Voir la source de Discriminant d'un corps de nombres

[[Fichier:Discriminant49CubicFieldFundamentalDomain.png|droite|vignette|upright=1.6|Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps {{mvar|K}} obtenu à partir de <math>\mathbb Q</math> en adjoignant une racine de <math>X^3-X^2-2X+1</math>. Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de <math>K \otimes_{\mathbb Q} \mathbb R</math>. Le discriminant de {{mvar|K}} est {{math|1= 49 = 7{{2}}}}. En conséquence, le volume du domaine fondamental est {{math|7}} et {{mvar|K}} n'est [[Ramification (mathématiques)|ramifié]] qu'en {{math|7}}.]]
En [[mathématiques]], le '''discriminant d'un corps de nombres''' est un [[invariant]] numérique qui, moralement, mesure la taille de l'[[anneau des entiers]] de ce [[corps de nombres]]. Plus précisément, il est proportionnel au carré du volume du [[domaine fondamental]] de l'anneau des entiers, et il régule quels [[Nombre premier|nombres premiers]] sont [[Ramification (mathématiques)|ramifiés]].

Le discriminant est l'un des invariants les plus élémentaires d'un corps de nombres et apparaît dans plusieurs formules [[Théorie analytique des nombres|analytiques]] importantes telles que l'[[Équation fonctionnelle (fonction L)|équation fonctionnelle]] de la [[fonction zêta de Dedekind]] de {{mvar|K}} et la [[Formule du nombre de classes|formule analytique des nombres de classe]] pour {{mvar|K}}. [[Théorème d'Hermite-Minkowski|Un théorème d'Hermite]] stipule qu'il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres de discriminant donné, mais la détermination de cette quantité est toujours un [[problème ouvert]] et fait l'objet de recherches<ref>{{Chapitre|lang=en
|auteur=[[Henri Cohen (mathématicien)|Henri Cohen]]
| nom2=Diaz y Diaz
| prénom2=Francisco
| nom3=Olivier
| prénom3=Michel
|titre=A Survey of Discriminant Counting
| titre ouvrage=Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, July 2002
|auteurs ouvrage=Claus Fieker et David R. Kohel
| éditeur=Springer-Verlag
| lieu=Berlin
|collection=Lecture Notes in Computer Science
| isbn=978-3-540-43863-2
| doi=10.1007/3-540-45455-1_7
| année=2002
|numéro dans collection=2369
| pages=80-94
| mr=2041075
}}.</ref>.

Le discriminant de {{mvar|K}} peut être appelé '''discriminant absolu''' de {{mvar|K}} pour le distinguer du '''discriminant relatif''' d'une [[Extension de corps|extension]] <math>K/L</math> de corps de nombres. Ce dernier est un [[idéal]] dans l'anneau des entiers de {{mvar|L}} et comme le discriminant absolu, il indique quels nombres premiers sont ramifiés dans <math>K/L</math>. C'est une généralisation du discriminant absolu permettant à {{mvar|L}} d'être plus grand que <math>\mathbb Q</math> ; en effet, lorsque <math>L=\mathbb Q</math>, le discriminant relatif de <math>K/\mathbb Q</math> est l'[[idéal principal]] de <math>\mathbb Z</math> engendré par le discriminant absolu de {{mvar|K}}.

== Définition ==
Soit {{mvar|K}} un corps de nombres, et soit <math>\mathcal O_K</math> l'[[Anneau des entiers|anneau de ses entiers]]. Soit <math>(b_1, \ldots, b_n)</math> une [[Groupe abélien libre|base intégrale]] de <math>\mathcal O_K</math> (c'est-à-dire une base en tant que <math>\mathbb Z</math>-[[module libre]]), et soit <math>\{\sigma_1, \ldots, \sigma_n \}</math> l'ensemble des plongements de {{mvar|K}} dans <math>\mathbb C</math> (c'est-à-dire des [[Morphisme de corps commutatifs|morphismes]] de {{mvar|K}} dans le corps des [[Nombre complexe|nombres complexes]]). Le '''discriminant''' de {{mvar|K}} est le [[Carré (algèbre)|carré]] du [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] de la [[Matrice (mathématiques)|matrice]] {{mvar|B}} dont le coefficient (''i'', ''j'') est <math>\sigma_i(b_j)</math>. Formellement,

: <math>\Delta_K=\det\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_1(b_1) & \sigma_1(b_2) &\cdots & \sigma_1(b_n) \\
\sigma_2(b_1) & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
\sigma_n(b_1) & \cdots & \cdots & \sigma_n(b_n)
\end{array}\right)^2.
</math>

De manière équivalente, on peut utiliser la [[Forme trace|trace]] de {{mvar|K}} sur <math>\mathbb Q</math>. Plus précisément, définissons la forme trace comme étant la matrice dont le coefficient (''i'', ''j'') est <math>\mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(b_ib_j)</math>. Cette matrice vaut <math>B^TB</math>, donc le discriminant de {{mvar|K}} est le déterminant de cette matrice.

