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[[Fichier:Divide20by4.svg|vignette|Division en tant que partage. Illustration de la division de 20 par 4 : partage d'un ensemble de 20 pommes en 4 parts égales.]]
La '''division''' est l'une des quatre [[Opération (mathématiques)|opérations]] de l'[[arithmétique élémentaire]] avec l'[[addition]], la [[soustraction]] et la [[multiplication]]. Dans une première approche, la division consiste à calculer combien de fois on peut mettre un nombre dans un autre. Par exemple, si l'on dispose de 20 pommes à distribuer à 4 personnes, il faut donner 5 pommes à chacun (on peut mettre 5 fois 4 pommes pour avoir 20 pommes). Le nombre que l'on divise (20 dans l'exemple) s'appelle le ''dividende''. Nous l'avons divisé par 4 : il s'agit du ''diviseur''. Le résultat s'appelle le ''[[quotient]]'' ou ''[[rapport]]'' (5 dans l'exemple).

En termes mathématiques, à deux nombres, le dividende <math>a</math> et le diviseur <math>b</math>'','' la division associe un troisième nombre ([[loi de composition interne]]), qui est le ''quotient''. Selon la norme NF EN ISO 80000-2<ref>{{Lien web |langue=fr |nom=14:00-17:00 |titre=ISO 80000-2:2019 |url=https://www.iso.org/fr/standard/64973.html |site=ISO |date=2020-05-19 |consulté le=2023-12-07}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=NF EN ISO 80000-2 |url=https://www.boutique.afnor.org/fr-fr/norme/nf-en-iso-800002/grandeurs-et-unites-partie-2-signes-et-symboles-mathematiques-a-employer-da/fa180173/1349 |site=Afnor EDITIONS |consulté le=2023-12-07}}</ref>, le quotient de <math>a</math> par <math>b</math> se note :
* <math>a : b </math> ;
* <math>a/b </math> ([[barre oblique]], [[fraction (mathématiques)|fraction]] en ligne) ;
* <math>\frac{a}{b}</math> ([[fraction (mathématiques)|fraction]]).

Selon la même norme, il convient de ne pas utiliser la notation <math>a \div b </math> ([[obélus]]).

Dans une première approche, on peut voir la quantité <math>a : b </math> comme une séparation de la quantité <math>a</math> en <math>b</math> parts égales. Mais cette approche est surtout adaptée à la division entre nombres entiers, où la notion de quantité est assez intuitive. On distingue couramment la division « exacte » (celle dont on parle ici) de la division « avec reste » (la [[division euclidienne]]). D'un point de vue pratique, on peut voir la division comme le [[produit mathématique|produit]] du premier par l'[[inverse]] du second. Si un nombre est non nul, la fonction « division par ce nombre » est la réciproque de la fonction « [[multiplication]] par ce nombre ». Cela permet de déterminer un certain nombre de propriétés de l'opération.

De manière plus générale, on peut définir le quotient <math>y=a/b</math> comme étant la solution de l'[[équation]] <math>b\times y = a </math>. Ceci permet d'étendre la définition à d'autres objets mathématiques que les nombres, à tous les éléments d'un [[Anneau (mathématiques)|anneau]].

== Problématique ==
La division sert :
* à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, et donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple :
: Question : Si on répartit équitablement {{unité|500|grammes}} de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elles obtiendra-t-elle ?
: Réponse : <math>\dfrac{500}{8} = 62{{,}}5</math>, chacun obtient {{unité|62.5|grammes}} de poudre de perlimpimpin
* à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple :
: Question : Si on répartit {{unité|500|grammes}} de poudre de perlimpimpin par tranche de {{unité|70|g}}, combien de personnes pourra-t-on servir ?
: Réponse : <math>\dfrac{500}{70} = 7{{,}}14\ldots </math>, on pourra servir <math>7</math> personnes et il restera de quoi servir <math>1/7</math> de personne (<math>\approx 0,14 </math>).

La multiplication est également l'expression d'une [[loi proportionnelle]]. La division permet donc « d'inverser » cette loi. Par exemple, on sait qu'à un endroit donné, le [[poids]] <math>P</math> (force qui tire un objet vers le bas, exprimée en [[Newton (unité)|newtons]]) est proportionnelle à la [[masse]] <math>m</math> (quantité fixe, exprimée en kilogrammes), le coefficient de proportionnalité étant appelé « gravité » <math>g</math> :
: <math>P=m\times g </math>
Un pèse-personne mesure la force qui lui est exercée, donc <math>P </math> ; la gravité étant connue, on peut en déduire la masse d'une personne en inversant la loi par une division :
: <math>m=P/g </math>.
Dans le même ordre d'idées, dans le cas d'un [[mouvement rectiligne uniforme]], la distance parcourue <math>d</math> (en kilomètres) est proportionnelle au temps <math>t</math> (en heures), le coefficient étant la vitesse moyenne <math>v</math> (en kilomètres par heure) :
: <math>d=v\times t</math>.
On peut inverser cette loi pour déterminer le temps qu'il faut pour parcourir une distance donnée à une vitesse moyenne donnée :
: <math>t=d/v</math>.

