Voir la source de Diophante d'Alexandrie

{{Infobox Biographie2
 | charte            = mathématicien
 | nom               = Diophante
 | date de naissance =-
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 | résidence         = [[Alexandrie]]
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}}
'''Diophante d'Alexandrie''' (en [[grec ancien]] : Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς '' Dióphantos ho Alexandreús'') est un [[mathématicien]] de langue [[grec|grecque]] qui a vécu à Alexandrie entre le {{s|I|er}} et le {{s|IV}}, peut-être au {{s|II}} ou au {{s|III}}. Connu pour ses ''[[Arithmétiques]]'', ouvrage dont une partie est aujourd'hui perdue, et où il étudie certaines [[Équation diophantienne|équations diophantiennes]], il est parfois surnommé le « père de l'[[algèbre]] ».

== Biographie ==
On ne connaît rien ou à peu près de la vie de Diophante, même l'époque à laquelle il a vécu reste très incertaine<ref name="RashedHouzel">{{Ouvrage|auteur1=[[Roshdi Rashed]]|auteur2=[[Christian Houzel]]|titre=Les ''Arithmétiques'' de Diophante|sous-titre=Lecture historique et mathématique|lieu=Paris|éditeur=[[Walter de Gruyter]]|collection=Scientia Graeco-Arabica|numéro dans collection=11|année=2013|pages totales=639|passage=3|isbn=978-3-11-033648-1|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=0d3mBQAAQBAJ&pg=PA3}}</ref>. Il vécut à [[Alexandrie]]. Son œuvre est en partie perdue.

Comme d'une part il cite dans son traité sur les [[Nombre polygonal|nombres polygonaux]] le mathématicien [[Hypsiclès]], qui vivait au {{-s-|II|e}}, et que d'autre part il est cité par [[Théon d'Alexandrie]], qui au {{s-|IV|e}} l'a mentionné dans un commentaire sur l'''Almageste'' de [[Claude Ptolémée]], on sait qu'il a vécu entre ces deux époques, et ce sont là les seules certitudes dont on dispose à ce sujet<ref name="p18">{{harvsp|Gómez y Urgellés|Gerschenfeld|2018|p=18}}</ref>. En s'appuyant sur une source tardive, et au prix de plusieurs hypothèses qui ont été contestées, [[Paul Tannery]] le fait vivre au {{s-|III|e}}{{Note|groupe="n"|Quant au fait qu'il aurait vécu au {{s-|III|e}}, c'est Paul Tannery qui l'a inféré à partir du problème 30 du livre V des ''Arithmétiques''. Ce problème, qui demande de trouver une réponse à une question concernant le prix et la qualité d'amphores de vin, a conduit l'historien français à conjecturer que Diophante avait vécu dans la deuxième moitié du {{s-|III|e}}. Il aurait donc été le contemporain de [[Pappus d'Alexandrie]]<ref name="p18" />}}. [[Wilbur Knorr]] critique les arguments de Tannery et juge {{citation|attrayante}}{{Note|groupe="n"|{{citation|...it might be possible for Diophantus to be a contemporary of Hero, as early as the first century A.D. This notion has certain attractive features, and I do not know of explicit evidence that would absolutely rule it out}}<ref>{{harvsp|Knorr|1993|p=184-185}}</ref>}} l'hypothèse que Diophante ait été contemporain de [[Héron d'Alexandrie]] au {{s-|I}}<ref>{{article|lang=en|auteur=[[Wilbur Knorr]]|année=1993|titre=Arithmêtikê stoicheiôsis: On diophantus and hero of Alexandria|revue=[[Historia Mathematica]]|volume=20| numéro= 2| pages=180-192|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086083710153}}, {{p.|184-185}}.</ref>. [[Marwan Rashed]], analysant des sources antiques, estime quant à lui que Diophante n'a pu vivre au-delà du {{s-|II}}<ref>{{chapitre|auteur=Marwan Rashed|titre=LA connaissance de Diophante dans l'Antiquité|titre ouvrage=Les ''Arithmétiques'' de Diophante|auteurs ouvrage=Roshdi Rashed et Christian Houzel|passage=595-607}}.</ref>.

