Voir la source de Dernier théorème de Fermat

{{Voir homonymes|Théorème de Fermat{{!}}Théorèmes de Fermat}}
[[Image:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|vignette|droite|Page 61 de la [[:commons:File:Diophantus-cover-Fermat.jpg|réédition de 1670]] par le fils de Pierre de Fermat du Diophante de Bachet, augmenté des annotations de son père. L'énoncé du théorème (en latin) apparaît sous le titre « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT », à la suite de la question VIII.]]

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[théorie des nombres]], le '''dernier théorème de Fermat''', ou '''grand théorème de Fermat''', ou depuis sa démonstration '''théorème de Fermat-Wiles''', s'énonce comme suit :
{{théorème|nom=Théorème<ref>{{Harvsp|Hellegouarch|texte=Hellegouarch 1997|p=1}}.</ref>|énoncé=Il n'existe pas de nombres [[Entier naturel|entiers strictement positifs]] {{mvar|x}}, {{mvar|y}} et {{mvar|z}} tels que :

<center><math>x^n + y^n = z^n,</math></center>
dès que {{mvar|n}} est un entier strictement supérieur à 2.}}

Énoncé par [[Pierre de Fermat]] d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]], il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le [[mathématicien]] [[Royaume-Uni|britannique]] [[Andrew Wiles]] en [[1994]]. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable.

== Contexte ==
Dans le cas où {{math|''n'' {{=}} 1}}, l'équation {{mvar|x{{exp|n}} + y{{exp|n}} {{=}} z{{exp|n}}}} correspond à l'[[addition]] usuelle et a donc une infinité de solutions.

Dans le cas où {{math|''n'' {{=}} 2}} cette équation a encore une infinité de solutions en nombres entiers positifs non nuls, les [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]], dont le plus petit est (3, 4, 5) : 3{{2}} + 4{{2}} = 5{{2}}.

Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour {{math|''n'' > 2}}, cette équation n'a pas de solution en entiers positifs non nuls (les autres solutions, de la forme {{math|''x{{exp|n}}'' + 0{{exp|''n''}} {{=}} ''x{{exp|n}}''}}, sont souvent appelées ''solutions [[Trivial (mathématiques)|triviales]]'').

Si l'équation n'a pas de solution (en entiers positifs non nuls) pour un exposant {{mvar|n}} donné, elle n'en a pour aucun des multiples de {{mvar|n}} (puisque {{math|''x<sup>kn</sup>'' {{=}} (''x<sup>k</sup>'')<sup>''n''</sup>}}) et donc il suffit, pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour {{mvar|n}} premier impair et pour {{math|''n'' {{=}} 4}}<ref name=MacTutor/>.

Si l'équation n'a pas de solutions en entiers positifs non nuls, elle n'en a pas non plus en entiers relatifs non nuls, ni en rationnels non nuls ce qui conduit [[Andrew Wiles]] à énoncer le théorème sous la forme suivante{{sfn|Wiles|1995|p=448 théorème 0.5}}: Si <math>x^p+y^p+z^p=0</math> où <math>x</math>, <math>y</math> et <math>z</math> sont des rationnels et  <math>p</math> un [[nombre premier]] supérieur ou égal à 3 alors  <math>xyz = 0</math>.

== Historique ==
=== Énoncé de Fermat ===
[[Fichier:Diophantus-II-8.jpg|vignette|droite|La page de l'[[:commons:File:Diophantus-cover.jpg|édition gréco-latine de 1621]] des ''[[Arithmétiques]]'' traduite et commentée par [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet de Méziriac]]<ref name="éd1621"/>, la question VIII traite des triplets pythagoriciens. C'est sur un exemplaire similaire – non retrouvé – que Fermat a écrit sa note.]]
Le [[théorème]] doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce en marge d'une traduction<ref name="éd1621">Traduction du [[Grec ancien|grec]] en [[latin]] par [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac]], publiée en 1621.</ref> (du grec au latin) des ''[[Arithmétiques]]'' de [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]]<ref>{{Article|langue=fr|titre=Le dernier théorème de Fermat, un monument des maths auquel s’attaque une collaboration internationale|périodique=Le Monde|date=2025-02-18|lire en ligne=https://www.lemonde.fr/sciences/article/2025/02/18/le-dernier-theoreme-de-fermat-un-monument-des-maths-auquel-s-attaque-une-collaboration-internationale_6551843_1650684.html|consulté le=2025-02-18}}</ref>, en regard d'un problème ayant trait aux [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]] : {{Citation|Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir}}<ref>Texte latin original (selon Samuel Fermat) de l'observation II de Pierre de Fermat : {{citation étrangère|langue=la|Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.}} {{Harvsp|Tannery|Henry|texte=''Œuvres de Fermat''|loc=t. 1, p. 291}}, voir également l'avertissement {{p.|XXXVI}}, traduction {{harvsp|Itard|1950|p=26}}.</ref>.

On ignore la destination de ces notes marginales<ref name="AFST">{{Article|auteur=[[Catherine Goldstein]]|titre=L'arithmétique de Pierre Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne : une approche microsociale|périodique=[[Annales de la Faculté des sciences de Toulouse]]|volume=XVIII|numéro=S2|pages=25-57|année=2009|date=|doi=10.5802/afst.1228|url=http://afst.cedram.org/cedram-bin/article/AFST_2009_6_18_S2_25_0.pdf|format=pdf}}.</ref>, qui paraissent cependant avoir été réservées au seul usage du mathématicien<ref name="Itard1950p21">{{harvsp|Itard|1950|p=21}}.</ref>, même si on peut trouver qu'elles sont écrites « dans un style qui suppose la présence d’un lecteur »<ref>{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=es|prénom1=Albert|nom1=Violant I Holz|titre=L’énigme de Fermat|sous-titre=Trois siècles de défi mathématique|éditeur={{Lien|lang=es|trad=RBA|Groupe RBA|texte=RBA}}-[[Le Monde]]|collection=Le Monde est mathématique|lieu=Paris|numéro dans collection=9|année=2013|pages totales=153|passage=98|isbn=978-2-8237-0106-7|présentation en ligne=http://images.math.cnrs.fr/L-Enigme-de-Fermat.html}}.</ref>.