De manière plus générale, la division intervient dans l'inversion d'une [[loi affine]], c'est-à-dire du type
: <math>y=ax+b</math>
ce qui donne si ''a'' est non nul
: <math>x=(y-b)/a</math>
Par ailleurs, on peut approcher la plupart des lois par une loi affine en faisant un [[développement limité]] à l'ordre 1. La division permet donc d'inverser une loi de manière approximative : si l'on connaît la valeur de <math>f</math> et de sa [[dérivée]] en un point <math>x_0</math>, on peut écrire « autour de ce point »
: <math>y=f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\times(x-x_0)</math>
et ainsi inverser la loi :
: <math>x \simeq x_0 + \frac{f(x) - f(x_0)}{f'(x_0)}</math>
: <math>f^{-1}(y) \simeq x_0 + \frac{y - f(x_0)}{f'(x_0)}</math>
Ceci est par exemple utilisé dans l'[[algorithme de Newton]], qui recherche les zéros d'une fonction :
: <math>f^{-1}(0) \simeq x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}</math>

== Vocabulaire et notations. Historique ==
Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le ''numérateur'' (''dividende'') du ''dénominateur'' (''diviseur''). Par exemple, <math>a</math> divisé par <math>b</math> se note <math>\dfrac ab</math>.

Le ''dénominateur'' donne la dénomination et le ''numérateur'' énumère : <math>\dfrac 34</math> indique qu'il s'agit de ''quarts'', et qu'il y en a ''trois'' → ''trois quarts''.

[[Diophante]] et les [[Romains]], au {{IVe siècle}} écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les [[Inde|Indiens]] également au {{XIIe siècle}} et la notation moderne fut adoptée par les [[Arabes]].

Le symbole « ''':''' » a été plus tard utilisé par [[Leibniz]].

Les fabricants de calculatrices impriment l'obélus <math>\div </math> ou la barre oblique <math>/</math> sur la touche « opérateur division ». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture « en ligne » utilisée en imprimerie ou sur un écran.

Dans les publications scientifiques, on utilise plus volontiers les notations fractionnelles. La notation avec les deux-points est souvent utilisée pour représenter un rapport de quantités entières ou de longueurs.

Aujourd'hui en France, en classe de {{6e}} de collège, les notations <math>\div </math>, ''':''' et <math>/</math> sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est communément admise :
* <math>a\div b </math> et <math>a:b</math> désignent une opération (non effectuée), et le vocabulaire approprié est ''dividende'' pour <math>a</math> et ''diviseur'' pour <math>b</math> ;
* <math>\dfrac{a}{b}</math> et <math>a/b</math> désignent l'[[Fraction (mathématiques)|écriture fractionnaire]] du ''résultat'' de cette opération, et le vocabulaire approprié est ''numérateur'' pour <math>a</math> et ''dénominateur'' pour <math>b</math>.

== Mathématiques et langue française ==
On peut '''diviser''' une entité '''en''' un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, '''par''' un moyen implicite ou explicite.

Ainsi, on peut :
* diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau
* simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
* diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait
* simplement diviser 1 en {{36e}}
* etc.

On peut également diviser ''par dichotomie'' ou ''par malice'', mais diviser ''par 2'' est un concept mathématique :
: <math>\dfrac ab = c</math> : « <math>a</math> divisé par <math>b</math> est égal à <math>c</math> ».

== Définition ==
[[Fichier:Division.png|vignette|Technique de division avec des variables.]]

=== Approche élémentaire ===
On commence par définir la division « avec reste » entre [[Entier naturel|nombres entiers naturels]]. Cette division peut s'approcher de manière intuitive par la notion de « partage, distribution équitable », et donne une procédure de calcul.

{{loupe|Division euclidienne}}

Cette notion permet déjà de mettre en évidence le problème de la division par [[zéro]] : comment partager une quantité en 0 part ? Cela n'a pas de sens, il faut au moins une part.

Puis, on définit la notion de [[nombre décimal]], et l'on étend la procédure de calcul en l'appliquant de manière récursive au reste, voir la section ci-dessous ''[[#Division non abrégée|Division non abrégée]]''. Cela permet de définir la notion de [[nombre rationnel]].

La notion de partage convient encore mais est plus difficile à appréhender. On peut imaginer des portions de part, donc diviser par des nombres fractionnaires : diviser une quantité par <math>0,1</math> (<math>1/10</math>), c'est dire que la quantité initiale représente <math>1/10</math> part, et donc trouver la taille d'une part complète. Diviser une quantité par un nombre négatif, cela revient à calculer la taille d'une part que l'on enlève.

Les [[Nombre réel|nombres réels]] sont construits à partir des rationnels. Un nombre irrationnel ne peut pas se concevoir comme une quantité ; par contre, il peut se voir comme une proportion : le rapport entre la diagonale d'un carré et son côté, le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Dès lors, la division ne peut plus être définie comme un partage, mais comme la réciproque de la multiplication.