== Œuvre ==
Il est connu pour son étude des [[équation]]s à [[variable (mathématiques)|variables]] sur les [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] positifs (les quotients de deux [[entier naturel|entiers naturels]]), étude qui a donné son nom aux [[Équation diophantienne|équations diophantiennes]]. L'adjectif ''[[diophantien]]'' est souvent utilisé en [[théorie des nombres]] pour décrire un problème en rapport avec ces équations.

Son ouvrage le plus important, les ''[[Arithmétiques]]'', influence les [[mathématiques arabes|mathématiciens arabes]] et bien plus tard ceux de la [[Renaissance]]. Diophante a aussi écrit un traité sur les [[Nombre polygonal|nombres polygonaux]], dont des fragments nous sont parvenus. À la différence des ''Arithmétiques'', les ''Nombres polygonaux'' ne sont pas à proprement parler un livre d'exercices. Selon les sources antiques, Diophante est également l'auteur d'un livre intitulé ''Porismes'' et d'un traité sur les fractions intitulé ''Moriastique'', les deux ayant été malheureusement perdus{{sfn|Gómez y Urgellés|Gerschenfeld|2018|p=41-42}}.

Diophante utilise des [[Nombre négatif|nombres négatifs]] {{incise|qu'il qualifie d'absurdes}} et il a formulé la règle des signes, {{citation|Moins par moins égale plus, moins par plus égale moins}}{{Note|groupe="n"|Un énoncé explicite de la règle des signes apparaît dans l'''[[Arithmetica]]'' : {{citation|Ce qui est de manque, multiplié par ce qui est de manque, donne ce qui est positif ; tandis que ce qui est de manque, multiplié par ce qui est relatif et positif, donne ce qui est de manque}}<ref>{{harvsp|Gómez y Urgellés|Gerschenfeld|2018|p=78}}</ref>}}.

Diophante s'intéresse notamment aux problèmes suivants {{Article détaillé|Équation diophantienne}} 
* Résolution d'équations quadratiques (du type ax<sup>2</sup> = bx + c) ; 
* détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés (ex. : trouver x tel que 10x + 9 et 5x + 4 soient tous deux des carrés) ; 
* décomposition d'un nombre en somme de 2 carrés. Il semble que Diophante sache d'expérience que les entiers de la forme 4n+3 ne s'écrivent pas comme la somme de 2 carrés ; 
* partage d'un carré en 2 carrés : il explique notamment comment partager 16 en somme de 2 carrés : (16/5)<sup>2</sup> + (12/5)<sup>2</sup>. C'est en marge de ce problème que Fermat inscrit sur son exemplaire des ''Arithmetica'' sa fameuse note, selon laquelle il est impossible de partager un cube en 2 cubes, une puissance quatrième en 2 puissances quatrièmes, et plus généralement une puissance quelconque au-delà du carré, en 2 puissances du même exposant. Il faudra attendre 1995 pour avoir une démonstration de ce résultat par [[Andrew Wiles]].
* un grand nombre de travaux ont été consacrés aux équations diophantiennes du second degré.
** le premier d'entre eux traite de la résolution de l'équation <center><math>ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0</math></center> où ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'' et ''f'' sont des entiers. En 1769, [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] trouve un algorithme pour cette équation. En 1770, il démontre un résultat énoncé par Diophante, connu sous le nom de [[théorème des quatre carrés de Lagrange]].
** le deuxième de ces grands travaux concerne ce que l'on appelle l'[[équation de Pell-Fermat]], un cas particulier de l'équation diophantienne du second degré de la forme <center><math>x^2 - dy^2 = n.</math></center> où ''d'' est un [[entier naturel|entier positif]] qui n'est pas un [[carré parfait]] et ''n'' un entier non nul
** en 1657, à la fin de sa vie, [[Pierre de Fermat]] lance un défi aux mathématiciens anglais <center><math> d . x^2 + 1 = y^2</math></center> autrement dit, si ''d'' n'est pas un carré, existe-t-il une infinité de carrés ''x²'' tels que si on les multiplie par ''d'' et que l'on ajoute 1 au résultat, on obtienne un carré (que l'on note ''y²'') ? Pierre de Fermat précise en préambule qu'il doit s'agir de solutions entières. La méthode générale pour calculer des solutions de ce type est attribuée{{Note|groupe="n"|Le mathématicien irlandais William Brouncker (1620-1684) en est le premier inventeur. Hélas, le mathématicien suisse [[Leonhard Euler]] rapporta dans ses œuvres que la méthode pour résoudre ce type d'équation avait été inventée par le mathématicien anglais [[John Pell]] (1611-1685). Le prestige d'Euler était tel 
 que cette erreur, due à un malentendu, connut une grande diffusion et fut reprise par la communauté mathématique<ref>{{harvsp|Gómez y Urgellés|Gerschenfeld|2018|p=83}}</ref>}} au mathématicien anglais John Pell (1611-1685), qui lui a donné son nom{{sfn|Gómez y Urgellés|Gerschenfeld|2018|p=79-82}}. 

