Voir la source de Degré de liberté (physique)

{{Voir homonymes|Degré de liberté}}
{{Sources|date=octobre 2021}}
En [[physique]], un '''degré de liberté''' (abrégé ''ddl'' ou ''DDL'') est un paramètre indépendant dans la [[modèle mathématique|description formelle]] de l'[[État_quantique#La_notion_d'état_en_mécanique_classique|état d'un système physique]], ou peut-être plus précisément d'un [[système dynamique]]. Le terme ''[[paramètre]]'' est à prendre ici au sens large, comme un élément d'information, généralement un nombre, identifié à une [[grandeur physique]]. De manière cruciale, ce paramètre doit avoir la '''liberté''' d'évoluer sans contraintes.

== Applications de la notion de degré de liberté en physique ==

Ce [[Concept (philosophie)|concept]] très général de degré de liberté est utilisé dans de nombreux domaines de la [[physique]] ([[Mécanique (science)|mécanique]], [[physique statistique]], [[chimie]], [[théorie quantique des champs]], ...), ainsi qu'en [[mathématiques pures]] ([[statistique]]). Nous listons quelques exemples dans cette section.

=== En génie mécanique ===
{{Article détaillé|Degré de liberté (génie mécanique)}}
En [[génie mécanique]], les ''degrés de liberté'' indiquent les différentes possibilités de mouvement dans l'espace. Se référer à l'article [[degré de liberté (génie mécanique)]]. Cette utilisation de l'expression est similaire à celle utilisée dans la typologie des [[vibration moléculaire|vibrations moléculaires]].
Dans le dernier cadre évoqué (description des mouvements moléculaires), deux types de degrés de liberté sont identifiés : les degrés de liberté ''externes'' au nombre de 6, correspondant aux mouvements de la molécule dans l'espace (translations et rotations), et les degrés de liberté ''internes'', correspondant aux déformations de la molécule par rapport à sa conformation d'équilibre.

=== Molécules ===
[[Fichier:Degrees of freedom (diatomic molecule).png|thumb|right|Différentes façons de visualisation d'une molécule diatomique en forme d'haltères. CM est le centre de masse du système, T est un mouvement de translation, R de rotation, V de vibration.]]
En trois dimensions, il existe 6 degrés de liberté associés au mouvement d'une particule, 3 pour sa position, 3 pour sa [[quantité de mouvement]].
Il existe donc 6 degrés de liberté au total. Une autre façon de justifier ce schéma est de considérer que le mouvement de la molécule sera décrit par le mouvement de deux particules mécaniques représentant ses deux atomes, que 6 degrés de liberté sont attachés à chaque particule, comme ci-dessus. Avec cette autre considération, il apparaît que différents ensembles de degrés de liberté peuvent être définis afin de définir le mouvement de la molécule. En fait les degrés de liberté pour un système mécanique est un ensemble d'axes indépendants dans l'[[espace des phases]] du système, ce qui permet de le générer entièrement. Pour un espace multidimensionnel comme l'espace des phases, il existe plus d'un ensemble possible d'axes.
Il est établi que tous les degrés de liberté de la molécule d'hydrogène ne participent pas à l'expression de son [[énergie]]. Par exemple, les degrés associés à la position du centre de masse n'y participent pas.

Dans le tableau ci-dessous, les degrés négligés le sont en raison de leur faible influence sur l'énergie totale, à moins d'être à très hautes températures ou énergies. La rotation diatomique est négligée en raison de la rotation autour des axes moléculaires. La rotation monoatomique est négligée pour la même raison que la diatomique, mais cet effet est valable dans les deux autres directions.

{| class="wikitable"
|-
! 
! [[Monoatomique]]
! Molécules linéaires constituée de N atomes <!-- ni diatomique, ni triatomique linéaire -->
! Molécules non-linéaires constituée de N atomes
|-
| Position (x, y et z)
| align="center" | 3
| align="center" | 3
| align="center" | 3
|-
| Rotation (x, y et z)
| align="center" | 0
| align="center" | 2
| align="center" | 3
|-
| Vibration
| align="center" | 0
| align="center" | 3N - 5
| align="center" | 3N - 6
|-
| '''Total'''
| align="center" | '''3'''
| align="center" | '''3N'''
| align="center" | '''3N'''
|}

==== En chimie des polymères ====
Dans le modèle de [[chaîne idéale]], deux [[angle]]s sont nécessaires pour décrire l'orientation de chaque [[monomère]].