Avec cette définition, on ne peut toujours pas diviser par 0 : puisque <math>0\times a =0</math> pour tout nombre, il existe une infinité de réciproques. On peut aussi — puisque diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse — voir ce problème comme celui de la [[Limite (mathématiques élémentaires)|limite]] en 0 de la [[fonction inverse]] <math>f(x)=1/x</math> : elle a deux limites, <math>-\infty </math> à gauche et <math>+\infty</math> à droite.

Le fait « d'étendre » les nombres réels en incluant des « pseudo-nombres infinis », <math>+\infty</math> et <math>-\infty </math> ([[droite réelle achevée]]), ne règle pas le problème, puisque reste le problème du signe.

{{loupe|Division par zéro}}

La notion de division est donc fondamentale en [[algèbre]] et en [[Analyse réelle|analyse]].

=== Définition complète ===
Étant donné un [[anneau intègre]] <math>(A,+,\times)</math>, la division sur <math>A</math> est la ''loi de composition'' : <math>\mathrm{A} \times \mathrm{A} \to \mathrm{A}</math>, notée par exemple « <math>\div </math> », telle que <math>\forall (a,b,c)\in \mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \mathrm{A}</math>,
: <math>a:b=c</math> si et seulement si <math>b\times c =a</math>.

L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur <math>\mathrm{A} \times (\mathrm{A}-\{0\})</math> si et seulement si <math>A</math> est un [[corps commutatif]], et en aucun cas définie pour <math>b=0</math>.

Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble <math>A</math> : dans le cas commutatif, on définit sur <math>\mathrm{A} \times \mathrm{A}</math> une [[relation d'équivalence]] <math>\sim</math> par
: <math>(a,b)\sim(a',b')\iff a\times b' = a'\times b</math>
et on écrit
: <math>a:b</math> la classe de <math>(a,b)</math> dans l'[[anneau quotient]].
Cet anneau quotient est un corps dont le neutre est la classe 1 : 1. C'est ainsi que l'on [[Construction des nombres rationnels|construit]] <math>\mathbb{Q}</math> en symétrisant <math>\mathbb{Z}</math> pour la multiplication (ou <math>\mathbb{Z}</math> à partir de <math>\mathbb{N}</math> en symétrisant l'addition).

Cette définition ne recouvre pas celle de [[division euclidienne]], qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent.

Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans <math>a</math>, combien de fois <math>b</math>).

Le problème de définition ne se pose plus, puisque <math>\forall (a,b)\in \mathbb{N}\times(\mathbb{N}-\{0\})</math>, <math>\{n\in\mathbb{N}\ |\ b\times n \leqslant a\}</math> est une partie de <math>\mathbb{N}</math> non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément.

Cette division, fondamentale en arithmétique, introduit la notion de ''reste''. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le <math>b</math> de la définition ne peut être [[zéro]].

== Propriétés ==
La division n'était pas à proprement parler une opération ([[loi de composition interne]], définie partout), ses « propriétés » n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire.

Non-propriétés
* non [[commutativité|commutative]] car <math> 5 \div 3 \neq 3 \div 5 </math>
* non [[associativité|associative]] car <math>12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3 </math>

Remarques
* pseudo-[[élément neutre]] à droite : 1
*: <math>\dfrac a1 = a</math>
* pseudo-[[élément absorbant]] à gauche : 0
*: <math> \mbox{ si } b \neq 0, \dfrac 0b = 0</math>
* égalité de fractions
** de même dénominateur
**: <math> \mbox{ si } b \neq 0, \dfrac ab = \dfrac cb \iff a=c</math>
** en général (qui découle de la construction de <math>\mathbb{Q}</math>)
**: <math> \mbox{ si } b \neq 0 \wedge d \neq 0, \dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc\,\text{(produit en croix)}</math>
* ordre
*: <math> \mbox{ si } b > 0, \dfrac ab</math> et <math>\dfrac cb</math> sont dans le même ordre que <math>a</math> et <math>c</math>

== Algorithmes de la division de nombres décimaux ==
=== Division non abrégée ===
[[Fichier:Division non abrégée 22 6.svg|vignette|200px|Division non abrégée de <math>23</math> par <math>6</math>.]]

L'algorithme de division non abrégée, encore appelé division longue, sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux [[Entier relatif|nombres entiers]]. C'est une extension de la division euclidienne (voir ''[[Poser une division#En arithmétique|Poser une division &gt; Généralisation en arithmétique]]''). D'un point de vue pratique, il consiste à continuer la procédure, en « descendant des zéros », les nouveaux chiffres calculés s'ajoutant après la virgule. Cela se justifie par
: <math>\frac{a}{b} \times 10^n = \frac{a\times 10^n}{b} \Longrightarrow
\frac{a}{b} = \frac{a\times 10^n}{b} \div 10^n</math>
où ''n'' est le nombre de décimales que l'on veut. Ainsi, on ajoute <math>n</math> zéros à droite du numérateur, on effectue une division euclidienne classique, puis sur le quotient obtenu, les <math>n</math> derniers chiffres sont après la virgule.