== Exemples ==

* [[Corps quadratique]]s : soit ''d'' un [[entier sans facteur carré]], alors le discriminant de <math>K=\mathbb Q(\sqrt d)</math> est

:: <math>\Delta_K=\left\{\begin{array}{ll} d &\text{si }d\equiv 1\pmod 4 \\ 4d &\text{si }d\equiv 2,3\pmod 4. \\\end{array}\right.</math>
: Un entier qui apparaît comme le discriminant d'un corps quadratique est appelé un discriminant fondamental<ref>Définition 5.1.2 de {{Ouvrage|lang=en
|auteur=Henri Cohen
| titre=A Course in Computational Algebraic Number Theory
| éditeur=[[Springer-Verlag]]
| lieu=Berlin, New York
|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]
| isbn=978-3-540-55640-4
| année=1993
|numéro dans collection=138
| mr=1228206
}}.</ref>.

* [[Extension cyclotomique|Corps cyclotomiques]] : soit <math>n>2</math> un entier, soit <math>\zeta_n</math> une [[Racine de l'unité|racine primitive ''n''-ième de l'unité]], et soit <math>K_n=\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> le ''n''-ième corps cyclotomique. Le discriminant de <math>K_n</math> est donné par<ref>Proposition 2.7 de {{Ouvrage|lang=en
| nom=Washington
| prénom=Lawrence
| titre=Introduction to Cyclotomic Fields
|numéro d'édition=2
| éditeur=Springer-Verlag
| lieu=Berlin, New York
|collection=GTM
| isbn=978-0-387-94762-4
| année=1997
|numéro dans collection=83
| mr=1421575 | zbl=0966.11047
}}.</ref>

:: <math>\Delta_{K_n} = (-1)^{\varphi(n)/2} \frac{n^{\varphi(n)}}{\displaystyle\prod_{p|n} p^{\varphi(n)/(p-1)}}</math>
: où <math>\varphi</math> est la [[Indicatrice d'Euler|fonction indicatrice d'Euler]], et le produit au dénominateur porte sur les nombres premiers ''p'' divisant ''n''.

* Bases de puissances : dans le cas où l'anneau des entiers peut s'écrire <math>\mathcal O_K= \mathbb Z[\alpha]</math>, le discriminant de {{mvar|K}} est égal au [[discriminant]] du [[Polynôme minimal (théorie des corps)|polynôme minimal]] de <math>\alpha</math>. Pour voir cela, on peut choisir <math>(1,\alpha, \ldots,\alpha^{n-1})</math> comme base intégrale de <math>\mathcal O_K</math>. Alors, la matrice dans la définition est la [[matrice de Vandermonde]] associée à α<sub>''i''</sub> = σ<sub>''i''</sub>(α), dont le déterminant au carré est

:: <math>\prod_{1\leq i<j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>
: qui est exactement la définition du discriminant du polynôme minimal.

* Soit <math>K=\mathbb Q(\alpha)</math> le corps de nombres obtenu en [[Extension simple|adjoignant]] une [[Zéro d'une fonction|racine]] α du [[polynôme]] <math>X^3-X^2-2X-8</math>. Il s'agit de l'exemple original de [[Richard Dedekind]] d'un corps de nombre dont l'anneau d'entiers ne possède pas de base de puissance. Une base intégrale est <math>\left\{1,\alpha,\frac{\alpha(1+\alpha)}2\right\}</math> et le discriminant de {{mvar|K}} est {{math|–503}}<ref>{{Article|lang=de
|auteur=Richard Dedekind
| titre=Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN250442582_0023&DMDID=dmdlog10
| année=1878
| journal=Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
| volume=23
| consulté le=2009-08-20
| numéro=1
}}, {{p.|30-31}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en
|auteur=[[Władysław Narkiewicz]]
| titre=Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers
|numéro d'édition=3
| année=2004
| éditeur=Springer-Verlag
| lieu=Berlin
|collection=Springer Monographs in Mathematics
| isbn=978-3-540-21902-6
| mr=2078267|url={{Google Livres|3FbuCAAAQBAJ|page=64}}|page=64}}.</ref>.
* Discriminants répétés : le discriminant d'un corps quadratique l'identifie de manière injective, mais ce n'est pas vrai en général, pour les corps de nombres de degré supérieur. Par exemple, il existe deux {{Lien|trad=Cubic field|Corps cubique|texte=corps cubiques}} non [[Isomorphisme de corps|isomorphes]] de discriminant {{math|3969}}. Ils sont obtenus en adjoignant une racine du polynôme <math>X^3-21X+28</math> ou <math>X^3-21X-35</math>, respectivement<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Cohen|1993|loc=Theorem 6.4.6}}.</ref>.

