Voir la source de Divergence (analyse vectorielle)

[[Fichier:Gradient2.svg|vignette|Les lignes bleues représentant les gradients de couleur, du plus clair au plus foncé. L'opérateur divergence permet de calculer, localement, la variation de ce gradient de couleur]]
[[Fichier:De laval nozzle.svg|vignette|Illustration de la divergence d'un champ vectoriel, ici champ de vitesse converge à gauche et diverge à droite.]]

{{Voir homonymes|Divergence}}

En [[géométrie]], la '''divergence''' d'un [[champ de vecteurs]] est un [[opérateur différentiel]] mesurant le défaut de conservation du [[volume]] sous l'action du [[Flot (mathématiques)|flot]] de ce champ.

L'opérateur divergence est un outil d'analyse vectorielle qui mesure, pour faire simple, si un champ vectoriel « rentre » ou « sort » d'une zone de l'espace, comme ce que l’on peut observer sur un diagramme de [[Ligne de champ|lignes de champ]]. Il donne donc une information très liée aux sources qui créent le champ. Les [[équation de continuité|équations de continuité]] permettent de comprendre intuitivement cette notion : la divergence mesure en effet localement les variations de densité de flux. On retrouve cette grandeur, macroscopiquement cette fois, dans les valeurs de [[Diffusion de la matière|diffusion de particule]] ou de [[Diffusivité thermique|chaleur]] par exemple. Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.

En mécanique des fluides, si un fluide rentre dans un tube compressible avec davantage de force qu'il n'en sort à l'autre extrémité, le tube aura tendance à voir sa pression interne augmenter, et donc aussi son volume. La divergence ne caractérise cependant pas le comportement du tube, mais bien les caractéristiques du flux de matière, susceptibles d'influer sur le volume traversé.

Plus précisément, soit <math> t\mapsto \phi_t(x)</math> la trajectoire du champ '''X''' issue de '''x'''.

Ces trajectoires s'organisent en une famille de transformations <math> x\mapsto \phi_t(x)</math> (le [[Flot (mathématiques)|flot]] de '''X'''), et pour tout domaine '''D''' on a
<center><math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \operatorname{vol}(\phi_t(D))_{\vert t=0}  = \int_D  \operatorname{div} X \mathrm{d}\mathbf{x}
</math></center>

Un champ à divergence nulle est un champ qui conserve le volume, tel le champ des vecteurs vitesse d'un écoulement incompressible.

Ainsi, '''div X''' est  une [[fonction (mathématiques)|fonction]] à valeurs réelles  qui mesure la variation première du volume le long des trajectoires dudit champ.

En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, la divergence intervient en [[physique]] pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une [[loi en carré inverse]] de la distance. La divergence est notamment utilisée dans les équations de la [[mécanique des fluides]] ou les [[équation de Maxwell|équations de Maxwell]].

Des définitions plus précises sont données dans le corps de l'article.
<!--
Cet opérateur admet des généralisations : on peut définir la divergence par rapport à une [[forme volume]],
on peut aussi l'étendre aux [[champ tensoriel|champs tensoriels]].
-->

== Divergence d'un champ de vecteurs ==
L''''opérateur divergence''' est un [[opérateur (mathématiques)|opérateur]] [[opérateur différentiel|différentiel]] [[opérateur linéaire|linéaire]] de degré 1, défini sur les champs de vecteurs et à valeurs dans les fonctions.

=== Définition en dimension 3 ===
En dimension 3 et en [[coordonnées cartésiennes]], la divergence d'un [[champ de vecteurs]] <math>\vec{A}=\begin{pmatrix}A_x\\A_y\\A_z\end{pmatrix}</math> a pour expression<ref name="Pérez">J.-P. Pérez ''et al.'', ''Électromagnétisme. Fondements et applications'', {{3e|édition}}, Masson, Paris, 1997, pages 612-617.</ref>
<center><math>\operatorname{div}\vec A = \frac{\partial A_x }{\partial x }+\frac{\partial A_y }{\partial y }+\frac{\partial A_z }{\partial z }</math></center>

Formellement, l'opérateur divergence appliqué à un champ vectoriel <math>\vec A</math> peut s'interpréter comme [[produit scalaire]] du vecteur [[nabla]] <math>\vec\nabla</math> par le vecteur <math>\vec A</math>.
<center><math>\vec\nabla \cdot \vec A = \operatorname{div}\vec A = \frac{\partial{A_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{A_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{A_z}}{\partial{z}}</math></center>
Cette définition a le désavantage d'être dépendante du choix d'une [[base orthonormée]].

