Voir la source de Discriminant

{{Sous-titre|Réalisant}}
{{confusion|Déterminant (mathématiques)}}
[[Image:Quadratic equation discriminant.png|vignette|Incidence du signe du discriminant sur les [[racine d'un polynôme|racines]] de l'équation du second degré à coefficients [[nombre réel|réels]].]]

En [[mathématiques]], le '''discriminant''' noté <math>\Delta</math>, ou le '''réalisant''' noté <math>\rho</math><ref name="Uclouvain"/>, est une notion [[algèbre|algébrique]]. Il est utilisé pour résoudre des [[équation du second degré|équations du second degré]]. Il se généralise pour des [[polynôme]]s de degré > 0 quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles munis d'une [[addition]] et d'une [[Produit (mathématiques)|multiplication]]. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de [[racine d'un polynôme|racine]] multiple.

Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les [[conique]]s et les [[quadrique]]s en général. On le retrouve dans l'étude des [[forme quadratique|formes quadratiques]] ou celle des [[extension finie|corps de nombres]] dans le cadre de la [[théorie de Galois]] ou celle des [[théorie algébrique des nombres|nombres algébriques]]. Sa définition se fonde sur le calcul d'un [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]].

== Historique ==

L'histoire et la découverte du discriminant est un élément de l'histoire plus générale de l'algèbre et en particulier de la [[Équation_du_second_degré#Historique|résolution des équations du second degré]]. Il apparait notamment lorsqu'on résout ces équations à l'aide d'[[Identité_remarquable#.C3.89quation_du_second_degr.C3.A9|identités remarquables]].

== Polynôme du second degré ==
=== Résolution de l'équation à coefficients réels ===
{{Article détaillé|Équation du second degré|racine d'un polynôme}}
{{voir aussi|Identité remarquable}}

Considérons une équation du second degré, ici <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> sont trois coefficients [[nombre réel|réels]] tel que <math>a</math> est différent de ''zéro'' :

<center><math>ax^2 + bx + c = 0</math></center>

{{Théorème|Discriminant de l'équation du deuxième degré|
Le discriminant (ou réalisant<ref name="Uclouvain">[https://sites.uclouvain.be/sc-didactique/ete-mathphys/second/Second.htm « Equation du second degré »] sur le site de l'[[Université catholique de Louvain (depuis 1968)|UCLouvain]].</ref>) de l'équation précédente est le nombre <math>\Delta</math> (ou <math>\rho</math>) défini par :

<center><math>\Delta = \rho = b^2 - 4ac</math></center>
}}

La connaissance du discriminant permet de résoudre l'équation :

{{Théorème|Résolution de l'équation|
Si le discriminant est positif, l'équation admet deux [[racine d'un polynôme|solutions]] <math>x_1</math> et <math>x_2</math> données par les formules suivantes :

<center><math>x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a} \quad \text{et}\quad ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)</math></center>

Si le discriminant est nul, les deux solutions obtenues sont égales, on dit que l'équation admet une ''racine double'' :

<center><math>ax^2 + bx + c =a\left(x + \frac b{2a}\right)^2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}</math></center>

Si le discriminant est strictement négatif, il n'a pas de racine carrée réelle et donc l'équation n'admet pas de solution réelle.
}}

Dans ce dernier cas, le discriminant a toutefois une [[racine d'un nombre complexe|racine complexe]] et donc une solution complexe.

=== Résolution de l'équation à solutions ou coefficients complexes ===
{{Article détaillé|Racine d'un nombre complexe}}

Si les solutions [[nombre complexe|nombres complexes]] de l'équation sont admises, ou si les coefficients <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> sont complexes<ref>Cette situation se rencontre par exemple dans l'étude des circuits électriques : l'[[Impédance (électricité)|impédance]] est un nombre complexe.</ref>, la situation est un peu différente. Le [[théorème de d'Alembert-Gauss]] précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans l'ensemble des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur <math>\delta</math> telle que son carré <math>\delta^2</math> soit égal à <math>\Delta</math> :

