Voir la source de Donnée aberrante

[[File:Boîte à moustache de Michelson-Morley.png|thumb|300px|[[Boîte à moustaches]] issue des données obtenues grâce à l'[[expérience de Michelson-Morley]]. Il y a 4 données aberrantes dans la colonne du milieu et 1 dans la {{1re|colonne}}.]]

[[Fichier:Doyens_humanité.png|vignette|Ce graphique permet de visualiser la répartition de doyens selon leur âge de décès et l'âge de décès moyen des doyens de leur époque. Le record de longévité de Jeanne Calment constitue une anomalie statistique qui continue d'intriguer les gérontologues.]]

En [[statistique]], une '''donnée aberrante''' (anglais ''outlier'') est une valeur ou une observation qui est « distante » des autres observations effectuées sur le même phénomène, c'est-à-dire qu'elle contraste grandement avec les valeurs « normalement » mesurées<ref>{{article|langue=en|nom=Grubbs |prénom=F. E. |date=février 1969 |titre=Procedures for detecting outlying observations in samples |journal=Technometrics |volume=11 |numéro=1 |pages=1–21 |doi= 10.1080/00401706.1969.10490657|extrait=An outlying observation, or "outlier," is one that appears to deviate markedly from other members of the sample in which it occurs.}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=G. S.|nom1=Maddala|titre=Introduction to Econometrics|éditeur=MacMillan|lieu=New York|année=1992|numéro d'édition=2|pages totales=631|passage=88–96 [p. 89]|isbn=0-02-374545-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=nBS3AAAAIAAJ&pg=PA89|titre chapitre=Outliers}}{{Citation bloc|An outlier is an observation that is far removed from the rest of the observations.}}</ref>. Une donnée aberrante peut être due à la [[variabilité]] inhérente au phénomène observé, ou indiquer une erreur expérimentale. Dans ce dernier cas, elles sont parfois écartées<ref>{{harvsp|Grubbs|1969|p=1}} stating "An outlying observation may be merely an extreme manifestation of the random variability inherent in the data. ... On the other hand, an outlying observation may be the result of gross deviation from prescribed experimental procedure or an error in calculating or recording the numerical value."</ref>.

{{retrait|1=''Exemple'' : Un botaniste, pour les besoins d'une expérimentation, entreprend de mesurer quotidiennement la croissance d'un végétal pendant une année. Il obtient des valeurs allant de 0 à 2 cm/jour mais, sur une journée, il mesure une croissance végétale de 5 cm/jour. <br />''Caractérisation de la donnée aberrante'' : Au regard de la série de mesures effectuées par le botaniste, la valeur de croissance de 5 cm/jour peut être considérée comme une donnée aberrante. La difficulté, qu'essaie de décrire cet article, réside dans le traitement à réserver à cette donnée : s'agit-il d'une erreur de mesure du botaniste ? Auquel cas il conviendrait d'écarter la mesure pour ne pas fausser les conclusions de l'expérimentation, ou bien s'agit-il d'une journée particulièrement poussante pour le végétal ? Car une valeur de croissance de 5 cm/jour ne parait pas si surréaliste au regard des prouesses du monde végétal et donc cette valeur pourrait révéler un phénomène biologique sous-jacent.}}

Les données aberrantes peuvent apparaître par hasard dans n'importe quelle distribution, mais elles indiquent souvent soit une [[erreur de mesure]], soit que la population est distribuée suivant une [[loi de probabilité à queue lourde]]. Dans le premier cas, il convient de se débarrasser de ces valeurs ou bien d'utiliser des indicateurs statistiques plus [[Robustesse (statistiques)|robustes]] face aux données aberrantes tandis que dans le second cas elles indiquent que la distribution est fortement asymétrique et qu'il faut donc se montrer très prudent dans l'utilisation d'outils ou de raisonnement conçus pour une [[distribution normale]]. Une cause fréquente de données aberrantes est le mélange de deux distributions, qui peuvent être issues de 2 sous-populations bien distinctes, ou qui peuvent indiquer « mesure correcte » contre « erreur de mesure » : ce phénomène peut être modélisé au travers d'un [[modèle de mélange]].

