Voir la source de Diamètre

{{Voir homonymes|Diamètre (homonymie)}}{{Confusion|Ensemble vide|Ø}}
[[Fichier:Diameter.png|thumb|Diamètre d'un cercle.]]
La notion de '''diamètre''' concerne initialement les [[Figure (géométrie)|figures]] simples de la [[géométrie euclidienne]] que sont le [[cercle]] et la [[sphère]] mais la notion s'élargit par analogie à plusieurs autres objets géométriques.

== Diamètre d'un cercle ou d'une sphère ==
Dans un [[cercle]] ou une [[sphère]], le '''diamètre''' est un [[Segment (mathématiques)|segment]] de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la [[longueur]] de ce segment.

Le diamètre d'un objet cylindrique ou sphérique est appelé '''module'''<ref>{{CNRTL|module|A, 2, a}} (consulté le 21 mai 2016).</ref>.

En [[dessin technique]], la valeur indiquant un diamètre est précédée par le symbole « '''⌀''' » ([[Table des caractères Unicode/U2300|U+2300]]) représentant un cercle barré. S'il s'agit d'une sphère, ce symbole est précédé par la lettre [[S (lettre)|S]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=ISO 129-1:2018 Documentation technique de produits — Représentation des dimensions et tolérances|sous-titre=Partie 1: Principes généraux|éditeur=Organisation internationale de normalisation (ISO)|année=2018|pages totales=69|passage=30|lire en ligne=https://www.iso.org/fr/standard/64007.html|accès url=payant|consulté le=18 novembre 2024|numéro chapitre=7.4|titre chapitre=Sphères}}</ref>.
Ce symbole ⌀ ([[Table des caractères Unicode/U2300|U+2300]]) se dactylographie sur PC avec Windows par la combinaison 2300 [[Touche alt|Alt]]+x. Il ne faut pas le confondre avec le symbole ∅ ([[Table des caractères Unicode/U2200|U+2205]]), servant à désigner l'[[ensemble vide]], ni avec les lettres ø et [[Ø]] (obtenues avec la combinaison [[Touche alt|Alt]]+0246 et [[Touche alt|Alt]]+0216) utilisées dans certains alphabets.

== Diamètre d'un ensemble de points ==
On remarque que le diamètre (en tant que distance) d'un cercle ou d'une sphère est la plus grande distance séparant deux points du cercle ou de la sphère. 

Par analogie on appelle, dans un [[espace métrique]] {{math|(''E'', ''d'')}}, '''diamètre''' d'une partie non vide {{math|''A''}} la [[borne supérieure]] (dans l'[[ensemble ordonné]] [[Droite réelle achevée|{{math|<nowiki>[</nowiki>–∞, +∞<nowiki>]</nowiki>}}]]) des [[Distance (mathématiques)|distances]] entre deux points de {{math|''A''}} :
<center>
<math>{\rm diam}(A)=
\sup\;\{d(a,b)\mid a\in A ,~b\in A\}.
</math>
</center>
Ainsi, le diamètre d'une partie non vide est un [[Nombre réel|réel]] [[Nombre positif|positif]] si cette partie est [[Partie bornée|bornée]] et vaut {{math|+∞}} sinon<ref name=Bourbaki/>{{,}}<ref name=Ramis/>.

;Exemples
:*Dans le [[plan euclidien]], le diamètre d'un [[rectangle]] est la longueur d'une [[diagonale]].
:*Les parties non vides de diamètre nul sont les [[Singleton (mathématiques)|singletons]]<ref name=Bourbaki/>.
:*Le diamètre d'un triangle équilatéral est la longueur d'un de ses côtés. Une figure de diamètre ''d'' ne peut pas toujours être placée à l'intérieur d'un cercle de rayon ''d''/2 comme le prouve le cas du triangle équilatéral.

;Propriétés
:*Les ensembles <math>A</math> et <math>\bar{A}</math> ([[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de <math>A</math>) ont même diamètre<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Dixmier]]|titre=Topologie générale|passage=66, 74|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|date=1981}}.</ref>.
:*([[Théorème des fermés emboîtés]]) Dans un [[Espace complet|espace métrique complet]], pour toute suite décroissante <math>(F_n)</math> de [[Fermé (topologie)|fermés]] non vides dont le diamètre tend vers zéro, l'intersection des <math>F_n</math> est un [[Singleton (mathématiques)|singleton]].

