Voir la source de Dilemme destructif

Un '''dilemme destructif'''<ref>Hurley, Patrick. {{lang|en|texte=A Concise Introduction to Logic With Ilrn Printed Access Card}}. Wadsworth Pub Co, 2008. Page 361</ref>{{,}}<ref>Moore et Parker</ref> est une [[règle d'inférence]] [[Validité (logique)|valide]] de la [[logique propositionnelle]]. Elle est l'[[inférence (logique)|inférence]] selon laquelle, si ''P'' implique ''Q'' et ''R'' implique ''S'' et soit ''Q'' est faux soit ''S'' est faux, alors, soit ''P'' ou ''R'' est faux. En somme, si deux implications sont vraies, mais qu'un de leurs [[Antécédent (logique)|conséquents]] est faux, alors un de leurs [[Antécédent (logique)|antécédents]] est faux. Le ''dilemme destructif'' est la version [[Disjonction logique|disjonctive]] du ''[[modus tollens]]'', alors que, la version disjonctive du [[modus ponens]] est le [[dilemme constructif]]. La règle peut être déclarée comme suit:
: <math>\frac{P \to Q, R \to S, \neg Q \lor \neg S}{\therefore \neg P \lor \neg R}</math>
où la règle est que chaque fois que les instances de « <math>P \to Q</math> », « <math>R \to S</math> », et « <math>\neg Q \lor \neg S</math> » apparaissent sur les lignes d'une démonstration, «<math>\neg P \lor \neg R</math> » peut être placé sur une ligne subséquente.

== Notation formelle ==
La règle du ''dilemme destructif'' peut être écrite en notation séquente:
: <math>(P \to Q), (R \to S), (\neg Q \lor \neg S) \vdash (\neg P \lor \neg R)</math>
où <math>\vdash</math> est un symbole [[métalogique]] qui signifie que <math>\neg P \lor  \neg R</math> est une [[Déduction logique|conséquence syntaxique]] de <math>P \to Q</math>, <math>R \to S</math>, et <math>\neg Q \lor \neg S</math> dans un [[système logique]];

et exprimée en [[Tautologie (logique)|tautologie]] ou en [[ théorème]] de la [[logique propositionnelle]]:
: <math>(((P \to Q) \land (R \to S)) \land (\neg Q \lor \neg S)) \to (\neg P \lor \neg R)</math>
où <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math> et <math>S</math> sont des propositions exprimées dans un [[ système formel]].

== Exemple ==
: S'il pleut, nous allons rester à l'intérieur.
: Si c'est ensoleillé, nous allons faire une promenade.
: Soit nous ne serons pas restés à l'intérieur, soit nous ne serons pas allés faire une promenade, soit les deux.
: Par conséquent, soit il ne pleuvra pas, soit il ne fera pas beau, soit les deux.

== Démonstration ==
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
! style="width:15%" | ''Proposition''
! style="width:15%" | ''Dérivation''
|-
| <math>(A\rightarrow B)\land (C\rightarrow D)</math> 
| Donnée
|-
| <math>\neg B\lor\neg D</math> 
| Donnée
|-
| <math>B\rightarrow\neg D</math> 
|[[Implication (logique)|Implication]]
|-
| <math>\neg D\rightarrow\neg C</math> 
| [[Transposition (logique)|Transposition]]
|-
| <math>B\rightarrow\neg C</math> 
| [[Syllogisme hypothétique]]
|-
| <math>A\rightarrow B</math> 
| [[Élimination de la conjonction|Simplification]]
|-
| <math>A\rightarrow\neg C</math> 
|Syllogisme hypothétique
|-
| <math>\neg A\lor\neg C</math> 
| Implication
|}

== Exemple de démonstration ==
La validité de cette structure d'argument peut être démontré en utilisant à la fois la démonstration implicationnelle (DI) et le [[Raisonnement par l'absurde|reductio ad absurdum]] (RAA) de la manière suivante:
{|
| align="right" | 1. 
| <math> ((P \rightarrow Q) \And (R \rightarrow S)) \And (\neg Q \vee \neg S) </math>
|(DI)
|-
| align="right" | 2. 
| <math> (P \rightarrow Q) \And (R \rightarrow S) </math>
|(1: Simplification)
|-
| align="right" | 3. 
|  <math> (P \rightarrow Q) </math>
|(2: simplification)
|-
| align="right" | 4. 
|  <math> (R \rightarrow S) </math>
|(2: simplification)
|-
| align="right" | 5. 
|  <math> (\neg Q \vee \neg S) </math>
|(1: simplification)
|-
| align="right" | 6. 
|  <math> \neg (\neg P \vee \neg R) </math>
|(RAA)
|-
| align="right" | 7. 
|  <math> \neg \neg P \And \neg \neg R </math>
|(6: [[Lois de De Morgan]])
|-
| align="right" | 8. 
|  <math> \neg \neg P </math>
|(7: simplification)
|-
| align="right" | 9. 
|  <math> \neg \neg R </math>
|(7: simplification)
|-
| align="right" | 10. 
|  <math> P </math>
|(8: double négation)
|-
| align="right" | 11. 
|  <math> R </math>
|(9: double négation)
|-
| align="right" | 12. 
|  <math> Q </math>
|(3,10: modus ponens)
|-
| align="right" | 13. 
|  <math> S </math>
|(4,11: modus ponens)
|-
| align="right" | 14. 
|  <math> \neg \neg Q </math>
|(12: double négation)
|-
| align="right" | 15. 
|  <math> \neg S </math>
|(5, 14: [[syllogisme disjonctif]])
|-
| align="right" | 16. 
|  <math> S \And \neg S </math>
|(13,15: [[Conjonction logique|conjonction]])
|-
| align="right" | 17. 
|  <math> \neg P \vee \neg R </math>
|(6-16: RAA)
|-
|-
| align="right" | 18. 
|  <math> (((P \rightarrow Q) \And (R \rightarrow S)) \And (\neg Q \vee \neg S))) \rightarrow \neg P \vee \neg R </math>
|(1-17: DI)
|}

== Références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Destructive dilemma|id1=650823891}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* Howard-Snyder, Frances; Howard-Snyder, Daniel; Wasserman, Ryan. The Power of Logic (4th ed.). McGraw-Hill, 2009, {{ISBN|978-0-07-340737-1}}, {{p.|414}}.

== Liens externes ==
* {{lien web |langue=en |titre=Destructive Dilemma -- from Wolfram MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/DestructiveDilemma.html |site=wolfram.com |consulté le=12-01-2024}}

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