Dans de plus grandes séries de données, quelques valeurs peuvent être éloignées de façon raisonnable de la [[moyenne arithmétique|moyenne]]. Cela peut être dû à une [[erreur systématique]] aussi appelée biais qui peut être inhérent au modèle utilisé pour décrire la [[Distribution (statistiques)|distribution]] du phénomène, ou il peut s'agir de quelques valeurs qui sont loin du centre des données. Les données aberrantes peuvent également indiquer une donnée fausse, des calculs erronés ou bien les limites d'un [[modèle statistique]]. Cependant, dans de grands [[Echantillon (statistiques)|échantillons]], un petit nombre de données aberrantes est attendu (qui n'est dû à aucune condition anormale).

Les données aberrantes, regroupant les valeurs les plus extrêmes, peuvent inclure la [[borne supérieure|valeur maximale]] ou la [[borne inférieure|valeur minimale]], ou les deux: cela dépend si ces valeurs sont extrêmement élevées ou faibles. Cependant, les valeurs maximum et minimum ne sont pas toujours des données aberrantes car elles peuvent ne pas être trop éloignées des autres valeurs.

Une interprétation statistique naïve d'une série de données contenant des données aberrantes peut être trompeuse et induire en erreur. Par exemple, si une personne décide de calculer la température [[moyenne]] de 10 objets dans une pièce, et que 9 d'entre eux ont une température située entre 20 et 25 [[degrés Celsius]] mais que le dernier est un four en marche à {{tmp|175|°C}}, la [[Médiane (statistiques)|médiane]] de la série sera située entre 20 et {{tmp|25|°C}} mais la température moyenne sera entre 35,5 et {{tmp|40|°C}}. Dans ce cas, la médiane est un meilleur [[indicateur]] de la température des objets que la moyenne. Il est incorrect de penser que la moyenne et la médiane sont des indicateurs équivalents. Comme illustré dans cet exemple, le caractère aberrant de certaines données peut révéler leur appartenance à une [[population]] différente du reste des valeurs de la série.

Les indicateurs ou [[estimateur (statistique)|estimateurs]] capables de composer avec les données aberrantes sont dits robustes: la médiane est un indicateur robuste tandis que la moyenne n'en est pas un<ref>Ripley, Brian D. 2004. [http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf Robust statistics]</ref>.

Ces anomalies statistiques peuvent impliquer un traitement à part, selon des méthodes spécifiques.

== Évènement et causes ==
[[File:Règle des 3 sigmas.PNG|thumb|300px|left|Pour une [[distribution normale]], 68,27% des valeurs sont comprises dans l'intervalle [µ-σ;µ+σ], 95,45% sont comprises dans l'intervalle [µ-2σ;µ+2σ] et 99,73% sont comprises dans l'intervalle [µ-3σ;µ+3σ].]]

Dans le cas de données [[Loi normale|normalement distribuées]], la [[Règle 68-95-99.7|règle des trois sigmas]] indique qu'à peu près 1 observation sur 22 aura un écart avec la moyenne égal ou supérieur à 2 fois l'[[écart-type]] et qu'environ 1 observation sur 370 aura un écart avec la moyenne égal ou supérieur à 3 fois l'écart-type<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Da|nom1=Ruan|prénom2=Guoqing|nom2=Chen|prénom3=Etienne|nom3=Kerre|prénom4=Geert|nom4=Wets|titre=Intelligent Data Mining|sous-titre=Techniques and Applications|éditeur=Springer|collection=Studies in Computational Intelligence Vol. 5|année=2005|pages totales=518|passage=318|isbn=978-3-540-26256-5|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=_GXUIY9jTzEC&printsec=frontcover}}</ref>. Ainsi, cette [[loi empirique]] nous permet de déterminer si le nombre de données aberrantes trouvées est normal ou s'il faut rechercher une autre cause que celle du [[hasard]] statistique. Par exemple, dans un échantillon de 1000 valeurs, le fait de trouver 5 données aberrantes qui diffèrent de la moyenne d'un écart supérieur à 3 fois l'écart-type est « normal » - voir la [[distribution de Poisson]] - et ne suggère aucune anomalie dans la série de valeurs. Cependant, si la taille de l'échantillon est de 100 valeurs, le fait de trouver seulement 3 données aberrantes suffit à montrer qu'il y a une raison autre que le simple hasard (valeurs issues d'une autre population ou biais du modèle...) car cela représente plus de 11 fois le nombre attendu avec la règle des trois sigmas.