{{Théorème|Racines complexes|
L'équation admet deux solutions <math>x_1</math> et <math>x_2</math> données par les formules suivantes :

<center><math>x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}</math></center>

Si le discriminant est nul, la même solution apparait deux fois : l'équation admet une racine double égale à :

<center><math>\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}</math></center>
}}

=== Discriminant réduit ===

Le ''discriminant réduit'' apparait quand on écrit l'équation du second degré sous la forme :

<center><math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math></center>

par un changement de variable <math>b' = \frac {b}{2}</math>. Dans ce cas les 2 et 4 apparaissant dans l’expression des solutions et du discriminant se simplifient et on obtient :

{{Théorème|Discriminant réduit|
Le discriminant réduit de l'équation précédente est le nombre <math>\Delta^\prime</math> défini par :

<center><math>\Delta^\prime = {b^\prime}^2 - ac</math></center>
}}

L'expression des racines, si elles existent, devient :
<center><math>x_1 = {-b^\prime + \delta^\prime \over a} \quad \text{et} \quad x_2
 = {-b^\prime - \delta^\prime \over a} \quad \text{avec} \quad {\delta^\prime}^2
 = \Delta^\prime = {b^\prime}^2 - ac</math></center>

=== Exemples ===

Cherchons à résoudre l'équation suivante :

<center><math>5x^2 - 5x + 1 = 0</math></center>

Le calcul du discriminant <math>\Delta</math> et des racines <math>x_1</math> et <math>x_2</math> donne :

<center><math>\Delta = (-5)^2 -4\times 5 \times 1 = 5</math></center>
<center><math>x_1 = {5 + \sqrt 5 \over 10}</math> et <math>x_2 = {5 - \sqrt 5 \over 10}</math></center>

Dans le cas de l'équation suivante, le discriminant réduit est nul et il n'existe qu'une racine, égale à –3.

<center><math>x^2 + 6x + 9 = 0</math></center>
<center><math>\Delta' = 3^2 -1 \times 9 = 0</math></center>
<center>comme <math>x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2</math>, on a <math>x_1 = x_2 = -3</math></center>

Le dernier exemple décrit une situation où le discriminant est strictement négatif, ici égal à –3. On remarque de <math>{\rm i} \sqrt{3}</math> est une [[racine carrée]] du discriminant, si <math>{\rm i}</math> désigne l'[[unité imaginaire]]. Ceci permet de déterminer les solutions :

<center><math>x^2 + x + 1 = 0</math></center>
<center><math>\Delta = 1^2 -4 \times 1 \times 1 = -3</math></center>
<center><math>x_1 = - {1 \over 2} + {\rm i} {\sqrt{3} \over 2}</math> et <math>x_2 = - {1 \over 2} - {\rm i} {\sqrt{3} \over 2}</math></center>

On peut remarquer que ces deux racines sont des [[racine de l'unité|racines de l'unité]] : elles ont pour cube (pour puissance troisième) le nombre 1. Le polynôme choisi est un cas particulier de [[polynôme cyclotomique]].

Le [[nombre d'or]] est l'unique solution positive de l'équation <math>x^2 = x + 1</math> : ici <math>\Delta = 5</math>, donc <math>\varphi={1 + \sqrt{5} \over2}</math>.

=== Interprétation géométrique ===

L'équation <math>ax^2 + bx + c = y.</math> définit (pour <math>a</math> non nul) une [[parabole]], et rechercher la solution <math>y=0</math> revient à rechercher l'intersection de cette parabole avec l'axe des abscisses. Le discriminant permet de savoir si cette intersection existe, selon les trois possibilités illustrées par l'image en haut de l'article :
* courbe bleue (discriminant positif) : la parabole croise deux fois l'axe des abscisses ; pour <math>x</math> entre les deux solutions, <math>y</math> a le signe opposé à <math>a</math>, et le même signe que <math>a</math> à l'extérieur ;
* courbe rouge (discriminant nul) : la parabole [[Tangente (géométrie)|tangente]] l'axe des abscisses en un point unique (la solution double) ;
* courbe jaune (discriminant négatif) : la parabole ne croise pas l'axe des abscisses, <math>y</math> est toujours du même signe que <math>a</math>.

