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En [[mathématiques]], et plus précisément en  [[topologie]], une '''distance ultramétrique''' est une [[Distance (mathématiques)|distance]] ''d'' sur un ensemble ''E'' vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :
{{Centrer|<math>d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))</math>.}}
Un [[espace métrique]] dont la distance vérifie cette propriété est dit ''ultramétrique''<ref>Cette notion a été introduite par {{Article|nom=[[Marc Krasner]]|titre=Nombres semi-réels et espaces ultramétriques|lien périodique=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|revue=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|vol=219|numéro=2|année=1944|p.=433-435|url=https://archive.org/stream/ComptesRendusAcademieDesSciences0219/ComptesRendusAcadmieDesSciences-Tome219-Juillet-dcembre1944#page/n433}}, qui signale : {{Citation|Les seuls espaces ultramétriques considérés jusqu'à présent semblent être les [[Corps commutatif|corps]] et les [[Algèbre associative sur un corps|algèbres]] [[Valuation|valués]]}}.</ref>.

== Définition et exemples ==

Soit ''E'' un [[ensemble]] ;
on appelle '''distance ultramétrique''' (sur  ''E'') une application <math>d : \mathrm{E}\times \mathrm{E} \rightarrow \mathbb{R}^+</math> vérifiant les propriétés suivantes :

{| class="wikitable centre"
! Nom
! Propriété
|-----
| '''symétrie'''
| <math>\forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=d(y,x)</math>
|-----
| '''séparation'''
| <math>\forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y</math>
|-----
| '''inégalité ultratriangulaire<ref>Modèles dyadiques, [[Terence Tao]], 27 Juillet 2007 : https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/</ref>'''
| <math>\forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))</math>
|}

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'[[inégalité triangulaire]]). Cela implique en particulier que tout triangle est isocèle et la base est le plus petit des côtés.

=== Distance triviale ===

Tout ensemble peut être muni de la distance dite ''triviale'' ou ''discrète'' définie par:
: <math>d(x,y)= \begin{cases} 
0 & \text{si } x=y  \\ 
1 & \text{si } x \ne y \end{cases}</math>
L'inégalité
: <math>d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))</math>
est vraie, que ''x'' soit égal à ''z'' ou non.
Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

=== Distance ''p''-adique sur l'ensemble ℚ ===
{{Article détaillé|Nombre p-adique}}

Pour un [[nombre premier]] ''p'', on peut définir la [[Valuation#Valuation p-adique|valuation ''p''-adique]] <math>v_{p}(r)</math> de tout [[nombre rationnel]] ''r'' non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie
: <math>v_p(r+r') \geq \inf (v_{p}(r), v_{p}(r'))</math> et <math>v_{p}(-r) = v_{p}(r).</math>

On définit alors la distance ''p''-adique sur ℚ par :
: <math>d(x,y)= \begin{cases} 
0 & \text{si } x=y  \\ 
p^{-v_{p}(x-y)} & \text{si } x \ne y \end{cases}</math>

La propriété précédente de <math>v_p</math> conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ<ref>Jean-Luc Verley, ''Espaces métriques'', dans ''Dictionnaire des mathématiques ; algèbre, analyse, géométrie'', éd. Albin Michel, {{p.|652-653}}.</ref>.

