Voir la source de Demi-anneau

{{confusion|semi-anneau d'ensembles}}
{{ébauche|mathématiques}}

En [[mathématiques]], un '''demi-anneau''', ou '''semi-anneau''', est une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] <math>(E, +, \times, 0, 1)</math> qui a les propriétés suivantes :
* <math>(E, +, 0)</math> constitue un ''[[monoïde]]'' commutatif ;
* <math>(E, \times, 1)</math> forme un ''[[monoïde]]'' ;
* <math>\times</math> est ''[[distributivité|distributif]]'' par rapport à + ;
* 0 est absorbant pour le produit, autrement dit: pour tout <math>x \in E : x \times 0 = 0 \times x = 0</math>.
Ces propriétés sont proches de celles d'un [[Anneau (mathématiques)|anneau]], la différence étant qu'il n'y a pas nécessairement d'inverses pour l’addition dans un demi-anneau.

Un demi-anneau est '''commutatif''' quand son produit est commutatif ; il est '''idempotent''' quand son addition est [[Idempotence|idempotente]]. Parfois on distingue les demi-anneaux et les demi-anneaux [[unifère]]s : dans ce cas, la structure multiplicative n'est qu'un [[demi-groupe]], donc ne possède pas nécessairement un élément neutre. En général, on demande aussi que <math>0\ne1</math>. Un demi-anneau qui ne possède pas nécessairement un élément neutre pour sa multiplication est parfois appelé '''hémi-anneau''' (''hemiring'' en anglais)<ref>{{harvsp|Golan|1999|p=1}}.</ref>.

Contrairement à ce qui se passe pour les [[anneau unitaire|anneaux]], on ne peut démontrer que 0 est un [[élément absorbant]] à partir des autres axiomes.

== Domaines d'application ==
Les demi-anneaux se retrouvent souvent en :
* [[recherche opérationnelle]] : les [[théorie des graphes|graphes]] pondérés ont des poids dans un demi-anneau ; le produit est associé à l'accumulation de valeur le long d'un chemin et la somme correspond à la façon de composer plusieurs chemins ; le calcul des [[problème du plus court chemin |plus courts chemins]] en est un exemple particulier.
* [[théorie des langages]] et des [[automate fini|automates]] : la concaténation des (ensembles de) chaînes pour en fabriquer d'autres est le produit. L'union des (ensembles de) chaînes est la somme ;
* {{refnec|date=mai 2015|théorie des lieux : un lieu est un [[Treillis (ensemble ordonné)#Glossaire des treillis|treillis distributif complet]] ; la [[Théorie des catégories|catégorie]] des lieux généralise [[Catégorie des espaces topologiques|celle des espaces topologiques]].}}

