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Le terme '''dilatation du temps''' désigne un effet de la [[relativité restreinte]] selon lequel l'intervalle de [[temps]] entre deux événements mesuré dans un [[Référentiel galiléen|référentiel inertiel]] quelconque est toujours supérieur à l'intervalle de temps mesuré dans le référentiel inertiel (en [[mouvement relatif]] par rapport au premier) où ces deux [[Événement (espace-temps)|événements]] ont la même position spatiale mais n'ont pas lieu au même moment<ref>{{ouvrage |langue=français |prénom1=David |nom1=Langlois |titre=Introduction à la relativité |sous-titre=Principes fondamentaux et conséquences physiques|éditeur=Vuibert |date=13 juillet 2011 |pages totales=192 |passage=16-19}}</ref>.

[[File:Time dilation for a Lorentz factor of 2.webm|thumb|Dilatation du temps pour un facteur de Lorentz de 2]]

Étant donné que le temps est défini, dans la [[théorie de la relativité]], par la donnée initiale d'une [[horloge]] pour chaque référentiel<ref>Premier paragraphe du §1 de {{Landau|tome 2}} :
: {{citation|Pour pouvoir décrire les phénomènes naturels il est nécessaire de définir un "système de référence" ou "référentiel". On entend par système de référence un système de coordonnées permettant d'indiquer les positions spatiales des particules auxquelles est liée une horloge marquant le temps.}}</ref>{{,}}<ref>Chapitre 2, §2.1.2, page 18 de ''Relativité et gravitation'', par Philippe Tourrenc (Armand Colin éditeur, 1992, {{ISBN|2 200 21209 7}}) il est indiqué que {{citation|pour construire un système de coordonnées, nous mettons tout d'abord en place un certain nombre de « règles matérielles}}, dont une horloge {{citation|en chaque point de l'espace}}, qu'il faut « synchroniser », plus loin qu{{'}}{{citation|il faut utiliser des horloges « idéales}} et que {{citation|tout cela est complexe, tant du point de vue pratique que conceptuel}}.</ref>{{,}}<ref>Chapitre 2, page 10 du [http://www.phytem.ens-cachan.fr/version-francaise/master-m1-phytem/cours-td-tp-telechargeables/physique-subatomique/ cours de relativité restreinte] de Pierre Billoir :
: {{citation|il faut préciser une méthode opérationnelle pour établir un repérage de l'espace et du temps'', dont ''des horloges indéréglables, qu'on synchronise.}}</ref>, on peut en déduire que pour un [[observateur (physique)|observateur]] une horloge ''en mouvement'' semble ralentie par rapport à un ensemble d'horloges ''immobiles synchronisées''<ref>« Le temps propre d'un objet mobile est toujours inférieur à l'intervalle de temps correspondant dans un système fixe; on peut dire qu'une horloge mobile marche plus lentement qu'une horloge fixe ...[mais] pour pouvoir comparer la marche d’horloges dans deux
référentiels différents, nous devons avoir plusieurs horloges dans
un référentiel de comparaison » dans le §3 de {{Landau|tome 2}}.</ref>. Cet effet intervient sur tout mesureur du temps<ref>{{p.|6}} du [http://www.lmpt.univ-tours.fr/~linet/ cours de relativité générale] par Bernard Linet, il est indiqué, avant tout postulat sur l'espace et le temps, qu'un observateur ''possède une horloge'' (et ''une règle graduée'', le tout ''pour explorer son environnement'') et que ''c'est un fait d'expérience que tous les phénomènes périodiques, classiques ou quantiques, donnent le même temps t''.</ref>.

Un [[diagramme de Minkowski]], en deux dimensions, permet une représentation de ce phénomène dans l'[[espace de Minkowski]] et peut aider à une compréhension qualitative et intuitive.

Ce phénomène de ralentissement des horloges s'étend, en [[relativité générale]], à des référentiels non inertiels, et aussi, en raison du [[Principe d'équivalence|principe d’équivalence]], à des points n’ayant pas le même [[Champ gravitationnel|potentiel gravitationnel]] : les horloges proches d'un corps massif vont ralentir par rapport à celles qui en sont plus éloignées.

[[Fichier:Time-dilation-002-mod.svg|vignette|redresse=3|centre|'''Dessin de gauche :''' pour l'observateur immobile par rapport aux miroirs A et B, le départ et le retour de la lumière se font au même endroit, et la lumière parcourt la distance 2*L à la vitesse c.<br />'''Dessin de droite :''' ce même observateur voit passer à vitesse v une installation identique, il voit que la distance parcourue par la lumière entre le départ et le retour (qui n'ont pas lieu au même endroit) est 2*D et est supérieure à 2*L, mais la [[vitesse de la lumière]] est toujours c, même si la source lumineuse est en mouvement (postulat de la [[relativité restreinte]]). Pour lui, cet aller-retour dans l'installation en mouvement prend plus de temps que dans l'installation immobile.<br />'''Conclusion :''' le même phénomène prend plus de temps, donc paraît plus lent, quand il est vu en mouvement.]]