== Résultats fondamentaux ==

* '''Théorème de Brill'''<ref>{{Ouvrage|lang=en| prénom=Helmut | nom=Koch | titre=Algebraic Number Theory | éditeur=[[Springer-Verlag]] | année=1997 | isbn=3-540-63003-1 | zbl=0819.11044|collection=Encycl. Math. Sci.|numéro dans collection=62|numéro d'édition=2nd printing of 1st|page=11}}.</ref> : le [[Signe (arithmétique)|signe]] du discriminant est <math>(-1)^{r_2}</math> où <math>r_2</math> est le nombre de [[Signature (arithmétique)|plongements complexes]] de {{mvar|K}}<ref>Lemme 2.2 de {{Référence Harvard sans parenthèses|Washington|1997}}.</ref>.
* Un nombre premier ''p'' se ramifie dans {{mvar|K}} si et seulement si ''p'' divise <math>\Delta_K</math><ref name=NeukirchRamif>Cor. III.2.12 de {{Ouvrage|lang=de
|auteur=[[Jürgen Neukirch]]
     | titre       = Algebraische Zahlentheorie
     | éditeur   = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
     | lieu    = Berlin
     |collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
     | isbn        = 978-3-540-65399-8
     | mr          =  1697859
     | zbl         = 0956.11021 
     | année        = 1999
     |numéro dans collection= 322|url={{Google Livres|q-cjBgAAQBAJ|page=211}}|page=211}}.</ref>.
* '''Théorème de Stickelberger'''<ref>Exerc. I.2.7 de {{Référence Harvard sans parenthèses|Neukirch|1999}}.</ref> :{{Retrait|<math>\Delta_K\equiv 0\text{ ou }1 \pmod 4.</math>}}
* '''[[Borne de Minkowski]]'''<ref>Prop. III.2.14 de {{Référence Harvard sans parenthèses|Neukirch|1999}}.</ref> : soit ''n'' le degré de l'extension <math>K/\mathbb Q</math> et <math>r_2</math> le nombre de plongements complexes de {{mvar|K}}, alors{{Retrait|<math>|\Delta_K|^{1/2}\geq \frac{n^n}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{r_2} \geq \frac{n^n}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n/2}.</math>}}
* '''Théorème de Minkowski'''<ref>Th. III.2.17 de {{Référence Harvard sans parenthèses|Neukirch|1999}}.</ref> : si <math>K\ne\mathbb Q</math>, alors <math>|\Delta_K|>1</math> (ceci découle directement de la borne de Minkowski).
* '''Théorème d'Hermite-Minkowski'''<ref>Th. III.2.16 de {{Référence Harvard sans parenthèses|Neukirch|1999}}.</ref> : soit {{mvar|N}} un [[Entier naturel|entier strictement positif]]. Il n'y a qu'un nombre fini (à isomorphismes près) de corps de nombres {{mvar|K}} avec <math>|\Delta_K|<N</math>. Encore une fois, cela découle de la borne de Minkowski ainsi que du théorème d'Hermite.

== Histoire ==
[[Fichier:Dedekind.jpeg|droite|vignette|[[Richard Dedekind]] a montré que tout corps de nombres possède une base intégrale, lui permettant de définir le discriminant d'un corps de nombre arbitraire.]]
La définition du discriminant d'un corps de nombres général a été donnée par Dedekind en 1871. À ce stade, il connaissait déjà la relation entre le discriminant et la ramification<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Nicolas Bourbaki]]
 | titre=[[Éléments d'histoire des mathématiques]]
 | éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]
 | année=1974
 | numéro d'édition=3
 | année première édition=1960
 | réimpression=1984, 2007
 | pages totales=376
 | isbn=978-3-540-33938-0
 | présentation en ligne=https://www.springer.com/fr/book/9783540339380
}}.</ref>.