=== En physique statistique ===
En [[physique statistique]], un ''degré de liberté'' est un [[Scalaire (physique)|nombre]] unique décrivant un [[Micro-état (physique statistique)|micro-état]] d'un système. La spécification de tous les micro-états d'un système est un point dans l'[[Espace des phases|espace de phase]] du système.

=== En mécanique quantique ===
La description de l'état d'un système en tant que point dans son espace de phase, bien que mathématiquement pratique, est fondamentalement inexacte. En [[mécanique quantique]], les degrés de liberté de mouvement sont remplacés (dans la [[représentation de Schrödinger]]) par le concept de [[fonction d'onde]] et les [[Opérateur (physique)|opérateurs]] qui correspondent à d'autres degrés de liberté ont [[Spectre d'un opérateur linéaire|des spectres discrets]]. Par exemple, l'opérateur de [[spin]] d'un [[électron]] ou d'un [[photon]] n'a que deux [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]]. Cette discontinuité devient apparente lorsque l'[[Action (physique)|action]] a un [[ordre de grandeur]] proche de la [[constante de Planck]] et que les degrés de liberté individuels peuvent être distingués.

(Voir aussi la discussion sur les degrés de liberté dans l'article sur la [[Mécanique_matricielle#M%C3%A9canique_ondulatoire|mécanique quantique dans la représentation de Heisenberg.]])

==== En théorie quantique des champs ====
{{...}}

== Quelques définitions et propriétés en physique statistique ==
=== Degrés de liberté indépendants ===
==== Définition ====
L'ensemble de degrés de liberté <math>X_1, \ldots, X_N</math> d'un système est indépendant si l'énergie associée avec l'ensemble peut être écrite sous la forme suivante :
:<math>E = \sum_{i=1}^N E_i(X_i),</math>
où <math>E_i</math> est une fonction de la seule variable <math>X_i</math>.

Exemple : si <math>X_1</math> et <math>X_2</math> sont deux degrés de liberté, et <math>E</math> est l'énergie associée :
* si <math>E = X_1^4 + X_2^4</math>, alors les deux degrés de liberté sont indépendants ;
* si <math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>, les deux degrés de liberté ne sont ''pas'' indépendants. Le terme impliquant le produit de <math>X_1</math> et <math>X_2</math> est un terme de couplage, qui décrit une interaction entre deux degrés de liberté.

==== Propriétés ====
Si <math>X_1, \ldots, X_N</math> est un ensemble de degrés de liberté indépendants alors, à l'[[équilibre thermodynamique]], <math>X_1, \ldots, X_n</math> sont [[Indépendance (probabilités)|statistiquement indépendants]] les uns des autres.

Pour ''i'' de 1 à ''N'', la valeur du i{{e}} degré de liberté <math>X_i</math> est distribué selon une [[distribution de Boltzmann|loi de Boltzmann]]. Sa fonction de [[densité de probabilité]] est la suivante :
: <math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,
Dans cette section, et par la suite, les <math>\langle \rangle</math> indiquent la [[moyenne]] de la quantité qu'ils entourent.

L'[[énergie interne]] du système est la somme des énergies moyennes associées à chacun des degrés de liberté :
:<math>U = \langle E \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle</math> .

{{démonstration|contenu=
On postulera par la suite que les échanges d'énergie du système considéré se font avec l'extérieur, et que le nombre de particules du système est constant, c'est-à-dire que l'on se place dans l'[[ensemble canonique]]. Rappelons qu'en [[physique statistique]], un résultat qui est démontré pour un système reste vrai pour ce système à la [[limite thermodynamique]] dans n'importe quel ensemble. Dans l'ensemble canonique, à l'[[équilibre thermodynamique]], l'état du système est distribué parmi les [[entropie|micro-états]] selon une [[distribution de Boltzmann]]. Si <math>T</math> est la [[température]] du système et <math>k_B</math> la [[constante de Boltzmann]], alors la fonction de [[densité de probabilité]] associée à chaque micro-état est la suivante : 
: <math>P(X_1, \ldots, X_N) = \frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}}{\int dX_1\,dX_2 \ldots dX_N e^{-\frac{E}{k_B T}}}</math>, 
Cette expression se transforme en un produit de termes dépendant d'un simple degré de liberté :
:<math>P(X_1, \ldots, X_N) = p_1(X_1) \ldots p_N(x_N)</math>
L'existence d'un tel développement de la fonction de densité de probabilité en un produit de fonction d'une seule variable suffit à lui seul à démontrer que les <math>X_1 \ldots X_N</math> sont indépendants statistiquement les uns des autres.