{{Clr}}

== En relativité restreinte ==
=== Exemple ===
Considérons deux événements, par exemple l'émission de deux éclairs, par un appareil transporté par une fusée, et séparés par l'intervalle de temps Δ''τ''&nbsp; mesuré dans cette fusée (c'est l'intervalle de [[temps propre]] les séparant car ces éclairs sont émis au même endroit pour la fusée). Chaque éclair est émis alors que la fusée passe devant un observateur terrestre différent lisant l'heure sur sa montre, et ces deux observateurs constatent que leurs lectures diffèrent du temps Δ''t''&nbsp;. Comme la fusée se déplace à la vitesse ''v'' par rapport à la Terre, la distance entre ces deux observateurs terrestres concernés est de ''v''&nbsp;Δ''t''. Les deux mêmes événements « éclairs » étant séparés par l'intervalle d'espace-temps (Δ''x''&nbsp;=''v''Δ''t'',&nbsp;Δ''t''&nbsp;) dans le repère terrestre et (0,&nbsp;Δ''τ''&nbsp;) dans le repère de la fusée, la [[relativité restreinte]] affirme que le carré de l'[[intervalle d'espace-temps]] entre les deux événements est le même dans les deux repères et que de ce fait l'égalité suivante est respectée :
:<math>c^2 \Delta\tau^2 \,=\, c^2 \Delta{t}^2 - v^2 \Delta{t}^2\,.</math>

On en déduit:
:<math>\Delta{t} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\;\Delta\tau = {\gamma}\Delta\tau</math>

avec <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}> 1</math>

ce que l'on peut aussi obtenir par les [[transformations de Lorentz]].

Ainsi, le [[temps propre]] mesuré dans la fusée est <math>\ \Delta \tau < \Delta t</math> : le temps s'écoule plus lentement dans la fusée d'après les observateurs terrestres.

Cet effet est négligeable pour de faibles vitesses et c'est la raison pour laquelle la correction n'intervient pas dans la vie courante et que le phénomène n'est pas perceptible d'ordinaire. En revanche, dès qu'un objet atteint une vitesse de l'ordre du 1/10{{e}} de celle de la lumière, ou lorsque la précision demandée est importante, comme dans le cas d'un [[Global Positioning System|GPS]], cet effet relativiste est notable et peut même devenir colossal, croissant sans limites, si ''v'' se rapproche tout près de la valeur ''c''.

=== Vérifications expérimentales ===
* Une vérification expérimentale a été menée en 1960 par les physiciens [[Robert Pound]] et [[Glen Rebka]] en accélérant des atomes par augmentation de la chaleur (les atomes restent sur place car ce sont les atomes d'un cristal [[Radioactivité|radioactif]] vibrant autour de leur position d'équilibre par [[Énergie thermique|agitation thermique]]), ce qui a donné une diminution de la fréquence des [[rayon gamma|rayons gamma]] émis (ce qui signifie un ralentissement du temps propre des atomes par rapport à celui des atomes non accélérés), les mesures étant en accord avec les prévisions avec 10 % de marge d'erreur<ref name="JHS">D'après James H. Smith, Introduction à la relativité, chez Masson édition de 1997, page 101 (chapitre "le paradoxe des jumeaux")</ref>.
* On a observé que les [[particule élémentaire|particules]] instables se [[désintégration|désintègrent]] plus lentement ''du point de vue de l'observateur'' lorsqu'elles se meuvent à grande vitesse ''par rapport à celui-ci'', notamment dans les [[accélérateur de particules|accélérateurs de particules]].
* Cet effet est également observé pour les [[muon]]s atmosphériques produits par la collision des [[Rayon cosmique|rayons cosmiques]] (particules très énergétiques en provenance de l'espace cosmique) et les molécules de l'atmosphère. Ces muons, animés d'une vitesse proche de celle de la lumière, atteignent le sol où ils sont observés et ce malgré leur courte durée de vie propre, la dilatation du temps leur donnant le temps nécessaire pour atteindre les détecteurs<ref>{{Lien web |auteur1=Marc Vincent |titre=Validation des principes de la relativité restreinte |site=Ressources scientifiques pour l'enseignement de la physique, ENS Lyon|date=3 juillet 2012 |lire en ligne=https://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/validation-relativite-restreinte-3.xml#idm47}}</ref>.
* Un autre cas observé de dilatation temporelle est le décalage entre [[horloge atomique|horloges atomiques]] au sol et en vol ; mais il se complique dans ce dernier cas de considérations gravitationnelles de sorte que le cadre de la relativité restreinte est insuffisant et qu'on doit considérer les effets de [[relativité générale]]. Incidemment l'expérience réelle d'horloges atomiques embarquées en avion est une version réalisable, et souvent réalisée, de l'[[Paradoxe des jumeaux|expérience des jumeaux]], laquelle exploite l'effet de ralentissement des horloges en mouvement.
* Signalons également que l'on observe aussi une dilatation du temps lorsqu'on mesure la durée de l'évolution de la luminosité des [[supernova]]s lointaines, mais que ce dernier effet est dû à l'[[expansion de l'Univers]].

