Voir la source de Diagramme de Penrose-Carter

[[Fichier:Penrose diagram.svg|vignette|droite|250px|Diagramme de Penrose d'un [[espace de Minkowski]] infini. <br /> Deux dimensions d'espace ont été éliminées et la dimension (spatiale) infinie est représentée sur un segment (fini) horizontal. L'axe temporel est vertical.]]
Un '''diagramme de Penrose-Carter'''{{sfn|Barrau|Grain|2016|p=184}}{{,}}{{sfn|Smerlak|2016}}{{,}}{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}} est un [[diagramme]] bidimensionnel utilisé, en [[relativité générale]], pour faciliter l'étude des propriétés [[Causalité (physique)|causales]] d'un [[espace-temps]]{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}}.

Ils sont une façon de représenter plusieurs [[métrique (physique)|métrique]]s spatio-temporelles (solutions de l'[[équation d'Einstein]]) en supprimant systématiquement deux dimensions d'espace : la figure résultante est donc plane, représentable facilement dans le [[espace euclidien|plan euclidien]] (c'est-à-dire une banale feuille de papier).

== Histoire ==
Les diagrammes de Penrose-Carter sont ainsi désignés en l'honneur de [[Roger Penrose]] et de [[Brandon Carter]] qui les ont introduits indépendamment{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}} dans les [[années 1960]].

D'après Penrose{{sfn|Penrose|2007|loc={{p.|710}}, {{n.|38}}}}, celui-ci en fit usage, pour la première fois, lors d'une conférence à [[Varsovie]] en {{date|juillet 1962}}{{sfn|Penrose|1964}} mais c'est Carter qui introduisit la notion de {{citation|diagrammes conformes stricts}} en {{date|1966}}{{sfn|id=Carter 1966a|texte=Carter 1966a}}{{,}}{{sfn|id=Carter 1966b|texte=Carter 1966b}}.

== Présentation ==
Sur un diagramme de Penrose-Carter{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}} :
* toute ligne horizontale est du [[Genre (relativité)|genre espace]],
* toute ligne verticale est du [[Genre (relativité)|genre temps]],
* la lumière se déplace sur des droites inclinées à 45°.

Un diagramme de Penrose-Carter représente divers infinis dits ''infinis conformes''{{sfn|Leygnac|2004|p=15}}. Ils y sont {{page h'|Notation|notés}} par la [[Lettre (alphabet)|lettre]] ''[[I (lettre)|i]]'' {{incise|[[Initiale (lettre)|initiale]] de l'[[anglais]] {{langue|en|''infinity''}} (« infini »)}} suivie, en [[Exposant (typographie)|exposant]], de 0, + ou –, correspondant respectivement au [[zéro]], au [[Signes plus et moins|signe ''plus'']] et au [[Signes plus et moins|signe ''moins'']]{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}}{{,}}{{sfn|Leygnac|2004|p=15}}. Les ''infinis conformes'' représentés par un point sont notés par un ''i'' ; les autres, par un ''i'' en [[Scripte (typographie)|police scripte]], dit ''scri''{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}}. Les exposants + et – dénotent respectivement le futur et le passé{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}}.
* le point <math>i^0</math> est l'''infini du genre espace''{{sfn|Leygnac|2004|p=15}}, ou ''infini spatial''{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}},
* le point <math>i^+</math> est l'''infini futur du genre temps''{{sfn|Leygnac|2004|p=15}}, ou ''infini temporel futur''{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}},
* le point <math>i^-</math> est l'''infini passé du genre temps''{{sfn|Leygnac|2004|p=15}}, ou ''infini temporel passé''{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}},
* <math>\mathcal{I}^+</math> est l'''infini futur du genre lumière''{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}}{{,}}{{sfn|Leygnac|2004|p=15}},
* <math>\mathcal{I}^-</math> est l'''infini passé du genre lumière''{{sfn|id=Taillet 2013|texte=Taillet {{et al.}} 2013|loc={{s.v.}}diagramme de Penrose-Carter|p=191}}{{,}}{{sfn|Leygnac|2004|p=15}}.