Elles nous sont parvenues par une transcription réalisée par son fils Samuel, qui a publié une réédition du Diophante de Bachet augmentée des annotations de son père 5 ans après la mort de celui-ci<ref>L'édition de Samuel Fermat reproduit les annotations en italique, à l'endroit où elles apparaissaient dans le texte : {{Harvsp|Tannery|Henry|texte=''Œuvres de Fermat''|loc=t. 1, p. XVI}} (Avertissement).</ref>. On n'a pas d'autre description de l'exemplaire portant les annotations de Fermat, qui a été perdu très tôt, peut-être détruit par son fils pour cette édition<ref name="Itard1950p21"/>.

Cette note est le seul témoignage dont on dispose de la part de Fermat sur cet énoncé dans le cas général. ''A fortiori'' aucune démonstration ou tentative de démonstration n'a été retrouvée. En revanche, Fermat évoque à plusieurs reprises le cas des cubes et des puissances quatrièmes, et on possède des preuves de lui et de contemporains sur le cas des puissances quatrièmes<ref name="AFST"/>.

=== Le nom du théorème ===
Les résultats de Fermat (presque toujours annoncés sous forme de problèmes, et sans démonstration) n'ont en général pas reçu de nom<ref group="note">On trouve cependant depuis le {{s-|xx}} des dénominations telles que [[théorème des deux carrés de Fermat]] ou [[théorème de Fermat sur les triangles rectangles]].</ref>, à l'exception de son [[petit théorème de Fermat|petit théorème]], appelé simplement « théorème de Fermat » par [[Carl Friedrich Gauss]]<ref>{{Ouvrage|langue originale=la|auteur1=C. F. Gauss|traducteur=[[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle]]|titre=Recherches arithmétiques|titre original=Disquisitiones arithmeticae|éditeur=Courcier|année=1807|année première édition=1801|passage=32-34}}, n° 50.</ref> ; le résultat énoncé dans la note marginale, découvert après la mort de son auteur, fut logiquement appelé alors « dernier théorème de Fermat »<ref>{{Harvsp|Hellegouarch|texte=Hellegouarch 1997|p=371-372}}.</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|titre ouvrage=[[Encyclopædia Universalis]]|titre=Fermat (Pierre de)|auteur=[[Jean Itard (historien)|Jean Itard]]}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Tannery|Henry|texte=''Œuvres de Fermat''|loc=t. 4, {{p.|152}}}}.</ref>{{,}}<ref name="natureAbel"/>{{,}}<ref name=Singh/>, nom qui devint également le sien dans la plupart des langues étrangères : en anglais, en danois, et dans les langues romanes, mais aussi en japonais et en coréen, en arabe, en hébreu et en turc. Au début du {{s-|XX}}, la dénomination de « petit théorème de Fermat » devint fréquente<ref>Hensel donne sous ce nom l'énoncé généralisé à un groupe fini commutatif, {{de}} [[Kurt Hensel]], ''{{lang|de|Zahlentheorie}}'', Göschen, Berlin/Leipzig, 1913 [http://www.gutenberg.org/ebooks/38986 numérisé sur le projet Gutenberg], § V.6, p 128 de la version du projet Gutenberg.</ref>, et le « dernier théorème de Fermat » (entre-temps souvent énoncé sous le nom de « conjecture de Fermat »<ref>[http://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/Fermat/51644 Conjecture de Fermat], sur l’encyclopédie Larousse.</ref>) prit alternativement, par contraste, le nom de « grand théorème de Fermat »<ref>{{Ouvrage|langue originale=en|auteur1=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]]|auteur2=[[Edward Maitland Wright|E. M. Wright]]|traducteur=F. Sauvageot|titre=Introduction à la théorie des nombres|titre original=[[Modèle:HardyWright|An Introduction to the Theory of Numbers]]|éditeur=[[Vuibert]]-[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|passage=243}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Thierry Marchaisse]]|titre=Le théorème de l'auteur|sous-titre=Logique de la créativité|éditeur=Epel|année=2016|passage=46|lire en ligne={{Google Livres|L1lyDAAAQBAJ|page autre=PT46}}}}.</ref>, par exemple en allemand ou en chinois. Enfin, depuis sa démonstration par Wiles, on rencontre de plus en plus fréquemment la dénomination de « théorème de Fermat-Wiles »<ref>J.-B. Hiriart-Urruty, « Sur le caractère spectaculaire du théorème de Fermat-Wiles », ''Bulletin de l'[[APMEP]]'', {{n°|427}}, 2000, {{p.|209-210}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|auteur=[[Bas Edixhoven]]|titre=Représentations galoisiennes et théorème de Fermat-Wiles|année=2012|url=http://images.math.cnrs.fr/Representations-galoisiennes-et.html|site=[[Images des mathématiques]]}}.</ref>, ou parfois même simplement « théorème de Fermat »<ref>[[Pierre Colmez]], ''Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)'', Éditions de l'École polytechnique, {{2e}} éd., 2011, {{p.|234}}.</ref>.