Notons que l'on a intérêt à calculer la <math>n+1^\mathrm{e}</math> décimale pour savoir dans quel sens faire l'[[arrondi (mathématiques)|arrondi]].

Par exemple, pour calculer <math>23:6</math> avec deux décimales, la procédure revient à calculer <math>2 \  300 : 6</math> ( <math>=383</math>, reste <math>2</math>) puis à diviser le résultat par <math>100</math> (ce qui donne <math>3,83</math>).

Cette procédure se généralise au quotient de deux [[nombre décimal|nombres décimaux]] ; cela se justifie par :
: <math>\frac{a}{b} = \frac{a \times 10^n}{b \times 10^n}</math>
où <math>n</math> est un entier positif tel que <math>a\times 10^n</math> et <math>b\times 10^n</math>{{exp|''n''}} soient des entiers ; on peut par exemple prendre le plus grand nombre de décimales dans les nombres <math>a</math> et <math>b</math>.

Deux situations peuvent se présenter :
* on finit par avoir un reste nul : on obtient donc un nombre décimal ;
* on finit par retomber par un reste qui est déjà apparu auparavant : la division « ne se termine pas », elle boucle à l'infini ; dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son [[développement décimal]] admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur.

Dans une division non exacte <math>a\div b</math>, (<math>a</math> et <math>b</math> étant deux nombres entiers, <math>b</math> non nul), si on note <math>q_p</math> et <math>r_p</math> respectivement le quotient et le reste obtenus en poussant les itérations jusqu'à obtenir <math>p</math> chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :
: <math>\dfrac ab \approx q_p</math> à <math>10^{-p}</math> près ou <math>q_p <\dfrac ab < q_p+10^{-p}</math>
et
: <math>\dfrac ab = q_p + \dfrac {r_p \cdot 10^{-p}}{b}</math>

Un nombre irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition. C'est par contre la limite d'une suite de nombres rationnels (voir ''[[Construction des nombres réels#Définition en tant qu'ensemble 2|Construction des nombres réels]]'').

=== Division de nombres codés en binaire ===
La division en [[système binaire]] est une opération fondamentale pour l'informatique.

==== Division euclidienne binaire ====
On considère dans un premier temps des entiers naturels (positifs). La division se fait de la même manière que la division euclidienne.

Soient deux nombres <math>a</math> et <math>b</math> de <math>n</math> bits. La notation <math>a(i)</math> désigne le <math>i</math>-ième bit (en partant de la droite, notés de <math>0</math> à <math>n-1</math>), <math>a(i:j) </math> désigne les bits situés entre les positions <math>i</math> et <math>j</math>. La fonction suivante calcule le quotient <math>Q</math> et le reste <math>R</math>, en [[pseudo-code]] :

<syntaxhighlight lang="text">
fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
    
    Q := 0 ; R := a ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        si a(n:i) >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = a(n:i) - b ; // reste
        fin
     fin
     retourne [Q, R] ;
fin
</syntaxhighlight>

On cherche une portion de « bits forts » (chiffres de gauche) de <math>a</math> qui est supérieure à <math>b</math> ; si l'on n'en trouve pas, alors le quotient garde la valeur <math>0</math>, et le reste <math>R</math> prend la valeur <math>a</math> (puisqu'au final il est constitué de tous les chiffres de <math>a</math>). Si à un certain rang <math>i</math> on a <math>a(n:i)\geq b</math>, alors du fait du système binaire, la réponse à
: en ''a''(''n'':''i'') combien de fois <math>b</math>
est nécessairement « une fois » : en base <math>10</math>, la réponse est entre <math>1</math> et <math>9=10-1</math> ; ici, elle est entre <math>1</math> et <math>1=2-1</math>. On a donc le <math>i</math>-ème bit du quotient qui vaut <math>1</math> ; le reste <math>R</math> à cette étape est la différence.

Ce pseudo-programme n'est pas optimisé pour des raisons de clarté ; une version plus efficace serait :
<syntaxhighlight lang="text" line="1">
fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
        R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
        si R >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = R - b ; // reste
        fin
    fin
    retourne [Q, R] ;
fin
</syntaxhighlight>

Cet algorithme marche également avec les [[nombre réel|nombres réels]] codés en [[virgule fixe]].

Pour les nombres réels codés en [[virgule flottante]], il suffit de voir que :
:<math>\frac{2^m\,a}{2^n\,b}=2^{m-n}\frac ab</math>
donc on procède à la différence des exposants (des [[entier relatif|entiers relatifs]], codés en virgule fixe) et à la division des [[mantisse]]s (des [[entier naturel|entiers naturels]]).

On voit que l'on ne fait appel qu'à des fonctions élémentaires — comparaison, décalage, assignation, [[soustraction]] — ce qui permet de le mettre en œuvre de manière simple dans un microprocesseur.