=== Paradoxe apparent de la symétrie ===
==== Le paradoxe des jumeaux ====
{{article détaillé|Paradoxe des jumeaux}}
Supposons qu'un observateur {{n°|1}} voie, depuis son référentiel inertiel muni d'une horloge (dite {{n°|1}}) qui y est immobile, une horloge (dite {{n°|2}}) en mouvement à vitesse constante comme fonctionnant au ralenti. Alors, par symétrie, un observateur {{n°|2}} immobile par rapport à l'horloge {{n°|2}} voit l'horloge {{n°|1}} comme étant en mouvement à vitesse constante par rapport à son référentiel (dit {{n°|2}}) et donc comme fonctionnant au ralenti. Ainsi chacun voit l'horloge de l'autre comme fonctionnant au ralenti et voit également l'autre voyageur comme ayant subi une compression dans le sens de son déplacement. La contradiction est flagrante car si on imagine qu'ils se croisent deux fois : la première fois ils initialisent leurs deux horloges à 0, mais, la seconde fois, quelle horloge sera en retard par rapport à l'autre ?

L'explication la plus courante est que la contradiction n'est qu'apparente car pour qu'il y ait deux rencontres, une des deux horloges a dû changer de référentiel inertiel : la relativité restreinte s'y applique différemment et les calculs montrent que c'est cette horloge qui, à la seconde rencontre, retarde sur l'autre<ref name="JHS"/>.

==== Réciprocité de la dilatation temporelle ====
[[Fichier:Minkowski-TDreciproque.svg|vignette|redresse=1.5|Dilatation temporelle réciproque<ref name="vp">{{Bibliographie|Q59924199}} p. 143-145</ref>.]]

Dans le paradoxe des jumeaux, la dilatation temporelle est asymétrique et non réciproque car les deux référentiels en jeu ne sont pas [[Référentiel galiléen|galiléens]]. Mais si on considère deux référentiels galiléens, n'est-il pas paradoxal de considérer que chaque observateur dans son référentiel estime que le temps pour l'autre observateur passe plus lentement que pour lui ?

Cette situation peut être représentée par un [[diagramme de Minkowski]] symétrique (voir ci-contre). Chaque observateur (<math>R</math>, et <math>R'</math>) a synchronisé sa montre avec l'autre au point <math>O</math>, et les deux observateurs s'éloignent ensuite l'un de l'autre à vitesse constante. Chaque observateur est immobile dans son propre référentiel et décrit une [[ligne d'univers]] droite dans l'[[espace de Minkowski]] (<math>t=t_R</math> et <math>t'=t_{R'}</math>). Supposons que chaque observateur a déclenché en <math>O</math> un même processus physique censé durer quatre secondes. Chaque observateur constate, à sa propre horloge, que le phénomène a en effet duré quatre secondes. Ceci est la conséquence du [[principe de relativité]] : tout [[phénomène physique]] se déroule exactement de la même manière dans tout référentiel galiléen. Une seconde mesurée par <math>R</math> dans le référentiel de <math>R</math> est exactement égale à une seconde mesurée par <math>R'</math> dans le référentiel de <math>R'</math><ref name="vp"/>{{,}}<ref group=note>Cela se traduit dans le diagramme de Minkowski par des graduations temporelles égales sur les axes <math>t =t_R</math> et <math>t'=t_{R'}</math>.</ref>.

Ensuite, chaque observateur essaye de savoir combien de temps s'est passé pour l'autre observateur à la fin du processus. Les deux observateurs étant éloignés, ils ne peuvent comparer directement leurs horloges. Ils doivent donc ''estimer'' le temps dans l'autre référentiel ''[[simultanéité|simultané]]'' à la fin du processus dans le leur. Dans une vision [[présentisme|présentiste]] de l'univers, l'observateur <math>R</math> et son horloge possède une existence et un état réel à chaque instant du temps de <math>R'</math>, et réciproquement. L'horloge de l'autre observateur indique donc un temps bien défini ''au même moment'' que la fin du processus, qu'il s'agit de déterminer<ref name="vp"/>.