== Exemples ==
=== Premiers exemples ===
* Les ''entiers naturels'' forment un demi-anneau pour l'addition et la multiplication naturelles.
* Les [[Entier naturel|entiers naturels]] étendus {{nowrap|<math>\N \cup \{\infty\}</math>}} avec l'addition et la  multiplication étendues et {{nowrap|<math>0\cdot\infty = 0</math>}})<ref name=Sak28>{{harvsp|Sakarovitch|2009|p=28}}.</ref>.
* Le ''demi-anneau de Boole'' composé de deux éléments 0 et 1. C'est l'[[Algèbre de Boole (structure)|algèbre de Boole]] : <math>(\{0, 1\}, \vee, \wedge, 0, 1)</math> où <math>\vee</math> et <math>\wedge</math> sont '''OU''' et '''ET''' respectivement.
* En particulier, une [[algèbre de Boole (structure)|algèbre de Boole]] est un tel demi-anneau. Un [[anneau de Boole]] est aussi un demi-anneau — puisque c'est un anneau — mais l'addition n’est pas idempotente.  Un  ''demi-anneau de Boole'' est un demi-anneau qui est isomorphe à un sous-demi-anneau d'une algèbre de Boole<ref name=Gut08>{{chapitre
 | titre ouvrage = Surveys in Contemporary Mathematics
 | numéro dans collection = 347 
 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series  
 | auteur ouvrage = Nicholas  Young et Yemon  Choi  (éditeurs)
 | éditeur =[[Cambridge University Press]]
 | année=2008
 | isbn=0-521-70564-9
 | titre =Rank and determinant functions for matrices over semirings 
 | auteur =Alexander E. Guterman 
 | passage =1–33
 | zbl=1181.16042 }}.</ref>.
* Un  [[treillis (ensemble ordonné)|treillis distributif]] est un demi-anneau commutatif et idempotent pour les lois <math>\vee</math> et <math>\wedge</math>.
* Un treillis dans un anneau est un demi-anneau idempotent pour la multiplication et l'opération <math>\nabla</math> définie par <math>a\nabla b=a+b+ba-aba-bab</math>.
* L'ensemble des [[idéal|idéaux]] d'un anneau forment un demi-anneau pour l'addition et la multiplication d'idéaux.
*  Les [[dioïde]]s sont des demi-anneaux particuliers.
* Le ''demi-anneau des probabilités'' des [[Nombre réel|nombres réels]] positifs ou nuls, avec les additions et multiplications usuelles<ref name=LotIII211/>{{,}}<ref name="Pair66"/>.
* Le ''{{Lien|langue=en|trad=log semiring|fr=log demi-anneau}}'' sur <math>\R\cup \{\pm\infty\}</math> avec l’addition donnée par 
:{{retrait|<math> x \oplus y = - \log(e^{-x}+e^{-y}) \ , </math>}}
:et <math>+</math> pour multiplication, élément zéro <math>+\infty</math> et élément unité <math>0</math><ref name=LotIII211>{{harvsp|Lothaire|2005|p=211}}.</ref>.
* Le demi-anneau de [[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]] est l'intervalle fermé {{nowrap|<math>[0, 1]</math>}}, avec pour addition {{nowrap|<math>a \oplus b = \max(a,b)</math>}} et pour multiplication {{nowrap|<math>a \otimes b = \max(0,a+b-1)</math>}}. Un tel demi-anneau apparaît en  [[logique polyvalente]]<ref name="droste"/>.
* Le demi-anneau de [[Andrew Viterbi|Viterbi]] est défini sur l'ensemble {{nowrap|<math>[0, 1]</math>}}, avec l’addition donnée par le maximum et la multiplication usuelle ; il apparait dans l’analyse des [[grammaire non contextuelle pondérée|grammaires probabilistes]]<ref name="droste"/>.

=== Exemples généraux ===
* L'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'union et de l'intersection est un demi-anneau. Les deux lois sont distributives l'une par rapport à l'autre, l'élément neutre de l'union est l'ensemble vide, celui de l'intersection est l'ensemble E. Les deux lois sont commutatives et forment avec E les deux monoïdes requis. C'est une [[Algèbre de Boole (structure)|algèbre de Boole]] et donc un [[treillis (ensemble ordonné)|treillis]].
* L'ensemble des [[relation binaire|relations binaires]] sur un ensemble, avec l'addition donnée par l'union et la multiplication par la composition des relations. Le zéro de ce demi-anneau est la relation vide, et son élément unité la relation identité<ref name="droste"/>.
* L'ensemble des langages formels sur un alphabet donné est un demi-anneau avec l'addition donnée par la réunion et le produit par le produit de concaténation des éléments. Le zéro est l'ensemble vide, et l'unité l'ensemble réduit au mot vide<ref name="droste"/>.
* Plus généralement, l'ensemble des parties d'un monoïde, muni de la réunion et du produit des parties <math>U \cdot V = \{ u \cdot v \mid u \in U,\ v \in V \}</math> est un demi-anneau<ref name=BR4>{{harvsp|Berstel|Reutenauer|2011|p=4}}.</ref>.
* De même, la famille des parties d'un monoïde ''M'' avec multiplicités, c'est-à-dire des sommes formelles d'éléments de ''M'' à coefficients entiers naturels forment un demi-anneau. L'addition est la somme formelle avec addition de coefficients, et la multiplication est le [[produit de Cauchy]]. La somme nulle est l'élément neutre pour l'addition et le monöme formé de l'élément neutre de ''M'' est l'unité pour la multiplication.