== Cas de l'espace de Schwarzschild ==
[[Image:Diagramme Penrose Kruskal.png|vignette|gauche|250px|Diagramme de Penrose d'un espace de Schwarzschild.]]
La figure à gauche montre la représentation d'un espace de Schwarzschild correspondant à un [[trou noir]] statique (pas de rotation, ni de charge). La coordonnée verticale nommée « u » est temporelle, alors que la coordonnée horizontale « v » est spatiale. Le diagramme de Penrose est conforme, c'est-à-dire que les géodésiques de genre nul (lignes de lumière) correspondent aux demi-[[première bissectrice|première et deuxième bissectrices]] « hautes ».

Dans ce [[système de coordonnées]], dérivé de celui de Kruskal, nous avons :

:<math> ds^2=\frac{32 M^3}{r} \frac{e^{-\frac{r}{2M}}(-du^2+dv^2)}{4 \cos^2 \frac {1}{2}(u+v) \cos^2 \frac {1}{2} (u-v)} + r^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2) </math>

Le diagramme fait donc abstraction des deux coordonnées sphériques <math> \theta </math> et <math> \phi </math>. Les cônes de lumières délimités par les géodésiques nulles (ds² = 0) correspondent à du² = dv², donc {u = v} ou {u = -v}, c'est-à-dire les premières et deuxièmes bissectrices.

En partant de la gauche, deux droites (première et seconde bissectrices) divergent : la droite du bas, nommée I-, représente « l'infini du passé », là d'où proviennent tous les mobiles qui viennent de l'infiniment lointain ; la droite du haut, I+, correspond à « l'infini de l'avenir », et représente le lieu vers où se dirigent tous les mobiles qui s'éloignent à jamais du trou noir. Les deux droites horizontales et parallèles représentent la singularité (dans le passé et dans l'avenir), située en r = 0. Le diagramme est symétrique par rapport à la verticale. En pointillés, on a représenté l'horizon du trou noir, situé (en unités convenables) à r = 2M.

On peut donc distinguer quatre régions, suivant leur couleur :

# Les zones de fond blanc correspondent à notre espace-temps, celles de fond marron à un espace-temps « miroir » ;
# Les zones de fond clair sont dans l'espace « classique », les zones grisées à l'intérieur des horizons respectifs des singularités.

La singularité du passé (en bas de la figure) et l'espace « symétrique » situé à droite sont généralement considérés comme des artefacts mathématiques sans réalité physique. Ils sont de toute façon impossibles à atteindre. La singularité du passé se comporte comme un « [[trou blanc]] », à savoir une zone de répulsion gravitationnelle infinie : aucun mobile extérieur ne peut l'approcher en deçà de son horizon, et tout ce qui se trouve crée à l'intérieur est expulsé — soit dans notre univers « normal » (à gauche), soit dans l'univers « miroir » (à droite).

Il est loisible d'identifier les « losanges » droite et gauche, ce qui revient à interpréter l'univers « miroir » comme une réplique mathématique de notre univers « normal ». Si l'on identifie en outre les singularités du haut et du bas, on arrive à un modèle physique où un trou noir éternel avale de la matière, rejetée dans un ailleurs spatio-temporel sous la forme de trou blanc.

=== Étude cinématique dans le diagramme de Penrose ===
En vert, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui reste à distance du trou noir. Il émerge de I-, reste constamment dans son [[cône de lumière]] matérialisé par le « V » en pointillés (l'ensemble de ses vitesses permises, c'est-à-dire telles que |v| < c), puis atteint l'infini de l'avenir.