== Forme quadratique en dimension 2 ==
{{Article détaillé|Forme quadratique}}
[[Image:Drini-conjugatehyperbolas.png|vignette|Si le discriminant de la [[forme quadratique]] est négatif, l'ensemble des points de <math>\R^2</math> défini par <math>\varphi (x, y) = a</math> est une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]. Si <math>a</math> est positif, on obtient une courbe analogue à celle en bleu, si <math>a</math> est négatif, en vert. Si <math>a</math> est égal à ''zéro'', l'hyperbole est dégénérée, on obtient la figure rouge.]]

Sur l'ensemble des nombres réels, une forme quadratique <math>\varphi</math> en dimension 2 associe à deux variables <math>x</math> et <math>y</math> un nombre à l'aide de la formule suivante :

<center><math>\varphi(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \quad\text{avec}\quad a,b,c \in\R</math></center>

Une forme quadratique possède aussi une expression [[matrice (mathématiques)|matricielle]] :

<center><math>\varphi(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & \frac b2 \\ \frac b2 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math></center>

Le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de l'expression matricielle est égal à <math>-(b^2 - 4ac) / 4</math> ; on retrouve une expression proche de la précédente. Un changement de [[base (algèbre linéaire)|base]], à l'aide d'une [[matrice de passage]] <math>P</math> modifie la valeur du déterminant. Plus exactement la valeur dans la nouvelle base est égale à la valeur dans l'ancienne base que multiplie le carré du déterminant de <math>P</math>, le signe du déterminant reste [[invariant]]. Cette propriété est analysée dans l'article détaillé.

Pour cette raison, il existe trois définitions différentes du discriminant d'une forme quadratique en dimension deux. Le discriminant d'une forme quadratique dans une base <math>B</math> est le déterminant de la matrice associée à la forme quadratique dans la base <math>B</math>. L'analogie avec la situation précédente permet de définir le discriminant de la forme quadratique comme étant égal à <math>b^2 - 4ac</math>. Enfin, comme le seul invariant associé au déterminant de la forme quadratique, le discriminant est aussi défini comme le signe du déterminant qui peut prendre les valeurs +1, 0 ou –1.

Le discriminant sépare les formes quadratiques en trois familles. En dimension deux, avec pour définition du discriminant la valeur du déterminant dans la [[base canonique]], si le discriminant est de signe positif pour une valeur <math>a</math> donnée l'ensemble <math>E_a</math> des points <math>(x,y)</math> vérifiant <math>\varphi(x,y) = a</math> correspond à une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] ou à l'ensemble vide. Si le discriminant est nul, alors l'ensemble <math>E_a</math> correspond à une [[parabole]]. Si le discriminant est négatif, <math>E_a</math> est une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]. Les formes quadratiques permettent ainsi d'obtenir les trois différentes formes de [[conique]]s.

== Polynôme de degré quelconque ==
L'extraction de racine d'un polynôme à l'aide du discriminant ne se généralise pas aux [[Degré (mathématiques)|degrés]] supérieurs à deux. Le discriminant d'un polynôme garde néanmoins une utilité.

Dans le cas des équations de degré deux, le discriminant est nul si et seulement si le polynôme possède une racine multiple. L'existence de racine multiple peut avoir d'importantes conséquences. En [[algèbre linéaire]], la présence de racine multiple dans le [[polynôme minimal d'un endomorphisme]] modifie sa nature. Cette présence interdit la [[diagonalisation]]. Sur les [[extension algébrique|extensions]] des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], les [[Polynôme irréductible|polynômes irréductibles]], c'est-à-dire qui ne sont pas factorisables, n'ont jamais de racine multiple ({{cf.}} l'article ''[[Extension séparable]]''), cette situation n'est pas vraie pour tous les corps. Dans le cadre de la [[théorie de Galois]], cette distinction est importante, les résultats sont différents selon la configuration.