=== Premières approches ===
{{Article détaillé|Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5}}
* En 1670, le fils de Fermat réédite les ''Arithmétiques'', contenant entre autres le « [[théorème de Fermat sur les triangles rectangles]] », qui résout le cas {{math|''n'' {{=}} 4}}. Il ne reste alors qu'à démontrer le théorème pour un exposant premier impair, cas dans lequel le théorème peut s'énoncer sous cette forme symétrique : pour tout nombre premier {{mvar|p}} impair, l'équation {{math|''x<sup>p</sup> + y<sup>p</sup> + z<sup>p</sup>'' {{=}} 0}} n'a pas de solution en [[Entier relatif|entiers relatifs]] {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}} non nuls<ref>{{Article|auteur=Adrien-Marie Legendre|titre=Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée et particulièrement sur le théorème de Fermat|périodique= Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France|année=1823|pages=1-60|passage=3}}.</ref>.
* En 1753, [[Leonhard Euler|Euler]] transforme l'équation en {{math|''z''{{3}} {{=}} ''x''{{3}} + ''y''{{3}} {{=}} 2''a''(''a''{{2}} + 3''b''{{2}})}}. L'étude des propriétés des nombres de la forme {{math|''a''{{2}} + 3''b''{{2}}}} sera omise de sa preuve.
* En 1816, l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences de Paris]] offre une médaille d'or et un prix de {{Unité|3000|[[Franc français|francs]]}} à celui qui résoudrait la question.
* En 1825, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] et [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] prouvent le cas {{math|''n'' {{=}} 5}}.
* Simultanément, Legendre expose un sous-produit de l'attaque globale (vouée à l'échec) tentée par [[Sophie Germain|Germain]] : le « [[théorème de Sophie Germain]] », qui permet entre autres de démontrer {{Citation|d'un trait de plume}} le premier cas du théorème de Fermat (celui où les valeurs des variables sous l'exposant premier {{mvar|p}} sont toutes trois non divisibles par {{mvar|p}}) pour les exposants premiers inférieurs à 100<ref>{{chapitre|titre chapitre=Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée et particulièrement sur le théorème de Fermat|titre ouvrage=Essai sur la théorie des nombres. Second supplément|lieu=Paris|mois=9|année=1825|url=https://books.google.fr/books?id=zHMs_R2SATYC|pages totales=40}}. La démonstration par Legendre du théorème de Germain occupe, dans la réimpression (à une modification près de la dernière page) de 1827 (''Mémoires de l'Académie royale des sciences'', t. 6, 1823 [sic], p. 1-60), les sections 13 p. 9 et 21 et 22 p. 14-17, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3221x/f205.image au terme desquelles il attribue dans une brève note] cette démonstration et, moins explicitement, la table des {{mvar|p}} strictement inférieurs à 100 à Germain.</ref>.
* En 1832, Dirichlet prouve le cas {{math|''n'' {{=}} 14}}.
* En 1839, [[Gabriel Lamé|Lamé]]<ref>G. Lamé, « Mémoire d'analyse indéterminée, Démontrant que l'équation x<sup zoompage-fontsize="10">7</sup> + y<sup zoompage-fontsize="10">7</sup> = z<sup zoompage-fontsize="10">7</sup> est impossible en nombres entiers », ''Journal de mathématiques pures et appliquées 1<sup zoompage-fontsize="10">re</sup> série'', t. 5 (1840), p. 195-210, consultable sur [http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1840_1_5_A21_0.pdf mathdoc].</ref> prouve le cas {{math|''n'' {{=}} 7}}. En 1977, H. M. Edwards<ref>{{Harvsp|Edwards|1977|p=73}}.</ref> a exprimé des doutes sur la validité de la démonstration de Lamé, mais selon C. Goldstein, cette démonstration est correcte. Contrairement aux démonstrations qui avaient été données pour les exposants 3 et 5, elle ne fait intervenir que les propriétés élémentaires de [[divisibilité]] dans l'anneau des entiers relatifs<ref>Catherine Goldstein, « Gabriel Lamé et la théorie des nombres : 'une passion malheureuse' ? », ''Bulletin de la SABIX'', vol. 44 (2009), p. 131-139, [https://journals.openedition.org/sabix/690 en ligne].</ref>.
* En 1847, Lamé et [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] proposent chacun de leur côté une démonstration du grand théorème, qu’ils présentent d’ailleurs comme incomplète, mais tous deux s’étaient engagés dans une voie sans issue.
* En 1850, le prix de l'Académie est renouvelé.
* À partir de 1847, [[Ernst Kummer]] franchit un pas décisif en démontrant le dernier théorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100. À cette fin, il introduit l'étude systématique des [[Extension cyclotomique|corps cyclotomiques]], qui le conduit à introduire les [[Idéal|nombres idéaux]]. Il en déduit que ce dernier théorème tombe dans le cas de [[Nombre premier régulier|nombres premiers réguliers]] (cette première étape est obtenue en 1847 ; le cas des trois nombres irréguliers inférieurs à 100, c'est-à-dire 37, 59 et 67, sera résolu en 1857). Ces études renouvellent également l'intérêt pour les [[nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]].

Ainsi, apparaît le réel intérêt de ce théorème négatif : c'est un moteur puissant qui va obliger pour le résoudre à étudier les [[Structure algébrique|structures algébriques]] d'objets dont on aurait eu peine à imaginer l'existence au temps de Fermat. L'idée s'affirme alors que ce dernier théorème, loin d'être une fin en soi, n'est qu'un début pour l'étude de questions bien plus profondes et qui sont au cœur de l'invention mathématique contemporaine.