=== Interprétation heuristique concernant la variation du volume ===
Le flot du champ ''A'' est approximativement (pour ''t'' petit) donné par
<center><math>
(x,y,z)\mapsto F_t(x,y,z) =(x,y,z)+ tA(x,y,z) </math></center>
Le volume de l'image par <math> F_t</math> d'un « petit » pavé de centre ''(x,y,z)'' est multiplié par le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] de la [[matrice jacobienne]] de <math> F_t</math>. Mais la dérivée par rapport à ''t'' de ce déterminant, pour ''t=0'' est précisément
<center><math>
\frac{\partial A_x }{\partial x }+\frac{\partial A_y }{\partial y }+\frac{\partial A_z }{\partial z }</math></center>

=== Justification rigoureuse de l'interprétation ===
Elle utilise les [[forme différentielle|formes différentielles]]. Dans <math>\mathbb{R}^3</math> le volume d'un domaine s'obtient en intégrant sur ce domaine la forme différentielle <math>\mathrm dx\wedge \mathrm dy \wedge \mathrm dz </math>. Soit <math>\phi_t</math> le  [[Flot (mathématiques)|flot]] du champ ''A''.

La variation infinitésimale du volume est alors
<center><math>
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_t^\ast (\mathrm dx\wedge\mathrm  dy \wedge\mathrm  dz)_{\mid t=0}
</math></center>
C'est par définition la [[dérivée de Lie]] : <math>L_A(\mathrm dx\wedge\mathrm dy \wedge \mathrm dz)</math> de <math>\mathrm dx\wedge \mathrm dy \wedge \mathrm dz </math>.

On vérifie que
<center><math>
L_A(\mathrm dx\wedge \mathrm dy \wedge \mathrm dz)= \left(\frac{\partial A_x }{\partial x }+\frac{\partial A_y }{\partial y }+\frac{\partial A_z }{\partial z}\right)( \mathrm dx\wedge \mathrm dy \wedge \mathrm dz)
</math></center>
(voir plus bas la démonstration en dimension ''n'' de cette identité).

En particulier, le flot de <math>A</math> conserve le volume (c’est-à-dire <math>\mathrm{vol}(\varphi_t(D)) =\mathrm{vol}(D)</math> pour tout domaine <math>D</math> de <math>\mathbb{R}^3</math>) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.

Ce calcul montre aussi que la divergence ne dépend pas de la structure euclidienne de l'espace,
mais seulement de l'[[Volume#Volume élémentaire|élément de volume]].

=== Exemples ===
La divergence du champ <math>x\frac{\partial}{\partial x }+y\frac{\partial}{\partial y }+z\frac{\partial} {\partial z}</math> (champ radial) est constante (égale à 3) (le flot de ce champ est formé d'homothéties, qui multiplient les volumes par une constante).

La  divergence du champ <math>y\frac{\partial}{\partial x }-x \frac{\partial}{\partial y }</math> est nulle (son flot est formé de rotations).

