Voir la source de Difféomorphisme

En [[mathématiques]], un '''difféomorphisme''' est un [[isomorphisme]] dans la catégorie usuelle des [[Variété différentielle|variétés différentielles]] : c'est une [[bijection]] [[Variété différentielle#Applications différentiables|différentiable]] d'une variété dans une autre, dont la [[bijection réciproque]] est aussi différentiable.
[[Fichier:Diffeomorphism of a square.svg|vignette|Image d'une grille à maille carrée par un difféomorphisme du carré dans lui-même.]]

== Difféomorphisme entre ouverts de ℝ<sup>''n''</sup> ==
Soient :
* ''E'' et ''F'' deux [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] [[Nombre réel|réels]] [[espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]] ;
* ''U'' un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] de ''E'', ''V'' un ouvert de ''F'' ;
* ''f'' une [[Application (mathématiques)|application]] de ''U'' dans ''V''.
On dit que ''f'' est un ''difféomorphisme'' si les trois propriétés suivantes sont vérifiées :
# ''f'' est [[bijective]] ;
# ''f'' est [[différentiable]] sur ''U'' ;
# sa [[Bijection réciproque|réciproque]] est différentiable sur ''V''.

S'il existe un tel ''f'' (avec ''U'' et ''V'' non vides), alors ''E'' et ''F'' sont [[Isomorphisme|isomorphes]], donc de même [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]].

On peut remarquer que les hypothèses sont légèrement redondantes. En effet, d'après le [[théorème de l'invariance du domaine]], si ''U'' est un ouvert non vide de ℝ<sup>''n''</sup> et ''f'' : ''U'' → ℝ<sup>''m''</sup> une [[Injection (mathématiques)|injection]] [[continue]], et si ''m ≤ n'', alors ''m = n'', ''f''(''U'') est ouvert, et ''f'' est un [[homéomorphisme]] entre ''U'' et ''f''(''U'').

Pour 1 ≤ ''k'' ≤ ∞, un ''C<sup>k</sup>-difféomorphisme'' est une fonction [[Classe de régularité|de classe ''C<sup>k</sup>'']], bijective, et dont la réciproque est également de classe ''C<sup>k</sup>''.

== Difféomorphisme entre variétés ==
{{Article détaillé|Variété différentielle#Applications différentiables{{!}}Application différentiable d'une variété dans une autre}}
De même qu'entre ouverts de ℝ<sup>''n''</sup>,
* un difféomorphisme entre deux variétés est une bijection bi-différentiable,
* un ''C<sup>k</sup>''-difféomorphisme est un difféomorphisme qui est de [[Classe de régularité#Domaine en dimension n = 1|classe ''C<sup>k</sup>'']] ainsi que son inverse,
* deux variétés difféomorphes ont nécessairement même dimension.

== Difféomorphisme local ==

=== Définition ===
Un {{Lien|langue=en|trad=Local diffeomorphism|fr=difféomorphisme local}} est une application ''f'' : ''M'' → ''N'' d'une variété dans une autre telle que pour tout point ''m'' de ''M'', il existe un voisinage ouvert ''U'' de ''m'' dans ''M'' tel que ''f''(''U'') soit ouvert dans ''N'' et que la restriction de ''f'', de ''U'' sur ''f''(''U''), soit un difféomorphisme.

=== Caractérisation ===
Si ''f'' : ''M'' → ''N'' est un difféomorphisme local alors, pour tout point ''m'' de ''M'', l'[[application linéaire]] ''T<sub>m</sub>f'' : ''T<sub>m</sub>M'' → ''T''<sub>''f''(''m'')</sub>''N'' (différentielle de ''f'' au point ''m'') est un isomorphisme (ceci implique que ''M'' et ''N'' ont même dimension, et revient alors, en [[Carte locale|coordonnées locales]], à dire que le [[jacobien]] de ''f'' en ''m'' est non nul, ou encore, que les parties linéaires des [[Approximation affine|approximations affines]] des différentes composantes de ''f'' sont [[Indépendance linéaire|linéairement indépendantes]]). D'après le [[théorème d'inversion locale]], la réciproque est vraie dès que ''f'' est de classe ''C''{{1}}.