=== Demi-anneau tropical ===
{{loupe|Mathématiques tropicales}}
* L'ensemble des entiers naturels étendu à <math>\infty</math> de façon habituelle (toute somme avec <math>\infty</math> donne <math>\infty</math> ; tout produit avec <math>\infty</math> donne <math>\infty</math>, sauf pour 0 qui reste absorbant) muni de l'opérateur ''min'' et de la somme est un demi-anneau: <math>(\mathbb{N} \cup \{\infty\}, \min, +, \infty, 0)</math> est connu sous les noms de (min,+)-demi-anneau et ''demi-anneau tropical'', nommé ainsi en l'honneur de son promoteur [[Imre Simon]]. La création de l'adjectif ''[[tropical]]'' est attribuée par Jean-Éric Pin<ref>
{{chapitre
|auteur = Jean-Éric Pin
|titre = Tropical Semirings
|auteur ouvrage =  J. Gunawardena
|titre ouvrage = Idempotency ''(Bristol, 1994)''
|éditeur =  Cambridge University Press
|lieu = Cambridge
| passage = 50-69
| année =  1998,
|series =  Publ. Newton Inst. ''11''}}.</ref> à [[Dominique Perrin]], alors qu'Imre Simon lui-même l'attribue à Christian Choffrut<ref>
{{chapitre
| auteur = Imre Simon
| titre = Recognizable sets with multiplicities in the tropical semiring
| passage=107–120
| titre ouvrage =  Mathematical Foundations of Computer Science ''(Carlsbad, 1988)''
| collection = Lecture Notes in Computer Science
|numéro dans collection = 324
| éditeur = Springer
| année = 1988
| url = http://www.cs.technion.ac.il/~janos/COURSES/238900-13/Tropical/Simon-recognizable-sets.pdf
}}.</ref>{{,}}<ref> Mathoverflow, 2011, [http://mathoverflow.net/questions/76189/whats-tropical-about-tropical-algebra; What's tropical about tropical algebra?] sur ''Mathoverflow''</ref>. Le terme ''tropical'' fait juste référence aux origines brésiliennes, donc des Tropiques, d'Imre Simon. Cette structure sous-tend les algorithmes de calcul de plus court chemin dans un graphe<ref name="Pair66">{{Chapitre
| auteur = Claude Pair
| titre =  Sur des algorithmes pour des problèmes de cheminement dans les graphes finis
| titre ouvrage = Théorie des graphes (journées internationales d'études) -- Theory of Graphs (internainal symposium)
| éditeur = Dunod (Paris) et  Gordon and Breach (New York)
| année = 1966
| adresse = Rome (Italie)
| page début = 271
| auteur ouvrage = P. Rosentiehl
}}</ref> : les poids sont additionnés le long des chemins et devant plusieurs chemins, on prend le coût minimal. Une variante est le (max,+)-demi-anneau, où le ''max'' prend la place de ''min''. Tous deux sont des demi-anneaux tropicaux.
* <math>(\mathbb{N} \cup \{\infty\}, \max, \min, 0, \infty)</math> est le demi-anneau sous-jacent au calcul du flux maximum d'un graphe: dans une séquence d'arcs, celui de poids minimal impose son flux et devant plusieurs séquences, on prend le flux maximal.

=== Transfert de structure ===
Par transfert de [[structure algébrique|structure]] : 
* Les [[matrice (mathématiques)|matrices carrées]] d'ordre ''n'' à entrées dans un demi-anneau et avec l’addition et la multiplication induites ; ce demi-anneau n'est en général pas commutatif, même si le demi-anneau de ses entrées l’est.
* L'ensemble End(''A'') des [[endomorphisme]]s d'un monoïde commutatif ''A'' est un demi-anneau avec, pour addition, celle  induite par ''A'' (<math>(f+g)(a)=f(a)+g(a)</math>) et pour multiplication la [[composition de fonctions]]. Le morphisme nul et l'identité sont les éléments neutres. 
* L'ensemble <math>S[x]</math> des polynômes à coefficients dans un demi-anneau ''S'' forment un demi-anneau, commutatif si ''S'' l'est, idempotent si ''S'' l'est. Si ''S'' est l'ensemble des entiers naturels, c'est le demi-anneau libre avec générateur {''x''}.

