Voir la source de Duplication du cube

[[Fichier:Cube and doubled cube.svg|vignette|upright=1.2|Un cube de volume unitaire (gauche) et un cube de volume 2 (droite).<br />À partir de la figure de gauche, il est impossible de construire par les moyens géométriques traditionnels le cube de droite.|alt=croquis de 2 cubes]]

En [[mathématiques]], la '''duplication du cube''', ou '''problème de [[Délos]]''', est un problème [[géométrie|géométrique]] classique faisant partie des [[trois grands problèmes de l'Antiquité]], avec la [[quadrature du cercle]] et la [[trisection de l'angle]]<ref name="Baccou">Cf. {{Ouvrage|auteur1=Robert Baccou|titre=Histoire de la science grecque, de Thalès à Socrate|éditeur=[[Éditions Aubier-Montaigne|Aubier]]|lieu=Paris|année=1951|pages=256}}</ref>. Il consiste à [[Construction à la règle et au compas|construire à la règle et au compas]] un cube de volume double de celui d'un cube donné.

Il a été démontré que cette construction est impossible ([[théorème de Wantzel]]), en montrant que le nombre "[[racine cubique]] de [[2 (nombre)|2]]", appelé [[constante délienne|constante de Délos]], est non [[Nombre constructible|constructible]].

== Origine ==
Le problème de [[Délos]] a son origine dans une légende rapportée entre autres par [[Ératosthène]] dans Le ''Platonicien'' et par [[Théon de Smyrne]] dans son ouvrage ''Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon''<ref>Théon de Smyrne, « De l'utilité des mathématiques », ''Cahiers d'Histoire des Mathématiques et d'Epistémologie'', [[IREM]] de Poitiers, fascicule 1, déc. 1997, {{p.|9}}.</ref>{{,}}{{sfn|González Urbaneja|Mangin|2018|p=20-21}}{{,}}<ref>{{ouvrage|titre=Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon|auteur=Theon de Smyrne|traducteur=J. Dupuis|éditeur=Hachette|année=1892|page=5|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994572/f36.item}}</ref>. Les [[Délos|Déliens]], victimes d'une épidémie de peste, demandèrent à l'[[oracle grec|oracle]] de [[Delphes]] comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à [[Apollon]], autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver [[Platon]] pour savoir comment faire<ref name="Baccou"/>. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

Un développement significatif dans la recherche d'une solution au problème a été la découverte par [[Hippocrate de Chios]] qu'il équivaut à trouver deux [[Droite de Philon#Moyennes proportionnelles|moyennes proportionnelles]] entre un [[Segment (mathématiques)|segment de droite]] et un segment de longueur double. En notation moderne, cela signifie que, étant donné des segments de longueurs ''{{Mvar|a}}'' et ''{{Mvar|b}}'' = 2''{{Mvar|a}}'', la duplication du cube équivaut à trouver des segments de longueurs ''{{Mvar|x}}'' et ''{{Mvar|y}}''  tels que <math>\frac{a}{x} = \frac{x}{y}=\frac{y}{b}</math> . 

Ceci équivaut en effet à

: <math>x=\sqrt[3]{a^2b}=a\sqrt[3]2</math>
: <math> y=\sqrt[3]{ab^2}=a\sqrt[3]4</math>.

== Postérité scientifique ==
[[File:Doubling the cube.svg|thumb|300px|Construction de {{sqrt|2|n=3}} [[nombre constructible#Constructibilité à la règle graduée et au compas|à la règle graduée et au compas]]. Construire un triangle équilatéral ABC, et le point D symétrique de A par rapport à B ; tracer la  droite (DC). De A, mener avec la règle graduée une droite AH de façon qu'elle coupe les droites (DC) en G, et (BC) en H, et que GH soit égale au côté du triangle ABC. Alors GA = {{sqrt|2|n=3}}.]]
La question intéressa nombre de mathématiciens, par exemple [[Hippias d'Élis]], [[Archytas de Tarente]], [[Ménechme]], [[Eudoxe de Cnide]], [[Hélicon de Cyzique]] et [[Eutocius d'Ascalon]]. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de [[coniques]] ou par intersection de figures de l'espace. [[Archytas de Tarente|Archytas]], par exemple, proposa d'utiliser l'intersection entre un [[cylindre]], un [[tore]] et un [[cône (géométrie)|cône]]<ref>{{ouvrage|titre=Histoires de problèmes, histoire des mathématiques|auteur=IREM|éditeur=ellipses|année=1993|page=99-100|isbn=2-7298-9368-7}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |titre=Courbe d'Archytas |url=https://mathcurve.com/courbes3d/archytas/archytas.shtml |site=mathcurve.com}}</ref>.