=== [[Passage du local au global]] ===
Un difféomorphisme local est un difféomorphisme (global) si et seulement s'il est bijectif. Dans le cas des [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions numériques]] entre [[Intervalle (mathématiques)|intervalles]], le [[théorème de la bijection]] assure que tout ''C<sup>k</sup>''-difféomorphisme local d'un intervalle réel sur un autre est un ''C<sup>k</sup>''-difféomorphisme (global). Ce résultat élémentaire se généralise aux dimensions supérieures et aux variétés sous la forme suivante :{{ancre|Théorème de Hadamard-Lévy}}
{{Théorème|Si la variété ''M'' est [[Connexité (mathématiques)|connexe]] et si la variété ''N'' est connexe et [[simplement connexe]], alors tout difféomorphisme local [[Application propre|propre]] ''f'' : ''M'' → ''N'' est un difféomorphisme.|style=display:table}}
En effet, tout difféomorphisme local est une [[application ouverte]] et toute application continue et propre d'une variété dans une autre est [[Applications ouvertes et fermées|fermée]]. Par connexité de ''N'', ces deux propriétés assurent que ''f'' est un [[Revêtement (mathématiques)|revêtement]]<ref name=Jaclaf>J. Lafontaine, « [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fgrenoble-sciences.ujf-grenoble.fr%2Fpap-ebooks%2Flafontaine%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2Fpdf%2FCP3_1.pdf Construction de difféomorphismes] » ([http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebooks/lafontaine/ complément web] de : {{Ouvrage|auteur1=Jacques Lafontaine|titre=Introduction aux variétés différentielles|année=2010|id=Lafontaine 2010|référence simplifiée=Référence:Introduction aux variétés différentielles (Lafontaine)}}).</ref>{{,}}<ref>Le [[théorème d'Ehresmann]] généralise ce résultat.</ref>. Par simple connexité de ''N'', ce revêtement est trivialisable<ref>{{harvsp|Lafontaine 2010|p={{Google Livres|yCVxBtd3dbUC|page=83|83}}}}.</ref> donc par connexité de ''M'', ''f'' est un difféomorphisme.

L'hypothèse de simple connexité est cruciale. Par exemple, l'application ''z'' ↦ ''z''{{2}}, de [[Nombre complexe|'''C''']]* dans lui-même, est un ''C''<sup>∞</sup>-difféomorphisme local (son jacobien en ''z'' est égal à 4|''z''|{{2}} donc n'est jamais nul) mais n'est pas injective (c'est un 2-revêtement).

Le cas particulier ''M = N'' = ℝ<sup>''n''</sup><ref name=Jaclaf/>{{,}}<ref>« [http://dyna.maths.free.fr/docs/lecons/developpement_analyse_548.pdf Théorème de Hadamard-Lévy] » (développement de leçon d'[[agrégation de mathématiques]]) sur dyna.maths.free.fr.</ref> et une généralisation aux [[Espace de Banach|espaces de Banach]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=Roy Plastock|titre=[http://www.ams.org/journals/tran/1974-200-00/S0002-9947-1974-0356122-6/S0002-9947-1974-0356122-6.pdf Homeomorphisms between Banach spaces]|revue=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]|année=1974|volume=200|p.=169-183}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Melvyn S. Berger|titre=Nonlinearity and functional analysis|sous-titre=lectures on nonlinear problems in mathematical analysis|éditeur=Academic Press|lieu=New York|année=1977|page=222|isbn=978-0-12-090350-4|lire en ligne={{Google Livres|FYfJZ_mFybAC|page=222}}}}.</ref> sont connus sous le nom de ''théorème de [[Hadamard]]-[[Paul Lévy (mathématicien)|Lévy]]''.

== Exemples ==
* Tous les [[Intervalle réel|intervalles réels]] ouverts non vides sont difféomorphes<ref>{{harvsp|Lafontaine 2010|p={{Google Livres|yCVxBtd3dbUC|page=21|21}}}}.</ref>.
* L'application ''x'' ↦ ''x''{{3}}, de classe ''C''<sup>∞</sup>, est un homéomorphisme de ℝ dans ℝ mais pas un difféomorphisme, car sa dérivée en 0 est nulle<ref>{{harvsp|Lafontaine 2010|p={{Google Livres|yCVxBtd3dbUC|page=22|22}}}}.</ref>.