* En 1856, [[Johann August Grunert]] publie des résultats élémentaires sur la taille des solutions éventuelles<ref>{{Article|auteur1=Grunert|langue=de|lien auteur1=Johann August Grunert|titre=''Wenn 𝑛>1, so gibt es unter den ganzen Zahlen von 1 bis 𝑛 nicht zwei Werte von 𝑥 and 𝑦, für welche, wenn 𝑧 einen ganzen Wert bezeichnet, 𝑥<sup>𝑛</sup>+𝑦<sup>𝑛</sup>=𝑧<sup>𝑛</sup> ist.''|périodique=Archiv Math. Phys.|volume=27|date=1856|pages=119–120}}</ref>.
* En 1894, Ernst Wendt donne un critère pour appliquer les théorèmes de Sophie Germain et leur généralisation{{Référence nécessaire|date=septembre 2024}}. Ces études se prolongeront en 1935 avec [[Emma Lehmer]], et en 1959, avec [[Leonard Carlitz]].
* En 1908, l'[[université de Göttingen]] et la fondation Wolfskehl offrent un prix de {{Unité|100000|[[Goldmark|marks]]}} à qui trouverait la démonstration avant cent ans. Le prix a été alloué le 27 juin 1997 à Andrew Wiles qui récolta la somme de 50 000 $<ref>[https://www.nytimes.com/1997/11/30/books/qed.html Ny Times 1997 le prix Wolfskehl]</ref>
* En 1909, [[Arthur Wieferich]] montre que le premier cas (celui où le produit {{mvar|xyz}} n’est pas divisible par {{mvar|p}}) est vérifié si [[nombre premier de Wieferich|''p''{{2}} ne divise pas 2{{exp|''p''–1}} – 1]]<ref>{{Article|lang=de|prénom=A.|nom=Wieferich|titre=Zum letzten Fermat'schen Theorem|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|revue=J. reine angew. Math.|vol=136|année=1909|p.=293-302}}.</ref>.
* En 1931, Massoutié<ref name="Massoutié">{{Article|prénom1=L.|nom=Massoutié|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f506|titre=Sur le dernier théorème de Fermat|périodique=[[CRAS]]|volume=193|année=1931|pages=502-504}}.</ref> et Pomey<ref name="Pomey">{{Article|prénom1=Léon|nom=Pomey|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f567|titre=Nouvelles remarques relatives au dernier théorème de Fermat|périodique=CRAS|volume=193|année=1931|pages=563-564}}.</ref> donnent des conditions de divisibilité sur d'éventuelles solutions. [[Paulo Ribenboim]]<ref>{{Harvsp|Ribenboim|1979|p=69}}.</ref> considère ces résultats comme marginaux et en dit autant de certains résultats, très différents, de Swistak (1969<ref>{{Article|langue=en|prénom1=J. M.|nom=Swistak|titre=A note on Fermat's last theorem|périodique=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|volume=76|année=1969|pages=173-174}}.</ref>), de M. Mihaljinec (1952) et de Rameswar Rao (1969).
* En 1952, [[Harry Vandiver]] utilise un ordinateur [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]] pour le démontrer pour tous les exposants inférieurs à 2000<ref>{{article|langue=en|nom1=Lehmer |prénom1=D. H.|lien auteur1=Derrick Lehmer|nom2=[[Emma Lehmer]]|nom3=Vandiver|prénom3=H. S.|titre=An Application of High-Speed Computing to Fermat's Last Theorem |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|PNAS]] |volume=40 |numéro=1 |année=1954 |pages=25–33|pmcid=527932}}.</ref>.
* Les progrès fulgurants des trente années précédant la démonstration de Wiles sont liés à des travaux de [[Jean-Pierre Serre]], d'[[Yves Hellegouarch]]<ref name=crypto/> et de [[Robert Langlands]]<ref>{{en}} ''[http://publications.ias.edu/rpl/ The Work of Robert Langlands]'', sur le site de l'[[Institute for Advanced Study|IAS]]</ref> sur la représentation des [[courbe elliptique|courbes elliptiques]] par les [[fonction modulaire|fonctions modulaires]].

On peut également interpréter ce théorème géométriquement<ref name=crypto/> en considérant les courbes d'équation : {{math|''x{{exp|n}} + y{{exp|n}}'' {{=}} 1}}. Si {{math|''n'' > 2}}, le théorème affirme que ces courbes ne passent par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles. Bien que cette approche ait échoué à démontrer la conjecture, le [[théorème de Faltings]] prouve du moins que ces courbes n'admettent qu'un nombre fini de [[Point rationnel|points rationnels]].

=== Fermat l'avait-il démontré ? ===
L'énoncé de Fermat n'a été connu que cinq ans après sa mort, grâce à la publication par son fils des notes en marge de son exemplaire des ''Arithmétiques'' de Diophante, et on ne trouve pas d'autre mention du cas général dans ses travaux. Par ailleurs, les démonstrations partielles données au cours des siècles qui ont suivi ont nécessité des outils mathématiques qui n'existaient pas au temps de Fermat. La quasi-totalité des mathématiciens estiment donc aujourd'hui que Fermat avait seulement cru démontrer le résultat général, mais qu'il s'était trompé<ref name="Dudley">{{en}} [[Underwood Dudley]], ''Mathematical Cranks'', p. 118.</ref>. Avant les travaux de Wiles, peu de professionnels tentaient encore de s'attaquer directement à ce théorème. Malgré cela, de nombreux amateurs optimistes étaient et sont encore persuadés d'avoir découvert une preuve très simple (pas nécessairement celle de Fermat) ; leurs erreurs sont le plus souvent d'un niveau très élémentaire<ref name=Dudley/>.

Dans toute l'œuvre mathématique laissée par Fermat, on ne trouve qu'une démonstration : celle du fait qu'« [[Théorème de Fermat sur les triangles rectangles|il n’y a aucun triangle rectangle dont l’aire soit carrée]] »<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=~history/HistTopics|id=Fermat's_last_theorem|title=Fermat's last theorem}}</ref>, fait dont le cas {{math|''n'' {{=}} 4}} du « grand théorème » se déduit immédiatement. Le cas plus délicat {{math|''n'' {{=}} 3}} n'a été démontré qu'un siècle plus tard par Euler, encore sa preuve publiée en 1770 est-elle incomplète, l'un des arguments étant erroné<ref>Euler, qui avait annoncé sa preuve en 1753, a pu tout de même avoir une démonstration correcte (plus laborieuse que celle publiée) mais il n'y a aucune certitude à ce sujet {{Harv|Edwards|1977|p=39-46}}.</ref>. Cependant, Fermat y fait référence dans cinq de ses lettres, de juin 1638 à août 1659 : deux à [[Marin Mersenne|Mersenne]], deux à [[Kenelm Digby|Digby]] et une à [[Christian Huygens|Huygens]] par l’intermédiaire de [[Pierre de Carcavi|Carcavi]] : {{citation|Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes}}. Il « savait comment le prouver » et défiait ses contemporains d'y parvenir<ref name=MacTutor/>. Par ailleurs, il est possible de démontrer le cas {{math|''n'' {{=}} 3}} par la [[méthode de descente infinie]], même si elle est plus difficile à mettre en œuvre que pour le cas {{math|''n'' {{=}} 4}}. Aussi les historiens estiment-ils possible, voire probable, que Fermat ait disposé également d'une démonstration du théorème dans le cas {{math|''n'' {{=}} 3}}, ou au moins des grandes lignes de celle-ci<ref name="crypto">{{Harvsp|Belabas|Goldstein|1999}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Violant I Holz|2013|p=99-101}}.</ref>.