==== Méthodes lentes ====
Dans la division euclidienne de <math>a</math> par <math>b</math>, pour des nombres représentés en base <math>B</math> (<math>B=2</math> en binaire), à l'étape <math>i</math> :
* on considère le reste de l'étape précédente, <math>R_{i-1}</math> ;
* on détermine le <math>i</math>-ème chiffre du quotient ''en partant de la gauche'', donc le chiffre <math>j=n-i  </math> en partant de la droite : <math>Q_{n-i}</math> ;
* le nouveau reste vaut
: <math>R_i=B\times R_{i-1}-Q_{n-i}\times b</math>.
Cette construction par récurrence constitue la base des méthodes dites lentes.

Connaissant <math>R_{i-1}</math>, on suppose que <math>Q_{n-i}=1</math>, on a alors
: <math>R_i=2\times R_{i-1}-b</math>.
Si la valeur trouvée est négative, c'est que <math>Q_{n-i}=0</math>. Par rapport à la procédure euclidienne, plutôt que de prendre les chiffres de gauche du numérateur, on ajout des <math>0</math> à droite du dénominateur. À la première étape, on en ajoute autant que le nombre de bits <math>n</math> servant à coder les nombres (il faut donc un espace mémoire double), puis on multiplie le numérateur par <math>2</math> jusqu'à vérifier la condition. Cela donne en pseudo-code (on omet le test de [[division par zéro]]) :

<syntaxhighlight lang="text">
fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
        si R >= b alors
             Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
             R = R - b
        sinon
             Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin
</syntaxhighlight>

Lorsque l'on optimise l'algorithme pour réduire le nombre d'opérations, on obtient le pseudo-code suivant.

<syntaxhighlight lang="text">
fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
        si R >= 0 alors
            Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
        sinon
            Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
            R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin
</syntaxhighlight>

Du fait de la dernière instruction de la boucle, on qualifie cette méthode de « division avec restauration ».

La méthode peut être améliorée en générant un quotient utilisant les nombres +1 et &minus;1. Par exemple, le nombre codé par les bits
: <code>11101010</code>
correspond en fait au nombre
: <code>111{{surligner|1}}1{{surligner|1}}1{{surligner|1}}</code>
c'est-à- dire à
11101010
-00010101
<nowiki>---------
</nowiki>11010101
La méthode est dite « sans restauration » et son pseudo-code est :
<syntaxhighlight lang="text">
fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R[0] := a
    i := 0
    tant que i < n
        si R[i] >= 0 alors
            Q[n-(i+1)] := 1
            R[i+1] := 2*R[i] - b
        sinon
            Q[n-(i+1)] := -1
            R[i+1] := 2*R[i] + b
        fin
        i := i + 1
    fin
    Q = transforme(Q)
    retourner[Q, R]
fin
</syntaxhighlight>

La méthode de division SRT — du nom de ses inventeurs, Sweeney, Robertson, et Tocher —, est une méthode sans restauration, mais la détermination des bits du quotient se fait en utilisant une [[table de correspondance]] ayant pour entrées <math>a</math> et <math>b</math>. C'est un algorithme utilisé dans de nombreux [[microprocesseur]]s. Alors que la méthode sans restauration classique ne permet de générer qu'un bit par [[cycle d'horloge]], la méthode SRT permet de générer deux bits par cycle<ref>{{lire en ligne
| url = http://www.intel.com/support/processors/pentium/sb/CS-013008.htm
| texte = ''Pentium® Processor Divide Algorithm''}}</ref>.

L'[[Bug de la division du Pentium|erreur de division du Pentium]] était due à une erreur dans l'établissement de la table de correspondance<ref>{{lire en ligne
| url = http://www.intel.com/support/processors/pentium/fdiv/wp/
| texte = ''Statistical Analysis of Floating Point Flaw''
}}, Intel Corporation, 1994</ref>.

==== Méthodes rapides ====
Les méthodes rapides consistent à évaluer <math>x=1/b</math>, puis à calculer <math>Q=a\times x</math>.

La méthode de Newton-Raphson consiste à déterminer <math>1/b</math> par la [[méthode de Newton]].

La méthode de Newton permet de trouver le zéro d'une fonction en connaissant sa valeur et la valeur de sa dérivée en chaque point. Il faut donc trouver une fonction <math>f_b(x)</math> qui vérifie
: <math>f_b(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 1/b</math>
et telle que l'on puisse effectuer l'itération
: <math>x_i = x_{i - 1} - \frac{f_b(x_{i - 1})}{f'_b(x_{i - 1})}</math>
sans avoir à connaître <math>1/b</math>. 

On peut par exemple utiliser <math>f_b(x) = 1/x - b</math>, ce qui donne <math>x_i = x_{i-1} + x_{i-1} (1-b x_{i-1})</math>.