* Posons <math>f(x,y)=(x^2+y^3,x^2-y^3)</math>. La [[matrice jacobienne]] de <math>f</math> en tout point <math>(x,y)</math> est :<center><math>J_f(x,y)=\begin{pmatrix}2x&3y^2\\2x&-3y^2\end{pmatrix}</math>.</center>
Le [[Calcul du déterminant d'une matrice#Dimension 2|déterminant de cette matrice]] est nul si et seulement si <math>x</math> ou <math>y</math> est nul. Par conséquent, la restriction de <math>f</math> au plan privé de ces deux axes est un difféomorphisme local. Mais cette restriction n'est pas [[Injection (mathématiques)|injective]] puisque <math>f(x,y)=f(-x,y)</math>, ni [[surjective]] puisque si <math>(u,v)=f(x,y)</math> alors <math>u+v>0</math>.

* <math>\Phi (x,y):=(x+y^2,y),d\Phi=\begin{bmatrix} 1 & 2y \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, |d\Phi|=1</math>. Ici, <math>\Phi^{-1}(x,y)=(x-y^2,y)</math>.

== Groupe des difféomorphismes ==
Le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des difféomorphismes d'une variété ''M'' de classe ''C<sup>k</sup>'' est le groupe des ''C<sup>k</sup>''-difféomorphismes de ''M'' dans ''M''. On le note Diff <sup>''k''</sup>(''M''), ou Diff(''M'') quand ''k'' est implicite. Il est « gros », au sens où il n'est pas [[Espace localement compact|localement compact]] (sauf si ''M'' est de dimension 0).

Les composantes connexes de ce groupe sont les [[difféotopie]]s de la variété (qui composent son ''{{lang|en|mapping class group}}'').

=== Topologies ===
Le groupe des difféomorphismes a deux [[Espace topologique|topologies]] naturelles, la « faible » et la « forte »<ref>{{Hirsch}}.</ref>.

La ''topologie faible'' sur le groupe des difféomorphismes est la « [[Topologie compacte-ouverte#Variante pour les applications Fréchet-différentiables|topologie compacte-ouverte]] » au sens de la [[convergence uniforme]] sur tout compact de la fonction et de ses dérivées jusqu'à l'ordre ''k''. Elle est [[Espace métrisable|métrisable]] (par [[Glossaire de topologie#Axiomes de recouvrement|σ-compacité]] de ''M'').

Le groupe des difféomorphismes, muni de sa topologie faible, est [[Propriété locale|localement]] [[homéomorphe]] à l'espace des [[champs de vecteurs]] de classe ''C<sup>k</sup>''<ref>{{Article|lang=en|auteur=J. A. Leslie|titre=On a differential structure for the group of diffeomorphisms|année=1967|revue=[[Topology (périodique)|Topology]]|vol=6|p.=263-271|numéro=2|doi=10.1016/0040-9383(67)90038-9}}.</ref>, via les [[Application exponentielle#Géométrie riemannienne|applications exponentielles]] pour des [[métrique riemannienne|métriques riemanniennes]] locales arbitraires. Si ''k'' est fini et si ''M'' est compacte, cet espace des champs de vecteurs est de Banach et le groupe des difféomorphismes est une [[variété de Banach]]. Si ''k''&nbsp;=&nbsp;∞ ou si la variété est seulement σ-compacte, l'espace des champs de vecteurs et le groupe des difféomorphismes sont seulement [[Espace de Fréchet|de Fréchet]].

Lorsque la variété est [[Espace compact|compacte]], la ''topologie forte'' sur le groupe des difféomorphismes coïncide avec la faible. Lorsqu'elle ne l'est pas, la forte rend compte du comportement « à l'infini » des fonctions et n'est plus métrisable, mais elle est encore [[Théorème de Baire|de Baire]].