En [[mécanique des fluides]], on dit qu'un fluide est en écoulement incompressible si la divergence du champ des vitesses vaut zéro.<!--

=== Définition en géométrie Riemannienne ===
Pour le volume de Lebesgue, la divergence de <math>X</math> s'exprime explicitement
<center><math>\operatorname{div} X= \operatorname{Tr}(\mathrm DX)\qquad(4)</math>.</center>
Ici, le champ <math>X</math> est considéré comme une [[fonction (mathématiques)|application]] de <math>U</math> dans <math>\R^n</math>, et <math>\mathrm DX</math> désigne sa [[différentielle]] – la [[matrice jacobienne]] –, dont on prend la [[trace (algèbre)|trace]]. (Il est rappelé que la définition de la trace ne dépend pas du choix de la base.) Explicitement en coordonnées,
<center><math>\operatorname{div} X= \sum_{i=1}^n \frac{\partial X_i}{\partial x_i}\qquad(5)</math>.</center>

Le commentaire qui suit nécessite de connaitre la définition des [[connexion de Koszul|connexions de Koszul]] et quelques notions de base en géométrie Riemannienne. Si <math>g</math> est une [[métrique riemannienne]], alors, pour le volume Riemannien, la divergence de <math>X</math> est encore donnée<ref>{{harvsp|GallotHulinLafontaine|p=209}}</ref> par l'égalité (4), où <math>\mathrm D</math> s'interprète comme la [[connexion de Levi-Civita]] associée à <math>g</math>.

Dans ce cas, on peut avoir l'expression suivante pour la divergence:

<center><math>\operatorname{div}X= \frac{1}{\sqrt{\det(g)}}\frac{\partial}
{\partial u^i}\left(\sqrt{\det(g)}X^i\right)</math></center>
-->

=== Interprétation concernant le flux ===
La divergence peut être définie à partir du [[flux (mathématiques)|flux]] d'un champ de vecteur. Si <math>D</math> est un domaine [[relativement compact]] de <math>U</math>, dont le bord est une surface lisse <math>S</math>, le flux de <math>X</math> à travers <math>S</math> est égal à  l'[[intégration (mathématiques)|intégrale]] sur <math>D</math> de la divergence. Explicitement

<center><math>\int_D(\operatorname{div} X)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\int_{S} i(X)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)=\int_{S} g(X,\nu) \Omega_S</math></center>
Dans la dernière intégrale, <math>\nu</math> est le [[vecteur unitaire]] normal sortant de <math>S</math>, et <math>\Omega_S</math> est l'élément d'aire de la surface <math>S</math>. Cette égalité est valable en toute dimension, et s'étend aux domaines à bord des variétés riemanniennes orientées<ref>{{harvsp|GallotHulinLafontaine|p=211}}</ref>. Elle est connue sous le nom de [[théorème de Green-Ostrogradski]] (en dimension 3) ou [[théorème de flux-divergence]], qui est l'une des nombreuses variantes du [[théorème de Stokes]]
{{démonstration|contenu=
On écrit <math> X=\langle X,\nu\rangle\nu+ X^T</math>, où le vecteur <math> X^T</math> est tangent à la surface.
On a alors
<center><math>
i(X)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)  = \langle X,\nu\rangle (\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz) </math></center>
Mais d'une part, d'après la [[dérivée de Lie|formule de Cartan]]
<center><math>
i(X)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)= L_X(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)=(\operatorname{div} X))(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)
</math></center>
D'autre part 
l'élément d'aire de ''S'' est donné par <math>i(\nu)\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz</math>.
Le résultat s'en déduit par le théorème de Stokes.

Cette preuve s'étend telle que à la dimension ''n''.

}}

=== Divergence en dimension ''n'' ===
Cette définition et ses propriétés s'étendent aux champs de vecteurs sur <math>\mathbb{R}^n</math>.
Si <math> A = (A_{x_i})_{1\le i\le n}</math> est un tel champ de vecteurs, on pose
<center><math>
\mathrm{div} A =\sum_{i=1}^n \frac{\partial A_{x_i}}{\partial x_i}
</math></center>
Pour <math>\omega = \mathrm dx_1\wedge\dots \mathrm dx_n</math>, on a encore <math>L_A\omega=(\mathrm{div}A)\omega</math>,
d'où son lien avec le principe de (non)conservation du volume ''n''-dimensionnel.

