Voir la source de Distance (mathématiques)

{{Voir homonymes|Distance}}
En [[mathématiques]], une '''distance''' est une [[application (mathématiques)|application]] qui formalise l'idée intuitive de distance, c'est-à-dire la longueur qui sépare deux points. C'est par l'analyse des principales propriétés de la distance usuelle que [[Maurice René Fréchet|Fréchet]] introduit la notion d'[[espace métrique]], développée ensuite par [[Felix Hausdorff|Hausdorff]]. Elle introduit un langage [[géométrie|géométrique]] dans de nombreuses questions d'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] et de [[théorie des nombres]]<ref>{{Chapitre|prénom=Jean-Luc|nom1=Verley|titre=Espaces métriques|titre ouvrage=Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie|lien éditeur=Éditions Albin Michel|éditeur=Albin Michel|année=1997|passage=651}}</ref>.

À partir de la définition d'une distance, vue comme une application satisfaisant à certains [[axiome]]s, d'autres notions de distance peuvent être définies, comme la distance entre deux parties, ou la distance d'un point à une partie, sans que ces dernières répondent à la définition première d'une distance.

== Définition ==

On appelle '''distance''' sur un [[ensemble]] {{Formule|''E''}} toute application {{Formule|''d''}} définie sur le [[produit cartésien|produit]] {{Formule|1=''E''{{2}} = ''E''×''E''}} et à valeurs dans l'ensemble ℝ{{exp|+}} des [[Nombre réel|réels]] [[Nombre positif|positifs ou nuls]],
<center><math>d :E\times E\to\R^+</math></center>
vérifiant les propriétés suivantes<ref>{{Lien web|auteur=Jean-Luc Verley |titre=Espaces métriques|url=https://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/#i_28546|site=www.universalis.fr}}.</ref> :

{| class="wikitable centre"
! Nom
! Propriété
|-----
| '''symétrie'''
| <math>\forall (a,b)\in E^2,\ d(a,b)=d(b,a)</math>
|-----
| '''séparation'''
| <math>\forall (a,b)\in E^2,\ d(a,b)=0 \Leftrightarrow a=b</math>
|-----
| '''[[inégalité triangulaire]]'''
| <math>\forall (a,b,c)\in E^3,\ d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)</math>
|}

Un ensemble muni d'une distance s'appelle un [[espace métrique]].

;Remarques
:*Ces conditions expriment les notions intuitives du concept de distance. Par exemple, que la distance entre des points distincts est strictement positive et que la distance de ''x'' à ''y'' est la même que la distance de ''y'' à ''x''. L'inégalité triangulaire signifie que la distance parcourue directement entre ''x'' et ''z'', n'est pas plus grande que la distance à parcourir en partant d'abord de ''x'' vers ''y'' puis de ''y'' vers ''z''. [[Euclide]] {{Fix|dans [[Éléments (Euclide)|ses travaux]]|date = août 2020
  |message = [[Spécial:Diff/138441628|[réf.&nbsp;incomplète]]]
  |infobulle = Un complément est souhaité pour cette référence
}} {{Douteux|date=août 2020|démontra}} que {{Pas clair|date=août 2020|la plus courte distance entre deux points est une droite}}, ce qui était l'inégalité triangulaire pour sa géométrie.
:*Dans la définition d'une distance, on peut se contenter de supposer que l'ensemble d'arrivée est ℝ, et que ''d'' vérifie l'axiome de séparation et l'une quelconque des trois variantes suivantes de l'inégalité triangulaire : ''d''(''a'', ''c'') ≤ ''d''(''b'', ''a'') + ''d''(''b'', ''c''), ou ''d''(''a'', ''c'') ≤ ''d''(''a'', ''b'') + ''d''(''c'', ''b''), ou encore {{nobr|''d''(''a'', ''c'') ≤ ''d''(''b'',''a'') + ''d''(''c'',''b'').}} La positivité et la symétrie se déduisent facilement de ces seuls axiomes<ref>{{Article |auteur=[[Adolphe Lindenbaum]] |titre=Contributions à l'étude de l'espace métrique, I |revue=[[Fundamenta Mathematicae|Fund. Math.]] |vol=8 |année=1926 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm8/fm8116.pdf |p.=209-222 }} ({{p.|211}}).</ref>.

