Voir la source de Diviseur

{{Confusion|texte=Pour la notion de diviseur en [[géométrie algébrique]], voir [[Diviseur (géométrie algébrique)]].}}
[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|Les diviseurs de <math>10</math> représentés à l'aide de [[réglettes Cuisenaire]]: <math>1,2,5</math> et <math>10</math>]]
Le mot '''diviseur''' a deux significations en [[mathématiques]] :

* Une [[Division euclidienne|division]] est effectuée à partir d’un “'''dividende'''” et d’un “'''diviseur'''”, et une fois l’opération terminée, le [[Produit (mathématiques)|produit]] du “'''[[quotient]]'''” par le '''diviseur''' augmenté du “'''[[reste]]'''” est égal au dividende.
* En [[arithmétique]], un '''diviseur''' d'un [[entier relatif|entier]] <math>n</math> est un entier <math>d</math> tel qu'il existe un autre entier <math>k</math> tel que <math>n = dk</math>. Par exemple <math>2</math> est un diviseur de <math>10</math> car <math>2 \times 5 = 10</math>. La notion de diviseur est liée à celle de [[multiple (mathématiques)|multiple]], car si <math>d</math> divise <math>n</math> alors <math>n</math> est un multiple de <math>d</math>, et à la notion de [[divisibilité]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=Jean|nom1=Wacksmann|titre=Mathématiques expertes Tle: pour aller plus loin en démontrant et en s'entraînant nouveaux programmes|lieu=Paris|éditeur=Ellipses|date=2022-05-03|pages totales=528|passage=190-191|isbn=978-2-340-06756-1|consulté le=2024-05-29|id=Wacksmann}}</ref>.

Ces deux notions sont liées. Si <math>b</math> est un diviseur de <math>a</math> au sens arithmétique, alors le reste de la division euclidienne de <math>a</math> par <math>b</math> est <math>0</math> et donc <math>\frac{a}{b}</math> est un entier. On dit alors que <math>a</math> est divisible par <math>b</math>.

Cette notion se généralise aux [[Anneau commutatif|anneaux commutatifs]]. Contrairement à <math>\Z</math>, dans un anneau non [[Anneau intègre|intègre]], <math>0</math> peut avoir des [[Diviseur de zéro|diviseurs]] non nul.

== Diviseurs d'un entier ==

=== Ensemble des diviseurs ===
Si <math>n = 0</math>, tout entier divise <math>n</math>. En effet pour tout <math>k \in \Z</math>, l'ensemble des [[Entier relatif|entiers relatifs]], <math>0 = k \times 0</math>, ainsi l'ensemble des diviseurs de <math>0</math> est <math>\Z</math>.

Si <math>n</math> est un entier non nul, alors <math>0</math> ne divise pas <math>n</math>. L'entier <math>n</math> a donc des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseur nul. De plus, si <math>d</math> est un diviseur de <math>n</math> alors <math>-d</math> est aussi un diviseur de <math>n</math>. Ainsi les diviseurs positifs et négatifs sont les mêmes au signe près. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu'aux diviseurs positifs d'un [[Entier naturel|entier positif]]. Par la suite, on se placera dans cette situation.

Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de <math>10</math> est <math>\{1, 2, 5, 10\}</math> et celui de <math>60</math> est <math>\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}</math>.

L'entier <math>1</math> possède qu'un seul diviseur : <math>1</math>.

=== Relation de divisibilité ===
[[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|thumb|[[Diagramme de Hasse]] des diviseurs de <math>60</math> : une arête entre deux sommets indique que l'élément le plus bas est un diviseur de l'élément le plus haut.]]
{{Article détaillé|Divisibilité}}
Si <math>d</math> est un diviseur de <math>n</math>, tout diviseur de <math>d</math> est aussi un diviseur de <math>n</math>. Cette propriété induit une sorte de hiérarchie parmi les diviseurs d'un entier qui peut être visualisée sous forme d'un [[diagramme de Hasse]].

Le relation de de divisibilité est une [[relation d'ordre]] sur les entiers<ref>{{Harvsp|Wacksmann|2022|p=193|id=Wacksmann}}</ref>.

Tout entier <math>n</math> strictement supérieur à <math>1</math> possède au moins deux diviseurs <math>1</math> et <math>n</math> qui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur de <math>n</math> différent de <math>n</math> est un [[diviseur strict]] de <math>n</math> (ou partie aliquote — le terme [[diviseur propre]] est utilisé comme synonyme tantôt de diviseur strict, tantôt de [[diviseur non trivial]]).

=== Nombre premier ===
{{Article détaillé|Nombre premier}}
Un entier <math>n</math> qui possède exactement deux diviseurs est appelé un [[nombre premier]]. Un nombre premier diviseur de <math>n</math> est appelé un diviseur premier de <math>n</math>.

Le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] énonce que tout entier strictement supérieur à <math>1</math> s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de puissances de nombres premiers qui sont ses diviseurs premiers. Cette décomposition en [[Facteur (mathématiques)|facteurs]] premiers permet d'énumérer tous les diviseurs de l'entier. Si
{{retrait|<math>n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}</math>}}
où les <math>p_i</math> sont des nombres premiers distincts et les <math>\alpha_i</math> des exposants entiers strictement positifs, alors, <math>d</math> est un diviseur de <math>n</math> si et seulement s’il existe des entiers <math>\beta_i</math> compris au sens large entre <math>0</math> et <math>\alpha_i</math> tels que
{{retrait|<math>d=\prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_i}.</math>}}

Ainsi la décomposition de <math>60</math> est
{{retrait|<math>60=2^2\times 3^1 \times 5^1</math>}}
et <math>10</math> est un diviseur de <math>60</math> car il peut s'écrire
{{retrait|<math>10=2^1\times 3^0 \times 5^1.</math>}}

=== Fonctions liées à l'ensemble des diviseurs ===
{{article détaillé|Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs}}

Il existe des fonctions d'un entier <math>n</math> créées à partir de l'ensemble de ses diviseurs. Les plus classiques sont les fonctions « [[Fonction nombre de diviseurs|nombre de diviseurs]] » et « [[somme des diviseurs]] ».