{{démonstration|contenu=
En utilisant le fait que la [[dérivée de Lie]] est une dérivation, on voit que
<center><math>
L_A\omega = L_A(\mathrm dx_1)\wedge \mathrm dx_2\wedge\ldots \wedge \mathrm dx_n+ \mathrm dx_1\wedge L_A(\mathrm dx_2)\wedge\ldots  \wedge \mathrm dx_n+\ldots
+ \mathrm dx_1\wedge \mathrm dx_2\ldots \wedge L_A(\mathrm dx_n)</math></center>
Par ailleurs
<center><math>
L_A(\mathrm dx_i)= \mathrm d(L_Ax_i) = \mathrm dA_{x_i}
</math></center>
Ainsi, dans chacun des ''n'' termes de l'expression ci-dessus de <math>L_A\omega</math>, on peut
remplacer <math>\mathrm dA_{x_i}</math> par <math>\frac{\partial A_{x_i}}{\partial x_i}\mathrm dx_i</math>
}}

'''Exemple'''. Pour le champ linéaire donné par
<center><math>
 A_{x_i}= \sum_{j=1}^n a^i_jx_j
</math></center>
la divergence est la [[Trace (algèbre)|trace]] de la matrice <math>(a^i_j)_{1\le i,j\le n}</math>.

== Propriétés ==
{{exemple|nom=Divergence d’un champ rotationnel|<math display=block>\operatorname{div}\bigl(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\;\vec A\bigr) = 0</math>
Cette formule est particulière à la dimension '''3'''.
Elle signifie qu'un [[rotationnel|champ rotationnel]] est à divergence nulle. Inversement, si un champ de vecteurs <math>\vec B</math> sur un ouvert [[partie étoilée|étoilé]] de <math>\R^3</math> est à divergence nulle, il existe un champ <math>\vec A</math> tel que
<math display=block>\vec B=\overrightarrow{\operatorname{rot}}\;\vec A</math>

(on dit alors que <math>\vec A</math> est un '''[[potentiel vecteur]]''').
Cette propriété, une fois convenablement interprétée en termes de [[forme différentielle|formes différentielles]], est une application directe du [[Cohomologie de De Rham|lemme de Poincaré]].

'''Attention.''' Le champ newtonien <math>\tfrac{\vec r}{r^3}</math> est à divergence nulle, mais il n'existe pas de champ de vecteurs <math>\vec A</math> tel que <math>\overrightarrow{\operatorname{rot}}\;\vec A=\tfrac{\vec r}{r^3}</math>. En effet, si tel était le cas, son flux à travers toute surface fermée serait nul, alors que son flux à travers les sphères centrées à l'origine vaut <math>4\pi</math>. En fait, ce champ n'est défini que sur l'espace privé de l'origine, qui n'est pas un ouvert étoilé : le lemme de Poincaré ne s'applique pas.}}

{{exemple|nom=Interprétation comme transposé du gradient|<math display=block>\operatorname{div}(f\vec A)=f\operatorname{div}(\vec A)+\nabla f\cdot \vec A</math></center>

Cette formule, qui est une conséquence directe de la formule de Leibniz, permet de voir
l'opérateur divergence comme le transposé (au signe près) de l'opérateur [[gradient]]. En effet,
d'après le [[théorème de Stokes]], l'intégrale sur <math>\R^n</math>
de la divergence d'un champ de vecteurs nul en dehors d'une partie bornée est nulle.
Par conséquent, si <math>f</math> est une fonction lisse et <math>\vec A</math>
un champ de vecteurs, tous deux nuls en dehors d'une partie bornée
(cette condition assurant que les intégrales ont un sens),

<math display=block>\int_{\R^n}f\operatorname{div} \vec A\;\mathrm dx_1\ldots \mathrm dx_n= - \int_{\R^n}\nabla f\cdot \vec A\;\mathrm dx_1\ldots \mathrm dx_n</math>

Cette propriété s'interprète de la façon suivante. Soient <math>C^\infty(\R^n)</math>
et <math>\operatorname{Vect}(\R^n)</math> respectivement les espaces vectoriels
des fonctions lisses et des champs de vecteurs sur <math>\R^n</math> '''à support compact'''.
On les munit des [[produit scalaire|produits scalaires]]

<math display=block>\langle f,g\rangle:=\int_{\R^n}f\,g\;\mathrm dx_1\cdots\mathrm dx_n</math> et <math display=block>\langle\vec A,\vec B\rangle:=\int_{\R^n}\vec A\cdot\vec B\; \mathrm dx_1\cdots\mathrm dx_n</math>

Alors <math>\langle \nabla f,\vec A\rangle = -\langle f,\operatorname{div}\vec A\rangle</math>, ce qui prouve cette assertion.