== Propriétés simples ==
* Si {{Formule|''E''}} est un [[sous-ensemble]] de {{Formule|''F''}} et si {{Formule|''d '': ''F''×''F'' →}} ℝ{{exp|+}} est une distance sur {{Formule|''F''}}, alors la [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restriction]] de {{Formule|''d''}} à {{Formule|''E''×''E''}} est une distance sur {{Formule|''E''}}.
* Si {{Formule|''d''{{ind|1}}}} et {{Formule|''d''{{ind|2}}}} sont respectivement des distances sur {{Formule|''E''{{ind|1}}}} et {{Formule|''E''{{ind|2}}}} et si {{Formule|''F''}} est le produit {{Formule|''E''{{ind|1}}×''E''{{ind|2}}}}, alors l'application {{Formule|''d '': ''F''×''F'' →}} ℝ{{exp|+}} définie par{{retrait|<math>d((a_1,a_2),(b_1,b_2))=d_1(a_1,b_1)+d_2(a_2,b_2)</math>}}est une distance sur {{Formule|''F''}}. Pour des généralisations, voir [[Espace métrique#Produit d'espaces métriques|Produit d'espaces métriques]].
* Si {{Formule|''d''{{ind|1}}}} et {{Formule|''d''{{ind|2}}}} sont des distances sur {{Formule|''E''}} alors {{Formule|''d''{{ind|1}} + ''d''{{ind|2}}}} aussi (d'après les deux points précédents, en identifiant {{Formule|''E''}} à la [[Diagonale#Pour un ensemble|diagonale]] de {{Formule|''E''×''E''}}).

== Cas particuliers ==

=== Distance ultramétrique ===
{{article détaillé|Distance ultramétrique}}

La distance est dite ''[[ultramétrique]]'' si de plus :

{| class="wikitable centre"
! Nom
! Propriété
|-----
| '''Ultramétrie'''
| <math>\forall a,b,c\in E: d(a,c)\leq \max( d(a,b), d(b,c) ).</math>
|}
Un exemple de telle distance intervient de façon cruciale dans la théorie des [[valuation]]s [[nombre p-adique|{{Formule|''p''}}-adiques]]. L'interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire dans un espace ultramétrique amène à dire que tous les triangles sont isocèles ; de plus, toutes les [[Boule (topologie)|boules]] de rayon donné définies sur cet ensemble constituent une partition de cet ensemble ; en faisant croître ce rayon depuis 0, l'espace se trouve doté d'une structure hiérarchique de proximité, utilisable en [[classification automatique]], en particulier pour le [[clustering hiérarchique]].

== Exemples de distances classiques ==

=== Distance sur des espaces vectoriels ===

[[Image:Manhattan distance.svg|thumb|right|[[Distance de Manhattan]] (chemins rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert.]]
[[Fichier:Distances Scipy.png|vignette|Visualisation de quelques distances et semi-distances : distances des points du plan par rapport au point origine et à un autre point de référence<ref>{{Ouvrage|nom1=ThomasRieutord|titre=ThomasRieutord/distances_comparison|date=2020-03-25|lire en ligne=https://github.com/ThomasRieutord/distances_comparison|consulté le=2020-03-25}}.</ref>]]

Sur un [[espace vectoriel normé]] <math>(E,\|\cdot\|)</math>, la distance {{mvar|d}} « induite par » la [[norme (mathématiques)|norme]]<ref>Inversement, si une distance ''d'' sur un [[espace vectoriel]] ''E'' satisfait les propriétés :
*<math>d(x,y) = d(x+a,y+a)</math> (''invariance par translation'') ;
*<math>d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x,y)</math> (''homogénéité''),
alors on peut définir une norme <math>\|\cdot\|</math> sur ''E'' par : <math>\|x\| : = d(x,0)</math>.</ref> <math>\|\cdot\|</math> est définie par :
:<math>\forall (x,y) \in E\times E\quad d(x,y) = \|y-x\|</math>.

En particulier, dans ℝ{{Formule|{{exp|''n''}}}} ([[#Propriétés simples|donc aussi dans ses sous-ensembles]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Dixmier]]|éditeur=[[PUF]]|titre=Topologie générale|passage=14|date=1981|isbn=978-2-13-036647-8|oclc=417477300}}.</ref>), on peut définir de plusieurs manières la distance entre deux points, bien qu'elle soit généralement donnée par la distance [[espace euclidien|euclidienne]] (ou ''2-distance''). Soit deux points de {{Formule|''E''}}, {{Formule|(''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, …,''x{{ind|n}}'')}} et {{Formule|(''y''{{ind|1}}, ''y''{{ind|2}}, …,''y{{ind|n}}'')}}, on exprime les différentes distances ainsi :