En général, si la nature de la distribution de la population est connue ''a priori'', il est possible de tester si le nombre de données aberrantes diffère [[Signification statistique|significativement]] de ce qui est attendu: pour un seuil donné (donc les valeurs ont une probabilité ''p'' de se situer dans l'intervalle [-seuil;seuil]) d'une distribution donnée, le nombre de données aberrantes suivra une [[Loi binomiale|distribution binomiale]] de paramètre ''p'', qui peut généralement être approximée par une [[distribution de Poisson]] de paramètre ''λ = pn''. Ainsi, si l'on prend une distribution normale avec un seuil à 3 écart-types de la moyenne, ''p'' est d'environ 0,3%, et donc pour 1000 valeurs, on peut approximer le nombre de valeurs dont l'écart est supérieur au seuil (donc 3σ) par une distribution de Poisson avec λ = 3.

=== Causes ===
Les données aberrantes peuvent avoir de multiples causes. Un appareil de mesure peut avoir un défaut de fonctionnement passager. Il peut y avoir une erreur dans la transmission ou dans la retranscription des données. Il peut y avoir eu un changement dans les procédures, un comportement frauduleux ou une erreur humaine. Un échantillon peut aussi avoir été « contaminé » par des individus n'appartenant pas à la population étudiée. Attention ! une donnée peut sembler aberrante alors qu'elle n'est qu’extrême et compatible avec les variations naturelles d'une population. Son caractère apparemment aberrant peut aussi révéler la mauvaise adéquation du modèle statistique utilisé pour interpréter les données, appelant à une enquête plus approfondie par le chercheur. L'aspect pathologique des données aberrantes d'une certaine forme (le mot pathologique est utilisé dans le sens où, quelles que soient les conditions de l'expérience, il y aura toujours des données extrêmes dues au hasard), qui apparaît dans une variété de séries de valeurs, peut indiquer que le mécanisme causal diffère entre les données aux extrémités de la série ([[King effect]]).

== Identifier des données aberrantes ==
Il n'y a pas de définition mathématique claire sur ce qu'est une donnée aberrante. Déterminer si une observation est ou n'est pas une donnée aberrante est un exercice très subjectif. Il existe cependant des méthodes variées pour la détection des données aberrantes<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Peter Rousseeuw |auteur2=A. Leroy |titre=Robust Regression and Outlier Detection |éditeur=John Wiley & Sons |année=1996 |numéro d'édition=3 |isbn=}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=J. Victoria |nom1=Hodge |auteur2=Jim Austin |titre=A Survey of Outlier Detection Methodologies |éditeur= |année=1943 }}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Vic Barnett |auteur2=Toby Lewis |titre=Outliers in Statistical Data |éditeur=Wiley |lieu=Chichester/New York/Brisbane etc. |année=1994 |numéro d'édition=3 |pages totales=584 |isbn=0-471-93094-6}}</ref>. Quelques-unes sont graphiques telles que la technique de la [[droite de Henry]], d'autres sont basées sur des modèles, la technique des [[boîte à moustaches|boites à moustaches]] est un hybride.