Pour initialiser la procédure, il faut trouver une approximation de <math>1/b</math>. Pour cela, on normalise <math>a</math> et <math>b</math> par des décalages de bits afin d'avoir <math>b</math> compris dans <math>[0,5;1]</math>. On peut ensuite prendre une valeur arbitraire dans cet intervalle — par exemple <math>b\approx 0,75 </math> donc <math>1/b\approx 1,3\underline{3}\ldots  </math>, ou encore <math>1\leq 1/b\leq 2 </math> donc <math>1/b\approx 1,5 </math> —, ou bien faire le développement limité de <math>1/x </math> en un point — par exemple en <math>0,75 </math> (<math>1/b\approx 2,6\underline{6} \ldots  </math> &minus; <math>1,7\underline{7}\ldots \times b </math>) ou en <math>1/1,5   </math> (<math>1/b\approx 3 </math> &minus; <math>2,25\times b </math>). On retient souvent l'approximation affine
: <math>x_0 = \frac{48}{17} - \frac{32}{17}b\ (\simeq 2{{,}}82 - 1,88 b)</math>
les valeurs de <math>48/17 </math> et de <math>32/17 </math> étant précalculées (stockées « en dur »).

Cette méthode [[Vitesse de convergence des suites#Convergence q-quadratique|converge de manière quadratique]]. Pour une précision sur <math>p </math> bits, il faut donc un nombre d'étapes <math>s </math> :
: <math>s = \log_2 \left ( \frac{p + 1}{\log_2 17} \right )</math>
(arrondi au supérieur), soit trois étapes pour un codage en simple précision et quatre étapes en double précision et double précision étendue (selon la norme [[IEEE 754]]).

Voici le pseudo-code de l'algorithme.

<syntaxhighlight lang="text">
fonction [Q] = diviser(a, b)
    e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
    b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
    a' := a/2^{e + 1} // 0.5 <= b <= 1 ; a'/b' = a/b
    X := 48/17 - 32/17*b' // initialisation de la méthode de Newton
    pour i = 1 → s // s précalculé en fonction du nombre p de bits de la mantisse
        X := X + X*(1 - b*X)
    fin
    Q := a'*X
    retourne[Q]
fin
</syntaxhighlight>

La méthode de Goldschmidt<ref>{{article
| prénom1 = Robert Elliot | nom1 = Goldschmidt
| titre = Applications of Division by Convergence
| périodique = MSc dissertation
| éditeur = M.I.T.
| année = 1964
}}</ref> est fondée, elle, sur la considération suivante :
: <math>\frac{\mathrm{Q}}{1} = \frac{a}{b}</math>
donc, il existe un facteur <math>F </math> tel que <math>b\times F =1  </math>, et ainsi <math>a\times F=Q  </math>. Notons que <math>F=1/b </math>.

Le facteur <math>F </math> est évalué par une suite (<math>F_k </math>) :
: <math>F_k=f_k\times f_{k-1}\times \ldots f_1 =\prod(f_i) </math>
telle que la suite <math>(b_k)= F_k\times b  </math> converge vers <math>1 </math>. Pour cela, on normalise la fraction pour que <math>b </math> se trouve dans <math>]0;1] </math>, et l'on définit
: <math>f_{i+1}=2-b_i  </math>.
Le quotient final vaut
: <math>Q=F_k\times a </math>.
Notons que l'on a
: <math>F_{i+1}=f_{i+1}\times F_i  </math> ;
: <math>b_{i+1}=f_{i+1}\times b_i </math>.

Cette méthode est notamment utilisée sur les microprocesseurs [[Advanced Micro Devices|AMD]] [[Athlon]] et suivants<ref>{{chapitre
| prénom1 = Stuart F. | nom1 = Oberman
| titre chapitre = Floating Point Division and Square Root Algorithms and Implementation in the AMD-K7 Microprocessor
| titre ouvrage = Proc. IEEE Symposium on Computer Arithmetic
| langue = en
| passage = 106–115
| année = 1999
}}</ref>{{,}}<ref>{{ article
| prénom1 = Peter | nom1 = Soderquist
| prénom2 = Miriam | nom2 = Leeser
| titre = Division and Square Root: Choosing the Right Implementation
| périodique = IEEE Micro
| langue = en
| volume = 17
| numéro = 4
| passage = 56–66
| mois = juillet/août
| année = 1997
}}</ref>.

La méthode binomiale est similaire à la méthode de Goldschmidt, mais consiste à prendre pour suite de facteurs <math>f_i=1+x^{2i} </math> avec <math>x=1-b </math>. En effet, on a :
: <math>\mathrm{Q} = \frac{a}{1 - x} = \frac{a(1 + x)}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{a(1 + x)}{1 - x^2}</math>
: <math>\mathrm{Q} = \frac{a(1 + x)(1 + x^2)}{1 - x^4} = \frac{a(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)}{1 - x^8} = \cdots</math>
suivant la formule du [[binôme de Newton]].

Si l'on normalise <math>b </math> pour qu'il soit dans <math>[0,5;1] </math>, alors <math>x </math> est dans <math>[0;0,5] </math> et à l'étape <math>n </math>, le dénominateur <math>1-x^{2n}  </math> est égal à <math>1 </math> avec une erreur de inférieure à <math>2^{-n} </math>, ce qui garantit <math>2^n </math> chiffres significatifs.