<gallery>
Diophantus-cover.jpg|Page de titre de l'édition de 1621 des ''[[Arithmétiques]]''.
Fichier:Diophantus-II-8.jpg|Page 85 de l'édition de 1621.
Diophantus-cover-Fermat.jpg|Page de titre de l'édition de 1670.
</gallery>

== Son épitaphe ==
Mais il est également connu pour son [[épitaphe]] : ''problème'', attribué à [[Métrodore (grammairien)|Métrodore]] (vers 500), permettant de trouver l'âge de Diophante d'Alexandrie à sa mort. Ce problème partage la vie de Diophante en parties inégales représentées par des fractions et permet de calculer la durée de sa vie, soit 84 ans. Voici le problème en abrégé :

« L'enfance de Diophante occupa un sixième de toute sa vie. Le douzième fut pris par son adolescence. Après une nouvelle période équivalente au septième de sa vie, il se maria. Cinq ans plus tard, il eut un fils. La vie de ce fils fut exactement une demie de celle de son père. Diophante mourut quatre ans après la mort de son fils<ref> [http://www.recreomath.qc.ca/dict_diophante_epitaphe.htm Épitaphe de Diophante] sur recreomath.qc.ca.</ref>. » 

Une version de ce problème, extraite de l'''[[Anthologie grecque]]'', a été publiée par [[Olry Terquem (mathématicien)|Orly Terquem]]<ref>''Bulletin d'histoire, de biographie et de bibliographie mathématiques'', vol. 6, 1860, {{p.|71-72}}, {{Google Livres|C-BEAAAAcAAJ|page=71|aperçu}}.</ref>, accompagnée d'une traduction en latin par [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]] et d'une imitation en [[alexandrin]]s par un collaborateur qui signe H. Eutrope<ref>''Revue de l'instruction publique de la littérature et des sciences en France et dans les pays étrangers'', 1860, {{p.|461}}, {{Google Livres|TKREhJ-o9aAC|page=461|aperçu}}.</ref>{{,}}<ref>Reprise sans la solution dans {{Ouvrage|auteur1=Émile Fourrey|titre=Récréations arithmétiques|année=1899|passage=153|lire en ligne=https://archive.org/stream/rcrationsari00fouruoft#page/153/mode/1up}}.</ref> :