=== Comparaison des écarts à l'écart-type ===
Les méthodes basées sur des modèles sont utilisées pour l'identification des données aberrantes lorsque les données sont issues d'une distribution normale. Ces méthodes  identifient les observations qui sont considérées comme « peu probables » sur la base de la moyenne et de l'écart-type :
* [[test de Chauvenet]] ;
* [[test de Grubbs]] ;
* [[MMS (statistiques)|MMS]]<ref>{{article|langue=en|titre = Outlier Detection Method in Linear Regression Based on Sum of Arithmetic Progression|nom = Adikaram|prénom = K.K.L.B.|date = 2014|journal = The Scientific World Journal|doi = 10.1155/2014/821623|nom2 = Hussein|prénom2 = M.A.|nom3 = Effenberger|prénom3 = M.|nom4 = Becker|prénom4 = T.}}</ref>, test d'identification des données aberrantes en [[régression linéaire]] ;
* {{lien|test de Peirce|trad=Peirce's criterion}}<ref>[[Benjamin Peirce]], [http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1852AJ......2..161P;data_type=PDF_HIGH "Criterion for the Rejection of Doubtful Observations"], ''Astronomical Journal'' II 45 (1852) and [http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1852AJ......2..176P;data_type=PDF_HIGH Errata to the original paper].</ref>{{,}}<ref>{{article |langue=en |titre=On Peirce's criterion |lien auteur=Benjamin Peirce |prénom=Benjamin |nom=Peirce |journal=Proceedings of the [[American Academy of Arts and Sciences]] |volume=13 |date=mai 1877–mai 1878 |pages=348–351 |jstor=25138498 |doi=10.2307/25138498}}</ref>{{,}}<ref>{{article |langue=en |prénom=Charles Sanders |nom=Peirce |lien auteur=Charles Sanders Peirce |titre=Appendix No. 21. On the Theory of Errors of Observation |journal=Report of the Superintendent of the United States [[Coast Survey]] Showing the Progress of the Survey During the Year 1870 |année première édition=1870 |année=1873 |pages=200–224}}. NOAA [http://docs.lib.noaa.gov/rescue/cgs/001_pdf/CSC-0019.PDF#page=215 PDF Eprint] (goes to Report p. 200, PDF's p. 215).</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|langue=en |prénom=Charles Sanders |nom=Peirce |lien auteur=Charles Sanders Peirce |titre chapitre=On the Theory of Errors of Observation [Appendix 21, according to the editorial note on page 515] |titre ouvrage=Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition |volume=3 |titre volume=1872-1878 |auteurs ouvrage=Kloesel, Christian J. W., ''et alia'' |éditeur=Indiana University Press |lieu=Bloomington, Indiana |année première édition=1982 |date=1986 <!-- copyright=1986, but publication is listed as 1982 --> |pages=140–160 |isbn=0-253-37201-1}}</ref>.
*:{{cita|Il est proposé de déterminer dans une série de <math>m</math> observations le seuil à partir duquel toutes les observations peuvent être rejetées, à condition qu'il y ait un nombre <math>n</math> d'observations rejetées. On résout ce problème en considérant que les observations doivent être rejetées lorsque la probabilité d'erreur obtenue en les conservant est inférieure à la probabilité d'erreur obtenue en les rejetant multipliée par la probabilité de faire autant, et pas plus, d'observations anormales}} (phrase citée dans l'éditorial à la page 516 sur Peirce (édition de 1982) du ''A Manual of Astronomy'' 2:558 de Chauvenet) ;
* [[Test Q|test Q de Dixon]] ;
* les conventions E178 énoncées par l'[[ASTM International]] pour traiter les données aberrantes ;
* la [[distance de Mahalanobis]] et la technique de l'[[Influence (statistiques)|influence]] sont souvent utilisées pour détecter les données aberrantes, particulièrement lors du développement de modèle de régression linéaire.

=== Autres appréciations de la variabilité ===
D'autres méthodes existent également et sont basées sur des mesures telles que l'[[écart interquartile]]. Par exemple, si <math>Q_1</math> et <math>Q_3</math> sont respectivement le premier quartile et le troisième quartile, alors on peut définir une donnée aberrante comme étant toute valeur située à l'extérieur de l'intervalle:
:<math> \big[ Q_1 - k (Q_3 - Q_1 ) , Q_3 + k (Q_3 - Q_1 ) \big]</math>
avec <math>k</math> une constante positive.