Mathématiquement, sur le diagramme de Minkowski, la droite de temps constant pour un référentiel donné est indiquée en pointillés. Cette droite représente une « photographie » en trois dimensions de l'univers à un instant donné dans un référentiel<ref group=note>Dans un diagramme de Minkowski, les trois dimensions de l'espace sont réduites à une dimension x</ref>. Dans l'espace de Minkowski, c'est la droite [[orthogonalité|orthogonale]] à cet instant à la ligne d'univers du référentiel. Dans un [[espace euclidien]] deux droites orthogonales forment un angle de 90°, mais dans l'[[espace de Minkowski]], approprié pour la relativité, l'angle dépend d'une certaine relation mathématique. On constate que, symétriquement, chaque observateur considère selon ce critère que moins de secondes se sont passées pour l'autre observateur (ici, 3 secondes au lieu de 4, le diagramme de Minkowski donne géométriquement les mêmes résultats que la [[transformation de Lorentz]]). Encore une fois, le [[principe de relativité]] est respecté : chaque observateur fait des observations similaires.
[[Fichier:Minkowski-TDreciproque-4evt.svg|vignette|Temps estimés dans chacun des référentiels entre les mêmes événements A, B, C, D, E et F<ref name="TT"/>.]]
Mais n'est-ce pas paradoxal ? Qu'en est-il ''réellement'' ? Au ''même moment'' qui est le plus jeune ou le plus vieux ? Le paradoxe n'en est pas un si on considère que la notion de simultanéité elle-même est relative à un référentiel : c'est ce que l'on constate géométriquement sur le diagramme : chaque ligne de simultanéité pour chaque référentiel est clairement différente; c'est la conclusion à laquelle amène la théorie de la relativité. Le paradoxe n'apparaît que si on considère que la simultanéité est une notion absolue<ref name="vp"/>.

Une erreur fréquemment commise<ref name="TT">{{ouvrage |langue=en |auteur1=Tatsu Takeuchi |titre=An illustrated Guide to Relativity |éditeur=Cambridge University Press |année=2010 |passage=138}}</ref> est de considérer que le temps ''lui-même'' passe plus lentement dans le référentiel en mouvement et que les intervalles de temps mesurés dans le référentiel en mouvement seront toujours plus courts que ceux mesurés dans un référentiel fixe. D'une part, ce serait contraire au principe de relativité : chaque référentiel peut être considéré indifféremment fixe ou en mouvement. D'autre part, si on considère les intervalles de temps concernant des mêmes événements, l'estimation du temps écoulé entre deux mêmes événements pourra être plus courte, égale, ou plus longue dans chacun des référentiels, quel que soit leur état de mouvement. Par exemple l'intervalle de temps entre les [[Événement (espace-temps)|événements]] A et B est plus longue dans <math>R</math>, plus courte dans <math>R'</math>, entre B et C les intervalles sont égaux, et entre C et D, plus courte dans <math>R</math> et plus longue dans <math>R'</math> (diagramme ci-contre). De plus les événements D et E sont simultanés dans <math>R</math> mais ne le sont pas dans <math>R'</math>, alors que les événements D et F sont simultanés dans <math>R'</math> mais pas dans <math>R</math>. La dilatation du temps est un phénomène causé par la relativité de la simultanéité et n'a rien à voir avec la façon dont le temps s'écoule<ref name="TT"/>.

Pour [[Carlo Rovelli]], se poser la question des intervalles temporels quand on ne peut pas comparer directement les horloges n'a même pas de sens : {{Citation| Si deux horloges se séparent et ne se rencontrent plus se demander laquelle est en avance et laquelle retarde n'a pas de sens. Si elles se rencontrent de nouveau, elles peuvent être comparées}}<ref>{{Bibliographie|Q58425364}} Chapitre 3 Note 7</ref>.

=== En mouvement accéléré ===
Contrairement à une idée répandue, la [[relativité restreinte]] ne s'arrête pas aux mouvements rectilignes uniformes mais est également capable de traiter des mouvements accélérés<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Charles W.|nom1=Misner|lien auteur1=Charles W. Misner|prénom2=Kip S.|nom2=Thorne|prénom3=John Archibald|nom3=Wheeler|titre=Gravitation|éditeur=W. H. Freeman|lieu=New York|année=1973|pages totales=1279|passage=Chap 6, pp.163 et suivantes|isbn=0-7167-0334-3|isbn2=9780716703341|isbn3=0716703440|oclc=585119|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/585119|consulté le=2018-12-01}}</ref>. Ce qui fait la différence entre la relativité restreinte et la relativité générale, c'est qu'en relativité générale, on étend le concept de relativité au fait qu'il est [[Masse#Identité de la masse inerte et de la masse grave|impossible de distinguer masse inerte et masse pesante]] et donc, on ne peut pas non plus distinguer ponctuellement une accélération d'une attraction gravitationnelle. Pour cela, il devient nécessaire de sortir de la [[géométrie euclidienne]] ou plutôt [[Espace de Minkowski|minkovskienne]] qui décrivent des espaces sans [[Courbure spatiale|courbure]] intrinsèque, pour passer à la [[géométrie différentielle]] avec les [[Variété lorentzienne|variétés de Lorentz]]. Toutefois, en relativité restreinte, il est possible d'étudier les effets d'un mouvement accéléré à partir des observations faites depuis un [[référentiel inertiel]].