Cette méthode est parfois désignée comme « méthode IBM »<ref>Paul Molitor, {{lire en ligne
| langue = de
| url = https://mephisto.informatik.uni-halle.de/aufzeichnungen/vhdl/folien/vhdl06_sw.pdf
| texte = Entwurf digitaler Systeme mit VHDL
}}</ref>.

== Division d'objets autres que des nombres réels ==
On peut donc définir la division <math>x=a/b </math> pour tout ensemble muni d'une multiplication, comme étant la solution de l'équation.
: <math>x\times b=a  </math>
Nous allons voir l'exemple des nombres complexes, des polynômes et des matrices.

=== Division complexe ===
Commençons par la notation polaire. Soient deux [[nombre complexe|nombres complexes]] <math>z_1=r_1\mathrm{e}^{i\theta_1} </math>, ''<math>z_2=r_2\mathrm{e}^{i\theta_2} </math>''. La division complexe
: <math>x=z_1/z_2  </math>
est donc définie par
: <math>x\times z_2= z_1 </math>
Si on note <math>x=r\mathrm{e}^{i\theta}  </math>, alors l'équation devient
: <math>r\mathrm{e}^{i\theta} \times r_2\mathrm{e}^{i\theta_2} = r_1\mathrm{e}^{i\theta_1} </math>
soit
: <math>rr_2\mathrm{e}^{i(\theta+\theta_2)}=r_1\mathrm{e}^{i\theta_1} </math>
donc
: <math>\left \{ \begin{align}
r r_2 =\ & r_1 \\
\theta + \theta_2 =\ & \theta_1
\end{align} \right .
\Longrightarrow
\left \{ \begin{align}
r =\ & \frac{r_1}{r_2} \\
\theta =\ & \theta_1 - \theta_2
\end{align} \right .
</math>
Ceci n'est défini que si <math>r_2\ne 0 </math> c'est-à-dire <math>z_2\ne 0 </math>

On peut donc écrire
: <math>\frac{r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}}{r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}} =
\frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_1 - \theta_2)}</math>

Voyons maintenant la notation cartésienne. On a <math>z_1= a  +b\times i  </math> et <math>z_2=c+d\times i </math>, et <math>x=e+f\times i  </math>. L'équation de définition
: <math>x\times z_2=z_1  </math>
devient
: <math>(e+f\times i)\times (c+d\times i)=a+b\times i  </math>
: <math>ec - fd+(de+cf)i=a+b\times i </math>
soit
: <math>\left \{ \begin{align}
ec - fd =\ & a \\
de + cf =\ & b
\end{align} \right .
\Longrightarrow
\left \{ \begin{align}
e =\ & \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} \\
f =\ & \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}
\end{align} \right .
</math>
qui est défini si <math>c^2  +d^2\ne 0 </math>, c'est-à-dire si <math>|z_2| \ne 0    </math>, ce qui équivaut à dire que <math>z_2 </math> est non-nul.

On peut donc écrire
: <math>\frac{a + b\times \mathrm{i}}{c + d\times \mathrm{i}} =
\frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\mathrm{i}
</math>

Une mise en informatique « brute » de la méthode de calcul peut mener à des résultats problématiques.

Dans un ordinateur, la précision des nombres est limitée par le mode de représentation. Si l'on utilise la [[virgule flottante|double précision]] selon la norme [[IEEE 754]], la [[valeur absolue]] des nombres est limitée à environ <math>[10^{-307};10^{308}] </math>. Si le calcul génère une valeur absolue supérieure à <math>10^{308} </math>, le résultat est considéré comme « infini » (<code>Inf</code>, [[dépassement d'entier|erreur de dépassement]]) ; et si la valeur absolue est inférieure à <math>10^{-307} </math>, le résultat est considéré comme nul ([[soupassement arithmétique|soupassement]]).

Or, la formule ci-dessus faisant intervenir des produits et des carrés, on peut avoir un intermédiaire de calcul dépassant les capacités de représentation alors que le résultat final (les nombres <math>e </math> et <math>f </math>) peuvent être représentés. Notons que dans la norme IEEE 754, <code>1/0</code> donne <code>Inf</code> (<math>+\infty  </math>) et <code>&minus;1/0</code> donne <code>&minus;Inf</code> (<math>-\infty  </math>), mais en mettant un drapeau indiquant l'erreur « division par zéro » ; le calcul de <code>1/Inf</code> donne <code>0</code>.

Si par exemple l'on met en œuvre cette formule pour calculer<ref>{{lire en ligne| langue = en | url=http://www.scilab.org/content/download/249/1710/file/scilabisnotnaive.pdf | texte = Scilab is not naive}}</ref>
: <math>(1+i)/(1+10^{-307}i)  </math>, on obtient <math>0 </math> alors que le résultat est environ <math>10^{-307}- 10^{-307}i   </math> (ce qui est représentable) ;
: <math>(1+i)/(10^{-307}+10^{-307}i)  </math>, on obtient <code>NaN</code> (résultat d'une opération <math>0/0  </math>), alors que le résultat est <math>10^{307} </math> (représentable) ;
Ces erreurs sont dues au calcul de <math>(10^{307})^2 </math> et de <math>(10^{-307})^2 </math>.