Le théorème d'Hermite est antérieur à la définition générale du discriminant, [[Charles Hermite]] en publiant une preuve en 1857<ref>{{Article
|auteur=C. Hermite
| titre=Extrait d'une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés
| journal=[[Journal de Crelle]]
| volume=1857
| numéro=53
| pages=182-192
| année=1857
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0053&DMDID=dmdlog14
| consulté le=2009-08-20
| doi=10.1515/crll.1857.53.182
}}.</ref>. En 1877, [[Alexander von Brill]] détermina le signe du discriminant<ref>{{Article|lang=de
| nom=Brill
| prénom=Alexander von
| titre=Ueber die Discriminante
| année=1877
| journal=Mathematische Annalen
| volume=12
| pages=87-89
| doi=10.1007/BF01442468
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN235181684_0012&DMDID=dmdlog8
| consulté le=2009-08-22
| numéro=1
| mr=1509928
| jfm=09.0059.02
}}.</ref>. [[Leopold Kronecker]] fut le premier à énoncer le [[théorème de Minkowski]] en 1882<ref>{{Article|lang=de
|auteur=L. Kronecker
| titre=Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0092&DMDID=dmdlog4
| journal=Journal de Crelle
| volume=92
| année=1882
| pages=1-122
| consulté le=2009-08-20
| jfm=14.0038.02
}}.</ref>, mais la première preuve ne fut donnée qu'en 1891, par [[Hermann Minkowski]]<ref>{{Article|lang=de
|auteur=H. Minkowski
| titre=Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0107&DMDID=dmdlog25
| journal=Journal de Crelle
| volume=1891
| numéro=107
| année=1891
| pages=278-297
| consulté le=2009-08-20
| jfm=23.0212.01
| doi=10.1515/crll.1891.107.278
}}.</ref>. La même année, Minkowski publia sa borne sur le discriminant<ref>{{Article
|auteur=H. Minkowski
| titre=Théorèmes arithmétiques
| journal=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences]]
| année=1891
| volume=112
| pages=209-212
| jfm=23.0214.01
}}.</ref>. Vers la fin du {{s-|XIX}}, [[Ludwig Stickelberger]] obtint son théorème sur le résidu du discriminant modulo 4<ref>{{Chapitre|lang=de
|auteur=L. Stickelberger
|titre=Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper
| titre ouvrage=Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich
| année=1897
| pages=182-193
| jfm=29.0172.03
}}.</ref>{{,}}<ref>On trouve tous les faits de ce paragraphe dans {{Référence Harvard sans parenthèses|Narkiewicz|2004|p=59 et 81}}.</ref>.

== Discriminant relatif ==
Le discriminant défini ci-dessus est parfois appelé discriminant ''absolu'' de {{mvar|K}} pour le distinguer du '''discriminant relatif''' <math>\Delta_{K/L}</math> d'une extension de corps de nombres <math>K/L</math>, qui est un idéal dans <math>\mathcal O_L</math>. Le discriminant relatif est défini de manière similaire au discriminant absolu, mais doit tenir compte du fait que les idéaux dans <math>\mathcal O_L</math> peuvent ne pas être principaux et qu'il peut ne pas y avoir de <math>\mathcal O_L</math>-base de {{nobr|<math>\mathcal O_K</math>.}} Soit <math>\{\sigma_1, \ldots, \sigma_n \}</math> l'ensemble des plongements de {{mvar|K}} dans <math>\mathbb C</math> qui sont l'identité sur {{mvar|L}}. Si <math>(b_1, \ldots, b_n)</math> est une base quelconque de {{mvar|K}} sur {{mvar|L}}, soit <math>d(b_1, \ldots, b_n) </math> le carré du déterminant de la matrice ''n'' par ''n'' dont le coefficient (''i'', ''j'') est <math>\sigma_i(b_j)</math>. Alors, le discriminant relatif de <math>K/L</math> est l'idéal engendré par les <math>d(b_1, \ldots, b_n) </math> lorsque <math>\{b_1, \ldots, b_n\} </math> varie sur toutes les bases intégrales de <math>K/L</math>. Alternativement, le discriminant relatif de <math>K/L</math> est la norme de la [[différente]] de <math>K/L</math>{{sfn|Neukirch|1999|p=212}}. Lorsque <math>L=\mathbb Q</math>, le discriminant relatif <math>\Delta_{K/\mathbb Q}</math> est l'idéal principal de <math>\mathbb Z</math> engendré par le discriminant absolu <math>\Delta_K</math>. Dans une [[tour de corps]] <math>K/L/F</math>, les discriminants relatifs sont liés par