== Demi-anneau complet et continu ==
Un '''monoïde complet''' est un monoïde commutatif qui possède une opération de sommation infinie <math>\sum_I</math> pour tout ensemble d'indices <math>I</math> et tel que les propriétés suivantes sont vérifiées<ref name="droste"/>{{,}}<ref>{{article | nom=Hebisch | prénom=Udo | titre=Eine algebraische Theorie unendlicher Summen mit Anwendungen auf Halbgruppen und Halbringe | zbl=0747.08005 | journal=Bayreuther Mathematische Schriften | volume=40 | pages=21–152 | année=1992 }}</ref>{{,}}<ref name=Kuich90/>{{,}}<ref name=Kuich11/> :

:<math>\sum_{i \in \emptyset}{m_i} =0;\quad \sum_{i \in \{j\}}{m_i} = m_j;\quad \sum_{i \in \{j, k\}}{m_i} = m_j+m_k \quad \textrm{pour}\; j\neq k</math>

et

:<math>\sum_{j \in J}{\sum_{i \in I_j}{m_i}} = \sum_{i \in I}(m_i)\;  \textrm{si} \bigcup_{j\in J} I_j=I\; \textrm{et}\; I_j \cap I_{j'} = \emptyset\; \textrm{pour}\; j\neq j'</math>

Un '''monoïde continu''' est un monoïde ordonné pour lequel tout [[ensemble ordonné filtrant]] a une [[borne supérieure]] qui de plus est compatible avec l'opération de monoïde : 

<math>a + \sup S = \sup(a + S) \ . </math>

Les deux concepts sont étroitement liés : un monoïde continu est complet, la somme infinie peut en effet être définie par :

: <math> \sum_I a_i = \sup \sum_E a_i </math>

où le "sup" est pris sur tous les sous-ensembles finis ''E'' de ''I'' et chaque sommation, dans le membre droit, porte donc sur un ensemble fini<ref name=Kuich11/>.

Un '''demi-anneau complet''' est un demi-anneau pour lequel le monoïde additif est un monoïde complet, et qui vérifie les lois de distributivité infinie suivantes<ref name=Kuich11>
{{harvsp|Kuich|2011|p=}}.
</ref>{{,}}<ref name="droste"/>{{,}}<ref name=Kuich90>
{{chapitre | nom=Kuich | prénom=Werner | titre=ω-continuous semirings, algebraic systems and pushdown automata | passage=103–110 | titre ouvrage=Automata, Languages and Programming ''(17th International Colloquium, Warwick University, England, July 16-20, 1990)'' | numéro dans collection=443 | series=Lecture Notes in Computer Science | auteur ouvrage = Michael S. Paterson (éditeur)| éditeur=[[Springer-Verlag]] | année=1990 | isbn=3-540-52826-1 }}</ref> : 

:<math>\sum_{i \in I}{(a \cdot a_i)} = a \cdot \bigl(\sum_{i \in I}{a_i}\bigl)</math>    et    <math>\sum_{i \in I}{(a_i \cdot a)} = \bigl(\sum_{i \in I}{a_i}\bigl) \cdot a</math>.

Un exemple de demi-anneaux complet est l'ensemble des parties d'un monoïde pour l'union ; le demi-anneau des matrices à entrées dans un demi-anneau complet est lui-même un demi-anneau complet<ref name=Sak471/>.

Un '''demi-anneau continu''' est un monoïde continu dont la multiplication respecte l'ordre et le bornes supérieures. Le demi-anneau {{nowrap|'''N''' ∪ {∞}<nowiki/>}} avec l'addition, la multiplication, et l'ordre naturel est une demi-anneau continu<ref>
{{chapitre
 | auteur1=[[Zoltán Ésik]]
 | nom2=Leiß
 | prénom2=Hans
 | titre=Greibach normal form in algebraically complete semirings
 | zbl=1020.68056
 | auteur ouvrage=Julian Bradfield 
 | titre ouvrage =Computer Science Logic ''(16th international workshop, CSL 2002, 11th annual conference of the EACSL, Edinburgh, Scotland, September 22-25, 2002)''
 | lieu=Berlin 
 | éditeur=[[Springer-Verlag]] 
 | series=Lecture Notes in Computer Science 
 | numéro dans collection =2471 
 | passage=135–150 
 | année=2002 
}}.
</ref>.

