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[[Image:DistancePointDroite.svg|thumb|right|300 px|La distance entre le point A et la droite (''d'') est la distance AA<sub>h</sub>]]

En [[géométrie euclidienne]], la '''distance d'un point à une droite''' est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le [[théorème de Pythagore]]  permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (''d'') correspond à la distance séparant A de son [[projection orthogonale|projeté orthogonal]] A<sub>h</sub> sur la droite (''d'').
On peut ainsi écrire :
: <math>d(\mathrm{A}, (d)) = d(\mathrm{A}, \mathrm{A}_h)</math>

== Dans le plan ==

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (''d'') a pour [[équation de droite|équation]] {{nobr|''ax'' + ''by'' + ''c'' {{=}} 0}} et si le point A a pour coordonnées (''x''<sub>A</sub> ; ''y''<sub>A</sub>), alors la distance entre A et (''d'') est donnée par la formule
: <math>d(\mathrm{A}, (d)) = \mathrm{AA}_h = \frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>

En effet, si M(''x'', ''y'' ) est un point quelconque de la droite (''d''), et si on note <math>\vec n</math> le [[vecteur normal]] à la droite (''d'') de composantes (''a'' ; ''b'' ), alors la valeur absolue du [[produit scalaire]] des vecteurs <math>\overrightarrow{\mathrm{AM}}</math> et <math>\vec n</math> est donnée par les deux expressions :
: <math>|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec n | = |a(x-x_\mathrm{A}) + b(y - y_\mathrm{A})|= |ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + c|</math> ( ''ax'' + ''by'' = - ''c'' car M est un point de (d))
: <math>|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec n| = \mathrm{AA}_h \times ||\vec n|| = \mathrm{AA}_h\times \sqrt{a^2+b^2}</math>.
En particulier :
* si la droite a pour équation ''y'' = ''mx'' + ''p'' alors <math>d(\mathrm{A}, (d))=\frac{|y_\mathrm{A} - mx_\mathrm{A}- p |}{\sqrt{1+m^2}}</math> ;
* si la droite a pour équation ''x'' = ''a'' alors <math>d(\mathrm{A}, (d))=|x_\mathrm{A} - a|</math>
* si la droite est donnée par son [[équation normale]]: <math>x\cos \theta +  y\sin \theta-p =0</math> alors <math>d(\mathrm{A}, (d))=\left\vert x_A\cos \theta + y_A\sin \theta - p \right\vert </math> (où, bien entendu <math>\cos \theta = \frac {a}{\sqrt {a^2+ b^2}}</math> et <math>\sin \theta = \frac {b}{\sqrt {a^2+ b^2}}</math>).  La distance  d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation,  cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.

Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme <math>P(x;y) = \cos \theta \, x + \sin \theta\, y -p</math> (avec <math>p>0</math>) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà<ref>Rem: le point est dit «au-delà» de la droite s'il n'est pas dans le même demi-plan que l'origine par rapport à cette droite.</ref>, en deçà  ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la [[puissance d'un point par rapport à un cercle]] qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle).

== Dans l'espace ==

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (''d'') passe par le point B et a pour [[vecteur directeur]] <math>\vec u</math>, la distance entre le point A et la droite (''d'') est donnée par la formule
: <math>d(\mathrm A,(d))=\frac{\left\|\overrightarrow{\mathrm{BA}} \wedge \vec u\right\|}{\|\vec u\|}</math>
où <math>\overrightarrow{\mathrm{BA}}\wedge\vec u</math> représente le [[produit vectoriel]] des vecteurs <math>\overrightarrow{\mathrm{BA}}</math> et <math>\vec u</math> et où <math>\|\vec u\|</math> représente la [[Norme (mathématiques)|norme]] du vecteur <math>\vec u</math>.

En effet, si l'on note C le point de (''d'') tel que <math>\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec u</math> alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions
: <math>\mathrm A_{\mathrm{ABC}} = \frac12\left\|\overrightarrow{\mathrm{BA}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right\|</math>
: <math>\mathrm A_{\mathrm{ABC}} = \frac12\mathrm{BC} \times \mathrm{AA}_h</math>.
Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (''d''). Si la droite (''d'')est définie comme l'intersection de deux plans [[perpendicularité|perpendiculaires]] et si l'on note ''d''{{ind|1}} et ''d''{{ind|2}} les distances du point A à ces deux plans, on a :
: <math>d(\mathrm A,(d))=\sqrt{{d_1}^2+{d_2}^2}</math>.

== En dimension n ==

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (''d'') passe par le point ''B'' et a pour [[vecteur directeur]] <math>\vec u</math>. Tout point <math>M \in (d)</math> peut être écrit ainsi
: <math> M = B + t \vec u </math>
La distance entre le point ''A'' et la droite (''d'') se trouve en calculant la distance ''AM'' avec ''M'' le point de (''d'') le plus proche de ''A''. Cela revient à trouver ''t'' 
: <math> t = \frac{\overrightarrow{BA}\cdot \vec u }{\| \vec u\|^2}</math>
où <math>\overrightarrow{BA}\cdot \vec u </math> représente le [[produit scalaire]] des vecteurs <math>\overrightarrow{BA} </math> et <math> \vec u </math>.
On a donc
: <math>d(A,(d)) = \|A-B-t \vec u\| = \left\|\overrightarrow{BA}-\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \vec u }{\| \vec u \|^2} \vec u \right\| </math>

{{démonstration |contenu=
Cela revient à trouver <math>M</math> qui minimise <math>AM</math>. Minimiser <math>AM^2</math> revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).
: <math> AM^2 = (\overrightarrow{AB}+t\vec u)\cdot (\overrightarrow{AB}+t\vec u) </math>
On cherche <math> \frac{d(AM^2)}{dt} = 0 </math>, pour trouver ce minimum. 
: <math>
\begin{align}
\frac{d(AM^2)}{dt}  = 0 &\Longleftrightarrow 2 \vec u \cdot (\overrightarrow{AB}+t\vec u) = 0 \\
&\Longleftrightarrow 2 \vec u\cdot \overrightarrow{AB} + 2 t \vec u \cdot \vec u = 0 \\
&\Longleftrightarrow 2 \vec u \cdot \overrightarrow{AB} + 2 t \| \vec u \| ^2 = 0 \\ 
&\Longleftrightarrow t = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \vec u }{\| \vec u\|^2}\end{align}
</math>
}}
== Voir aussi ==

*[[Distance (mathématiques)|Distance]]
*[[Distance d'un point à un plan]]
*[[Distance entre deux droites gauches]]
* [[Propriétés métriques des droites et plans]]

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie euclidienne]]
[[Catégorie:Distance et longueur|Point a droite]]