Dans la tâche d'[[exploration de données]] consistant en la [[détection d'anomalies]], d'autres approches sont basées sur des distances<ref>{{article|langue=en| doi = 10.1007/s007780050006| titre = Distance-based outliers: Algorithms and applications| journal = The VLDB Journal the International Journal on Very Large Data Bases| volume = 8| numéro = 3–4| pages = 237| année = 2000| nom1 = Knorr | prénom1 = E. M. | nom2 = Ng | prénom2 = R. T. | nom3 = Tucakov | prénom3 = V. }}</ref>{{,}}<ref>{{lien conférence|langue=en| doi = 10.1145/342009.335437| titre = Efficient algorithms for mining outliers from large data sets| conférence = Proceedings of the 2000 ACM SIGMOD international conference on Management of data  - SIGMOD '00| pages = 427| année = 2000| nom1 = Ramaswamy | prénom1 = S. | nom2 = Rastogi | prénom2 = R. | nom3 = Shim | prénom3 = K. | isbn = 1581132174}}</ref> ou sur la densité<ref>{{lien conférence|langue=en| doi = 10.1145/335191.335388| titre = LOF: Identifying Density-based Local Outliers| année = 2000| nom1 = Breunig | prénom1 = M. M.| nom2 = Kriegel | prénom2 = H.-P. | lien auteur2 = Hans-Peter Kriegel| nom3 = Ng | prénom3 = R. T.| nom4 = Sander | prénom4 = J.| périodique = Proceedings of the 2000 ACM SIGMOD International Conference on Management of Data| collection = [[SIGMOD]]| isbn = 1-58113-217-4| pages = 93-104| url = http://www.dbs.ifi.lmu.de/Publikationen/Papers/LOF.pdf}}</ref>, et un grand nombre d'entre elles utilisent la [[méthode des k plus proches voisins]] pour identifier une valeur comme étant une donnée aberrante ou non<ref>{{article|langue=en| nom1 = Schubert | prénom1 = E. | nom2 = Zimek | prénom2 = A. | nom3 = Kriegel | prénom3 = H. -P. | doi = 10.1007/s10618-012-0300-z | titre = Local outlier detection reconsidered: A generalized view on locality with applications to spatial, video, and network outlier detection | journal = Data Mining and Knowledge Discovery | année = 2012 }}</ref>.

=== Test Tau de Thompson modifié ===
Le test Tau de Thompson modifié<ref>{{lien web|langue=en| url=http://www.mne.psu.edu/me345/Lectures/Outliers.pdf| site=mne.psu.edu| titre=Outliers| date=12 septembre 2011| auteur=John M. Cimbala}}.</ref> est une méthode utilisée pour déterminer s'il existe des données aberrantes dans une série de valeurs. La force de cette méthode réside dans le fait qu'elle prend en compte l'écart-type et la moyenne de la série et fournit un seuil de rejet déterminée statistiquement ; cela offre donc une méthode objective pour déterminer si une valeur est une donnée aberrante.

Déroulement du test:
Premièrement, on détermine la moyenne de la série. Ensuite, on détermine l'écart à la moyenne de chaque valeur. Puis, un seuil de rejet est déterminé en utilisant la formule suivante :
<math>Seuil{{=}} \frac{{t_{\alpha/2}}{\left ( n-1 \right )}}{\sqrt{n}\sqrt{n-2+{t_{\alpha/2}^2}}}
</math>; où <math>{t_{\alpha/2}}</math> est la valeur critique provenant de la table de la [[Loi de Student]], <math>n</math> est l'effectif de l'échantillon et <math>s</math> est l'écart-type de l'échantillon.

Pour déterminer si une valeur est une donnée aberrante, calculer δ = <math>\frac{X - \bar{x}}{s}</math> :
:si δ > Seuil, la valeur est une donnée aberrante ;
:si δ ≤ Seuil, la valeur n'est pas une donnée aberrante.

Le test Tau de Thompson modifié est utilisé pour trouver une donnée aberrante à la fois (la plus grande valeur de δ est changée si c'est une donnée aberrante). En ce sens, si une valeur est calculée comme étant une valeur aberrante, elle est enlevée de la série de valeurs et le test est appliqué à nouveau avec une nouvelle moyenne et un nouveau seuil de rejet. Ce procédé est renouvelé jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de données aberrantes dans la série.

=== Autres approches ===
Certains travaux ont également tenté de décrire les données aberrantes pour des séries de valeurs nominales. Par exemple, dans un contexte d'une série d'exemples (ou de cas) dans une série de valeurs, on crée un indicateur nommé la '''solidité des cas'''  qui mesure la probabilité qu'un cas soit mal classé (<math>1-p(y|x)</math> où <math>y</math> est le terme assigné à la classe et <math>x</math> représente la valeur attribuée à un cas dans la série d'exemples <math>t</math>)<ref>Smith, M.R.; Martinez, T.; Giraud-Carrier, C. (2014). "[https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10994-013-5422-z An Instance Level Analysis of Data Complexity]". Machine Learning, 95(2): 225-256.</ref>. Idéalement, la '''solidité des cas''' sera calculée en faisant la somme sur la série de toutes les hypothèses <math>H</math> possibles:

:<math>\begin{align}IH(\langle x, y\rangle) &= \sum_H (1 - p(y, x, h))p(h|t)\\
&= \sum_H p(h|t) - p(y, x, h)p(h|t)\\
&= 1- \sum_H p(y, x, h)p(h|t).\end{align}</math>

De manière pratique, cette formule est irréalisable car <math>H</math> est potentiellement infinie et calculer <math>p(h|t)</math> est impossible pour bon nombre d'algorithmes. Ainsi, la robustesse des cas peut être approximée en utilisant un sous-ensemble <math>L \subset H</math>:

:<math>IH_L (\langle x,y\rangle) = 1 - \frac{1}{|L|} \sum_{j=1}^{|L|} p(y|x, g_j(t, \alpha))</math>

où <math>g_j(t, \alpha)</math> est l'hypothèse induite par l'algorithme d'apprentissage <math>g_j</math> formé sur la série de valeurs <math>t</math> avec des hyperparamètres <math>\alpha</math>. La '''solidité des cas''' fournit une valeur continue pour déterminer si un cas est une donnée aberrante.

== Travailler avec des données aberrantes ==
Le choix de composer ou non avec une donnée aberrante dépend de la cause de cette dernière.

=== Conservation de la donnée aberrante ===
Même quand un modèle de distribution normale est approprié pour analyser des valeurs, des données aberrantes sont attendues pour de grands échantillons et elle ne doivent pas être automatiquement exclues. En effet, il est préférable d'utiliser des algorithmes [[robustesse (statistiques)|robustes]] face aux données aberrantes plutôt que des modèles qui écartent systématiquement ces valeurs.

=== Exclusion de la donnée aberrante ===
La suppression des données aberrantes est une pratique controversée désapprouvée par de nombreux scientifiques et professeurs; tant qu'il n'y aura pas de critères mathématiques permettant d'offrir une méthode objective et quantitative pour le rejet de valeurs, il sera impossible de rendre la pratique de suppression des données aberrantes scientifiquement et méthodologiquement plus acceptable. En particulier pour les petits échantillons et si la nature de la distribution est inconnue et ne peut être approximée par une loi normale. Le rejet de données aberrantes est plus acceptable si le modèle sous-jacent au phénomène a été mesuré et que la distribution des erreurs de mesures est connue précisément. Une donnée aberrante résultant d'un instrument dont on sait qu'il fait des erreurs peut être exclue mais il est préférable de vérifier avant si l'instrument fait réellement des erreurs.

Les deux approches les plus utilisées pour exclure les données aberrantes sont la méthode de [[Césure (statistiques)|césure]] (ou tronquage) et de [[winsorisation]]. La césure élimine les données aberrantes alors que le Winsorising remplace les données aberrantes par les valeurs « non suspectes » les plus proches<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Edward L.|nom1=Wike|titre=Data Analysis|sous-titre=A Statistical Primer for Psychology Students|éditeur=|année=2006|pages totales=256|passage=24–25|isbn=978-0-202-36535-0|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=RCx2Wc51ZD4C&printsec=frontcover}}</ref>. L'exclusion peut aussi être une conséquence du processus de mesure. En effet, si lors d'une expérience un instrument n'est pas capable de mesurer de telles valeurs extrêmes, il en résulte des valeurs [[censure (statistiques)|censurées]]<ref>{{article|langue=en|titre=Simplified estimation from censored normal samples |prénom=W. J. |nom=Dixon |journal=The Annals of Mathematical Statistics |volume=31 |numéro=2 |date=juin 1960 |pages=385–391 |url=http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177705900 |doi=10.1214/aoms/1177705900}}</ref>.

Dans des problèmes de [[régression (statistiques)|régression]], une autre approche consiste à exclure uniquement les valeurs qui présentent un haut degré d'[[Influence (statistiques)|influence]] sur les coefficients estimés, notamment en utilisant une mesure telle que la [[distance de Cook]]<ref>Cook, R. Dennis (Feb 1977). "Detection of Influential Observations in Linear Regression". Technometrics (American Statistical Association) 19 (1): 15–18.</ref>.

Si une valeur (ou donnée) est exclue de l'[[analyse des données]], cela doit être clairement indiqué sur tous les rapports émanant de l'analyse.