=== Exemples et sous-groupes ===
* Tout [[groupe de Lie]] ''G'' est naturellement inclus (par translation à gauche) dans son groupe des difféomorphismes, et Diff(''G'') est le [[produit semi-direct]] de ce sous-groupe par le sous-groupe Diff(''G'',''e'') des difféomorphismes qui fixent l'élément neutre ''e'' de ''G''.
* L'[[espace euclidien]] est un groupe de Lie. Son groupe des difféomorphismes a deux [[Connexité (mathématiques)#Composantes connexes|composantes connexes]] : les difféomorphismes qui préservent l'[[Orientation (mathématiques)#Orientabilité et orientation pour une variété|orientation]] et ceux qui la renversent. En fait, le [[groupe général linéaire]] est un [[Rétraction (topologie)|rétract fort par déformation]] de Diff(ℝ<sup>''n''</sup> ,0) (donc aussi de Diff(ℝ<sup>''n''</sup>)), par l'application qui à tout réel ''t'' de [0,1] et tout difféomorphisme ''f'' fixant 0 associe le difféomorphisme ''f<sub>t</sub>'' défini par : ''f<sub>t</sub>''(''x'') = {{nobr|''f''(''tx'')/''t''}} si ''t'' est non nul et ''f''<sub>0</sub> = ''f{{'}}''(0).
* Pour toute variété ''M'', on a une [[extension de groupes]] {{nobr|0 → Diff<sub>0</sub>(''M'') → Diff(''M'') → Σ(π<sub>0</sub>''M'')}}, où π<sub>0</sub>''M'' désigne l'ensemble des composantes connexes de ''M'', Diff<sub>0</sub>(''M'') est le sous-groupe des difféomorphismes qui fixent globalement chacune, et Σ désigne le [[groupe symétrique]]. De plus, l'image de Diff(''M'') dans Σ(π<sub>0</sub>''M'') est le sous-groupe de ''toutes'' les permutations qui préservent les classes de difféomorphisme des composantes connexes.

=== Transitivité ===
Pour une variété connexe ''M'', le groupe des difféomorphismes [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|agit transitivement]] sur ''M''. Il agit même transitivement sur la [[Espace de configuration#Espaces des configurations en mathématiques|variété des configurations]] ''C<sub>n</sub>M'' pour tout entier naturel ''n'' et, si la dimension de ''M'' est au moins 2, sur la variété des configurations ''F<sub>n</sub>M'' : l'action sur ''M'' est « multiplement transitive »<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Augustin Banyaga}}|titre=The structure of classical diffeomorphism groups|éditeur=Kluwer Academic|collection=Mathematics and its Applications|numéro dans collection=400|année=1997|passage=29|isbn=0-7923-4475-8}}.</ref>.

=== Prolongements ===
En 1926, [[Tibor Radó]] demanda si le [[Théorème de Radó (fonctions harmoniques)|prolongement harmonique]] de tout homéomorphisme (ou difféomorphisme) du [[cercle unité]] dans lui-même était un difféomorphisme du disque ouvert. Une preuve élégante fut fournie peu après par [[Hellmuth Kneser]] et une démonstration complètement différente fut découverte en 1945 par [[Gustave Choquet]], qui ignorait apparemment que ce théorème était déjà connu.

Le groupe Diff<sup>+</sup>(''S''{{1}}) des difféomorphismes orientés du cercle (i.e. les ''f'' qui préservent l'orientation) est [[connexe par arcs]], puisqu'ils se relèvent en les difféomorphismes orientés ''g'' de ℝ tels que {{nobr|1=''g''(''x'' + 1) = ''g''(''x'') + 1}} et que ces derniers forment un [[ensemble convexe]]. Un [[Chemin (topologie)|chemin]] [[Classe de régularité|lisse]] de ''f'' à l'identité, constant au voisinage de 1, donne un autre moyen de prolonger ''f'' en un difféomorphisme du disque unité ouvert (c'est un cas particulier de l'{{Lien|langue=en|trad=Alexander trick|fr=astuce d'Alexander}}). De plus, le groupe des difféomorphismes du cercle a le [[type d'homotopie]] du [[groupe orthogonal]] ''O''<sub>2</sub>.

Le problème de prolongement correspondant pour l'[[hypersphère]] ''S''<sup>''n''−1</sup> a été très étudié dans les années 1950 et 1960, notamment par [[René Thom]], [[John Milnor]] et [[Stephen Smale]]. Une [[Théorie de l'obstruction|obstruction]] est le [[groupe abélien fini]] Γ<sub>''n''</sub>, le « [[Sphère exotique#Sphères tordues|groupe des sphères tordues]] », défini comme le [[groupe quotient|quotient]] de π<sub>0</sub>Diff<sup>+</sup>(''S''<sup>''n''−1</sup>) — le groupe abélien des composantes connexes du groupe des difféomorphismes orientés — par le sous-groupe des composantes contenant des restrictions de difféomorphismes de la [[Boule (topologie)|boule]] ''B''<sup>''n''</sup>.