=== Définition et propriétés ===
{{Article détaillé|Résultant}}

La généralisation du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe <math>A</math> désigne un [[anneau intègre]] et <math>P</math> un polynôme de degré <math>n</math> dont les coefficients appartiennent à <math>A</math> et sont notés de la manière suivante :

<center><math>P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;\text{et}\quad a_n \neq 0</math></center>

La [[polynôme formel|dérivée formelle]] de <math>P</math> est notée <math>P^\prime</math>, elle existe même si <math>A</math> est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin <math>R</math> désigne le [[résultant]] ; c'est une application particulière qui à deux polynômes associe un élément de <math>A</math>.

* Le discriminant de <math>P</math>, en général noté <math>\Delta(P)</math>, est la valeur définie par la formule suivante<ref>Cette définition est fréquente. On la trouve, par exemple dans {{MathWorld|nom_url=PolynomialDiscriminant|titre=Polynomial Discriminant}} (sous une forme plus générale dans le cas où <math>P^\prime</math> n'est pas de degré <math>n-1</math>) ou encore [http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./r/resultant.html Résultant et discriminant] sur le site bibmath.net. Cependant dans [http://www.les-mathematiques.net/b/c/e/node9.php Résultant. Discriminant] sur le site les-mathematiques.net, le coefficient de normalisation est absent.</ref> lorsque <math>\deg(P^\prime)=n-1</math> (ce qui est toujours le cas en [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] 0) :

<center><math>\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}2}{a_n}R(P,P^\prime)</math></center>

Le coefficient de normalisation possède son importance ; un discriminant peut ainsi être également interprété comme un volume orienté. L'usage d'une telle approche devient évidente lors de l'analyse du discriminant d'une [[forme quadratique]] ou d'un [[anneau de Dedekind]] dans le cadre de la [[théorie algébrique des nombres]].

Certains résultats de la théorie de Galois s'appliquent au discriminant, il faut alors étendre l'anneau <math>A</math> des coefficients. Comme <math>A</math> est commutatif unitaire intègre, il possède un [[corps des fractions]] <math>F</math> commutatif et <math>P</math> peut être considéré comme un polynôme à coefficients dans <math>F</math>. Ici <math>K</math> désigne le [[corps de décomposition]] de <math>P</math>, c'est-à-dire le plus petit [[corps commutatif|corps]] contenant <math>F</math> et toutes les racines de <math>P</math>, à un isomorphisme près. Le discriminant possède la propriété suivante :

* Le discriminant du polynôme <math>P</math> est non nul si et seulement si <math>P</math> est [[extension séparable|séparable]] (c'est-à-dire n'admet aucune racine multiple).

Ce résultat est une conséquence d'une propriété générale du résultant de deux polynômes : il est non nul si et seulement si les deux polynômes sont premiers entre eux. Il peut aussi se déduire de la formule suivante :

* Soit <math>\alpha_i</math> pour <math>i</math> variant de 1 à <math>n</math>, les racines du polynôme <math>P</math>, le discriminant vérifie l'égalité suivante<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Granino A. Korn|auteur2=Theresa M. Korn|titre=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers|sous-titre=Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1968|numéro d'édition=2|année première édition=1961|réimpression=2000|pages totales=1152|page=16|isbn=978-0-486-32023-6|lire en ligne={{Google Livres|A4XCAgAAQBAJ|page=16}}}}.</ref> :

<center><math>\Delta(P)=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)^2}</math></center>

{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>Issue de {{Article|langue=en|prénom=R. W. D.|nom=Nickalls|prénom2=R. H.|nom2=Dye|url=http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/discriminant1996.pdf|titre=The geometry of the discriminant of a polynomial|revue=[[The Mathematical Gazette]]|vol=80|mois=7|année=1996|p.=279-285}}.</ref>|contenu=

D'après les [[résultant|propriétés du résultant]], le discriminant est égal à :

<center><math>R(P,P^\prime) = (-1)^{n(n-1)}a_n^{n-1}\prod_{i=1}^n P^\prime(\alpha_i)=a_n^{n-1}\prod_{i=1}^n P^\prime(\alpha_i)</math></center>

Le polynôme <math>P</math> vérifie l'égalité suivante, ce qui, par dérivation donne :