=== Distributions non-normales ===
Il faut également considérer que les valeurs de la série étudiée ne suivent pas une distribution normale et qu'elles peuvent avoir des « [[Distribution à queue épaisse|queues épaisses]] ». Par exemple, lors de l'échantillonnage à partir d'une [[Loi de Cauchy (probabilités)|distribution de Cauchy]]<ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html Cauchy Distribution. From MathWorld--A Wolfram Web Resource]</ref>, la variance augmente avec la taille de l'échantillon, la moyenne de l'échantillon est biaisée et ne converge pas lorsque la taille de l'échantillon augmente. De plus, les données aberrantes sont attendues à un taux beaucoup plus important que pour une distribution normale. Même une légère différence dans l'épaisseur de la queue peut créer une importante différence dans le nombre de valeurs extrêmes attendues.

=== Les incertitudes d'appartenance à l'ensemble ===
[[File:Wiki q inter def.jpg|thumb|intersection ''q''-relâchée de 6 ensembles pour ''q''= 2 (rouge), ''q''= 3 (vert), ''q''= 4 (bleu) et ''q''= 5 (jaune).]]

Une [[estimation d'ensemble|approche d'appartenance à l'ensemble]] considère que l'incertitude correspondant à la mesure d'une variable aléatoire ''x'' est représentée par un ensemble ''X''<sub>i</sub> (au lieu d'une fonction de densité de probabilité). Si aucune donnée aberrante n’apparaît, ''x'' appartient à l'intersection de tous les ''X''<sub>i</sub>. Si une donnée aberrante apparaît, cette intersection est vide et nous relâchons un petit nombre de ''X''<sub>i</sub> (aussi petit que possible) afin d'éviter toute incohérence<ref>{{article|langue=en|nom1=Jaulin|prénom1=L.|
titre=Probabilistic set-membership approach for robust regression|
journal=Journal of Statistical Theory and Practice|
année=2010|
url=http://www.ensta-bretagne.fr/jaulin/paper_probint_0.pdf}}</ref>. Cela peut être fait en utilisant la notion d'intersection ''q''-relâchée. Comme illustré par la figure, l'intersection ''q''-relâchée correspond à l'ensemble de tous les ''x'' qui appartiennent à tous les ensembles ''X''<sub>i</sub> exceptés ''q'' d'entre eux. Les ensembles ''X''<sub>i</sub> qui ne coupent pas l'intersection ''q''-relâchée peuvent être soupçonnés de rassembler des données aberrantes.

=== Autres modèles ===
Dans le cas où la cause des données aberrantes est connue, il peut être possible d'incorporer cet effet dans le modèle. Par exemple en utilisant un [[Réseau bayésien|modèle hiérarchique de Bayes]] ou un [[modèle de mélange]]<ref>Roberts, S. and Tarassenko, L.: 1995, A probabilistic resource allocating network for novelty detection. [[Neural Computation]] 6, 270–284.</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|nom= Bishop |prénom=C. M. |date= août 1994 |titre= Novelty detection and Neural Network validation |journal= Proceedings of the IEE Conference on Vision, Image and Signal Processing |volume=141 |numéro=4 |pages= 217–222 |doi=10.1049/ip-vis:19941330 }}</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons=Category:Outliers}}

=== Articles connexes ===
* [[Anomalie des séries de temps]]
* [[Régression robuste]]
* [[Résidu studentisé]]
* [[Transformation de données (statistiques)]]
* [[Facteur local de données aberrantes]]
* [[Robustesse (statistiques)]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* {{MathWorld|nom_url=Outlier|titre=Outlier|auteur=John Renze}}
* {{EncycloMath|titre = Outlier|id=Outlier|prénom1=N.| nom1=Balakrishnan| prénom2=A.| nom2=Childs}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35h.htm Grubbs test] described by NIST manual
* {{lien brisé|consulté le=2017-09-21|url=http://www.psychwiki.com/wiki/Detecting_Outliers_-_Univariate|titre=how to detect univariate outliers}}, {{lien brisé|consulté le=2017-09-21|url=http://www.psychwiki.com/wiki/Detecting_Outliers_-_Multivariate|titre=how to detect multivariate outliers}} and {{lien brisé|consulté le=2017-09-21|url=http://www.psychwiki.com/wiki/Dealing_with_Outliers|titre=how to deal with outliers}}

{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Aberrances statistiques]]