Voir la source de Degré d'une application

{{Voir homonymes|degré}}
Le '''degré''' d'une [[application (mathématiques)|application]] [[Continuité (mathématiques)|continue]] entre [[Variété (géométrie)|variétés]] de même dimension est une généralisation de la notion d''''enroulement''' d'un [[cercle]] sur lui-même. C'est un [[invariant]] [[homologie et cohomologie|homologique]] à valeurs [[Entier relatif|entières]].

Sa définition, d'abord réservée aux applications différentiables, s'étend aux applications continues par passage à la limite du fait de son invariance par homotopie. Mais la construction des groupes d'[[homologie et cohomologie|homologie]] permet aussi de proposer une définition directe pour les applications continues.

== Enroulement ==
Pour une application [[continue]] du [[cercle unité]] ''S''{{1}} dans lui-même,
{{Retrait|<math>f:S^1\to S^1,</math>}}
on définit comme suit le '''degré d'enroulement'''.

On [[Formule d'Euler|paramètre ''S''{{1}}]] par
{{Retrait|<math>p:\R\to S^1,\quad t\mapsto{\rm e}^{{\rm i}t}.</math>}}

[[Théorème de relèvement|Un théorème de relèvement]] montre alors que pour toute application continue {{math|γ}} : ℝ → ''S''{{1}} et tout choix d'un réel ''t'' tel que {{math|γ}}(0) = ''p''(''t''), il existe une unique application continue {{math|Γ}} : ℝ → ℝ telle que {{math|1=γ = ''p'' ∘ Γ}} et {{math|1=Γ(0) = ''t''}}.

En appliquant ce théorème à {{math|1=γ := ''f'' ∘ ''p''}}, on trouve donc une application continue
{{Retrait|<math>\tilde f:\R\to\R,</math>}}
unique à une constante additive près (multiple de {{math|2π}}), telle que
{{Retrait|<math>f\circ p=p\circ\tilde f.</math>}}

Puisque la fonction <math>x \mapsto\tilde f(x+2\pi)-\tilde f(x)</math> est continue et que ses valeurs sont des multiples entiers de {{math|2π}}, elle est constante. Le facteur entier de ce multiple est appelé degré d'enroulement de {{math|''f''}}.

== En [[géométrie différentielle]] ==
=== Définition ===
Soient ''M'' et ''N'' deux [[Variété différentielle|variétés différentielles]] (sans bord) [[Orientation (mathématiques)#Orientabilité et orientation pour une variété|orientées]] et de même [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]], telles que ''M'' soit [[Espace compact|compacte]] et ''N'' soit [[Connexité (mathématiques)|connexe]].

Soit ''f'' une [[Différentielle|application différentiable]] de ''M'' dans ''N''.

(La définition peut aussi s'étendre aux variétés à bord à condition que la fonction ''f'' préserve le bord.)

D'après le [[théorème de Sard]], il existe un point ''y'' de ''N'' qui soit une [[valeur régulière]] de ''f''.

En tout point ''x'' de la [[préimage]] <math>\ f^{-1}(\{y\})</math>, la différentielle <math>\mathrm D_x f</math> induit donc une [[application linéaire]] [[surjection|surjective]] entre les [[espace tangent|espaces tangents]] (orientés) <math>\ T_x M</math>  et <math>\ T_y N</math>.

Par égalité des dimensions, ces applications linéaires sont des [[Espace vectoriel#Application linéaire|isomorphismes]] d'espaces vectoriels orientés.

Leur '''signe''', noté <math>\operatorname{sign}(\mathrm D_x f)</math>, est défini comme égal à +1 si <math>\mathrm D_x f</math> préserve l'orientation et à –1 sinon.

Par compacité de ''M'', la préimage <math>\ f^{-1}(\{y\})</math> est finie et le '''degré''' de ''f'' en ''y'' peut donc se définir par la somme :
:<math>\deg(f,y) = \sum_{x \in f^{-1}(y)}{\operatorname{sign}(\mathrm D_x f)}.</math>
Le signe de cet entier dépend du choix des orientations de ''M'' et ''N''. Pour des variétés ''orientables'' mais non ''orientées'', le degré de ''f'' en ''y'' n'est donc défini que comme un [[entier naturel]].