Pour comprendre les conséquences du mouvement accéléré sur la dilatation du temps, supposons une fusée qui contiendrait deux horloges, à l'avant et à l'arrière, qui chacune enverraient un signal lumineux toutes les secondes<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Richard P.|nom1=Feynman|prénom2=Robert B.|nom2=Leighton|prénom3=Matthew L.|nom3=Sands|titre=The Feynman lectures on physics : New millenium edition. Volume II, Mainly electromagnetism and matter|éditeur=|année=|passage=Chap. 42: Curved Space|isbn=978-0-465-07998-8|isbn2=0465079989|isbn3=9780465072972|oclc=861525314|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/861525314|consulté le=2018-12-01}}</ref>{{,}}<ref>[https://books.google.fr/books?id=2Poy1uusUgEC&pg=PA318&lpg=PA318&dq=horloges+fus%C3%A9e+acc%C3%A9l%C3%A9r%C3%A9e&source=bl&ots=iJ7uYOQGUj&sig=NmqD2c2KXOhiC8o1PXk4CT1fWN4&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwjVsa7B6-_eAhURxoUKHUgWCDQQ6AEwB3oECAAQAQ#v=onepage&q=horloges%20fus%C3%A9e%20acc%C3%A9l%C3%A9r%C3%A9e&f=false Analyse] de [[Richard Feynman]], ''Leçons sur la Physique'' page 315</ref>.

Dans un référentiel accéléré (force appliquée à l'arrière de la fusée), chaque signal lumineux envoyé de l'avant vers l'arrière va aller à la rencontre de l'arrière de la fusée qui avance de plus en plus rapidement vers lui, alors que dans l'autre sens, les signaux lumineux venant de l'arrière vont eux, au contraire, devoir rattraper l'avant de la fusée qui lui, s'éloigne toujours plus vite de leur point d'émission.

Par conséquent les signaux allant de l'avant vers l'arrière vont donc à chaque fois parcourir une distance un peu plus courte pour atteindre leur cible, de sorte que, toujours dans le même référentiel inertiel, ils vont arriver à l'arrière à une cadence plus rapide que celle à laquelle ils ont été émis. Alors qu'au contraire, les signaux allant de l'arrière vers l'avant vont arriver à une cadence plus lente que leur cadence d'émission.

Pour les observateurs situés à l'avant et à l'arrière de la fusée, par contre, la lumière continue à se déplacer à la même vitesse indépendamment de leur propre mouvement, ce qui conduit à ce que pour eux c'est le temps qui ne s'écoule pas à la même vitesse entre l'avant et l'arrière de la fusée (notons au passage que cet exemple n'est pas tout à fait exact, car il ne prend pas en compte dans le référentiel inertiel, les déformations du temps et de l'espace subies par la fusée qui va de plus en plus vite).

== En relativité générale ==
=== Description du phénomène ===
En [[relativité générale]], un objet massif courbe l'[[espace-temps]], et d'autant plus que on est proche de l'objet. Si on considère deux horloges identiques, celle qui fait un séjour plus proche de l'objet retarde par rapport à l'autre. Le temps le plus long est celui qui est mesuré à l'infini, c'est celui qui sert de variable ''t'' dans la [[métrique de Schwarzschild]]. La dilatation se calcule grâce à la différence de [[Potentiel newtonien#Potentiel gravitationnel|potentiel gravitationnel]] entre deux points : le temps est dilaté (on compte moins de temps) là où le potentiel gravitationnel est le plus bas{{sfn|Uggerhøj|Mikkelsen|Faye|2016}}{{,}}<ref name=":1">{{Ouvrage|langue=en|titre=Proceedings of the International Conference on Two Cosmological Models|éditeur=Plaza y Valdes|année=|passage=page 26|isbn=978-607-402-530-9|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=MBjkuQAoyZIC&pg=PA28|consulté le=2018-05-04}}</ref>.

=== Explication qualitative ===
L'utilisation du [[principe d'équivalence]] entre accélération et gravitation sur l'[[#En mouvement accéléré|exemple vu plus haut]], de la fusée en accélération constante permet de prédire l'existence d'un même effet de dilatation temporelle entre le haut et le bas d'une tour jouant le rôle de l'avant et l'arrière de la fusée ou entre un satellite en orbite et le sol{{refnec}}, comme c'est le cas pour le [[Global Positioning System#GPS et théorie de la relativité|système GPS]].

Inversement, c'est la simple combinaison de la contraction du temps avec l'altitude et de dilatation avec la vitesse, par application du principe du temps propre maximal entre deux événements qui est à l'origine de l'accélération de la pesanteur{{refnec}}.

Contrairement à une croyance répandue {{référence souhaitée}}, la distorsion du temps entre deux points situés à des [[Potentiel gravitationnel|potentiels gravitationnels]] différents n'est pas directement liée aux variations de cette gravitation, mais est un effet cumulatif (dans le langage rigoureux de la théorie, il s'agit d'intégrer une [[forme différentielle]])<ref>[https://gargantua.polytechnique.fr/siatel-web/linkto/mICYYYTEsNY Relativité Générale: La gravitation en une leçon et demie], conférence X-UNS-EPS de Marios Petropoulos, 2017</ref> lié à la pénétration vers le centre du champ gravitationnel, ce qui, par exemple, sur Terre, en fait essentiellement un corrélat de l'altitude (la variation de la gravitation due à cette altitude ajoutant une correction négligeable). Cet effet peut ainsi être présent entre deux points où la gravité est nulle, comme le montre l'exemple du centre de la Terre<ref>[https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/relativite-generale-noyau-terre-vieillit-moins-vite-nous-cause-einstein-62585/ Le noyau de la Terre vieillit moins vite que nous], sur Futura-sciences.</ref>{{,}}{{sfn|Uggerhøj|Mikkelsen|Faye|2016}}.