Cette interprétation de la divergence présente l'avantage de se généraliser aussi bien aux [[variété riemannienne|variétés riemanniennes]] qu'aux tenseurs.}}

{{exemple|nom=Divergence d’un produit vectoriel|<math display=block>\operatorname{div}(\vec A\wedge\vec B)=\vec B\cdot\operatorname{rot}\vec A - \vec A\cdot\operatorname{rot}\vec B</math></center>

Une application typique de cette formule est le [[théorème de Poynting]] en électromagnétisme.}}

{{exemple|nom=Relations avec d’autres opérateurs|<math display=block>\overrightarrow{\operatorname{rot}}\Bigl(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\bigl(\vec A\bigr)\Bigr) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\Bigl(\operatorname{div}\bigl(\vec A\bigr)\Bigr)-\Delta \bigl(\vec{A} \bigr)</math></center>

Ces relations, très utilisées en [[analyse vectorielle]], se comprennent mieux dans le cadre des [[forme différentielle|formes différentielles]].}}

== Utilisation en physique ==
=== Lois de conservation ===
[[Fichier:Divergence theorem.svg|thumb|Illustration représentant un volume <math>V</math> intérieur à la surface fermée <math>(S)</math> dont la normale extérieure en tout point est <math>\vec n</math>.]]
D'une manière générale, la divergence est reliée en physique à l'expression locale de la propriété de conservation d'une grandeur. En considérant une surface fermée quelconque <math>(S)</math>, la variation d'une grandeur conservative dans le volume fermé par cette surface est, par définition d'une grandeur conservative, due aux échanges avec l'extérieur (il n'existe pas de sources de création ou d'annihilation d'une grandeur conservative). Le bilan de cette grandeur entre deux instants s'écrit donc uniquement comme la somme du flux de cette grandeur à travers la surface fermée <math>(S)</math> et de la variation temporelle de la grandeur à l'intérieur de la surface <math>(S)</math>. Si la grandeur est conservative, ce bilan est nul.

Par exemple, en [[électromagnétisme]], si <math>\vec J</math> est le vecteur densité volumique courant, <math>\rho</math> la densité volumique de [[charge électrique]] et <math>V</math> le volume intérieur à la surface <math>(S)</math>, la conservation de la charge s'écrit de façon intégrale :

<center><math>\iint_{(S)} \vec{J}\cdot\vec{n}\,\mathrm dS + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \iiint_{V} \rho\,\mathrm dV = 0</math></center>

ou encore, pour une surface <math>(S)</math> fixe :

<center><math>\iint_{(S)} \vec{J}\cdot\vec{n}\,\mathrm dS + \iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm dV = 0</math></center>

avec <math>\vec{n}</math> est un vecteur unitaire normal en tout point à <math>(S)</math>.

La [[formule d'Ostrogradsky|formule de Green-Ostrogradsky]] permet de réécrire l'équation précédente à la manière de la divergence :

<center><math>\iiint_{V} \operatorname{div}(\vec J)\,\mathrm dV + \iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm dV = 0</math></center>

Ce qui mène immédiatement à la relation locale de conservation :

<center><math>\operatorname{div}(\vec J) + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math></center>

Il est ainsi également possible d'exprimer localement, par exemple dans le cadre de la [[mécanique des fluides]], si <math>\rho</math> est la masse volumique en un point et <math>\vec V</math> le champ des vecteurs vitesse :
<center><math>\operatorname{div}(\rho\,\vec V)+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0</math> ([[équations de Navier-Stokes|équation de continuité]]).</center>

D'autres lois de conservation font intervenir la divergence de  tenseurs d'ordre '''2''', comme la [[équations de Navier-Stokes|conservation de la quantité de mouvement]] en mécanique des fluides. En [[relativité générale]], on montre aussi la nullité de la divergence du [[tenseur énergie-impulsion]].

