Voir la source de Degré de liberté (statistiques)

{{voir homonymes|Degré de liberté}}
{{Ébauche|probabilités et statistiques}}

En [[statistique]]s le '''degré de liberté''' (ddl) désigne le nombre de [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] qui ne peuvent être déterminées ou fixées par une [[équation]] (notamment les équations des [[Test statistique|tests statistiques]]).

Une autre définition est : ''le degré de liberté est égal au nombre d'observations moins le nombre de relations entre ces observations<ref>{{Article|auteur=Walker, H. M.|titre=Degrees of freedom|périodique=Journal of Educational Psychology|volume=31|numéro=4|page=253-269|date=avril 1940|doi=10.1037/h0054588}}.</ref>''. On pourrait remplacer l'expression « nombre de relations » par « nombre de paramètres à estimer ».

== Exemple : vecteur aléatoire ==

Supposons un ensemble de ''n'' variables aléatoires, toutes de même loi et indépendantes {{math|''X''{{ind|1}},...,''X{{ind|n}}''}}.

Le vecteur aléatoire {{mvar|X}} dont chaque coordonnée est une de ces variables est défini dans un espace à ''n'' dimensions, donc naturellement, il a ''n'' degrés de libertés.

On note <math>\bar X</math> la [[moyenne]] de ce vecteur. On peut alors réécrire le vecteur de cette façon :
:<math>\begin{pmatrix} X_1\\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix}
  = \bar X \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
   + \begin{pmatrix} X_1-\bar{X} \\ \vdots \\ X_n-\bar{X} \end{pmatrix}.</math>

Le premier vecteur étant entièrement déterminé par la valeur <math>\bar X</math>, il n'a qu'un degré de liberté. Le deuxième vecteur doit satisfaire la condition <math>\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)=0</math>. Ainsi, en connaissant ''n''&nbsp;−&nbsp;1 coordonnées du vecteur, on peut en déduire la ''n''{{e}} : ce vecteur a ''n''&nbsp;−&nbsp;1 degrés de liberté.

Mathématiquement, cette décomposition traduit la [[projection orthogonale]] du vecteur aléatoire sur le sous-espace défini par le vecteur constant à 1, qui est de dimension 1, et donc son complémentaire de dimension ''n''&nbsp;−&nbsp;1.

Dans les tests statistiques, on s'intéresse plus à l'écart quadratique des composantes du vecteur :
:<math>\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  = \begin{Vmatrix} X_1-\bar{X} \\ \vdots \\ X_n-\bar{X} \end{Vmatrix}^2.</math>

Pour le cas où les {{mvar|X{{ind|i}}}} suivent une [[loi normale]] centrée et de variance {{math|''σ''{{2}}}}, alors la somme définie plus haut suit une [[loi du χ²]] à ''n''&nbsp;−&nbsp;1 degrés de liberté, comme vu précédemment.

De même, la statistique de test du [[test de Student]]
:<math>
\frac{ \sqrt{n} (\bar{X}-\mu_0) }{ \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 / (n-1)} }
</math>
suit une [[loi de Student]] à ''n''&nbsp;−&nbsp;1 degrés de liberté si la moyenne {{math|''μ''{{ind|0}}}} est connue.


== Références ==
{{Références}}

{{Palette|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

{{DEFAULTSORT:Degre de liberte (statistiques)}}
[[Catégorie:Statistiques]]
[[Catégorie:Recherche en psychologie]]

[[su:Tingkat kabebasan]]