Mais les historiens des mathématiques ne sont pas certains que Fermat lui-même ait été longtemps convaincu d'avoir une preuve dans le cas général. En effet, les annotations marginales de Fermat sont des notes de lectures destinées à son usage personnel qui ne sont pas datées<ref name="Itard1950">{{harvsp|Itard|1950|p=26}}.</ref>. Pour la chronologie de ses découvertes, les historiens s'appuient sur sa correspondance<ref name="Itard1950"/>. Or, si Fermat mentionne bien dans celle-ci les cas particuliers du théorème pour {{math|''n'' {{=}} 3}} et {{math|''n'' {{=}} 4}}, il n'aborde jamais explicitement le cas général, ce qui est la seule exception parmi ses énoncés de théorie des nombres. La mention de ces deux cas particuliers laisse cependant penser que la note en marge date du début de son intérêt pour le domaine<ref name="ScharlauOpalka1995">{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Winfried Scharlau]]|prénom2=Hans|nom2=Opolka|titre=From Fermat to Minkowski : Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development|éditeur=Springer|collection=Undergraduate Texts in Mathematics|année=1995|passage=13}}.</ref>, et que Fermat s'était lui-même rapidement rendu compte qu'il n'avait pas de démonstration de son Grand Théorème dans le cas général<ref name="ScharlauOpalka1995"/>, ni même simplement dans le cas {{math|''n'' {{=}} 5}}<ref name="Itard1950"/> ; il n'avait pas à se rétracter puisque la conjecture était restée privée<ref name="ScharlauOpalka1995"/>.

Un autre argument est évoqué par l'historien [[Michael Sean Mahoney]], qui fait la comparaison avec la conjecture de Fermat, fausse celle-ci, sur la primalité des [[Nombre de Fermat|nombres dits depuis « nombres de {{nobr|Fermat »}}]]. En effet après avoir écrit plusieurs fois à ses correspondants qu'il n'avait pas de démonstration de ce résultat, il assure en posséder une par descente infinie dans une lettre de 1659 à Carcavi<ref>{{Harvsp|Tannery|Henry|texte=''Œuvres de Fermat''|loc=t. 2, lettre CI, point 5, {{p.|433-434}}}}. Cette lecture de la lettre à Carcavi est celle des [[Histoire des mathématiques|historiens des mathématiques]] {{harv|Mahoney|1994}}, {{harv|Itard|1950|p=26}}, {{Harv|Edwards|1977|p=24}} {{etc.}} Le mathématicien [[Eric Temple Bell|E. T. Bell]], lui ({{en}} ''{{Lang|en|The Last Problem}}'', New York, 1961, {{p.|256}}), n'y voit pas une telle affirmation.</ref>. Cependant , la conjecture de Fermat est en défaut pour {{math|''n'' {{=}} 5}} ({{nobr|2<sup>2<sup>5</sup></sup> + 1 {{=}} 4 294 967 297}} n'est pas premier car divisible par 641), ce qui conduit Mahoney à supposer que Fermat n'aurait vérifié précisément cette conjecture que jusqu'à {{math|''n'' {{=}} 4}}, par une méthode dont il se serait persuadé à tort qu'elle fonctionnait au-delà, et procédé de même pour son « dernier théorème »<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Michael Sean|nom1=Mahoney|lien auteur1=Michael Sean Mahoney|titre=The Mathematical Career of Pierre de Fermat|éditeur=Princeton Univ. Press|lieu=Princeton|année=1994|numéro d'édition=2|pages totales=432|passage=356|isbn=0-691-03666-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=My19IcewAnoC&printsec=frontcover}}.</ref>.
 
On ignore à ce jour s'il est possible de prouver le théorème de Fermat par des raisonnements n'utilisant que les propriétés arithmétiques et algébriques des entiers déjà connues de son temps, mais l'on sait que certaines pistes, telles que la [[méthode de descente infinie]], échouent sous la forme qui réussit pour les petites valeurs de {{mvar|n}}. La plupart des spécialistes estiment pour cette raison qu'une approche « élémentaire » est vouée à l'échec<ref>{{Harvsp|Hellegouarch|texte=Hellegouarch 1997}}.</ref>.

=== Démonstration par Andrew Wiles ===
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : {{Lien|langue=en|trad=Wiles' proof of Fermat's Last Theorem|fr=Preuve par Wiles du dernier théorème de Fermat}}.}}
Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant près de 350 ans, n'aboutissant qu'à des résultats partiels, le théorème est finalement démontré par le mathématicien [[Andrew Wiles]]<ref>Pour toute cette section, voir par exemple {{en}} [http://www.ams.org/bull/1999-36-02/S0273-0979-99-00778-8/S0273-0979-99-00778-8.pdf AMS book review] Modular forms and Fermat's Last Theorem by Cornell {{et al.}}, 1999.</ref>, au bout de huit ans de recherches intenses, dont sept dans le secret le plus total. La démonstration, publiée en 1995, recourt à des outils très puissants de la [[théorie des nombres]] : Wiles a prouvé un cas particulier de la [[Théorème de modularité|conjecture de Shimura-Taniyama-Weil]], dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de [[Yves Hellegouarch]] en 1971 (note au CRAS), puis de [[Gerhard Frey]], [[Jean-Pierre Serre]] et [[Kenneth Alan Ribet|Ken Ribet]], qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux [[forme modulaire|formes modulaires]], aux [[représentation galoisienne|représentations galoisiennes]], à la [[cohomologie galoisienne]], aux [[Forme automorphe|représentations automorphes]], à une {{Lien|langue=en|trad=Arthur–Selberg trace formula|fr=formule des traces d'Arthur-Selberg|texte=formule des traces}}…