=== Métrique de Schwarzschild ===
On sait que la métrique est <math>\ ds^2 = g_{ij}\mathrm dx^i\mathrm dx^j</math>. Dans le cas d'une masse à [[symétrie sphérique]], on peut utiliser la [[métrique de Schwarzschild]]<ref>{{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=Charles Misner
|lien auteur1=Charles W. Misner
|auteur2=Kip Thorne
|auteur3=John Archibald Wheeler
|titre=Gravitation
|éditeur=Freeman
|lieu=New York
|année=1973
|pages totales=1279
|pages=1278
|passage=820
|isbn=0-7167-0334-3
}}</ref>
:<math>\mathrm ds^2=\left(1-\frac{R_S}{r}\right)c^2\mathrm dt^2 -\left(1-\frac{R_S}{r}\right)^{-1}\mathrm dr^2-r^2(\mathrm d \theta^2 +\sin^2 \theta \mathrm d \phi^2),</math>
où <math> R_S = \frac{2GM}{c^2}\approx 2.95\left(\frac{M}{M_\odot}\right) \mathrm{km}</math> est le rayon de Schwarzschild de la masse sphérique, strictement inférieur au rayon <math>r</math>.

On en déduit <math>\mathrm ds^2 =c^2\mathrm d\tau^2 \leqslant  \left(1-\frac{R_S}{r}\right)c^2\mathrm dt^2</math>. Ainsi <math>\mathrm d\tau \leqslant  \sqrt{1-\frac{R_S}{r}}\mathrm dt < \mathrm dt</math> où <math>\mathrm d\tau </math> est l'élément infinitésimal de [[temps propre]] du corps, et <math>\mathrm dt</math> est celui du temps mesuré dans le référentiel de l'observateur, par hypothèse non soumis à la gravitation (sinon les formules sont différentes).

{{...}}

On peut dire que par la gravitation ''le temps propre est ralenti'' par rapport au temps du référentiel (qui est par hypothèse mesuré hors d'influence de la masse), ou que ''le temps impropre est dilaté par rapport au temps propre du corps influencé par la gravitation''.

=== Cas d'un trou noir ===
Dans le cas d'un [[trou noir]], ici réduit à ses caractéristiques liées à la métrique, une horloge peut s'approcher du [[rayon de Schwarzschild]] <math>\ R_S</math> du corps massif. En la supposant quasi immobile dans le référentiel, elle marque son [[temps propre]] <math>\ \mathrm d\tau = \mathrm ds/c</math>, et le temps <math>\ \mathrm dt</math> observé très loin du trou noir (à l'infini, pour faire court) est <math>\mathrm dt = \frac{\mathrm d\tau }{\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}} \xrightarrow[r \to R_S]{} \infty</math>. Ce qui signifie qu'au fur et à mesure que l'horloge s'approche du rayon de Schwarzschild, le temps de l'horloge parait mettre un temps infini pour s'écouler aux yeux de l'observateur, et semble même s'arrêter à ses yeux, mais l'horloge ne s'arrête pas pour elle-même (comme la [[métrique de Lemaître]] ou celle de [[Coordonnées de Kruskal-Szekeres|Kruskal et Szekeres]] le montrent).

=== Effets théoriques sur la Terre ===
« Une horloge servant à chronométrer une rotation complète de la Terre mesurera environ 10 ns / jour de plus par jour pour chaque kilomètre d'altitude au-dessus du [[géoïde]] de référence. » (traduit de l'anglais : ''General relativity predicts that clocks run more slowly near massive objects. The effect is small — a clock at sea level lags behind one 1000 m above sea level by only 9.4 ns/day'' »)<ref>{{lien web|url=https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.5000802 |titre=Measurement of gravitational time dilation: An undergraduate research project |éditeur=American Journal of Physics |date=18 septembre 2017}}</ref>.