: <math>\Delta_{K/F} = \mathcal{N}_{L/F}\left({\Delta_{K/L}}\right) \Delta_{L/F}^{[K:L]}</math>

où <math>\mathcal{N}</math> désigne la [[Norme (théorie des corps)|norme]] relative<ref>Cor. III.2.10 de {{Référence Harvard sans parenthèses|Neukirch|1999}} ou Prop. III.2.15 de {{Ouvrage|lang=en
|auteur=[[Albrecht Fröhlich]]
|auteur2=[[Martin J. Taylor]]
| titre=Algebraic Number Theory
| éditeur=[[Cambridge University Press]]
|collection=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
| isbn=978-0-521-43834-6
| année=1993
|numéro dans collection=27
| mr= 1215934
}}.</ref>.

=== Ramification ===
Le discriminant relatif régule les données de [[Ramification (mathématiques)|ramification]] de l'extension de corps <math>K/L</math>. Un idéal premier {{mvar|p}} de {{mvar|L}} se ramifie dans {{mvar|K}} si, et seulement si, il divise le discriminant relatif <math>\Delta_{K/L}</math>. Une extension est donc non ramifiée si, et seulement si, son discriminant est l'idéal {{math|(1)}}<ref name=NeukirchRamif/>. La borne de Minkowski ci-dessus montre que <math>\Q</math> n'a pas d'extension non ramifiée non triviale. En revanche, les corps plus grands que <math>\mathbb Q</math> peuvent avoir des extensions non ramifiées : par exemple, si le [[Groupe des classes d'idéaux|nombre de classes]] d'un corps est strictement supérieur à 1, son [[corps de classes de Hilbert]] est une extension non triviale non ramifiée.

== Relation avec d'autres grandeurs ==

* Lorsqu'il est plongé dans <math>K\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{R}</math>, le volume du domaine fondamental de <math>\mathcal O_K</math> est <math>\sqrt{|\Delta_K|}</math> (parfois une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] différente est utilisée et le volume obtenu est <math>2^{-r_2}\sqrt{|\Delta_K|}</math>).
* En raison de son apparition dans ce volume, le discriminant apparaît également dans l'équation fonctionnelle de la [[fonction zêta de Dedekind]] de {{mvar|K}}, et donc dans la formule analytique du nombre de classes, et le [[théorème de Brauer-Siegel]].
* Le discriminant relatif de <math>K/L</math> est le {{Lien|trad=Artin conductor|conducteur d'Artin}} de la [[représentation régulière]] du [[groupe de Galois]] de <math>K/L</math>. Ceci fournit une relation aux conducteurs d'Artin des [[Caractère d'un groupe fini|caractères]] du groupe de Galois de <math>K/L</math>, appelée la ''formule conducteur-discriminant''<ref>Section 4.4 de {{Chapitre|lang=en
|auteur=[[Jean-Pierre Serre]]
|titre=Local class field theory
| titre ouvrage=Algebraic Number Theory, Proceedings of an Instructional Conference at the University of Sussex, Brighton, 1965
|auteurs ouvrage=[[J. W. S. Cassels]] et A. Fröhlich
| éditeur=Academic Press
| lieu=Londres
| isbn=0-12-163251-2
| année=1967
| mr=0220701
}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Discriminant of an algebraic number field|997636819|type=n}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
*{{Ouvrage|lang=de
|auteur=Richard Dedekind
| titre=Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN30976923X&DMDID=dmdlog1
|numéro d'édition=2
| année=1871
| éditeur=Vieweg
| consulté le=2009-08-05
}}
*{{Ouvrage |lang=en|auteur=[[James Milne|James S. Milne]]| titre=Algebraic Number Theory | année=1998 | url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html | consulté le=2008-08-20}}
* {{Chapitre|lang=en
| prénom = John
| nom = Voight
|titre= Enumeration of totally real number fields of bounded root discriminant
| titre ouvrage= Algorithmic Number Theory. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, May 2008
|auteurs ouvrage=[[Alfred van der Poorten]] et Andreas Stein
| pages = 268–281
| éditeur = Springer-Verlag
| lieu=Berlin
|collection=Lecture Notes in Computer Science
|numéro dans collection=5011
| année = 2008
| arxiv = 0802.0194
| doi = 10.1007/978-3-540-79456-1_18
| isbn=978-3-540-79455-4| mr = 2467853 | zbl=1205.11125
}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]