Voir la source de Drapeau (mathématiques)

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En [[mathématiques]], un '''drapeau''' d'un [[espace vectoriel]] ''E'' de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie est une suite finie strictement croissante de [[Sous-espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] de ''E'', commençant par l'[[espace nul]] {0} et se terminant par l'espace total ''E'' : 
{{Centrer|<math>\{0\}=E_0\subsetneq E_1\subsetneq \cdots \subsetneq E_{k-1} \subsetneq E_k=E.</math>}}
Si ''n'' est la dimension de ''E'', les dimensions successives des sous-espaces ''E{{ind|i}}'' forment une suite finie strictement croissante d'[[entiers naturels]] :
{{Centrer|<math>0=d_0<d_1<\dots<d_{k-1}<d_k=n.</math>}}
Si ''d{{ind|i}}'' = ''i'' pour tout ''i'' (donc entre autres si ''k'' = ''n''), alors le drapeau est dit '''total''' ou '''complet'''.

== Base adaptée à un drapeau ==

À toute base (''e''{{ind|1}}, …, ''e{{ind|n}}'') de l'espace ''E'' de dimension ''n'' est associé un drapeau total dont les termes sont constitués des espaces successivement engendrés : 
{{retrait|<math>E_1={\rm Vect}(e_1),\ E_2={\rm Vect}(e_1,e_2),\ldots</math>}}

Exemple : si ''E'' est l'espace ℝ{{ind|''m''}}[''X''] des [[polynôme]]s de degré inférieur ou égal à ''m'', sa [[base canonique]] est (1, ''X'', ''X''{{2}}, …, ''X{{exp|m}}'') et sa dimension est ''n'' = ''m'' + 1.
L'espace ''E''{{ind|0}} = {0} et les espaces ''E''{{ind|''i'' + 1}} = ℝ{{ind|''i''}}[''X''] successifs pour ''i'' allant de 0 à ''m'' constituent un drapeau total de ''E''.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ''e{{ind|i}}'' tels que ''e{{ind|i}}'' appartient à ''E{{ind|i}} ''mais pas à ''E''{{ind|''i'' – 1}}.

== Drapeau stable par un endomorphisme ==

Si ''u'' est un [[endomorphisme linéaire|endomorphisme]] de ''E'', on dit que le drapeau est stable par ''u'' si chaque ''E{{ind|i}}'' est [[Sous-espace stable|stable]] par ''u'' :
{{retrait|<math>\forall i \in \{ 1, \ldots , n \} , \, u(E_i) \subset E_i.</math>}}

Par exemple, si l'on reprend pour ''E'' l'espace ℝ{{ind|''m''}}[''X''] et le drapeau formé des espaces ℝ{{ind|''i''}}[''X''] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (''P ''donne ''P'''), de translation (''P ''donne ''P''(''X'' + 1)), de différence finie (''P'' donne ''P''(''X'' + 1) - ''P''){{etc.}}

== Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux ==

Soit ''E ''un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme ''u ''de ''E ''est [[trigonalisation|trigonalisable]] si et seulement s'il existe un drapeau total de ''E ''stable par ''u''.

== Les drapeaux dans le cadre euclidien ==

Lorsque ''E ''est un [[espace euclidien]], le [[procédé de Gram-Schmidt]] permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de ''E'', d'obtenir une [[base orthonormale]] adaptée à ce même drapeau.

Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.

==Voir aussi==
===Articles connexes===
*[[Variété de drapeaux]]
*[[Filtration (mathématiques)|Filtration]]
*[[Théorème de Jordan-Hölder]]
*[[Polynômes orthogonaux]]

===Bibliographie===
{{Ouvrage|langue=en|prénom1=I. R.|nom1=Shafarevich|lien auteur1=Igor Shafarevich|prénom2=A. O.|nom2=Remizov|titre=Linear Algebra and Geometry|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2012|pages totales=526|isbn=978-3-642-30993-9|lire en ligne=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9}}

{{Palette|Algèbre linéaire}}

{{Portail|algèbre|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Drapeau (mathematiques)}}
[[Catégorie:Espace vectoriel]]
[[Catégorie:Espace homogène]]