L'[[âge de la Terre]] se comptant en milliards d'années, l'effet est non négligeable : le calcul (effectué en 2016, en utilisant l'approximation newtonienne<ref>L'approximation newtonienne est légitime dans tous les cas où la gravitation est ''faible'' et les vitesses ''petites'' par rapport à celle de la lumière. Voir {{Landau|tome 2}} §81 et §82.</ref> et en corrigeant l'estimation de [[Richard Feynman]]<ref>{{ouvrage|nom1=Feynman|prénom1=Richard.|titre=''Feynman Lectures On Gravitation''|langue=en|chapter="5.2 TIME DILATION IN A GRAVITATIONAL FIELD"|page=69|url=https://www.google.de/books/edition/Feynman_Lectures_On_Gravitation/G0paDwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=%22since+the+center+of+the+earth+should+be+a+day+or+two+younger+than+the+surface%22&pg=PA69&printsec=frontcover}}</ref>, basée sur [[Balance d'Eötvös|l'expérience d'Eötvös]] combinée à la [[Conservation de l'énergie#Système en évolution conservative|loi de conservation de l'énergie]]) montre que le [[centre de la Terre]] est plus jeune de plus de deux ans que la surface{{sfn|Uggerhøj|Mikkelsen|Faye|2016}}. En effet bien que la force de gravité y soit nulle<ref group=note>Voir [[Théorèmes de Newton#Premier théorème|premier théorème de Newton]].</ref>, le centre de la Terre possède un [[potentiel gravitationnel]] une fois et demi plus important en [[valeur absolue]]{{sfn|Uggerhøj|Mikkelsen|Faye|2016}} ({{formule|§=Φ(0) = –{{sfrac|3''[[Constante gravitationnelle|G]][[Masse de la Terre|M]]''|2''[[Rayon de la Terre|R]]''}}}} soit environ −94 MJ/kg) par rapport à celui en surface{{sfn|Uggerhøj|Mikkelsen|Faye|2016}} ({{formule|§=Φ([[Rayon de la Terre|R]]) = –{{sfrac|''[[Constante gravitationnelle|G]][[Masse de la Terre|M]]''|''[[Rayon de la Terre|R]]''}}}} soit environ<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Gravitational Potential {{!}} S-cool, the revision website|url=https://www.s-cool.co.uk/a-level/physics/gravitational-potential-energy/revise-it/gravitational-potential|site=www.s-cool.co.uk|consulté le=2018-05-03}}</ref> -63 MJ/kg).

=== Résultats expérimentaux ===
En 1977, une expérience embarquant des horloges atomiques dans une fusée a confirmé les prévisions théoriques avec une précision de 0,01 %<ref name="JCB">Jean-Claude Boudenot, chapitre VI {{p.|145}} à {{p.|147}} de ''Électromagnétisme et gravitation relativiste'', édité chez ''ellipse'' en 1989, {{ISBN|2-7298-8936-1}}.</ref>. En 1959, [[Robert Pound]] et [[Glen Rebka]] ont pu vérifier expérimentalement que la différence d'altitude de 22,6 mètres d'une tour de l'[[université Harvard]] donnait une différence de [[fréquence]] de la lumière conforme aux prévisions de la relativité générale ([[expérience de Pound-Rebka]] mettant en évidence le [[décalage d'Einstein]])<ref name="JCB"/>{{,}}<ref>{{article|langue=en|nom1=Pound| prénom=R. V.| coauteurs = Rebka Jr. G. A. | date= 1{{e}} November 1959| titre=Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance| journal=Physical Review Letters | volume = 3 | numéro = 9 | pages=439–441 | url=http://prola.aps.org/abstract/PRL/v3/i9/p439_1|doi = 10.1103/PhysRevLett.3.439|consulté le=2006-09-23}}</ref>. En [[2009 en science|2009]], une équipe de physiciens a mesuré avec une précision {{formatnum:10000}} fois supérieure à la précédente expérience ({{Lien|langue=en|fr=Gravity Probe A}}) cette dilatation du temps sans déceler de différence avec les prédictions de la [[relativité générale]]<ref>Laurent Sacco, ''[http://www.futura-sciences.com/fr/news/t/physique-1/d/retard-des-horloges-un-test-donne-encore-raison-a-einstein_22701/ Retard des horloges : un test donne – encore – raison à Einstein]'' sur [[Futura-sciences]]</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|nom1=Müller| prénom=Holger| coauteurs = Achim Peters, Steven Chu | date= 10 décembre 2009| titre=A precision measurement of the gravitational redshift by the interference of matter waves| journal=Nature | volume = 463 | pages=, 926-929 | url=http://www.nature.com/nature/journal/v463/n7283/full/nature08776.html|doi = 10.1038/nature08776|consulté le=2010-02-23}}</ref>.

== Combinaison des deux phénomènes ==
[[Fichier:Time Dilation vs Orbital Height.png|vignette|Dilatation du temps pour les satellites de la Terre en orbite circulaire.]]

Dans le cas des [[Satellite artificiel|satellites artificiels]] en orbite circulaire, les deux effets relativistes (contraction due à la vitesse relative des deux repères et dilatation due à la plus faible valeur du champ gravitationnel) se combinent comme il est indiqué sur le graphique ci-contre.

Dans le cas de la [[Synchronisation GPS|synchronisation des satellites GPS]], le temps propre du satellite doit être corrigé de −38 μs par jour principalement à cause de la [[relativité générale]], le temps passant plus vite plus loin de la Terre, la position dans le [[champ gravitationnel]] étant plus élevée<ref>{{Article|langue=fr|auteur=Gary Dagorn|titre=Comment la théorie de la relativité d'Einstein a changé nos vies|périodique=Le Monde|jour=27|mois=novembre|année=2015|lire en ligne=https://www.lemonde.fr/les-decodeurs/article/2015/11/27/comment-la-theorie-de-la-relativite-d-einstein-a-change-nos-vies_4819236_4355770.html}}</ref>{{,}}<ref>''[https://physics.stackexchange.com/questions/276522/does-gravitational-time-dilation-happen-due-to-height-or-difference-in-the-stren Does gravitational time dilation happen due to height or difference in the strength of the field?]''</ref>.