;Diamètre du vide
:Certains auteurs<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Mícheál Ó Searcóid|titre=Metric Spaces|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2006|page=21|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|aP37I4QWFRcC|page=21}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=S. C. Sharma|titre=Metric Space|éditeur=Discovery Publishing House|année=2006|page=156|lire en ligne={{Google Livres|L_A3HbGYQ0cC|page=156}}}}.</ref> étendent la définition formelle ci-dessus au cas de la [[Ensemble vide|partie vide]] — ce qui donne {{math|1=diam(∅) = [[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|sup(∅) = –∞]]}} — mais la plupart préfèrent s'abstenir de considérer ce cas<ref name=Bourbaki>{{Bourbaki-Topologie}} [https://books.google.fr/books?id=V9LEtm53D0QC&pg=SL267-PA14 {{p.|IX.14}}].</ref> ou poser, par convention<ref name=Ramis>{{Ouvrage|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|titre=Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence|volume=2|éditeur=[[Dunod]]|année=2020|numéro d'édition=3|année première édition=2007|page=474|lire en ligne={{Google Livres|_ujMDwAAQBAJ|page=474}}}}.</ref>, {{math|1=diam(∅) = 0}}, ce qui revient à définir le diamètre d'une partie quelconque comme une borne supérieure non pas dans {{math|<nowiki>[</nowiki>–∞, +∞<nowiki>]</nowiki>}} mais dans {{math|<nowiki>[</nowiki>0, +∞<nowiki>]</nowiki>}}.

En [[astronomie]], à la notion de diamètre on peut associer celle de [[diamètre apparent]]. Le diamètre apparent est alors homogène à un angle et se mesure en degrés ou en radians.

== Diamètre d'une courbe algébrique plane ==

=== Diamètre d'une conique ===
On remarque que, si l'on coupe un cercle par un ensemble de droites de même direction et que, pour chacune d'entre elles, on construit le milieu des deux points d'intersection, ces milieux se trouvent tous sur un même diamètre.

Cette propriété se vérifie pour toute [[conique]] : si l'on coupe une conique par un ensemble de droites de même direction et que, pour chacune d'entre elles, on construit le milieu des deux points d'intersection, ces milieux se trouvent tous sur une même droite. Par analogie avec le cas du cercle, on a donné à cette droite le nom de diamètre de la conique relativement à la direction des droites parallèles. On trouve aussi le diamètre défini comme une portion de droite : le lieu des milieux des cordes parallèles à une même direction<ref>Article '''Conique''' de ''[[La Grande Encyclopédie]] de [[Henri Lamirault]], 1885-1902,, Tome 12, p. 434([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k24647n/f442.vertical.r=12%2012 Lire en ligne)]</ref>. 

Pour les coniques à centre, ces diamètres passent par le centre de la conique. On appelle «diamètres conjugués» deux diamètres dont l'un est le diamètre relatif à la direction définie par l'autre diamètre. Les diamètres conjugués orthogonaux sont les axes de symétrie de la conique.

=== Théorème de Newton ===
[[Isaac Newton]] a observé, en 1706, que cette propriété se généralise à des courbes algébriques de degré supérieur<ref> [[Michel Chasles]], ''Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie'', Mémoires de l'Académie Royales des sciences et belles-lettres de Bruxelles, T. XI, 1837, p. 144 ([https://books.google.fr/books?id=4LdeAAAAcAAJ&pg=PA144 lire en ligne])</ref>. C'est le [[théorème de Newton sur les diamètres]] : si l'on coupe une courbe algébrique de degré ''n'' par un ensemble de droites de même direction rencontrant la courbe en ''n'' points et que, pour chacune d'entre elles, on construit l'[[barycentre#Définition|isobarycentre]] des ''n'' points d'intersection, ces isobarycentres se trouvent tous sur une même droite.

On appelle cette droite diamètre conjugué à la direction des droites parallèles.

=== Diamètre selon Lebesgue ===
[[Henri Lebesgue]], en 1921, travaille dans une autre direction avec une définition différente. Observant que le diamètre d'une conique est un axe de [[Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie oblique|symétrie oblique]] de celle-ci, il appelle diamètre d'une courbe algébrique plane tout axe de symétrie oblique de celle-ci et il fait une classification des diamètres des courbes algébriques de degré ''m''<ref>Henri Lebesgue, «Sur les diamètres rectilignes des courbes algébriques planes», Bulletin de la S.M.F., tome 49 (1921), p. 109-150, ([http://www.numdam.org/article/BSMF_1921__49__109_0.pdf lire en ligne])</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
{{autres projets|wiktionary=diamètre|wiktionary2=⌀}}
*{{Lien|lang=de|trad=Borsuk-Vermutung|Conjecture de Borsuk}}
* [[Diamètre (théorie des graphes)]]
* [[Rayon (géométrie)|Rayon]]
*[[Théorème de Jung]]

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Cercle et sphère]]