En 1760, [[Jean le Rond D'Alembert|D'Alembert]] écrit qu'aucune solution plane n'a été trouvée avec la seule utilisation de [[Construction à la règle et au compas|la règle et du compas]]<ref>[[Jean le Rond D'Alembert|D'Alembert]] écrit en 1760 dans son ''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]'' à l'article [https://fr.wikisource.org/wiki/L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/PROPORTIONNEL Proportionnel] : {{Citation|Les Géomètres cherchent depuis deux mille ans une méthode pour trouver géométriquement deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, c'est-à-dire, en n'employant que la ligne droite et le cercle ; car du reste ce problème est abondamment résolu ; et particulièrement la résolution que l'on en donne par les sections coniques, en faisant, par exemple, qu'un cercle et une parabole s'entrecoupent suivant une certaine loi, est une solution très géométrique de ce problème. En le réduisant à une équation algébrique, il paraît impossible qu'on le résolve jamais avec le seul secours de la ligne droite et du cercle ; car on arrive toujours à une équation du troisième degré, qu'il n'est pas possible de construire avec la ligne droite et le cercle. Les anciens résolvoient ce problème méchaniquement par le moyen du mésolabe décrit par [[Eutocius]] : et plusieurs d'entr'eux ont tâché d'en donner la démonstration : d'autres, comme [[Ménechme]], résolvoient ce problème par les lieux solides : d'autres, par des mouvements composés, comme [[Platon]], [[Archytas de Tarente|Archytas]], [[Pappus d'Alexandrie|Pappus]] et [[Sporus de Nicée|Sporus]] : d'autres enfin, en tâtonnant, comme [[Héron d'Alexandrie|Héron]] et [[Apollonius de Perga]].}}</ref>.

En [[1837]], [[Pierre-Laurent Wantzel]] établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas. Il démontre que {{sqrt|2|n=3}} n'est pas [[nombre constructible|constructible]] : la duplication du cube est donc impossible à réaliser à la règle et au compas. Elle est cependant possible par d'autres méthodes, telles que l'utilisation [[nombre constructible#Constructibilité à la règle graduée et au compas|de la règle graduée et du compas]], ou par [[Mathématiques des origamis#Points, droites et nombres constructibles par origami|pliage de papier]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references group="n" />

=== Références ===
{{references}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Henri Lebesgue]]|titre=Leçons sur les constructions géométriques|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|lieu=Paris|année=1950|réimpression=2003|pages=318|numéro chapitre=1|titre chapitre=La solution des problèmes fondamentaux : trisection de l'angle, duplication du cube|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Eli Maor]]|auteur2=Eugen Jost|titre=Beautiful Geometry|éditeur=[[Princeton University Press]]|lieu=Princeton|année=2014|pages totales=187|page=81-83|isbn=978-0-691-15099-4|lire en ligne={{Google Livres|0fOKAQAAQBAJ|page=81}}}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Abel Rey]]|titre=L’Apogée de la science technique grecque|volume=5|titre volume=L’essor de la mathématique|éditeur=[[Éditions Albin Michel|Albin Michel]]|collection=L’Évolution de l'Humanité|année=|isbn=|plume=oui}}.
* {{ouvrage|prénom1=Pedro Miguel|nom1=González Urbaneja|prénom2=Magali|nom2=Mangin|responsabilité2=Trad.|titre=Le royaume des coniques|sous-titre=Apollonios|éditeur=RBA Coleccionables|lieu=Barcelone|année=2018|pages totales=163|isbn=978-84-473-9619-1|plume=oui}}

=== Articles connexes ===
* La relation entre la [[Construction à la règle et au compas|construction géométrique]] et la théorie [[algèbre|algébrique]] est développée dans « [[Nombre constructible]] ». Les démonstrations algébriques se trouvent dans « [[Tour d'extensions quadratiques]] ».
* [[Mésolabe]]
* [[Droite de Philon]]
* [[Histoire de la géométrie]] 

=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=DelianConstant|titre=Delian Constant}}

{{Palette|Mathématiques de la Grèce antique}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Duplication du cube|*]]
[[Catégorie:Histoire de la géométrie]]
[[Catégorie:Construction géométrique]]
[[Catégorie:Délos]]