=== Connexité ===
Le ''[[mapping class group]]'' π<sub>0</sub>Diff<sup>+</sup>(''M'') d'une variété orientable ''M'' est généralement non [[groupe trivial|trivial]]. Si ''M'' est une [[Surface (géométrie)|surface]], ce groupe est [[Présentation d'un groupe#Définition formelle|de présentation finie]], engendré par les {{Lien|langue=en|trad=Dehn twist|fr=Twist de Dehn|texte=twists de Dehn}}<ref>{{refsou|date=novembre 2011|[[Max Dehn]], [[W. B. R. Lickorish]], [[Allen Hatcher]]}}.</ref>. [[Max Dehn]] et [[Jakob Nielsen (mathématicien)|Jakob Nielsen]] ont prouvé qu'il s'identifiait au [[Automorphisme intérieur#Groupe des automorphismes intérieurs|groupe des automorphismes extérieurs]] du [[groupe fondamental]] de la surface.

[[William Thurston]] a raffiné cette analyse en {{Lien|langue=en|trad=Nielsen–Thurston classification|fr=Classification de Nielsen-Thurston classification|texte=classifiant les éléments du ''mapping class group''}} en trois types : ceux équivalents à un difféomorphisme [[Système dynamique|périodique]], ceux équivalents à un difféomorphisme laissant invariante une [[courbe fermée]] simple, et ceux équivalents à un difféomorphisme {{Lien|langue=en|trad=Pseudo-Anosov map|fr=pseudo-Anosov}}. Dans le cas du [[tore]] ''S''{{1}}×''S''{{1}} = ℝ{{2}}/ℤ{{2}}, le ''mapping class group'' est simplement le [[groupe modulaire]] SL(2, ℤ) et la classification se ramène à [[Transformation de Möbius#Classification|celle des transformations de Möbius]] elliptiques, paraboliques et loxodromiques. Thurston réalisa cette classification en remarquant que le ''mapping class group'' agissait naturellement sur une [[Compactification (mathématiques)|compactification]] de l'[[espace de Teichmüller]] ; sur cet espace ainsi agrandi, homéomorphe à une boule fermée, le [[théorème du point fixe de Brouwer]] pouvait s'appliquer.

Smale conjectura que pour une variété ''M'' lisse, orientable, compacte et sans bord, π<sub>0</sub>Diff<sup>+</sup>(''M'') est un [[groupe simple]]. [[Michaël Herman]] démontra le cas particulier d'un produit de cercles et Thurston le cas général.

=== Types d'homotopie ===
* Le groupe des difféomorphismes de ''S''{{2}} a le [[type d'homotopie]] du sous-groupe [[Groupe orthogonal|''O''<sub>3</sub>]]<ref>{{en}} S. Smale, « Diffeomorphisms of the 2-sphere », dans ''[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]'', vol. 10, 1959, {{p.|621-626}}.</ref>.
* Celui du tore a le type d'homotopie de son sous-groupe d'automorphismes linéaires : (''S''{{1}}){{2}}×GL<sub>2</sub>(ℤ).
* Celui d'une [[surface orientable]] de [[Genre (mathématiques)|genre]] ''g'' > 1 a le type d'homotopie de son ''mapping class group'', c'est-à-dire que les composantes connexes sont [[Espace contractile|contractiles]].
* Le type d'homotopie des groupes des difféomorphismes de [[3-variété]]s est assez bien compris grâce aux travaux d'[[Oleg Ivanov (mathématicien)|Ivanov]], [[Allen Hatcher|Hatcher]], [[David Gabai|Gabai]] et [[J. Hyam Rubinstein|Rubinstein]] bien que quelques cas restent ouverts, en particulier parmi les {{Lien|langue=en|trad=Spherical 3-manifold|fr=3-variété sphérique|texte=3-variétés sphériques}}, c'est-à-dire dont le groupe fondamental est fini.
* En dimensions supérieures, on sait peu de choses. Par exemple, on ne sait pas si Diff(''S''{{4}}) a plus de deux composantes ; mais d'après les travaux de Milnor, Kahn et Antonelli, pour ''n'' supérieur ou égal à 7, Diff(''S<sup>n</sup>'') n'a pas le type d'homotopie d'un [[CW-complexe]] fini.