=== Champs radiaux en carré inverse de la distance ===
Lorsqu'une loi d'interaction radiale, due à des sources ponctuelles, varie comme le carré inverse de la distance il est possible d'établir que le flux du champ d'interaction à travers une surface fermée est toujours proportionnel à la quantité de sources présentes à l'intérieur de la surface fermée. Ce type de relation porte généralement en physique le nom de [[théorème de Gauss (électromagnétisme)|théorème de Gauss]]. Par exemple, dans le cas du [[champ électrostatique]] <math>\vec E</math>, dû aux charges électriques <math>Q_\text{int}</math> présentes à l'intérieur de la surface fermée <math>(S)</math> on a la forme intégrale du théorème de Gauss suivante :

<center><math>\iint_{(S)} \vec E \cdot \vec n \,\mathrm dS = \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}</math></center>

Grâce au [[théorème de flux-divergence]] il est possible d'exprimer une forme locale du théorème de Gauss. L'équation précédente se réécrit :

<center><math>\iiint_V \operatorname{div} \vec E \, \mathrm dV= \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0} = \iiint_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}\,\mathrm dV</math></center>

si <math>V</math> est le volume délimité par <math>(S)</math> et <math>\rho</math> la densité volumique de charge. On obtient alors immédiatement :

<center><math>\operatorname{div} \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} </math></center>

qui est la forme locale du théorème de Gauss. Ce type de relation est également possible pour le [[champ de gravitation]] :

<center><math>\operatorname{div} \vec G  = - 4\pi\,G\,\rho </math></center>

où <math>G</math> est la [[constante fondamentale]] de la gravitation, <math>\vec G</math> le champ de gravitation et <math>\rho</math> la [[masse volumique]].

=== Flux du champ magnétique ===
En électromagnétisme il est possible de montrer, à partir de la [[loi de Biot et Savart]], que la divergence du champ magnétique <math>\vec B</math> est nulle<ref group="alpha">Dans le formalisme des [[équations de Maxwell]], la nullité de la divergence du champ magnétique n'est pas une conséquence mais un postulat ([[Équations de Maxwell#Équation de Maxwell-Thomson|loi de Maxwell-Thomson]]).</ref> :
<center><math>\operatorname{div}\vec B = 0</math></center>

Cette propriété intrinsèque du champ magnétique permet d'établir que le [[flux du champ magnétique]] à travers une surface fermée est toujours nul ; on dit que le champ magnétique est à flux conservatif. En effet, si on appelle <math>(S)</math> la surface fermée considérée et <math>V</math> le volume intérieur à cette surface, on a :
<center><math>\iint_{(S)} \vec B \cdot \vec n \,\mathrm dS = \iiint_V \operatorname{div}(\vec B)\,\mathrm dV = 0</math></center>
<!--
== Divergence d'un tenseur ==
{{Article détaillé|divergence d'un tenseur}}
=== Cas des espaces euclidiens ===
Un tenseur de type <math>(p,q)</math> (<math>p</math>-contravariant et <math>q</math>-covariant) est donné par ses coordonnées <math> T_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_1j_2\cdots j_p}</math>.

Sa [[dérivée covariante]] est alors par définition le tenseur de type <math>(p,q+1)</math> donné par <math>\partial_i T_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_1j_2\cdots j_p}</math> (on a désigné par <math>\partial_i</math> l'opérateur de dérivation par rapport à
la <math>i</math>-ième variable).