{| class="wikitable"
! Nom
! Paramètre
! Fonction
|--
| '''[[distance de Manhattan]]'''
| 1-distance
| <math>\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|</math>
|--
| '''[[distance euclidienne]]'''
| 2-distance
| <math>\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}</math>
|--
| '''distance de [[Hermann Minkowski|Minkowski]]'''
| {{Formule|''p''}}-distance
| <math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}</math>
|--
|'''[[distance de Tchebychev]]'''
| {{math|∞}}<nowiki>-distance</nowiki>
| <math>\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p} = \sup_{1 \leq i \leq n}{|x_i-y_i|}</math>
|}

La 2-distance permet de généraliser l'application du [[théorème de Pythagore]] à un espace de dimension {{Formule|''n''}}. C'est la distance la plus « intuitive ».

La {{Formule|''p''}}-distance est rarement utilisée en dehors des cas {{Formule|''p''}} = 1, 2 ou {{math|∞}}. L'{{math|∞}}-distance présente la particularité amusante de permettre la définition en toute rigueur de [[sphère]]s '''cubiques''' (voir [[oxymore]]). La 1-distance permet de définir des sphères [[Octaèdre|octaédriques]].

=== Distance discrète ===
Sur n'importe quel ensemble, la [[Topologie discrète|distance discrète]] ''d'' est définie par : si ''x'' = ''y'' alors ''d''(''x'', ''y'') = 0 et sinon, ''d''(''x'', ''y'') = 1.

=== Distance sur une sphère ===
{{Voir|Distance du grand cercle}}

=== Distances entre deux permutations ===
Il est également possible de définir des distances entre des [[permutation]]s. L'exemple suivant est très utilisé dans le [[réarrangement de génomes]]. Soit {{Formule|''S''}} un ensemble de permutations modélisant diverses opérations ; alors la distance entre deux permutations {{Formule|''π''}} et {{Formule|''σ''}} est la longueur d'une séquence minimale formée du produit d'éléments de {{Formule|''S''}} telle que cette séquence transforme {{Formule|''π''}} en {{Formule|''σ''}}.

On peut utiliser la distance de Kendall qui mesure le nombre de transpositions permettant de passer d'une permutation à une autre, ce qui revient à calculer l'indice tau = (somme des couples concordants) - (somme des couples discordants) /  n(n-1)/2. L'indice varie de -1 à +1 selon la ressemblance entre les permutations.

Ces distances peuvent également servir à mesurer, de diverses manières, le désordre présent dans une séquence. On utilise alors ces mesures pour analyser les performances de divers [[Algorithme de tri|algorithmes de tri]], ou pour construire de nouveaux algorithmes de tri qui effectuent un nombre de comparaisons optimal par rapport à la mesure de désordre choisie.

=== Distance de Levenshtein ===
{{article détaillé|distance de Levenshtein}}
La [[distance de Levenshtein]] est un exemple de distance définie sur l'ensemble des [[Chaîne de caractères|chaînes de caractères]]. Elle est définie pour deux chaînes {{Formule|''A''}} et {{Formule|''B''}} comme le nombre minimal d'opération d'ajout/suppression/remplacement de caractères pour transformer la chaîne {{Formule|''A''}} en la chaîne {{Formule|''B''}}.

Exemples:
* '''Levenshtein('BONJOUR', 'BONSOIR')=2''' (il est nécessaire et suffisant de remplacer 'J' par 'S' et 'U' par 'I').
* '''Levenshtein('DEBUT', 'FIN')=5'''
* '''Levenshtein('DUNKERQUE', 'PERPIGNAN')=9'''<ref>Un calculateur en ligne: http://planetcalc.com/1721/</ref>.

Ce type de distance est couramment utilisé pour des applications de filtrage/correction d'erreurs, par exemple la correction automatique pour des programmes de [[traitement de texte]] (le programme va rechercher dans un dictionnaire les mots présentant les distances les plus faibles avec le mot mal orthographié), l'appareillement de lectures optiques de [[plaques minéralogiques]]...

Il existe des variantes de cette distance, telles que la [[distance de Damerau-Levenshtein]].

Le même principe général peut être utilisé pour les applications de [[reconnaissance de formes]].

== Exemples d'autres emplois du terme ''distance'' ==

Le terme ''distance'' est parfois utilisé pour désigner des applications ne répondant pas à la définition classique pour les espaces métriques, présentée en début d'article.