== Dans la fiction ==
{{Article connexe|Vitesse supraluminique dans la science-fiction}}
À partir de la seconde moitié du {{XXe siècle}}, dans de nombreux récits se référant à des voyages dans l'espace à une vitesse presque égale ou nettement supérieure à celle de la lumière, le phénomène de dilatation du temps est évoqué ou utilisé comme un élément plus ou moins important du [[schéma narratif]]<ref>TV Tropes, [https://tvtropes.org/pmwiki/pmwiki.php/Main/TimeDilation Time Dilation].</ref>. C'est par exemple un élément clé du [[retournement final]] du roman ''[[La Planète des singes]]'' publié par [[Pierre Boulle]] en 1963<ref>{{Chapitre |langue=en |nom1=Montoneri |prénom1=Bernard |nom2=El Hajj |prénom2=Murielle |année=2024 |titre=Pierre Boulle’s Planet of the Apes (1963) |sous-titre=From Novel to Screenplay |titre ouvrage=Time Travel in World Literature and Cinema |passage=18 |éditeur=Palgrave Macmillan |doi=10.1007/978-3-031-52315-1_2 |url=https://www.researchgate.net/publication/378949941_Pierre_Boulle's_Planet_of_the_Apes_1963_From_Novel_to_Screenplay}}.</ref> et de la nouvelle ''[[Le Collier de Semlé]]'' publiée par [[Ursula K. Le Guin]] en 1964<ref>{{Article |langue=en |périodique=Journal of Translation, Literature and Linguistics |année=2023 |vol=2 |numéro=2 |titre=Translating Secondary World Infrastructures |sous-titre=Re-creating the WorldBuilding of Semley’s Necklace |prénom=Özge |nom=Aksoy |url=https://transynergy.org/media/3.-Translating-Secondary-World-Infrastructures.pdf |passage=124}}.</ref>. L'intrigue du roman ''[[Tau Zéro]]'' publié par [[Poul Anderson]] en 1970 est entièrement basée sur la théorie d'Einstein et se réfère continuellement au principe de dilatation du temps<ref>{{Article |langue=en |titre=It's about time |sous-titre=how sci-fi has described Einstein's universe |prénom=Damien |nom=Walter
|jour=15 |mois=1 |année=2016 |périodique=[[The Guardian]] |url=https://www.theguardian.com/books/2016/jan/15/sci-fi-general-relativity-einstein-planet-of-the-apes}}.</ref>.

Parmi les exemples récents, on peut citer le film ''[[Interstellar]]'' de [[Christopher Nolan]], sorti en novembre 2014, dans lequel ce phénomène de dilatation du temps est un élément central de l'intrigue. L’[[astronaute]] Cooper voyage sur une [[exoplanète]] en orbite proche d'un trou noir supermassif (''Gargantua''). La force gravitationnelle du trou noir est si forte que le temps sur cette exoplanète s'écoule plus lentement avec un ratio de 1 heure pour 7 années terrestres<ref>{{Lien web|langue = française|titre = Décryptez la physique des trous noirs du film Interstellar|url = http://www.futura-sciences.com/magazines/espace/infos/actu/d/trous-noirs-decryptez-physique-trous-noirs-film-interstellar-55916/|date = 13/11/2014|consulté le = 13/11/2014}}</ref>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Références}}

== Annexes ==
=== Bibliographie ===
* {{Landau|tome 2}}
* {{Article | langue=en | prénom1={{nobr|U. I.}} | nom1=Uggerhøj | prénom2={{nobr|R. E.}} | nom2=Mikkelsen | prénom3=J. | nom3=Faye | titre={{langue|en|texte=The young centre of the Earth}} | périodique=[[w:en:European Journal of Physics|Eur. J. Phys.]] | volume=37 | numéro=3 | mois=mai | année=2016 | doi=10.1088/0143-0807/37/3/035602 | bibcode= 2016EJPh...37c5602U | arxiv=1604.05507 | libellé=Uggerhøj, Mikkelsen et Faye 2016}}.

=== Articles connexes ===
* [[Relativité restreinte#Dilatation des durées|Dilatation des durées en relativité restreinte]]
* [[Paradoxe des jumeaux]]
* [[Contraction des longueurs]]

=== Liens externes ===
* {{fr}} Traduction du texte ''Zur Elektrodynamik bewegter Kör-per'', publié en 1905 par [[Albert Einstein]] : {{Lien web|url=http://classiques.uqac.ca/collection_sciences_nature/einstein_albert/Electrodynamique/Electrodynamique.pdf|format=pdf|titre=De l'électrodynamique des corps en mouvement|date=8 janvier 2013|site=classiques.uqac.ca}}

{{Palette|Relativité|Tests de la relativité restreinte}}
{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Théorie scientifique]]
[[Catégorie:Relativité]]