=== Autres exemples ===
*Soient ''X'' un ensemble quelconque et ''E'' = ''X''{{exp|ℕ}} l'ensemble des [[Suite (mathématiques)|suites]] à valeurs dans ''X''. On munit ''E'' d'une structure d'espace ultramétrique [[Espace complet|complet]] en posant{{Retrait|<math>k(x,y)=\inf\{n\in\N\mid x_n\ne y_n\}</math> ([[Borne inférieure#Exemples|autrement dit]] : <math>k(x,x)=+\infty</math> et si <math>x\ne y</math>, <math>k(x,y)</math> est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis{{Retrait|<math>d(x,y)=\frac1{1+k(x,y)}</math><ref>Rectification du problème 1.b de {{Dieudonné1}}, chap. III, § 14, {{Google Livres|gU58CgAAQBAJ|page autre=PT81|aperçu de l'édition en anglais}}.</ref>{{,}}<ref>En particulier, <math>d(x,x)=\frac1{1+\infty}=0</math>.</ref>}}ou encore, pour un réel <math>a>1</math> arbitraire :{{Retrait|<math>d_a(x,y)=a^{-k(x,y)}</math><ref>En  particulier, <math>d(x,x)=a^{-\infty}=0</math>.</ref>,}}qui est une [[Équivalence des distances|distance uniformément équivalente]] à <math>d</math>.}}Pour ''X'' = {0, 1}, on obtient l'[[espace de Cantor]] et pour ''X'' = ℕ, l'[[Espace de Baire (théorie des ensembles)|espace de Baire]].
*{{référence souhaitée|date=mars 2016|En [[génétique]], la distance entre [[génotype]]s le long des branches d'un [[arbre phylogénétique]] peut être mesurée par une distance ultramétrique.}}

== Propriétés ==

Voici quelques propriétés<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Exercices/Espaces métriques|cet exercice corrigé|début=Pour leur démonstration, voir par exemple}}</ref> d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

* Il n'existe pas de boules ''sécantes'', en ce sens que si deux [[Boule ouverte|boules ouvertes]] (ou deux [[Boule fermée|boules fermées]]) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :
*:<math>B(a,r)\cap B(a',r')\ne\varnothing\text{ et }r\le r'\Rightarrow B(a,r)\subset B(a',r')</math>.
* Tout point d'une boule en est un centre :
*:<math>\forall x\in B(a,r)\quad B(x,r)=B(a,r)</math>.
* Dans un espace métrique, toute boule ouverte est [[Ouvert (topologie)|ouverte]], toute boule fermée est [[Fermé (topologie)|fermée]]. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :
*:Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
*:Par conséquent, tout [[espace topologique]] [[Espace métrisable|ultramétrisable]] est [[Dimension topologique|de dimension nulle]] donc [[Espace totalement discontinu|totalement discontinu]], c'est-à-dire que ses [[Connexité (mathématiques)#Composantes connexes|composantes connexes]] sont les [[Singleton (mathématiques)|singletons]].
* Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : {{Citation|tout [[triangle]] est [[Triangle isocèle|isocèle]] et sa base est au plus égale aux côtés égaux<ref name=Artin>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Emil Artin]]|titre=Algebraic Numbers and Algebraic Functions|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=1967|pages totales=349|page=44|isbn=978-0-8218-4075-7|lire en ligne={{Google Livres|nyNPWOj-dsEC|page=44}}}}.</ref>}}, ce qui s'écrit aussi :
*:<math>d(x,y)\ne d(y,z)\Rightarrow d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z))</math>.
*Pour qu'une suite <math>(x_n)</math> soit [[Suite de Cauchy|de Cauchy]], il suffit que <math>d(x_n,x_{n+1})\to0.</math>

=== Application ===
Soit ''X'' un ensemble muni d'une distance ultramétrique ''d'', et soit ''r'' un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon ''r'' définies sur ''X'' constitue une partition de ''X''. En faisant croître ''r'' à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour {{nobr|1=''r'' = 0}}) à la moins fine (partition universelle pour ''r'' maximal). C'est une des bases de la [[classification automatique]] par [[regroupement hiérarchique]]<ref>I. C. Lerman, ''Les bases de la classification automatique'', [[Gauthier-Villars]], 1970.</ref>.

== Voir aussi ==
* [[Norme ultramétrique]]
* [[Valeur absolue ultramétrique]]

== Notes et références ==
<references/>

{{Portail|mathématiques|géométrie}}

[[Catégorie:Espace métrique]]
[[Catégorie:Distance et longueur|*]]
[[Catégorie:Distance remarquable|Ultramétrique]]