Si les variétés ''M'' et ''N'' ne sont pas toutes deux orientables, le degré de ''f'' en une valeur régulière ''y'' peut simplement se définir par la [[Parité (mathématiques)|parité]] du [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]] de la préimage,
autrement dit :
:<math>\deg(f,y) = \sum_{x \in f^{-1}(y)}{1}\in\Z/(2)</math>.

Le résultat de ce calcul est indépendant du choix de la valeur régulière. Le degré de ''f'' est donc noté simplement deg(''f'').

=== Exemples ===
* L'application identité est de degré 1.
* L'application antipodale sur la sphère ''S{{exp|n}}'' est de degré (–1){{exp|''n''+1}}.
* Si l'application ''f'' n'est pas surjective, un point de ''N'' qui n'est pas dans l'image de ''f'' est une valeur régulière donc le degré de ''f'' vaut zéro.<br /> C'est notamment le cas si ''N'' est non compacte, ou si ''f'' est constante et ''N'' non réduite à un point.
* Si ''f'' est un [[Revêtement (mathématiques)|revêtement]] de variétés différentielles compactes orientables sans bord, le degré de ''f'' est égal au nombre de feuillets.

=== Invariance par homotopie ===
L'intérêt principal de cette notion réside dans le fait que si deux applications sont [[Homotopie|homotopes]], elles ont même degré.

Par conséquent, les sphères ''S{{exp|n}}'' ne sont pas [[Glossaire topologique#C|contractiles]] et l'application antipodale n'est pas homotope à l'identité sur les sphères paires.

Le degré constitue même un invariant complet pour les sphères : deux applications de ''S{{exp|n}}'' dans ''S{{exp|n}}'' sont homotopes si et seulement si elles ont même degré.

{{Article détaillé|Groupes d'homotopie des sphères}}
{{ancre|Théorème de Hopf}}
Plus généralement, le '''théorème de [[Heinz Hopf|Hopf]]'''<ref>{{Milnor1}}, [https://books.google.fr/books?id=BaQYYJp84cYC&pg=PA31 p. 31].</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1=Enrique Outerelo | auteur2=Jesús M. Ruiz | titre=Mapping degree theory | éditeur=AMS | lieu=Providence | année=2009 | pages totales=244 | isbn=978-0-8218-4915-6 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=HY2DAwAAQBAJ&printsec=frontcover}}.</ref> assure que pour toute variété ''M'' de dimension ''n'', orientable, compacte et sans bord, deux applications continues de ''M'' dans ''S{{exp|n}}'' sont homotopes si (et seulement si) elles ont même degré.

== En [[topologie algébrique]] ==
=== Définition ===
Soit ''M'' et ''N'' deux variétés compactes orientées et de même dimension ''n'', dont les [[Orientation (mathématiques)|classes d'orientation]] respectives sont notées [''M''] et [''N'']. La condition d'orientation peut être retirée si les groupes d'homologie sont calculés à coefficients dans ℤ/(2).

Si la variété ''N'' est connexe, la classe [''N''] est un générateur du groupe <math>H_n(N, \partial N)</math>.

Soit ''f'' une application continue de ''M'' dans ''N'' qui préserve le bord. L'application <math>f_*</math> induite en [[homologie et cohomologie|homologie]] associe à la classe [''M''] un élément λ[''N''] de <math>H_n(N, \partial N)</math>.

Le nombre λ est alors appelé '''degré''' de ''f'' et noté deg(''f'').

La propriété d'excision de l'homologie permet de montrer que cette définition étend celle donnée par la géométrie différentielle.

Plus généralement, la notion de degré peut être étendue à toute application entre [[paire d'espaces|paires d'espaces]] munis de classe génératrice d'un groupe d'homologie en une dimension fixée. Ceci permet notamment de parler de degré pour une application entre {{Lien|trad=Poincaré complex|Complexe de Poincaré|texte=complexes de Poincaré}} ou entre [[espace de Thom|espaces de Thom]].

=== Propriétés ===
Le degré est donc un invariant homologique.

Par [[dualité de Poincaré]] en utilisant la [[cohomologie de De Rham]], le degré peut aussi s'obtenir en [[intégration (mathématiques)|intégrant]] sur la variété source une [[forme volume]] de la variété but.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Hopf theorem|455583868|type=note}}
{{Références}}

== Article connexe ==
[[Indice (analyse complexe)]]

{{Portail|Mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Degre d'une application}}
[[Catégorie:Application entre variétés différentielles]]
[[Catégorie:Invariant]]
[[Catégorie:Homologie]]
[[Catégorie:Heinz Hopf]]