Pour limiter ces erreurs, on peut utiliser la méthode de Smith<ref>{{article
| prénom1 = Robert L. | nom1 = Smith
| titre = Algorithm 116: Complex division
| périodique = Communications of the ACM
| langue = en
| volume = 5
| numéro=8
| mois = août
| année = 1962
| passage = 435
| éditeur = Association for Computing Machinery
| lieu = New-York
| doi = 10.1145/368637.368661
| lire en ligne = http://dl2.acm.org/citation.cfm?id=368661
}}</ref>, qui consiste à factoriser de manière pertinente :
:<math>\frac{a + b \times \mathrm{i}}{c + d \times \mathrm{i}} = \left \{ \begin{align}
\text{si }|d| \ll |c|\text{ : } & \frac{a + b(d/c)}{c + d(d/c)} + \frac{b - a(d/c)}{c + d(d/c)}\mathrm{i} \\
\text{si }|d| \gg |c|\text{ : } & \frac{a(c/d) + b}{c(c/d) + d} + \frac{b(c/d) - a}{c(c/d) + d}\mathrm{i} \\
\end{align} \right .</math>
En effet, dans le premier cas, <math>|d/c|<1  </math> donc <math>|xd/c|<x </math> (<math>x=a,b,d  </math>), donc la méthode est moins sensible aux dépassements.

=== Division matricielle ===
La [[multiplication matricielle]] n'étant pas commutative, on définit deux divisions matricielles.

==== Division à droite ====
Soit <math>A </math> une matrice de dimension <math>m\times n  </math> et <math>B </math> une matrice de dimension <math>n\times p  </math>, alors on appelle « division à droite de <math>A </math> par <math>B </math> » et on note
: <math>X=A/B  </math>
la matrice de dimension <math>m\times p </math> vérifiant l'équation :
: <math>XB=A  </math>

{{théorème
| énoncé = Si <math>B</math> est une [[matrice régulière]] (matrice carrée inversible), alors
: <math>X = A/B</math>
est équivalent à
: <math>X = AB^{-1}</math>
}}

{{démonstration
| contenu = Il vient immédiatement de
: <math>XB = A</math>
que
: <math>(XB)^{-1} = AB^{-1}</math>
ce qui donne le résultat par associativité.
}}

==== Division à gauche ====
Soit <math>A </math> une matrice de dimension <math>m\times n  </math> et <math>B </math> une matrice de dimension <math>m\times p  </math>, alors on appelle « division à gauche de <math>A </math> par <math>B </math> » et on note
: <math>X=A\backslash  B </math>
la matrice de dimension <math>n\times p  </math> vérifiant l'équation :
: <math>AX=B    </math>
Si la matrice <math>A </math> n'est pas de [[rang (mathématiques)|rang]] maximal, la solution n'est pas unique. La matrice <math>A^+B   </math>, où <math>A^+ </math> désigne la matrice [[pseudo-inverse]], est la solution de [[norme (mathématiques)|norme]] minimale.

{{théorème
| énoncé = Si <math>A</math> est une [[matrice régulière]] (matrice carrée inversible), alors
: <math>X = A\backslash B</math>
est équivalent à
: <math>X = A^{-1}B</math>
}}

{{démonstration
| contenu = Il vient immédiatement de
: <math>AX = B</math>
que
: <math>A^{-1}(AX) = A^{-1}B</math>
ce qui donne le résultat par associativité.
}}

On a par ailleurs :
: <math>B/A={^{t}({^{t}A}  \backslash {^{t}B})} </math>.

=== Division de polynômes ===
On peut définir la division de polynômes à la manière de la division euclidienne :
: <math>\mathrm{A} = \mathrm{B} \times \mathrm{Q} + \mathrm{R}</math>
: <math>\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(B) </math>
où <math>Q </math> et <math>R </math> sont des polynômes ; <math>Q </math> est le quotient et <math>R </math> est le reste.

{{loupe|Division d'un polynôme}}

On peut également appliquer la méthode de [[construction des nombres rationnels]] aux polynômes, ce qui permet de définir de manière formelle une fraction de polynômes. Mais il ne s'agit pas là d'un « calcul » de division, il s'agit de définir un nouvel objet mathématique, un nouvel outil.

{{loupe|Fraction rationnelle}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
| wikiversity = Opérations élémentaires
| wikiversity titre = Opérations élémentaires
}}

=== Articles connexes ===
* [[Divisibilité]]
* [[Division par deux]]
* [[Fraction (mathématiques)|Fraction]]
* [[Congruence sur les entiers]]
* [[Multiplication]]

{{Palette|Opérations binaires}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]
[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]