La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps<ref>Matthieu Romagny, [http://www.institut.math.jussieu.fr/FS2008/fs2008_fichiers/conference_fermat.pdf « Le théorème de Fermat : huit ans de solitude »], conférence donnée à Paris, 2008, {{p.|10}} et suiv.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Violant I Holz|2013|p=137-143}}.</ref> :
* en juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un [[corollaire (mathématiques)|corollaire]] de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (trois suffisent d'habitude) nommés par [[Barry Mazur]] ; chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Parmi eux figurent [[Nicholas Michael Katz|Nick Katz]] et [[Luc Illusie]], que Katz a appelé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très compliquée : on doit réussir à appliquer le [[système d'Euler]]. Font aussi partie des jurés [[Gerd Faltings]], [[Kenneth Alan Ribet|Ken Ribet]] et [[Richard Taylor (mathématicien)|Richard Taylor]]. On travaille dans la plus grande confidentialité, l’atmosphère est tendue. Après que Katz a transmis à Wiles quelques points à préciser, que celui-ci clarifie rapidement, les choses commencent à se gâter : Nick Katz et Luc Illusie finissent par admettre qu'on ne peut pas établir dans la preuve, pour l’appliquer ensuite, le système d'Euler, alors que cet élément est considéré comme vital pour la faire fonctionner. [[Peter Sarnak]], que Wiles avait mis dans la confidence de sa découverte avant la conférence de juin, lui conseille alors de se faire aider par Taylor. Les tentatives pour combler la faille se révèlent pourtant de plus en plus désespérées, et Wiles, maintenant sous le feu des projecteurs, vit une période très difficile, il est à bout de forces, il pense qu'il a échoué et se résigne. Ce n’est que neuf mois plus tard que se produira le dénouement ;
* à l’automne, Taylor suggère de reprendre la ligne d’attaque (Flach-Kolyvagin) utilisée trois ans auparavant. Wiles, bien que convaincu que ça ne marcherait pas, accepte, mais surtout pour convaincre Taylor qu'elle ne pourrait pas marcher. Wiles y travaille environ deux semaines et soudain (19 septembre 1994) :

{{Citation bloc|En un éclair, je vis que toutes les choses qui l’empêchaient de marcher, c’était ce qui ferait marcher une autre méthode (théorie d’Iwasawa) que j’avais travaillée auparavant.}}

Alors que, prises séparément, Flach-Kolyvagin et Iwasawa étaient inadéquates, ensemble, elles se complètent. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont diffusés : ''Les courbes modulaires elliptiques et le dernier théorème de Fermat'' (par Andrew Wiles), et ''Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke'' (par Richard Taylor et Andrew Wiles). Le premier, très long, annonce entre autres la preuve, en se fondant sur le second pour un point crucial. Le document final est publié en 1995{{sfn|Wiles|1995}}.

== Méthode de la démonstration ==
=== Principe ===
[[Fichier:Andrew wiles1-3.jpg|vignette|droite|[[Andrew Wiles]].]]
La démonstration d'[[Andrew Wiles]] s'appuie sur de nombreux travaux antérieurs et peut se résumer comme suit :
# On se ramène d'abord aux cas d'exposants {{mvar|n}} premiers supérieurs à 5 ;
# À une solution {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} non triviale (c'est-à-dire {{math|''xyz ''≠ 0}}) avec les entiers relatifs {{math|''x'', ''y'', ''z''}} [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], on associe une [[#Courbes elliptiques|courbe elliptique]] particulière (Frey, reprenant des idées d'Hellegouarch), définie sur le corps ℚ des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] ;
# On démontre que cette courbe, dite ''courbe de Frey-Hellegouarch,'' ne peut pas être paramétrée par des [[fonction modulaire|fonctions modulaires]] ([[#Démonstration de Kenneth Ribet|théorème de Ribet]], démontrant une conjecture de Serre) ;
# On démontre que toute courbe elliptique définie sur le corps ℚ des nombres rationnels — ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch — est paramétrée par des fonctions modulaires : c'est la [[#Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil|conjecture de Shimura-Taniyama-Weil]], si importante en théorie des nombres, démontrée par Wiles pour une classe de courbes elliptiques suffisante.

La contradiction qui en résulte montre que l'équation de Fermat ne peut avoir de solutions en entiers non nuls.

=== Notions utilisées ===
==== Courbes elliptiques ====
 
Une [[courbe elliptique]] est une [[courbe algébrique]] [[variété algébrique non singulière|non singulière]] dont l'équation (dans un repère convenable) peut se mettre sous la forme :

{{retrait|<math>y^2 + axy + by = x^3 + cx^2 + dx + e.</math>}}

(les coefficients {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}} et {{mvar|e}} sont des éléments d'un [[corps commutatif|corps]] sur lequel on dit que la courbe est définie). Une telle équation correspond à une courbe non singulière (c'est-à-dire sans [[point de rebroussement]], ni point double) si et seulement si un certain [[polynôme]] sur les coefficients, le [[discriminant]], ne s'annule pas.

L'équation d'une cubique de ce type définie sur le [[nombre réel|corps des nombres réels]] ou plus généralement sur un corps de caractéristique 0, peut être mise sous une forme encore plus simple (dite [[équation de Weierstrass]]) :

{{retrait|<math>y^2 = x^3 + ax + b.</math>}}

Le [[discriminant]] de cette courbe est {{math|–16(4''a''{{3}} + 27''b''{{2}})}}. S'il est non nul, la courbe est non singulière, et donc est une courbe elliptique.

==== Courbe de Frey-Hellegouarch ====
En 1984, [[Gerhard Frey]] crut pouvoir démontrer que, si {{mvar|A{{exp|n}} + B{{exp|n}} {{=}} C{{exp|n}}}} est un [[contre-exemple]] au théorème de Fermat, la courbe elliptique introduite par Yves Hellegouarch, d'équation {{math|''y''{{2}} {{=}} ''x''(''x + A{{exp|n}}'')(''x – B{{exp|n}}'')}}, fournissait un contre-exemple à la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil selon laquelle toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires. L'argument de Frey n'était pas entièrement correct, mais [[Jean-Pierre Serre]] a vu ce qu'il fallait rajouter pour qu'il marche, ce qui l'a conduit à formuler sa {{Lien|langue=en|trad=Ribet's theorem|fr=Théorème de Ribet|texte=conjecture ε}} de telle sorte que Shimura-Taniyama-Weil + ε implique Fermat.
 