<center><math>P=a_n\prod_{j=1}^n (X-\alpha_j)\quad \text{et}\quad P^\prime = a_n\sum_{k=1}^n \prod_{j=1 \atop j \neq k}^n (X - \alpha_j)</math></center>

On en déduit l'expression de <math>P^\prime(\alpha_j)</math> :

<center><math>P^\prime(\alpha_i)= a_n\sum_{k=1}^n \prod_{j=1 \atop j \neq k}^n (\alpha_i - \alpha_j)= a_n\prod_{j=1 \atop j \neq i}^n (\alpha_i - \alpha_j)</math></center>

ce qui fournit l'expression suivante du discriminant :

<center><math>R(P,P^\prime)=a_n^{2n-1}\prod_{i\neq j} (\alpha_i - \alpha_j)= a_n^{2n-1}\prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)(\alpha_j - \alpha_i)</math></center>

Comme il existe exactement <math>n(n-1)/2</math> couples <math>(i,j)</math> tel que <math>i</math> est strictement plus petit que <math>j</math>, on en déduit :

<center><math>R(P,P^\prime)=(-1)^{\frac {n(n-1)}2} a_n^{2n-1}\prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)^2</math></center>

La définition du discriminant permet de conclure.

}}

=== Exemples ===

Le discriminant d'un polynôme de degré 1 est toujours égal à 1.

Pour les polynômes du second degré et avec les notations du premier paragraphe, on obtient :

<center><math>\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{2(2-1)}2}a\begin{vmatrix}
 a & 2a & 0 \\
 b & b & 2a\\
 c & 0 & b \\
\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}
 1 & 2 & 0 \\
 b & b & 2a\\
 c & 0 & b \\
\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & 2a \\ 0 & b \\ \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b & 2a \\ c & b \\ \end{vmatrix}
= b^2 - 4ac</math></center>

en caractéristique différente de 2.

Pour les polynômes de degré trois on considère généralement le polynôme normalisé, c'est-à-dire celui dont le [[Monôme (mathématiques)|monôme dominant]] est égal à 1. Avec les notations suivantes :

<center><math>P = X^3 + aX^2 + bX + c</math></center>

on obtient, si <math>A=\Q</math><ref>Cette formule se trouve par exemple dans l'article {{en}} [http://www.britannica.com/eb/article-9030624/discriminant Discriminant] de l'[[Encyclopædia Britannica]].</ref> :

<center><math>\Delta(P) = (-1)^\frac{3(3-1)}2\begin{vmatrix}
 1 & a & b & c & 0\\
 0 & 1 & a & b & c \\
 3 & 2a & b & 0 & 0 \\
 0 & 3 & 2a & b & 0 \\
 0 & 0 & 3 & 2a & b \\
\end{vmatrix} = a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 4a^3c - 27c^2</math></center>

L'expression est un peu complexe ; pour cette raison, la tradition est de réaliser des substitutions. On obtient le résultat général suivant : supposons que <math>A</math> est un corps commutatif de caractéristique différente de 2 et de 3. Alors on peut mettre le polynôme unitaire <math>P(X) \in A[X]</math> sous la forme :

<center><math>P = X^3+pX+q \quad\text{et}\quad \Delta(P) = -2^2p^3 - 3^3q^2</math></center>

Dans le cas d'une [[équation polynomiale]] de degré 3 à coefficients réels, si ce discriminant est strictement positif, l'équation admet trois solutions réelles distinctes, si ce discriminant est nul, une racine est multiple et toutes sont réelles, si ce discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet qu'une solution réelle, les deux autres sont complexes [[conjugué]]es. Par exemple, pour l'équation binomiale <math>X^3 - a = 0</math>, ce discriminant vaut <math>-27 a^2 < 0</math> si <math>a</math> est un réel non nul.