Chaque fonction <math>p_i</math> étant [[constante de normalisation|normalisée]], il s'ensuit que <math>p_i</math> est la fonction de densité de probabilité du degré de liberté <math>X_i</math>, pour ''i'' de 1 à ''N''.

Enfin, l'[[énergie interne]] du système est l'énergie moyenne. L'énergie <math>E_i</math> d'un degré de liberté est une fonction de la seule variable <math>X_i</math>. Puisque <math>X_1, \ldots, X_N</math> sont statistiquement indépendantes les uns des autres, les [[énergie]]s <math>E_1(X_1), \ldots, E_N(X_N)</math> le sont aussi. L'énergie interne totale du système peut être alors écrite comme :
:<math> U = \langle E \rangle = \langle \sum_{i=1}^N  E_i \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle</math>.
}}

=== Degrés de liberté quadratiques ===
Un degré de liberté <math>X_i</math> est quadratique si les termes d'énergie associés peuvent être écrits :
:<math>E = \alpha_i\,\,X_i^2 + \beta_i \,\, X_i Y </math>,
où <math>Y</math> est une [[combinaison linéaire]] d'autres degrés de liberté quadratiques.

Par exemple, si <math>X_1</math> et <math>X_2</math> sont deux degrés de liberté, et <math>E</math> l'énergie associé :
* Si <math>E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4</math>, alors les deux degrés de liberté ne sont pas indépendants et ne sont pas quadratiques.
* Si <math>E = X_1^4 + X_2^4</math>, les degrés de liberté sont indépendants et non quadratiques.
* Si <math>E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2</math>, les degrés de liberté ne sont pas indépendants et sont quadratiques.
* Si <math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>, les degrés de liberté sont indépendants et quadratiques.

En [[mécanique classique]], la [[dynamique (physique)|dynamique]] d'un système de degrés de liberté quadratiques est contrôlée par un ensemble d'[[Équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]] avec des [[coefficient constant|coefficients constants]].

==== Degrés de libertés quadratiques et indépendants ====
<math>X_1, \ldots, X_N</math> sont des degrés de liberté quadratiques et indépendants si l'énergie associée à un micro-état du système qu'ils décrivent peut être écrite :
:<math>E = \sum_{i=1}^N \alpha_i X_i^2</math>.

==== Théorème d'équipartition ====
{{Article détaillé|Théorème d'équipartition}}
En [[physique statistique]] classique, à l'[[équilibre thermodynamique]], l'[[énergie interne]] d'un système de ''N'' degrés de liberté indépendants et quadratiques est :
: <math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_BT}2</math>.

{{démonstration|contenu=
Ici, l'énergie moyenne associée avec un degré de liberté est :
:<math>\langle E_i \rangle = \int dX_i\,\,\alpha_i X_i^2\,\, p_i(X_i) = \frac{\int dX_i\,\,\alpha_i X_i^2\,\, e^{-\frac{\alpha_i X_i^2}{k_B T}}}{\int dX_i\,\, e^{-\frac{\alpha_i X_i^2}{k_B T}}} </math>
:<math>\langle E_i \rangle = \frac{k_B T}{2}\frac{\int dx\,\,x^2\,\, e^{-\frac{x^2}2}}{\int dx\,\, e^{-\frac{x^2}{2}}} = \frac{k_B T}{2} </math>.
Les degrés de libertés étant indépendants, l'[[énergie interne]] du système est égale à la somme de l'énergie moyenne associée à chaque degré de liberté, ce qui démontre le résultat.
}}
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Entropie]]
* [[Variance (thermodynamique)]]

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|degrees of freedom|169562440|type=n}}
{{Références}}

{{Portail|physique|chimie}}

[[Catégorie:Concept en physique]]
[[Catégorie:Chimie générale]]