=== Distance entre deux ensembles ===

Soient {{Formule|''E''{{ind|1}}}} et {{Formule|''E''{{ind|2}}}} deux parties non vides d'un espace métrique {{Formule|''E''}} muni d'une distance {{Formule|''d''}}, on définit la distance entre ces deux ensembles comme :
{{retrait|<math> d(E_1,E_2) = \inf\{ d(x,y)\mid (x,y) \in E_1 \times E_2\}.</math>}}

C'est un réel positif, comme [[Borne supérieure et borne inférieure|borne inférieure]] d'un ensemble non vide de réels positifs.

; N.B.
: Cette « distance » n'est pas une distance sur l'ensemble des parties de {{Formule|''E''}} au sens des axiomes définis plus haut. En particulier si la distance entre deux ensembles est nulle, on ne peut pas en déduire que ces ensembles sont égaux, ni même que leurs [[Adhérence (mathématiques)|adhérences]] se rencontrent.

Néanmoins, il est possible de définir une vraie distance entre les parties [[Compacité (mathématiques)|compactes]] d'un espace métrique, la [[distance de Hausdorff]].

==== Théorème ====
Avec les notations ci-dessus, <math>d(E_1,E_2)=d(\bar{E_1},\bar{E_2})</math>, où <math>\bar{F}</math> désigne l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] d'une partie <math>F</math> de <math>E</math><ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Dixmier]]|titre=Topologie générale|passage=66|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|date=1981}}</ref>.

=== Distance d'un point à une partie ===

On peut particulariser la définition précédente en prenant l'un des deux ensembles réduit à un point.

Si {{Formule|''A''}} est une partie non vide d'un espace métrique {{Formule|''E''}}, et si {{Formule|''x''}} est élément de {{Formule|''E''}}, on définit la distance de {{Formule|''x''}} à {{Formule|''A''}} comme une [[Borne supérieure et borne inférieure|borne inférieure]] :

{{retrait|<math>d(x,A)= \inf \{d(x,a)\mid a\in A\}.</math>}}

C'est<ref>{{Harvsp|Verley|1997|p=653}}.</ref> le rayon de la plus grande [[Boule (topologie)|boule]] ouverte de centre {{Formule|''x''}} qui ne rencontre pas {{Formule|''A''}}.

On prendra garde au fait que {{Formule|''d''(''x'', ''A'') {{=}} 0}} n'implique pas en général que {{Formule|''x''}} soit élément de {{Formule|''A''}}. Par exemple, dans ℝ muni de la [[valeur absolue]], la distance de 0 à l'intervalle ouvert ]0, 1[ est nulle, ou la distance de tout réel à l'ensemble des [[Nombre rationnel|rationnels]] est nulle également.

Plus précisément, la distance de {{mvar|x}} à {{mvar|A}} est nulle si et seulement si<ref>E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, ''Mathématiques spéciales, T.3, topologie et éléments d'analyse'', [[Éditions Masson|Masson]], Paris, 1976, {{p.|49}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Georges Skandalis]]|titre=Topologie et analyse {{3e|année}}|sous-titre=cours et exercices avec solutions|volume=3|éditeur=[[Dunod]]|lieu=Paris|année=2004|page=21}}.</ref> {{mvar|x}} est un [[point adhérent]] à {{mvar|A}} (autrement dit : l'implication précédente est vraie si et seulement si {{mvar|A}} est [[Fermé (topologie)|fermé]]). Plus généralement, la distance de {{mvar|x}} à {{mvar|A}} est égale à la distance de {{mvar|x}} à l'adhérence de {{mvar|A}}.

L'application de {{mvar|E}} dans ℝ qui à tout élément {{mvar|x}} de {{mvar|E}} associe {{Formule|''d''(''x'', ''A'')}} est [[Continuité (mathématiques)|continue]], et même 1-[[Application lipschitzienne|lipschitzienne]]<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]]|titre=Analyse|titre volume=Théorie des ensembles et topologie|volume=1|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|lieu=Paris|année=1991|page=162}}.</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Topologie générale/Exercices/Espaces métriques#Exercice 4|cet exercice corrigé|début=Démonstration dans}}</ref> :
{{retrait|<math>\forall x,y \in E\quad |d(x,A)-d(y,A)| \le d(x,y)</math>.}}

=== Distance algébrique ===

Soit deux points {{Formule|''A''}} et {{Formule|''B''}} d'un [[espace affine]] par lesquels passe une droite [[orientation (mathématiques)|orientée]] (une droite munie d'un sens, c'est-à-dire engendrée par un vecteur <math>\vec{v}</math> non nul). On appelle '''distance algébrique'''{{refnec}} de {{Formule|''A''}} vers {{Formule|''B''}} le réel tel que :
* sa valeur absolue soit la distance (définie ci-dessus) entre {{Formule|''A''}} et {{Formule|''B''}}
* si la valeur est non nulle :
** le réel soit positif dans le cas où le vecteur <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> est de même sens que <math>\vec{v}</math>, c'est-à-dire égal à <math>k\vec{v}</math>, avec <math>k>0</math>,
** négatif sinon.

