension à des polynômes à deux variables ou plus ==
Pour des  polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la ''somme'' des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé '''degré total''') du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y'' est de degré 4, le degré du terme ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup>.

Toutefois, un polynôme en les variables ''x'' et ''y est'' un polynôme en ''x'' ayant des coefficients qui sont des polynômes en ''y'', et également, un polynôme en ''y'' ayant des coefficients qui sont des polynômes en ''x''.
: ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y'' = (3)''x''<sup>3</sup> + (''y''<sup>2</sup>)''x''<sup>2</sup> + (4''y'') = (''x''<sup>2</sup>)''y''<sup>2</sup> + (4)''y'' + (3''x''<sup>3</sup>)
Ce polynôme a un degré 3 en ''x'' et un degré 2 en ''y''.

Le degré total de la somme de deux polynômes est inférieur ou égal au plus grand de leurs degrés totaux respectifs (égal si ces deux degrés sont distincts), et celui du produit de deux polynômes est inférieur ou égal (égal si l'anneau est intègre) à la somme de leurs degrés totaux respectifs.

== Fonction degré dans une algèbre abstraite ==
Étant donné un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] R, [[Polynôme formel|l'anneau polynomial]] R[''x''] est l'ensemble de tous les polynômes en ''x'' qui ont des coefficients pris dans R. Dans le cas particulier où R est aussi un [[Corps commutatif|corps]], alors l'anneau polynomial R[''x''] est un [[anneau principal]] et, plus important pour notre discussion ici, un [[anneau euclidien]].

Il peut être montré que le degré d'un polynôme sur un corps vérifie toutes les hypothèses de la fonction ''norme'' dans l'anneau euclidien. C'est-à-dire que, étant donné deux polynômes ''f''(''x'') et ''g''(''x''), le degré du produit ''f''(''x'')''g''(''x'') doit être supérieur à chacun des degrés de ''f'' et ''g'' pris séparément. En fait, quelque chose de plus fort est vérifié :
: deg(''f''(''x'')''g''(''x'')) = deg(''f''(''x'')) + deg(''g''(''x''))
Pour un exemple de raison pour laquelle la fonction degré peut échouer sur un anneau qui n'est pas un corps, considérer l'exemple suivant. Soit R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>, l'anneau des entiers [[Arithmétique modulaire|modulo]] 4. Cet anneau n'est pas un corps (et n'est même intègre), parce que 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Par conséquent, soit ''f''(''x'') = ''g''(''x'') = 2''x'' + 1. Alors, ''f''(''x'')''g''(''x'') = 4''x''<sup>2</sup> + 4''x'' + 1 = 1. Alors deg(''f''⋅''g'') = 0, ce qui n'est pas supérieur aux degrés de ''f'' et ''g'' (qui sont chacun de degré 1).

Du fait que la fonction ''norme ''n'est pas définie pour l'élément nul de l'anneau, nous considérerons le degré du polynôme ''f''(''x'') = 0 comme également non défini, de sorte qu'il vérifie les règles d'une norme dans un anneau euclidien.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Degree of a polynomial|661713385|type=n}}
{{Traduction incomplète|date=21/10/2015}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
[[Degré (mathématiques)]]

=== Bibliographie ===
{{Ouvrage|langue=en|nom=Grillet|prénom=Pierre Antoine|année=2007|url={{Google Livres|LJtyhu8-xYwC|page=121}}|titre=Abstract Algebra|numéro d'édition=2}}

{{Palette|Polynômes}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Polynôme]]