{{Démonstration|contenu=
Notons tout d'abord qu'une racine au moins est réelle (la [[fonction polynomiale]] de <math>\R</math> dans <math>\R</math> prenant des valeurs positives et négatives et étant continue) et qu'on peut supposer le coefficient du terme de plus haut degré de l'équation égal à 1. Soit <math>\alpha_j</math>, avec <math>1\leq j \le 3</math>, les trois racines (non nécessairement distinctes) de l'équation. Le discriminant est alors donné par :

{{Retrait|<math>\Delta=\prod\limits_{j<k\le3}\left(\alpha_j-\alpha_k\right)^2</math>}}

Par conséquent, si les trois racines sont réelles et distinctes, on a nécessairement <math>\Delta >0</math>. Si une racine est double ou triple (ce qui correspond au cas <math>\Delta=0</math>), elle ne peut pas être complexe car son conjugué serait également racine. Reste le cas de trois racines distinctes, deux complexes conjuguées <math>\alpha_1</math> et <math>\alpha_2</math> et une réelle <math>\alpha_3</math>. On peut alors poser :

<math>\begin{cases}
\alpha_1=r+{\rm i}s\\
\alpha_2=r-{\rm i}s\\
\alpha_3=t
\end{cases}</math>

<math>r</math>, <math>s</math>, <math>t</math> étant des nombres réels. On a alors :

:<math>\begin{align}
\Delta&=(r + {\rm i}s - r + {\rm i}s)^2(r + {\rm i}s - t)^2(r - {\rm i}s - t)^2\\
&= (2is)^2[(r - t + {\rm i}s)(r - t - {\rm i}s)]^2\\
&= -4s^2[(r - t)^2 - ({\rm i}s)^2]^2\\
&= -4\left(s[(r - t)^2 + s^2]\right)^2 <0\\
\end{align}</math>

Puisqu'on a épuisé tous les cas possibles, le résultat est démontré.

}}

Les solutions de l'équation <math>X^3 + pX + q =0</math> sur un [[corps commutatif]] <math>K</math> de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2 et de 3 sont données par la « [[méthode de Cardan|formule de Cardan]] » qu'on peut, dans une [[clôture algébrique]] de <math>K</math>, mettre sous la forme<center><math>{\rm j}^k\sqrt[3]{{1 \over 2}\left( -q+\sqrt{\frac{-\Delta}{3^3}}\right) }+{\rm j}^{-k}\sqrt[3]{{1 \over 2}\left( -q-\sqrt{\frac{-\Delta}{3^3}}\right)}</math></center><math>\left( 0\leq k\leq 2\right)</math> où <math>\Delta</math> est le discriminant noté ci-dessus <math>\Delta(P)</math> et <math>{\rm j}</math> est une racine cubique [[Racine de l'unité|primitive]] de l'unité. Les deux termes <math>u_k</math> et <math>v_k</math> de cette somme sont liés par la relation <math>3u_kv_k=-p</math><ref>Il convient en effet d'associer correctement deux à deux les racines cubiques dans une clôture algébrique du corps <math>K</math> : voir {{Article|prénom=H.|nom=Weber|titre=Formule de Cardan modifiée par Cayley|revue=Nouvelles annales de mathématiques, {{3e|série}}|vol=14|année=1895|p.=347-349|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1895_3_14_/NAM_1895_3_14__347_1/NAM_1895_3_14__347_1.pdf}}. La restriction sur la caractéristique de <math>K</math> provient des divisions par 2 et par 3 : voir {{Harvsp|Mac Lane|Birkhoff|1999|loc=§XIII.1}}.</ref>. On trouvera un exemple de résolution d'équation du troisième degré en caractéristique finie à l'article [[Méthode de Cardan]].

Les [[courbe elliptique|courbes elliptiques]] sont un cas particulier de polynômes du troisième degré à deux variables. Pour le cas simple d'une courbe elliptique de la forme <math>y^2 = x^3 + px + q</math>, où les [[coefficient]]s <math>q, p</math> sont des nombres réels, le discriminant est de nouveau défini par <math>\Delta = -4p^3 - 27q^2</math><ref>Les conventions sont parfois différentes, et on peut trouver dans la littérature cette expression multipliée par un nombre strictement positif.</ref>.