En rouge, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui arrive de l'infini, se rapproche du trou noir puis dépasse l'horizon. On voit aisément qu'une fois au-delà de la droite r = 2M, en raison de la forme des cônes de lumière, quelle que soit la vitesse ultérieure du mobile, il ne peut que finir sur la singularité matérialisée par la droite du haut.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
{{...}}
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Yannis |nom1=Bardoux |titre=Trous noirs dans des théories modifiées de la gravitation |éditeur= |nature ouvrage=thèse de doctorat en physique théorique, préparée, sous la direction de Christos Charmousis, dans le cadre de l'École doctorale de physique de la région parisienne, en partenariat avec le [[Laboratoire de physique théorique d'Orsay]], et soutenue le {{date-|24 septembre 2012}} à l'[[Université Paris-Sud|université Paris-{{XI}} – Paris-Sud]] |année=2012 |mois=octobre |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{VIII}}-189 |format livre={{unité|30|cm}} |isbn= |oclc=819163276 |bibcode=2012PhDT........17B |arxiv=1211.0038 |sudoc=164384375 |présentation en ligne=http://www.theses.fr/2012PA112184 |lire en ligne=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00737357/document |consulté le=3 décembre 2017 |libellé=Bardou 2012}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Aurélien |nom1=Barrau |lien auteur1=Aurélien Barrau |prénom2=Julien |nom2=Grain |titre=Relativité générale |sous-titre=cours et exercices corrigés |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] |collection=Sciences Sup |lieu=Malakoff et Paris |série=Physique |année=2016 |mois=août |numéro d'édition=2 |année première édition={{date-|août 2011}} |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{VIII}}-231 |format livre={{unité|24|cm}} |passage={{nobr|sect. 8.4}} (« Un peu plus loin »), {{§|8.4.3}} (« Structure causale »), {{p.|183-184}} |isbn=978-2-10-074737-5 |ean=9782100747375 |oclc=958388884 |bnf=45101424p |sudoc=195038134 |présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 |lire en ligne={{Google Livres|id=3erZDAAAQBAJ}} |consulté le=2 décembre 2017 |numéro chapitre=8 |titre chapitre=Trous noirs |libellé=Barrau et Grain 2016}}.
* {{Article |langue=en |prénom=Brandon |nom=Carter |lien auteur=Brandon Carter |titre=Complete analytic extension of the symmetry axis of Kerr's solution of Einstein's equations |périodique=[[Physical Review]] |volume=141 |numéro=4 |mois=janvier |année=1966 |pages=1242-1247 |doi=10.1103/PhysRev.141.1242 |résumé=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.141.1242 |consulté le=2 décembre 2017 |id=Carter 1966a |libellé=Carter 1966a}}.
* {{Article |langue=en |prénom=Brandon |nom=Carter |lien auteur=Brandon Carter |titre=The complete analytic extension of the Reissner-Nordström metric in the special case ''e''{{exp|2}} = ''m''{{exp|2}} |périodique=[[Physics Letters A|Physics Letters]] |volume=21 |numéro=4 |mois=juin |année=1966 |pages=423-424 |doi=10.1016/0031-9163(66)90515-4 |bibcode=1966PhL....21..423C |résumé=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0031916366905154 |consulté le=2 décembre 2017 |id=Carter 1966b |libellé=Carter 1966b}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Cédric |nom1=Leygnac |titre=Trous noirs non asymptotiquement plats |éditeur= |nature ouvrage=thèse de doctorat en physique théorique, préparée, sous la direction de Gérard Clément, dans le cadre du Laboratoire d'Annecy-le-Vieux de physique théorique, et soutenue à l'[[Université Claude-Bernard-Lyon-I|université Lyon-{{I}} – Claude-Bernard]] le {{date-|14 juin 2004}} |année=2004 |mois=septembre |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 129 |format livre={{unité|30|cm}} |isbn= |oclc=493204651 |bibcode=2004gr.qc.....9040L |arxiv=gr-qc/0409040 |sudoc=082117144 |présentation en ligne=http://www.theses.fr/2004LYO10073 |lire en ligne=https://tel.