On peut démontrer que la distance algébrique de {{Formule|''A''}} vers {{Formule|''B''}} (notée <math>d_a(\mathrm{A}, \mathrm{B})</math>) vaut :

: <math> d_a(\mathrm{A}, \mathrm{B}) = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\vec{v}}{\|\vec{v}\|}</math>

Attention, la ''distance algébrique'' n'est '''pas''' une distance, puisqu'elle est ''non symétrique'' :

: <math>d_a(\mathrm{A}, \mathrm{B}) = - d_a(\mathrm{B}, \mathrm{A})</math>

=== Distance algorithmique ===

En [[théorie de l'information]] on peut définir une distance entre deux textes comme la taille du plus petit programme permettant de passer de l'un à l'autre ; c'est la [[distance algorithmique]].

== Généralisations ==

En allégeant les axiomes de la définition d'une distance, on arrive à diverses généralisations de celle-ci :
{| class="wikitable centre"
! Nom
! valeurs finies
! symétrie
! <math>\mathrm d(x,x)=0</math>
! <math>\mathrm d(x,y)=0 \implies x=y</math>
! inégalité du <math>\Delta</math>
|-----
| distance
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|-----
| [[Espace quasimétrique#Définition|quasi-distance]]
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|-----
| [[métamétrique]]
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|-----
| [[Espace pseudométrique#Définition|pseudo-distance]]
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|-----
| [[Espace semimétrique#Définition|semi-distance]]
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|-----
| [[Espace hémimétrique#Définition|distance faible]]
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|-----
| [[Espace pramétrique#Définition|pramétrique]]
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✘
|-----
| [[Espace uniforme#Définition|écart]]
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|align="center"|✔
|align="center"|✘
|align="center"|✔
|}

La condition que la distance prenne ses valeurs dans {{math|[0, +∞[}} peut être aussi assouplie en considérant des « distances à valeurs dans un [[ensemble ordonné filtrant]] ». La reformulation des axiomes dans ce cas conduit à la construction des [[espace uniforme|espaces uniformes]] : des [[Espace topologique|espaces topologiques]] avec une structure abstraite permettant de comparer les topologies locales de points différents.

Parmi les [[théorie des catégories|catégories]] correspondant aux diverses variantes de distance, celle des espaces pseudo-métriques « étendus » ({{c.-à-d.}} autorisant la valeur {{math|+∞}}), avec comme morphismes les applications 1-[[Application lipschitzienne|lipschitziennes]], est celle qui se comporte le mieux : {{refnec|on peut y construire des produits et des coproduits arbitraires et former des objets quotients. Si on enlève ''étendu'', on peut seulement prendre des produits et des coproduits finis. Si on enlève ''pseudo'', on ne peut plus prendre des quotients.|date=février 2011}} {{refnec|Les [[espace d'approche|espaces d'approche]] sont une généralisation des espaces métriques qui maintiennent ces bonnes propriétés de catégorie.|date=février 2011}}

Il existe aussi, en [[géométrie différentielle]], les notions de [[Métrique riemannienne|métriques riemanniennes]] et [[Métrique pseudo-riemannienne|pseudo-riemanniennes]] sur une [[variété différentielle]] (et non plus simplement sur un ''ensemble'').

Les quasi-distances sont plutôt appelées distances asymétriques. Le terme quasi étant souvent utilisé en géométrie pour désigner une propriété à constante près.

== Voir aussi ==
{{colonnes|nombre=2|
* [[Distance angulaire]]
*[[Convergence uniforme#Distance uniforme|Distance de la convergence uniforme]]
* [[Distance entre deux points sur le plan cartésien]]
* [[Distance focale]]
* [[Distance zénithale]]
* [[Distance d'un point à un plan]]
* [[Distance d'un point à une droite]]
* [[Espace vectoriel normé]] et [[norme (mathématiques)|norme]]
*[[Espace uniforme]]
*[[Distance de Mahalanobis]]
*[[Distance de Hausdorff]]
*[[Distance de Hamming]]
*[[Distance entre deux droites gauches]]}}

== Notes et références ==
<references/>

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Espace métrique]]
[[Catégorie:Distance et longueur|*]]