=== Expression générale ===
L'expression générale du discriminant du polynôme <math>P</math> défini par :

<center><math>P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;</math></center>

est la suivante :

<div align="center"><math>\Delta(P)=\frac{(-1)^\frac{n(n-1)}{2}}{a_n}\overbrace{\begin{array}{|cccc}
a_n & 0 & \cdots & 0 \\
a_{n-1} & a_n & \ddots & \vdots \\
\vdots & a_{n-1} & \ddots & 0 \\
a_2 & \vdots & \ddots & a_n \\
a_1 & a_2 & \ddots & a_{n-1}\\
a_0 & a_1 & \ddots & \vdots \\
0 & a_0 & \ddots & a_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_1 \\
0 & \cdots & 0 & a_0 \\
\end{array}}^{n-1\text{ colonnes}}\overbrace{\begin{array}{ccccc|}
na_n & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
(n-1)a_{n-1} & na_n & \ddots & & \vdots \\
\vdots & (n-1)a_{n-1} & \ddots & \ddots & \vdots \\
2a_2 & \vdots & \ddots & na_n & 0\\
a_1 & 2a_2 & \ddots & (n-1)a_{n-1} & na_n\\
0 & a_1 & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1} \\
\vdots & \ddots & \ddots & 2a_2 & \vdots \\
\vdots & & \ddots & a_1 & 2a_2\\
0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1\\
\end{array}}^{n \text{ colonnes}}</math></div>

et après simplification du coefficient <math>a_n</math> sur la première ligne du déterminant, afin d'obtenir une définition
valable sur tout anneau commutatif :
<div align="center"><math>\Delta(P)= (-1)^\frac{n(n-1)}{2}\overbrace{\begin{array}{|cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{n-1} & a_n & \ddots & \vdots \\
\vdots & a_{n-1} & \ddots & 0 \\
a_2 & \vdots & \ddots & a_n \\
a_1 & a_2 & \ddots & a_{n-1}\\
a_0 & a_1 & \ddots & \vdots \\
0 & a_0 & \ddots & a_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_1 \\
0 & \cdots & 0 & a_0 \\
\end{array}}^{n-1\text{ colonnes}}\overbrace{\begin{array}{ccccc|}
n & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
(n-1)a_{n-1} & na_n & \ddots & & \vdots \\
\vdots & (n-1)a_{n-1} & \ddots & \ddots & \vdots \\
2a_2 & \vdots & \ddots & na_n & 0\\
a_1 & 2a_2 & \ddots & (n-1)a_{n-1} & na_n\\
0 & a_1 & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1} \\
\vdots & \ddots & \ddots & 2a_2 & \vdots \\
\vdots & & \ddots & a_1 & 2a_2\\
0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1\\
\end{array}}^{n \text{ colonnes}}</math></div>

== Utilisations du discriminant ==

Revenons sur l'utilisation du discriminant.

* Dans le cas d'équations du second ou du troisième degré, le discriminant permet de calculer les racines et son signe permet de les caractériser ({{cf.}} ''supra'').
* Considérons plus généralement un polynôme <math>f\left( X\right)</math> à coefficients réels de degré <math>n>0</math>. Si les racines de ce polynôme sont toutes réelles et distinctes, son discriminant <math>\Delta</math> vérifie <math>\Delta>0</math>. Si <math>\Delta<0</math>, les racines de <math>f\left( X\right)</math> sont distinctes et deux d'entre elles au moins sont complexes conjuguées. Plus généralement, soit <math>k</math> un corps commutatif et <math>f\left( X\right) \in k\left[ X\right]</math> un polynôme de degré <math>\geq 2</math>. Si les racines de <math>f\left( X\right)</math> dans une clôture algébrique de <math>k</math> appartiennent à <math>k</math>, le discriminant est un carré dans <math>k</math>.