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/47017/filename/tel-00006633.pdf |consulté le=3 décembre 2017 |libellé=Leygnac 2004}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Jean-Pierre |nom1=Luminet |lien auteur1=Jean-Pierre Luminet |prénom2=Marc |nom2=Lachièze-Rey |lien auteur2=Marc Lachièze-Rey |titre=De l'infini |sous-titre=horizons cosmiques, multivers et vide quantique |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] |collection=Quai des sciences |lieu=Malakoff et Paris |année=2016 |mois=septembre |numéro d'édition=2 |année première édition={{date-|octobre 2005}} |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 235-{{VIII}} |format livre={{dunité|14|22|cm}} |passage={{§|17}} (« Horizons cosmiques »), {{p.|60-73}} |isbn=978-2-10-073838-0 |ean=9782100738380 |oclc=958876144 |bnf=45109797n |sudoc=195229045 |présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/infini-horizons-cosmiques-multivers-et-vide-quantique |lire en ligne={{Google Livres|id=48H8DAAAQBAJ}} |consulté le=12 janvier 2018 |numéro chapitre={{1er}} |titre chapitre=L'infini du ciel |libellé=Luminet et Lachièze-Rey 2016}}.
* {{Chapitre |langue=en |prénom=Roger |nom=Penrose |lien auteur=Roger Penrose |titre=The light cone at infinity |auteur ouvrage=[[Leopold Infeld]] (éd.) |titre ouvrage=
Relativistic theories of gravitation : proceedings of a conference held in Warsaw and Jablonna, Poland, July 25-31, 1962 |lieu=Oxford, Paris et Varsovie |éditeur=[[Pergamon Press]], [[Gauthier-Villars]] et [[w:en:Polish Scientific Publishers PWN|PWN]] |année=1964 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XVIII}}-379 |format={{unité|24|cm}} |sudoc=012563064 |consulté le=2 décembre 2017 |passage=369-373 |libellé=Penrose 1964}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |langue originale=en |prénom1=Roger |nom1=Penrose |lien auteur1=Roger Penrose |traducteur=de l'anglais par Céline Laroche |titre=À la découverte des lois de l'univers |sous-titre=la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique |titre original={{langue|en|texte=The road to reality : a complete guide to the laws of the universe}} |éditeur=[[Éditions Odile Jacob|O. Jacob]] |collection=Sciences |lieu=Paris |année=2007 |mois=août |numéro d'édition=1 |réimpression={{date-|2008}} et {{date-|2010}} |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XXII}}-1061 |format livre={{unité|24|cm}} |isbn=978-2-7381-1840-0 |ean=9782738118400 |oclc=209307388 |bnf=41131526q |sudoc=118177311 |présentation en ligne=https://www.odilejacob.fr/catalogue/sciences/astronomie-astrophysique-cosmologie/a-la-decouverte-des-lois-de-l-univers_9782738118400.php |lire en ligne={{Google Livres|id=E1k-SRvzrM8C}} |consulté le=2 décembre 2017 |libellé=Penrose 2007}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Matteo |nom1=Smerlak |titre=Les trous noirs |éditeur=[[Presses universitaires de France]] |collection=[[Que sais-je ?]] |lieu=Paris |numéro dans collection=4003 |année=2016 |mois=mars |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 126 |format livre={{unité|18|cm}} |passage={{nobr|sect. 2}} (« Implosion gravitationnelle »), {{§|3}} (« Diagrammes des Penrose-Carter ») |isbn=978-2-13-063009-8 |ean=9782130630098 |oclc=946571004 |bnf=45015423b |sudoc=192516817 |présentation en ligne=https://www.puf.com/content/Les_trous_noirs |lire en ligne={{Google Livres|id=rePZCwAAQBAJ}} |consulté le=3 décembre 2017 |numéro chapitre=2 |titre chapitre=Qu'est-ce qu'un trou noir ? |libellé=Smerlak 2016}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Richard |nom1=Taillet |prénom2=Loïc |nom2=Villain |prénom3=Pascal |nom3=Febvre |titre=Dictionnaire de physique |éditeur=[[De Boeck Supérieur]] |lieu=Bruxelles |année=2013 |mois=février |numéro d'édition=3 |année première édition={{date-|mai 2008}} |réimpression=2015 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{X}}-899 |format livre={{unité|24|cm}} |isbn=978-2-8041-7554-2 |oclc=842156166 |bnf=435416710 |sudoc=167932349 |lire en ligne={{Google Livres|id=BKOqDgAAQBAJ}} |consulté le=1 décembre 2017 |id=Taillet 2013 |libellé=Taillet {{et al.}} 2013}}.

=== Articles connexes ===
* [[Diagramme de Minkowski]]
* [[Cosmologie cyclique conforme]]

=== Liens externes ===
* {{EDAA|id=Penrose-Carter+diagram|nom en=Penrose-Carter diagram|nom fr=diagramme de Penrose-Carter}}

{{Palette|Relativité}}
{{Portail|mathématiques|cosmologie}}

[[Catégorie:Géométrie lorentzienne]]
[[Catégorie:Diagramme|Penrose]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Relativité générale]]