Comme dans d'autres situations en mathématiques, le fait d'intégrer le problème de Fermat dans un cadre plus général et apparemment beaucoup plus difficile a permis de grandes avancées, parce que l'on dispose alors de tout un outillage développé pour ce cadre.

==== Démonstration de Kenneth Ribet ====
En 1986, après pratiquement deux ans d'effort, l'Américain [[Kenneth Alan Ribet]] réussit à démontrer la conjecture ε de Serre, dont une des conséquences est que la courbe de Frey-Hellegouarch n'est pas paramétrable par des fonctions modulaires.

Il ne restait plus qu'à démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil :
« Toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires. »

==== Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil ====
{{article détaillé|Théorème de modularité}}
La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (désormais connue sous le nom de [[théorème de modularité]]) précise que les courbes elliptiques sur ℚ peuvent toujours être associées à (ou paramétrées par) des [[Fonction spéciale|fonctions spéciales]] dites modulaires (généralisation des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]]).

Pour démontrer un cas particulier de cette conjecture, utile pour la résolution du théorème de Fermat,  Andrew Wiles utilisa entre autres les notions mathématiques suivantes :
* les [[fonction L|fonctions L]] ;
* les [[forme modulaire|formes modulaires]] ;
* les [[Groupe de Galois absolu|groupes de Galois absolus]] ;
* la théorie des déformations des représentations galoisiennes.

La démonstration complète pour les [[courbe elliptique|courbes elliptiques]] [[courbe stable#Le cas arithmétique|semi-stables]] a été publiée en 1995 dans ''[[Annals of Mathematics]]''.

== Les conséquences de la découverte ==
[[Fichier:Diophantus-cover.jpg|vignette|Couverture de la traduction en latin (par [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet de Méziriac]]) des ''[[Arithmétiques]]'' de Diophante.]]
Dès 1987, Serre avait montré que les résultats de Ribet permettraient, si la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil était vraie, de résoudre des [[équation de Fermat généralisée|équations de Fermat généralisées]] telles que {{math|''x{{exp|n}} + y{{exp|n}}'' {{=}} 3''z{{exp|n}}''}} (pour {{math|''n'' > 7}})<ref name="serre">{{harvsp|Serre|1995|p=6}}.</ref> ; sous la même hypothèse, [[Henri Darmon]] et [[Andrew Granville]] ont pu adapter ces techniques à la résolution des équations {{math|''x{{exp|n}} + y{{exp|n}}'' {{=}} 2''z{{exp|n}}''}} et {{math|''x{{exp|n}} + y{{exp|n}}'' {{=}} ''z''{{2}}}} par exemple<ref name=serre/>{{,}}<ref>{{en}} H. Darmon et A. Granville, [http://www.math.mcgill.ca/darmon/pub/Articles/Research/12.Granville/pub12.pdf Équation de Fermat généralisée].</ref>.

Mais pour faire aboutir sa démonstration, Wiles a dû combiner un impressionnant arsenal de résultats obtenus avant lui, et surtout inventer des techniques complètement nouvelles qui ont révolutionné la théorie des nombres. Ces techniques, améliorées ensuite par d'autres mathématiciens, ont permis des avancées spectaculaires dans le [[Programme de Langlands|programme]]<ref group="note">Ce programme vise à décrire le [[groupe de Galois absolu]] de ℚ via ses représentations, en termes d'[[analyse harmonique]] sur les groupes algébriques (c'est la théorie des [[Théorie des représentations#Formes automorphes et théorie des nombres|représentations automorphes]], vaste généralisation de la notion de [[forme modulaire]]).</ref> mis au point par [[Robert Langlands]]<ref name="Singh">{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=en|auteur1=[[Simon Singh]]|traducteur=[[Gerald Messadié]]|titre=Le dernier théorème de Fermat|titre original=Fermat's Last Theorem|éditeur=Hachette Littératures|lieu=Paris|année=1999|mois=2|pages totales=304|passage=293|isbn=2-01-278921-8|numéro chapitre=VIII|titre chapitre=Les grandes mathématiques unifiées}}, {{Lien brisé|url=http://www.editions-jclattes.fr/livre-le-dernier-theoreme-de-fermat-simon-singh-39353 |titre=présentation en ligne de la traduction française originale de 1998 aux éditions JC Lattès}}.</ref>. Une des retombées de ces avancées a été la démonstration (à l'été 2009) de la [[conjecture de Satō-Tate]]<ref>[http://images.math.cnrs.fr/Histoires-de-nombres-premiers.html Une brève description] par [[Pierre Colmez]] de cette conjecture et de sa démonstration, sur ''[[Images des mathématiques]]''.</ref>.

En 2016, Wiles reçoit le [[prix Abel]] {{Citation|pour sa démonstration stupéfiante du dernier théorème de Fermat en utilisant la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant une ère nouvelle en [[théorie des nombres]]<ref name="natureAbel">{{lien web|url=http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-le-prix-abel-2016-est-decerne-a-andrew-wiles-36673.php |titre=Le Prix Abel 2016 est décerné à Andrew Wiles|éditeur=''[[Pour la Science]]''|date=15 mars 2016}}.</ref>.}}

== Dans la culture ==

Surtout avant la démonstration de Wiles, le théorème et la recherche de la démonstration de Fermat sont souvent apparus dans la littérature « populaire » (par exemple, [[Lisbeth Salander]] en trouve une [[démonstration élémentaire]] à la fin de ''[[La Fille qui rêvait d'un bidon d'essence et d'une allumette]]'' ; [[Arthur Porges]] en fait le prix d'un [[pacte avec le Diable]] dans ''The Devil and Simon Flagg'', etc.).

