Voir la source de Douve de Gauss

[[Fichier:Gaussian_moat_15x15.svg|vignette| Les nombres premiers gaussiens de parties réelle et imaginaire au plus sept, montrant des portions d'une douve gaussienne de largeur deux.]]
En [[théorie des nombres]], le '''problème des douves gaussiennes''' est de déterminer s'il existe une suite infinie de [[Nombre premier de Gauss|nombres premiers gaussiens]] distincts tels que la différence entre deux entiers consécutifs de la suite soit bornée.

== Description ==
Une façon imagée de présenter le problème est de considérer les entiers premiers gaussiens comme des pieux dans une « mer de [[Nombre complexe|nombres complexes]] » ; la question est de savoir si l'on peut marcher de l'origine à l'infini sur ces pieux, avec des pas de longueur bornée, sans se mouiller. Le problème a été posé pour la première fois en 1962 par [[Basil Gordon]] (et parfois été attribué à tort à [[Paul Erdős]]<ref>Par exemple dans : {{Article
|auteur1=James H. Jordan | auteur2= John R. Rabung
|titre= A conjecture of Paul Erdős concerning Gaussian primes
|périodique= Math. Comp.
|volume= 24
|date= 1970
|pages= 221–223
|lire en ligne=
|consulté le=7 novembre 2021
}}. Une discussion détaillée est dans les [https://www.theoremoftheday.org/Resources/TheoremNotes.htm#248 « Notes du ''Theorem of the day'' »]. </ref>) et il n'est toujours pas résolu<ref name="gww">{{article
 | nom1 = Gethner | prénom1 = Ellen
 | nom2 = Wagon | prénom2 = Stan | lien auteur2 = Stan Wagon
 | nom3 = Wick | prénom3 = Brian
 | doi = 10.2307/2589708
 | numéro = 4
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1614871 | zbl=0946.11002 
 | pages = 327–337
 | titre = A stroll through the Gaussian primes
 | volume = 105
 | année = 1998| jstor = 2589708
 | url = https://www.maa.org/sites/default/files/images/images/upload_library/22/Chauvenet/GethnerWagonWick.pdf
 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |nom=Guy | prénom=Richard K. | lien auteur=Richard K. Guy | titre=Unsolved problems in number theory | éditeur=[[Springer-Verlag]] |numéro d'édition =3| année=2004 | isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | passage=55–57}}</ref>.

Avec les [[Nombre premier|nombres premiers]] usuels, une telle suite n'existe pas : le [[théorème des nombres premiers]] implique qu'il y a des [[écart entre nombres premiers|écarts entre nombres premiers]] arbitrairement grands dans la suite des nombres premiers, et de façon plus élémentaire, il y a preuve directe élémentaire : pour tout <math>n</math> , les <math>n-1</math> entiers consécutifs <math>n!+2,n!+3,\ldots, n!+n</math> sont tous des entiers composés.
[[Fichier:Gaussian_primes.svg|thumb|upright=1.4|Entiers de Gauss de norme au plus 500. Les carrés noirs sont autant de pieux permettant de traverser la mer des nombres complexes sans se mouiller, à condition de faire des pas assez grands.]]

Le problème de trouver un chemin entre deux nombres premiers gaussiens qui minimise la taille maximale du saut est une instance du problème du {{Lien|trad=Widest path problem|fr=problème du chemin le plus large|texte = chemin minimax}}, et la taille du pas dans un chemin optimal est égale à la largeur de la plus large douve entre les deux nombres premiers ; une douve est définie comme une partition des nombres premiers en deux sous-ensembles et sa largeur est la distance de la paire la plus proche qui a un élément dans chaque sous-ensemble. Ainsi, le problème des douves gaussiennes peut être formulé sous la forme équivalente suivante : existe-t-il une borne finie sur les largeurs des douves qui ont un nombre fini de nombres premiers du côté de l'origine ? 

== Résultats ==

Des calculs numériques ont montré que l'origine est séparée de l'infini par une douve de largeur&nbsp;6<ref>{{article
 | nom = Tsuchimura | prénom = Nobuyuki
 | numéro = 5
 | journal = IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Science
 | pages = 1267–1273
 | titre = Computational results for Gaussian moat problem
 | volume = 88
 | année = 2005| doi = 10.1093/ietfec/e88-a.5.1267
 | url = https://www.keisu.t.u-tokyo.ac.jp/data/2004/METR04-13.pdf
 }}.</ref>, ce qui améliore la borne précédente de Gethner, Wagon et Wick<ref name="gww"/> qui était de <math>\sqrt{26}</math>.  On sait aussi que, pour tout nombre ''k'' positif, il existe des nombres premiers gaussiens dont le plus proche voisin est à distance ''k'' ou plus. Ces nombres peuvent même être pris sur l'axe réel. Par exemple, le nombre 20785207 est entouré d'une douve de largeur 17. Ainsi, il existe bien des douves de largeur arbitrairement grande, mais ces douves ne séparent pas nécessairement l'origine de l'infini<ref name="gww"/>. 

== Notes et références ==
{{Traduction/référence|en|Gaussian moat|995955357}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Lien web
|url= https://www.theoremoftheday.org/NumberTheory/GordonMoat/TotDGordonMoat.pdf
|titre= A Theorem about Gaussian Moats (a Theorem under Construction!)
|série= Theorem of the day
|auteur= Robin Whitty
|consulté le=6 novembre 2021
|id= totd
}}.
* {{Article
|auteur1=  Po-Ru Loh 
|titre= Stepping to Infinity Along Gaussian Primes
|périodique= The American Mathematical Monthly
|volume= 114
|numéro= 2
|date= 2007
|pages= 142-151
|doi= 10.1080/00029890.2007.11920399 
|présentation en ligne = https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.2007.11920399
}}.
* {{Lien web
|url= https://mpsib-camille-guerin.pagesperso-orange.fr/Python/Entiers_Gauss/Entiers_Gauss2.pdf
|titre= Entiers de Gauss II
|série= Lycée Camille Guérin MPSI B - Année 2021/2022
|auteur= Marc Lorenzi
|mois= janvier
|année= 2021
|consulté le=6 novembre 2021
}}.
* {{Article
|auteur1=  Hector Florez|auteur2 = Alejandro Cárdenas-Avendaño
|titre= A Computer-Based Approach to Study the Gaussian Moat Problem
|périodique= Communications in Computer and Information Science
|volume= 1277
|titre volume = Proceedings ICAI 2020
|date= 2020
|pages= 481-492
|doi= 10.1007/978-3-030-61702-8_33
|lire en ligne=
|consulté le=6 novembre 2021
}}.
* {{Article
|auteur1=  Madhuparna Das
|titre= A Note on The Gaussian Moat Problem
|périodique= Manuscrit
|date= 2019
|arxiv = 1908.10392 
}}.
* {{Article
|auteur1=  Madhuparna Das
|titre= On the Extension of the Gaussian Moat Problem
|périodique= Manuscrit
|date= 2019
|arxiv = 1901.10016
}}.
* {{Article
|auteur1=  Madhuparna Das
|titre= Walking through the Gaussian Primes
|périodique= Manuscrit
|date= 2019
|arxiv = 1901.04549
}}.

== Articles liés ==
* [[Entier de Gauss]]
* [[Nombre premier de Gauss]]
== Liens externes ==
* {{MathWorld|nom_url=Moat-CrossingProblem||titre=Moat-Crossing Problem}}

{{Portail|Arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre premier|Gauss]]