Tout demi-anneau continu est complet<ref name=Kuich11/>  et on peut inclure cette propriété dans la définition<ref name=Sak471>{{harvsp|Sakarovitch|2009|p=471}}.</ref>.

== Demi-anneau étoilé ==
Un '''demi-anneau étoilé''' (en anglais '''star semiring''' ou '''starsemiring''' est un demi-anneau muni d'un opérateur unaire supplémentaire noté « * » satisfaisant<ref name=Esik08>{{harvsp|Ésik|2008|p=}}.</ref>{{,}}<ref name="droste">{{harvsp|Droste|Kuich|2009|p=7-10}}.</ref>{{,}}<ref name="Lehmann">{{article|auteur =Daniel J. Lehmann|titre=Algebraic structures for transitive closure|journal=Theoretical Computer Science|volume= 4|numéro= 1 |année=1977|pages=59-76}}.</ref>{{,}}<ref name=BR27>{{harvsp|Berstel|Reutenauer|2011|p=27}}.</ref> :

:<math>a^* = 1 + aa^* = 1 + a^*a.</math>

'''Exemples''' de demi-anneaux étoilés:
* Le demi-anneau de Boole avec {{nowrap|1=0<sup>&lowast;</sup> = 1<sup>&lowast;</sup> = 1}};
* Le demi-anneau des [[relation binaire|relations binaires]] sur un ensemble ''U'', où l'étoile d'une relation ''R'' est définie par
::<math>R^* = \bigcup_{n \geq 0} R^n</math>.
:Cette opération est la [[fermeture transitive|fermeture réflexive et transitive]] de la relation ''R''<ref name="droste"/>.
* Le demi-anneau des [[langage formel|langages formels]] est un demi-anneau étoilé complet, l'opération étoile étant l'[[étoile de Kleene]]<ref name="droste"/>.
* L'ensemble des nombres réels positifs augmentés de ∞, avec l'addition et la multiplication usuelles est un demi-anneau complet étoilé avec l'opération étoile donnée par {{nowrap|1=''a''<sup>∗</sup> = 1/(1 − ''a'')}} pour {{nowrap|0 ≤ ''a'' < 1}} (la [[série géométrique]] usuelle) et {{nowrap|1=''a''<sup>∗</sup> = ∞}} pour {{nowrap|''a'' ≥ 1}}<ref name="droste"/>.
* Le demi-anneau {{nowrap|'''N''' ∪ {∞},}} avec addition et multiplication étendues, et {{nowrap|1=0<sup>&lowast;</sup> = 1}}, {{nowrap|1=''a''<sup>&lowast;</sup> = ∞}} pour {{nowrap|''a'' ≥ 1}}.

=== Algèbre de Kleene ===
Une '''[[algèbre de Kleene]]''' est un demi-anneau étoilé avec une addition idempotente; elles interviennent en [[théorie des langages]] et dans les  [[regular expression|expressions régulières]].  

=== Demi-anneau de Conway ===
Un '''demi-anneau de Conway''' est un demi-anneau étoilé qui vérifie les équations suivantes entre l'opération étoile et l’addition et la multiplication<ref name=Esik08/>{{,}}<ref>{{harvsp|Ésik|Kuich|2004}}.</ref> :

:<math>(a+b)^* = (a^*b)^*a^*,\,</math>
:<math>(ab)^* = 1 + a(ba)^*b.\,</math>

Les trois premiers exemples ci-dessus sont aussi des demi-anneaux de Conway<ref name="droste"/>.