<poem>
Passant, sous ce tombeau repose Diophante,
Et quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort :
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance ;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis, s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils qui, du destin sévère
Reçut de jours, hélas ! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut :
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.
       ''Solution.''
Représente par {{math|''x''}} le nombre en question
Et, sans rien oublier, pose une équation
Où dans le premier membre on trouve le sixième,
Puis le douzième d'{{math|''x''}}, augmentés du septième.
Ajoutes-y neuf ans : le tout égalera
L'inconnue {{math|''x''}}. Transpose, ajoute…, et cætera.
Tu verras aisément, sans qu'on puisse en rabattre,
Que l'âge du bonhomme est bien {{rom|quatre-vingt-quatre}}.
</poem>
Plus explicitement<ref>{{Lien web|url=http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-celebres/diophante|titre=Diophante|site=maths-et-tiques.fr}}.</ref> : la solution de <math>x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x</math> est <math>x = 84</math>.

Démonstration:
* <math>x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x</math>
* Or ([[plus petit commun multiple]]) : <br><math>pcm(6, 12, 7, 2) = pcm(2.3, 2.2.3, 7, 2) = 2.2.3.7 = 84</math>
* Donc <math>9 = x - (14 + 7 + 12 + 42)x/84</math>
* <math>9 = x/84 (84 - 75)</math>
* <math>9 = 9 x/84</math>
* <math>x = 84</math> <br>c.q.f.d.

Cette épitaphe fournit les « données historiques » suivantes :
* L'enfance de Diophante alla de 0 à 14 ans ;
* Son adolescence de 14 à 21 ans ;
* À 33 ans il se maria ;
* À 38 ans il eut un fils ;
* Il le perdit à 80 ans
* Et mourut à 84 ans.

== Postérité ==
Diophante est « redécouvert » en Europe occidentale par [[Regiomontanus]] en 1463 grâce à un manuscrit rapporté à Rome après la [[Chute de Constantinople|prise de Constantinople]] en [[1453]]. Regiomontanus affirmait avoir vu 13 livres mais, jusqu'en 1971, seuls six livres subsistaient.

Les premières traductions de Diophante datent de la fin du {{S|XVI}} : [[Raphaël Bombelli]] le traduit en italien en 1572 dans son ''Algebra'', Xylander en latin en 1575, puis [[Simon Stevin]] en français en 1585 (seulement les quatre premiers livres). [[Albert Girard]] en 1625 et 1634 publiera dans les ''œuvres mathématiques de Simon Stevin'' la traduction des cinquième et sixième livres suivant le même modèle que Simon Stevin.

En 1621 [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Claude-Gaspard Bachet]] donne une édition du texte de Diophante (en [[Grec ancien|grec]]), avec en regard une traduction en [[latin]], accompagnée de commentaires. C'est cette édition que possédait [[Pierre de Fermat]], et qu'après la mort de celui-ci son fils, republiera augmentée des annotations de son père à [[Toulouse]] en [[1670]]. L'ayant étudié au cours de sa jeunesse, [[Descartes]] affirmera de lui dans ses ''[[Règles pour la direction de l'esprit]]'', en 1628, qu'il fait voir dans ses œuvres, de même que [[Pappus d'Alexandrie]], les {{citation|traces de cette vraie mathématique}}, fruits des {{citation|semences de vérité, déposées par la nature dans l'esprit humain}}, qui {{citation|avaient tant de force dans cette rude et simple antiquité}}<ref>''Règles pour la direction de l'esprit'', IV, pp. 17 et 18 de l'édition des œuvres de Descartes dans la Pléiade.</ref>. Certaines caractéristiques des méthodes de résolution des problèmes de Diophante ont inspiré les fondateurs modernes de la méthode algébrique, comme [[Viète]] et [[Fermat]]<ref>[[Wilbur Knorr]], article « Mathématiques » {{p.}}434-435 dans [[Jacques Brunschwig]] et {{Lien|trad= G. E. R. Lloyd|fr= G. E. R. Lloyd|texte= Geoffrey Lloyd}}, ''Le Savoir grec, Dictionnaire critique'', Flammarion, 1996.</ref>.
En [[1971]], quatre autres livres traduits en arabe sont découverts à [[Mechhed]] par [[Roshdi Rashed]]<ref>{{lien web|titre=DIOPHANTE D'ALEXANDRIE|sous-titre=1. Une œuvre dispersée|auteur=Roshdi Rashed|site=[[Encyclopædia Universalis]]| url=http://www.universalis.fr/encyclopedie/diophante-d-alexandrie/1-une-oeuvre-dispersee/}}.</ref>.