De même, à la télévision, plusieurs mentions du théorème apparaissent dans la série ''[[Star Trek]]'' : dans ''[[Star Trek : La Nouvelle Génération]]'', dans l'épisode ''The Royale'' (saison 2, épisode 12, diffusé en 1989, 5 ans avant que le théorème eût été démontré), le théorème de Fermat est décrit comme irrésolu au {{s|XXIV|e}}, soit 700 ans après les écrits de Fermat<ref>{{Lien web|titre="Star Trek: The Next Generation" The Royale (TV Episode 1989)|url=https://www.imdb.com/title/tt0708821/|consulté le=2017-06-28}}</ref> ; dans l'épisode ''Facets'' (saison 3, épisode 25, diffusé le 12 juin 1995<ref>{{Lien web|titre="Star Trek: Deep Space Nine" Facets (TV Episode 1995)|url=https://www.imdb.com/title/tt0708536/|consulté le=2017-07-01}}</ref>) de ''[[Star Trek: Deep Space Nine]]'', une nouvelle démonstration du dernier théorème de Fermat est découverte au 23{{e}} siècle, [[Jadzia Dax]] déclarant que {{citation|c'est l'approche de la preuve la plus originale depuis Wiles il y a 300 ans}}.

Les romans suivants sont plus centrés sur le théorème lui-même :
* [[Denis Guedj]], ''[[Le Théorème du Perroquet]]'', Le Seuil, 1998.
* [[Guillermo Martínez (écrivain)|Guillermo Martínez]], ''{{Lien|langue=en|trad=The Oxford Murders (novel)|fr=Mathématique du crime}}'', [[NiL Éditions]], 2004.
* [[Jean d'Aillon]], ''La Conjecture de Fermat'', Lattès, 2006.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group="note"}}

=== Références ===
{{Références}}

== Annexes ==
{{Autres projets|commons=category:Fermat's last theorem}}
=== Publication de Wiles===
* {{Article|langue=en|auteur=[[Andrew Wiles]]|titre=Modular elliptic curves and Fermat's last theorem|périodique=[[Annals of Mathematics|Ann. Math.]]|volume=141|année=1995|date=|pages=443-551|éditeur=Princeton University|doi=10.2307/2118559}} - <small> (lire en ligne:[https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Fmath.stanford.edu%2F%7Elekheng%2Fflt%2Fwiles.pdf%2Findex.html#& version a] - [https://web.archive.org/web/20170811071550id_/http://scienzamedia.uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf version b])</small>
=== Bibliographie ===
* {{Article|auteur=Karim Belabas|auteur2=[[Catherine Goldstein]]|titre=Fermat et son Théorème (et quelques variations arithmético-cryptographiques)|périodique=Orsay Info|volume=57|mois=11|année=1999}}, [http://www.math.u-bordeaux1.fr/~kbelabas/Orsay-info/fermat.html version préliminaire].
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Harold Edwards|H. M. Edwards]]|titre=Fermat's Last Theorem|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1977|lire en ligne={{Google Livres|ae5V08nnE8wC}}}}
* {{Hellegouarch1}}
* {{article|auteur=[[Jean Itard (historien)|Jean Itard]]|titre= Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres|périodique = Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|année=1950|volume=3|passage=21-26|lire en ligne=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767?_Prescripts_Search_tabs1=standard&}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Paulo Ribenboim]]|titre=13 Lectures on Fermat's Last Theorem|éditeur=Springer|année=1979|lire en ligne={{Google Livres|w2o67-lBGhIC}}}}
* {{article|auteur=[[Jean-Pierre Serre]]|titre=Travaux de Wiles (et Taylor...), partie I|journal=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|année=1995|date=|mois=juin|url=http://www.numdam.org/article/SB_1994-1995__37__319_0.pdf}}
* {{article|auteur=[[Joseph Oesterlé]]|titre=Travaux de Wiles (et Taylor...), partie II|journal=Séminaire Nicolas Bourbaki|année=1995|date=|mois=juin|url=http://www.numdam.org/article/SB_1994-1995__37__333_0.pdf}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Takeshi Saito|titre=Fermat's Last Theorem|sous-titre=[https://books.google.fr/books?id=jYkCAQAAQBAJ vol. 1, Basic Tools] ; [https://books.google.fr/books?id=1TLiBQAAQBAJ vol. 2, The Proof]|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2013}} et 2014
* {{Ouvrage|auteur1=[[Paul Tannery]]|auteur2=[[Charles Henry]]|titre=Œuvres de Fermat|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|lieu=Paris}} t. [[s:%C5%92uvres_de_Fermat/I|1 (1891)]], [https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm 2 (1894)] et [https://archive.org/details/oeuvresdefermat04ferm 4 (1912)]

=== Articles connexes ===
* [[Conjecture d'Euler]] (généralisant celle de Fermat à des sommes de {{math|''n'' – 1}} puissances {{mvar|n}}-ièmes, mais réfutée en 1966)
* [[Conjecture de Beal]] (une autre généralisation de celle de Fermat)
* [[Conjecture abc]] (laquelle entraîne par exemple le [[Conjecture abc#Le théorème de Fermat asymptotique|théorème de Fermat pour des exposants suffisamment grands]])
* [[Conjecture de Fermat-Catalan]], combinant les idées du dernier théorème de Fermat et la [[conjecture de Catalan]].

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=EcPPjZVB2vA « L'incroyable histoire de la conjecture de Fermat »], ''Mathador'', chaîne [[YouTube|Youtube]], 9 septembre 2022.
* [https://www.dailymotion.com/video/x6qc26_le-theoreme-de-fermat-p1_tech Un documentaire télévisé de vulgarisation] de [[Simon Singh]]
* {{en}} [http://www.scienceandreason.net/flt/flt01.htm ''The Mathematics of Fermat's Last Theorem''], un réseau de sites permettant une approche complète de la démonstration de Wiles.

{{portail|théorie des nombres|Histoire des sciences}}

[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Fermat-Wiles]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Fermat-Wiles]]
[[Catégorie:Arithmétique modulaire]]
[[Catégorie:Conjecture démontrée|Fermat]]
[[Catégorie:Pierre de Fermat]]