=== Demi-anneau itératif ===
Un '''demi-anneau itératif''' (en anglais '''iteration semiring''') est un demi-anneau de Conway qui vérifie les axiomes de Conway des groupes<ref name=Esik08/> associés par  [[John Horton Conway|John Conway]] aux groupes dans les demi-anneaux étoilés<ref>{{Ouvrage| prénom1=John H.| nom1=Conway| lien auteur1=John Horton Conway| titre=Regular algebra and finite machines| éditeur=Chapman and Hall| lieu=Londres| année=1971| isbn=0-412-10620-5| zbl=0231.94041}}</ref>

=== Demi-anneau étoilé complet ===
Un '''demi-anneau étoilé complet''' est un demi-anneau où l'étoile a les propriétés habituelles de l'[[étoile de Kleene]] ; on la définit à l'aide de l'opérateur de sommation infinie par<ref name="droste"/> :

:<math>a^* = \sum_{j \geq 0}{a^j}</math>
avec <math> a^0 = 1</math> et <math> a^{j+1} = a \cdot a^j = a^j \cdot a</math> pour <math>j \geq 0</math>.

Les demi-anneaux des relations binaires, des langages formels et des nombres réels non négatifs étendus sont étoilés complets<ref name="droste"/>.

Un demi-anneau étoilé complet est aussi un demi-anneau de Conway<ref name="droste15">{{harvsp|Droste|Kuich|2009|loc=Theorem 3.4 {{p.|15}} }}.</ref> mais la réciproque n'est pas vraie. Un exemple est fourni par les [[nombres rationnels]] non négatifs étendus <math>\{x\in\Q\mid x\ge0\}\cup\{\infty\}</math> avec l’addition et la multilication usuelles<ref name="droste"/>.