== Homéomorphisme et difféomorphisme ==
Il est facile (voir section « Exemples » [[#Exemples|ci-dessus]]) d'exhiber un homéomorphisme lisse qui n'est pas un difféomorphisme, mais plus difficile de trouver des variétés lisses qui sont [[homéomorphe]]s sans être difféomorphes. Il en existe seulement en dimension supérieure ou égale à 4.

Le premier exemple fut la [[sphère exotique]] de [[John Milnor|Milnor]], variété de dimension 7, homéomorphe mais non difféomorphe à la [[n-sphère|7-sphère]] standard. Il existe en fait (à difféomorphisme orienté près) 28 variétés homéomorphes à la 7-sphère (chacune est l'espace total d'un [[fibré]] en 3-sphères sur la 4-sphère).

Le cas des {{Lien|langue=en|trad=4-manifold|fr=4-variété|texte=variétés de dimension 4}} est encore plus pathologique. C'est au début des années 1980, en combinant des résultats de [[Simon Donaldson]] et [[Michael Freedman]], que furent découverts les {{Lien|langue=en|trad=Exotic R4|fr=R4 exotique|texte=ℝ{{4}} exotiques}} : il existe une famille non dénombrable d'ouverts de ℝ{{4}}, tous homéomorphes à ℝ{{4}} mais deux à deux non difféomorphes, et il existe aussi une famille non dénombrable de variétés homéomorphes à ℝ{{4}}, deux à deux non difféomorphes, dont aucune n'est difféomorphe à un ouvert de ℝ{{4}}.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Diffeomorphism|457544322|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{colonnes|nombre=4|
* [[Immersion (mathématiques)|Immersion]]
* [[Submersion (mathématiques)|Submersion]]
* [[Plongement#Variétés différentielles|Plongement]]
* [[Difféomorphisme hamiltonien]]
* [[Symplectomorphisme]]
* {{Lien|langue=en|trad=Supermanifold|fr=Supervariété|texte=Superdifféomorphisme}}
* {{Lien|langue=en|trad=Étale morphism|fr=Morphisme étale}}
* [[Propriété locale]]
* {{Lien|langue=en|trad=Denjoy theorem|fr=Théorème de Denjoy}}
}}
=== Bibliographie ===
* {{Article|lang=en|auteur=Shyamoli Chaudhuri|auteur2=Hikaru Kawai|auteur3=[[Henry Tye|S.-H. Henry Tye]]|titre=Path-integral formulation of closed strings|revue=Phys. Rev. D|volume=36|p.=1148|année=1987}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Peter Duren|Peter L. Duren]]|titre=Harmonic Mappings in the Plane|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|collection=Cambridge Mathematical Tracts|lieu=Cambridge|numéro dans collection=156|année=2004|pages totales=212|isbn=0-521-64121-7|lire en ligne={{Google Livres|EZLQw7bPX5kC}}}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Andreas Kriegl|auteur2={{Lien|langue=de|fr=Peter W. Michor}}|titre=The Convenient Setting of Global Analysis|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=Mathematical Surveys and Monographs|lieu=Providence (R. I.)|numéro dans collection=53|année=1997|pages totales=618|isbn=0-8218-0780-3|lire en ligne={{Google Livres|s7fPYRqhXEUC}}}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[John Milnor|John W. Milnor]]|titre=Collected Works Vol. III, Differential Topology|éditeur=AMS|année=2007|pages totales=343|isbn=978-0-8218-4230-0|isbn2=0-8218-4230-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=YpQdyBv8cMUC&printsec=frontcover}}
* {{Ouvrage|langue=en|langue originale=ja|auteur1=Hideki Omori|titre=Infinite-dimensional Lie Groups|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=Translations of Mathematical Monographs|lieu=Providence (R. I.)|numéro dans collection=158|année=1997|pages totales=415|isbn=0-8218-4575-6|lire en ligne={{Google Livres|kQ4P8STBKHQC}}}}
* {{Article|lang=de|auteur=[[Hellmuth Kneser]]|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN37721857X_0035&DMDID=dmdlog35|titre=Lösung der Aufgabe 41|revue=Jahresber. [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|Deutsch. Math.-Verein.]]|volume=35|numéro=2|p.=123-124|année=1926}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse à plusieurs variables]]
[[Catégorie:Application différentiable]]
[[Catégorie:Application entre variétés différentielles]]