La divergence est le tenseur de type <math>(p-1,q)</math> défini par
<center><math>
 S_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_2\cdots j_p}=\sum_{i=1}^n \partial_i T_{i_1i_2\cdots i_q}^{ij_2\cdots j_p}</math></center>

{{Exemple|
La divergence du tenseur
<center><math>T=\sum_{i,j}T^{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\otimes\frac{\partial}{\partial x_j}</math></center>
(qui est de type <math>(2,0)</math>) est le champ de vecteurs
<center><math>S=\sum_{i=1}^n S^i\frac{\partial}{\partial x_i}</math> avec <math>S^i=\sum_{j=1}^n\partial_j T^{ji}</math></center>}}

=== Cas général ===
Cette définition s'étend pratiquement mot pour mot aux tenseurs sur une variété
munie d'une [[connexion (mathématiques)|connexion]]. Dans les formules précédentes, on remplace
la différentiation <math>\partial_i</math>
par l'opérateur de [[dérivée covariante|différentiation covariante]]
<math>\nabla_i</math>, qui à partir d'un tenseur de type <math>(p,q)</math> donne un
tenseur de type <math>(p,q+1)</math>, puis on pose
<center><math>
 \big(\operatorname{div}\,T\big)_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_2\cdots j_p}=\sum_{i=1}^n \nabla_i T_{i_1i_2\cdots i_q}^{ij_2\cdots j_p},</math></center>

ce qui donne un tenseur de type <math>(p-1,q)</math>

Le cas le plus important est celui des variétés riemanniennes ou pseudo-riemanniennes,
munies de leur [[connexion de Levi-Civita]]. La métrique
permet d'identifier entre eux les tenseurs de même [[ordre total]] 
<math>p+q</math>. La divergence d'un tenseur d'ordre <math>k</math>
sera un tenseur d'ordre <math>k-1</math>.

Les cas les plus utilisés (avec celui des champs de vecteurs vu plus haut)
sont ceux des tenseurs symétriques d'ordre 2
et des [[forme différentielle|formes différentielles]].
-->

== Expression de la divergence en dimension 3 dans d'autres systèmes de coordonnées ==
=== En coordonnées cylindriques ===
<math>(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z),0\le\theta<2\pi</math>
:<math display="block">\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A =
\frac{1}{r}\frac{\partial (r A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}</math>

=== En coordonnées sphériques ===
En choisissant pour convention les notations physiques (conformément au standard [[ISO 31|ISO 31-11]]), soit
<math>(x,y,z)=(r \sin\theta \cos\varphi, r \sin\theta \sin\varphi, r \cos\theta), 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi<2\pi</math> :

:<math display="block">\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A =
\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta A_\theta ) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}</math>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| wikiversity=Analyse_vectorielle/Divergence| wikiversity titre=Divergence}}

=== Bibliographie ===
* {{en}} [[Yvonne Choquet-Bruhat]] et [[Cécile DeWitt-Morette]], ''Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics'', North-Holland/Elsevier ({{2e|édition}} révisée - 1982) {{ISBN|0-444-86017-7}}
* {{Cours de physique de Feynman}}, ''Électromagnétisme I, ch. 2 et 3'', InterEditions {{ISBN|2-72960028-0}}
* {{Lafontaine1}}
* François Rouvière, ''Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation'', Cassini, 1999 {{ISBN|2-84225-008-7}}
* {{ouvrage|lang=en|id=GallotHulinLafontaine|prénom1=Sylvestre|nom1=Gallot|prénom2=Dominique|nom2=Hulin|prénom3=Jacques|nom3=Lafontaine|titre=Riemannian Geometry|référence=Référence:Géométrie différentielle (Gallot, Hulin, Lafontaine)}}

=== Articles connexes ===
* [[Divergence d'un tenseur]]
* [[Rotationnel]], [[gradient]], [[nabla]], [[laplacien]]
* [[Dérivée partielle]], [[équation aux dérivées partielles]]
* [[Opérateur différentiel]]
* [[Théorème de Stokes]]
* [[Équations de Maxwell]], [[équations de Navier-Stokes]]

{{Palette|Analyse vectorielle}}
{{Portail|analyse|physique}}

[[Catégorie:Analyse vectorielle]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Opérateur différentiel]]
[[Catégorie:Théorie des opérateurs]]