La fonction « nombre de diviseurs » donne le nombre <math>d(n)</math> des diviseurs de <math>n</math>. Ainsi <math>d(10)=4,\, d(36)=9 </math> et <math>d(60)=12</math>. La décomposition en facteurs premiers de <math>n</math> permet de donner une valeur explicite à cette fonction{{Sfn|Hardy|Wright|5=1956|p=238-239}}. Si la décomposition de <math>n</math> est
{{retrait|<math>n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i}</math>}}
alors
{{retrait|<math>d(n)=\prod_{i=1}^k(\alpha_i+1).</math>}}

Les fonctions « somme des diviseurs » et « somme des diviseurs stricts » interviennent dans l'étude des [[nombre parfait|nombres parfaits]], [[nombre abondant|nombres abondants]], [[nombre déficient|nombres déficients]] ou [[nombre amical|nombres amiables]], ainsi que dans les [[suite aliquote|suites aliquotes]].

Elles font partie de la famille des [[Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs|fonctions "somme des puissances des diviseurs"]].

== Diviseur dans un anneau ==
La définition de diviseur se généralise à un [[anneau commutatif]] <ref>{{Szpirglas}}, partie IV, chap.9, I.5, {{p.|462}}.</ref>: si <math>a</math> et <math>b</math> sont deux éléments d'un anneau <math>A</math>, <math>b</math> divise <math>a</math> si et seulement s’il existe un élément <math>c</math> de <math>A</math> tel que <math>a=bc</math>.

Une attention spéciale doit être portée à la notion de divisibilité de zéro. Selon la définition précédente, tout élément <math>b</math> de <math>A</math> divise  <math>0_A</math> ([[élément neutre]] de l'addition dans l'anneau <math>A</math>) car <math>0_A=b\times 0_A</math>. 

Les mathématiciens distinguent cependant deux types d'[[Anneau commutatif|anneaux commutatifs]] :

* les [[Anneau intègre|anneaux intègres]], définis comme ceux dans lesquels l'égalité <math>bc=0_A</math> implique qu'au moins un des deux éléments <math>b</math> et <math>c</math> est nul.
* les anneaux non intègres sont ceux, non réduits à <math>\{0_A\}</math>, dans lesquels l'égalité <math>bc=0_A</math> peut être vraie alors même que ni <math>b</math> ni <math>c</math> ne sont nuls. De tels diviseurs, non nuls, de <math>0_A</math> sont alors appelés "[[Diviseur de zéro|diviseurs de zéro]]" dans l'anneau<ref>{{lien web|url=https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./d/divzero.html|titre=Diviseurs de zéro - Anneau intègre|site=bibmath.net}}</ref>.

Il y a des différences importantes dans les raisonnements mathématiques possibles dans ces deux types d'anneaux. En particulier, dans un anneau intègre, si on a <math>ab = cb</math> et <math>b</math> non nul, on peut en déduire que <math>a=c</math>. En effet : <math>ab=cb</math>, donc <math>(a-c)\times b=0</math> et l'un au moins de <math>a-c</math> et <math>b</math> doit être nul, car l'anneau est intègre. Comme <math>b</math> n'est pas nul , c'est <math>a-c</math> qui l'est, donc <math>a=c</math>. Dans un anneau non intègre, on ne peut pas conduire le même raisonnement car <math>(a-c)\times b=0</math> n'implique pas que <math>a-b</math> soit nul, même si <math>b</math> ne l'est pas.

Exemple illustratif : dans l'anneau <math>Z/6Z</math> , on a <math>2\times 3=0</math>. Cela veut dire que si on multiplie n'importe quel entier relatif [[Congruence sur les entiers|congru]] à 2 modulo 6 (noté "2") par n'importe quel entier relatif congru à 3 modulo 6 (noté "3"), on obtient un entier congru à 0 modulo 6 (noté "0"), car divisible par 6. <math>Z/6Z</math> est donc non intègre, et 2 comme 3 sont des diviseurs de 0. En outre on a <math>2\times 3=0</math> mais aussi <math>4\times 3=0</math> donc <math>2\times 3=4\times 3</math> , et cependant 2 ≠ 4{{Sfn|Hardy|Wright|5=1956|p=48-51}}.

== Notes et références ==
{{références}}

== Bibliographie ==

* {{Ouvrage|langue=en|nom1=Hardy|auteur2=Wright|titre=An Introduction to the Theory of Numbers|lieu=Oxford|éditeur=Oxford University Press|année=1956|numéro édition=3|pages totales=419|lire en ligne=https://archive.org/details/introductiontoth0000hard_z6j4/mode/1up?view=theater|consulté le=4 février 2025}}

== Articles connexes ==
* [[Table des facteurs premiers]] : une table des facteurs premiers des entiers de 1 à 1 000
* [[Table des diviseurs]] : une table des diviseurs (premiers et non premiers) des entiers 1 à 1 000
* [[Plus grand commun diviseur]]
* [[Arithmétique modulaire]]
* [[Anneau factoriel]]

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]