{{Démonstration|contenu=
Il suffit de considérer l'expression

:<math>\Delta =a_n^{2n-2}\prod\nolimits_{i<j\leq n}\left( \alpha _{i}-\alpha _{j}\right) ^{2}</math>

où <math>a_n</math> est le coefficient du terme de plus haut degré et les <math>\alpha _{i}</math> sont les racines de <math>f\left( X\right)</math>.
}}

* Soit <math>k</math> un corps commutatif et <math>f\left( X\right) \in k\left[ X\right]</math> un polynôme de degré <math>\geq 2</math>. Ce polynôme est séparable si, et seulement si son discriminant <math>\Delta</math> est <math>\neq 0</math> (voir ''supra'').
* Soit <math>k</math> un corps commutatif de caractéristique <math>\neq 2</math>, <math>f\left( X\right) \in k\left[ X\right]</math> un polynôme séparable de degré <math>n \geq 2</math>, <math>E\supseteq k</math> son corps de décomposition, et <math>\alpha _{1},...,\alpha _{n}</math> les racines de <math>f</math> dans <math>E</math>. Les conditions suivantes sont équivalentes<ref>{{Harvsp|Cohn|2005|loc=Thm. 7.10.5}}.</ref> :

::(a) Le groupe de Galois <math>G\left( E/k\right)</math>, en tant que groupe des permutations de <math>\alpha _{1},...,\alpha _{n}</math>, est inclus dans le [[groupe alterné]] <math>A_{n}</math>.
::(b) <math>\delta =\prod\nolimits_{i<j}\left( \alpha _{i}-\alpha _{j}\right)</math> appartient à <math>k</math>.
::(c) Le discriminant <math>\Delta</math> est un carré dans <math>k</math>.

{{Démonstration|contenu=
Si une permutation est paire (resp. impaire), elle change <math>\delta</math> en <math>\delta</math> (resp. <math>-\delta</math>). Par conséquent, si tous les éléments de <math>G\left( E/k\right)</math> agissent par permutations paires sur <math>\alpha _{1},...,\alpha _{n}</math>, alors <math>\delta</math> est invariant par ce groupe, et <math>\delta \in k</math>. Donc, <math>(a)\Rightarrow (b)</math>. La réciproque est évidente, de même que <math>(b)\Leftrightarrow (c)</math>.
}}

== Discriminant d'un anneau d'entiers algébriques==
{{Article détaillé|Forme trace|Discriminant d'un corps de nombres}}

La théorie algébrique des nombres utilise la notion de discriminant à partir d'une définition qui semble bien différente. Elle correspond à un déterminant d'une forme quadratique et s'applique à un [[anneau commutatif]] <math>A</math>. Les deux définitions sont néanmoins intimement corrélées. S'il existe un [[entier algébrique]] <math>a</math> tel que l'anneau <math>A</math> est égal à <math>\Z[a]</math> — ici <math>\Z</math> désigne les [[entier relatif|entiers relatifs]] — alors le [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] de <math>a</math> est à coefficients dans <math>\Z</math>. Son discriminant au sens des polynômes est égal au discriminant de l'anneau au sens de la théorie algébrique des nombres.

== Notes et références ==
<references />

=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage |prénom1=Nicolas |nom1=Bourbaki |lien auteur1=Nicolas Bourbaki |titre=Algèbre, Chapitres 4 à 7 |lien titre=Éléments de mathématique |éditeur=[[Springer Verlag |Springer]] |année=2006 |pages=432 |isbn=3-540-34398-9}}.
* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Paul Moritz |nom1=Cohn |lien auteur1=Paul Moritz Cohn |titre=Basic Algebra |éditeur=Springer |année=2005 |pages=480 |isbn=81-8128-047-4}}.
* {{Lang1}}.
* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Saunders |nom1=Mac Lane |lien auteur1=Saunders Mac Lane |prénom2=Garrett |nom2=Birkhoff |lien auteur2=Garrett Birkhoff |titre=Algebra |éditeur=[[American Mathematical Society |AMS]] |année=1999 |numéro d'édition=3 |pages totales=626 |pages=626 |isbn=0-8218-1646-2 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC}}.
* {{Samuel1}}.
* {{Perrin1}}.
* {{en}} Robert J. Walker, ''Algebraic curves'', Springer, 1978 {{ISBN |978-03-879-0361-3}}.

{{Palette |Polynômes}}
{{Portail |algèbre}}

[[Catégorie:Équation polynomiale]]
[[Catégorie:Déterminant]]