== Notes et références ==
{{Références}}
== Bibliographie ==
* {{Chapitre
| auteur = Claude Pair
| titre =  Sur des algorithmes pour des problèmes de cheminement dans les graphes finis
| titre ouvrage = Théorie des graphes (journées internationales d'études) -- Theory of Graphs (internainal symposium)
| éditeur = Dunod (Paris) et  Gordon and Breach (New York)
| année = 1966
| adresse = Rome (Italie)
| page début = 271
| auteur ouvrage = P. Rosentiehl
}}
* {{Ouvrage
| auteur1=Jean Claude Derniame
| auteur2=Claude Pair
| titre=Problèmes de cheminement dans les graphes
| éditeur=Dunod (Paris)
| année=1971
| pages=182
}}
*{{Ouvrage
 | prénom1=Kazimierz
 | nom1=Głazek
 | titre=A guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and information sciences. With complete bibliography
 | éditeur=Kluwer Academic
 | lieu=Dordrecht
 | année=2002
 | isbn=1-4020-0717-5
 | zbl=1072.16040
}}
* {{Ouvrage
 | auteur1=Jonathan S. Golan
 | titre=Semirings and their Applications
 | éditeur=Kluwer Academic Publishers (Springer Science & Business Media)
 | lieu=Dordrecht
 | année=1999
 | pages totales=xii+ 381
 | isbn=978-0-7923-5786-5
 | math reviews=1746739
 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=DNdTF_4PzpoC&printsec=frontcover
}} — Édition revue et augmentée de {{Ouvrage
 | langue=en
 | titre=The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science
 | éditeur=Longman Scientific & Technical et John Wiley & Sons
 | collection=Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics
 | lieu=Harlow
 | année=1992
 | pages totales=xiv+318
 | isbn=0-582-07855-5
 | math reviews=1163371
}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=M. | nom1=Lothaire | titre=Applied combinatorics on words | éditeur=[[Cambridge University Press]] | collection=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | lieu=Cambridge (GB) | numéro dans collection=105 | année=2005 | pages totales=610 | isbn=978-0-521-84802-2 | zbl=1133.68067 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=fpLUNkj1T1EC&printsec=frontcover}}
* {{Ouvrage
 |langue=fr
 |prénom1=Michel
 |nom1=Gondran
 |lien auteur1=Michel Gondran
 |prénom2=Michel
 |nom2=Minoux
 |titre=Graphes, dioïdes et semi-anneaux
 |sous-titre=nouveaux modèles et algorithmes
 |éditeur=Tec & Doc
 |lieu=Paris
 |année=2001
 |pages totales=xvi+415
 |isbn=2-7430-0489-4
 |sudoc=060235101
}} — Édition en anglais :  {{Ouvrage
 |langue=en
 |prénom1=Michel
 |nom1=Gondran
 |lien auteur1=Michel Gondran
 |prénom2=Michel
 |nom2=Minoux
 |titre=Graphs, Dioids and Semirings
 |sous-titre=New Models and Algorithms
 |éditeur=Springer Science & Business Media
 |collection=Operations Research/Computer Science Interfaces Series
 |lieu=Dordrecht
 |numéro dans collection=41
 |année=2008
 |pages totales=xix+383
 |isbn=978-0-387-75450-5
 |zbl=1201.16038
 |sudoc=12874958X
 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=XudA1RktfCAC&printsec=frontcover
}}
* {{Ouvrage
 | langue=en
 | prénom1=Jacques
 | nom1=Sakarovitch
 | titre=Elements of automata theory ''(Translated from the French by Reuben Thomas)''
 | éditeur=[[Cambridge University Press]]
 | lieu=Cambridge
 | année=2009
 | pages totales=758
 | isbn=978-0-521-84425-3
 | zbl=1188.68177
}}
* {{Ouvrage
 | prénom1=Jean
 | nom1=Berstel
 | prénom2=Christophe
 | nom2=Reutenauer
 | titre=Noncommutative rational series with applications
 | éditeur=[[Cambridge University Press]]
 | collection=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
 | lieu=Cambridge
 | numéro dans collection=137
 | année=2011
 | pages totales=248
 | isbn=978-0-521-19022-0
 | zbl=1250.68007
 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=LL8Nhn72I_8C&printsec=frontcover
}}
* {{chapitre
| auteur1=Manfred Droste 
| auteur2= Werner Kuich 
| titre = Semirings and Formal Power Series
| passage = 3-29
| titre ouvrage = Handbook of Weighted Automata
| auteurs ouvrage = Manfred Droste, Werner Kuich, Heiko Vogler (éditeurs), 
| éditeur=Springer-Verlag
| année=2009 
| doi = 10.1007/978-3-642-01492-5_1}}
* {{chapitre 
 | auteur1=[[Zoltán Ésik]]
 | titre=Iteration semirings 
 | zbl=1161.68598 
 | auteur ouvrage = Masami Ito (éditeur)
 | titre ouvrage =Developments in language theory ''(12th international conference, DLT 2008, Kyoto, Japan, September 16–19, 2008)''.  
 | lieu=Berlin 
 | éditeur=[[Springer-Verlag]] 
 | isbn=978-3-540-85779-2 
 | series=Lecture Notes in Computer Science 
 | numéro dans collection =5257 
 | passage =1–20 
 | année=2008 
 | doi=10.1007/978-3-540-85780-8_1 
}}
* {{chapitre
 | auteur1=[[Zoltán Ésik]]
 | nom2=Kuich
 | prénom2=Werner
 | titre=Equational axioms for a theory of automata
 | auteur ouvrage = Carlos Martín-Vide
 | titre ouvrage =Formal languages and applications
 | lieu=Berlin
 | éditeur=[[Springer-Verlag]]
 | series=Studies in Fuzziness and Soft Computing
 | numéro dans collection =148 
 | passage =183–196
 | année=2004
 | isbn=3-540-20907-7 
 | zbl=1088.68117 }}
* {{chapitre
 | nom=Kuich
 | prénom=Werner
 | titre=Algebraic systems and pushdown automata
 | zbl=1251.68135
 | auteur ouvrage = Werner Kuich 
 | titre ouvrage =Algebraic foundations in computer science. Essays dedicated to Symeon Bozapalidis on the occasion of his retirement
 | lieu=Berlin
 | éditeur=[[Springer-Verlag]]
 | isbn=978-3-642-24896-2
 | series=Lecture Notes in Computer Science
 | numéro dans collection=7020
 | passage=228–256
 | année=2011 }}.


{{Palette|Structures algébriques}}
{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Anneau]]
[[Catégorie:Demi-groupe]]