== Héritage mathématique de Diophante ==
Une des applications importantes de son héritage mathématique concerne la sécurité informatique, dans laquelle les équations diophantiennes jouent un grand rôle, qu'il s'agisse des plus connues comme <math>a x + b y = c</math>, ou des plus sophistiquées, comme celles étudiées par [[Louis Mordell]] dans son ouvrage ''Diophantine Equations'', du type <math>y^2 = x^3 + a x + b</math>. Ces dernières donnent naissance à des [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]] qui jouent un rôle très important dans le domaine de la sécurité informatique et du cryptage des données. Ces équations sont impliquées dans le [[chiffrement RSA]] avec clé publique, et dans le [[Échange de clés Diffie-Hellman|protocole cryptographique Diffie-Hellman]], qui sert à sécuriser la transmission de données sur Internet, surtout en matière de transactions bancaires et de confidentialité des communications. Les équations du type <math>a x + b y = c</math> jouent un rôle essentiel en [[arithmétique modulaire]], laquelle est utilisée par exemple dans la détermination de la validité des [[Code-barres|codes-barres]]{{sfn|Gómez y Urgellés|Gerschenfeld|2018|p=148/150}}.

== Hommages ==
En [[1935]], l'[[Union astronomique internationale]] donne le nom de [[Diophantus]] à un [[cratère lunaire]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references group="n" /> 

=== Références ===
{{Bouillet}}
{{références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Identité de Brahmagupta]] (généralise une identité de Diophante)

=== Bibliographie ===
{{légende plume}}
* ''Les Arithmétiques'' (vers 250), tome 3, {{éd.}} et tr. Roshdi Rashed, Paris, [[Les Belles Lettres]], [[1984]], collection des Universités de France, ccvi-264p. {{ISBN|2-251-00375-4}}
* ''Les Arithmétiques'', tome 4, {{éd.}} et tr. Roshdi Rashed, Paris, Les Belles Lettres, 1984, Collection des Universités de France, cxxxiv-322p. {{ISBN|2-251-00376-2}}
*{{chapitre|auteur=[[Norbert Schappacher]]|titre=Diophante d'Alexandrie : Un texte et son histoire|titre ouvrage=4000 ans d'histoire des mathématiques : les mathématiques dans la longue durée, Actes du treizième colloque inter-IREM d'Histoire et d'Epistémologie des Mathématiques, IREM de Rennes, 6-7-8 mai 2000|année=2002|url=http://irma.math.unistra.fr/~schappa/NSch/Publications_files/2002b_Diophante.pdf|passage=15-39|isbn=2-85728-059-9}}
* {{MacTutor|id=Diophantus|title=Diophantus of Alexandria}} 
* {{ouvrage|prénom1=Joan|nom1=Gómez y Urgellés|prénom2=Abel|nom2=Gerschenfeld|responsabilité2=Trad.|titre=L'invention du langage arithmétique|sous-titre=Diophante|éditeur=RBA Coleccionables|lieu=Barcelone|année=2019|pages totales=157|isbn=978-84-473-9894-2|plume=oui}} 

=== Liens externes ===
{{liens}}
* {{Lien web|url=http://www.mathematiquesfaciles.com/age-de-diophante_2_61359.htm|titre=Âge de Diophante|site=mathematiquesfaciles.com}}

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