Voir la source de Effet Djanibekov

{{ébauche|mécanique|astronautique}}
<!--Sujet d'actualité
sur les forums
[http://www.sci-lib.net/index.php?showtopic=10399]
[http://forums.airbase.ru/2008/11/t64710--effekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html]
et réseaux sociaux
Terence Tao, [https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/e3GLg4Ki4dj], 27 novembre 2011
il y a fort à parier qu'il fasse parler de lui en francophonie dans les semaines à venir.

Toute collaboration de scientifique(s) vulgarisateur(s) francophone(s) est la bienvenue !
-->
[[Fichier:USSR stamp Soyuz-27 1978 4k.jpg|vignette|upright=0.7|[[Vladimir Djanibekov]] (à gauche) et [[Oleg Grigorievitch Makarov]] (à droite) sur un timbre soviétique de 1978.]]

L''''effet Djanibekov''' (en {{lang-ru|эффект Джанибекова}}), également connu sous les noms d''''expérience de l'écrou de Djanibekov''' (en russe: {{lang|ru|гайка Джанибекова}}) ou '''théorème de la raquette de tennis''' (en {{lang-en|''tennis racket theorem''}}), décrit l'instabilité d'un solide en [[Rotation plane|rotation]] en [[impesanteur]].

Il est nommé d'après le cosmonaute soviétique [[Vladimir Djanibekov]] qui en a fait une démonstration filmée en apesanteur. Il s'agit d'un cas classique mais paradoxal de [[mouvement à la Poinsot]].

== Historique ==
[[Fichier:Wing Nut Cast Iron.jpg|vignette|[[Écrou#Écrou à oreilles|Écrous papillon]].]]

Durant l'été 1985, lors de la mission [[Saliout 7|Saliout 7 EO-4-1b]], Djanibekov prête attention aux mouvements particuliers d'un [[Écrou|écrou papillon]] libéré en impesanteur dans le vaisseau spatial<ref name="Saliout_7_EO-4-1b_par_Astronautix"/>{{,}}<ref name="Bio_Djanibekov_par_Austronautix"/>{{,}}<ref name="TemoignageVideo"/>. En observant la translation à travers la station de l'[[écrou]] rapidement dévissé d'une [[tige filetée]], il remarque que les [[Axe de rotation|axes de rotation]] de cet écrou se modifient<ref name="TemoignageVideo"/>{{,}}<ref name="Ashbaugh1991"/>{{,}}<ref name="Graner1998"/>.

== Description ==
[[File:Dzhanibekov effect.ogv|thumb|thumbtime=1:58|320px|Effet Djanibekov sous microgravité, [[NASA]].]]
L'effet se produit pour tout corps rigide en impesanteur {{Incise |ou chute libre}} qui présente trois axes principaux d'inerties différentes (pas {{Citation |deux plans de symétrie de l'objet}}) (<math>I_1 > I_2 > I_3 </math>) et qui est mis en rotation autour de l'axe d'inertie intermédiaire (<math>I_2</math>). Alors qu'une rotation autour des deux autres axes stabilise le corps {{Incise |absorbe les variations}} une rotation autour de l'axe intermédiaire n'est pas stable — amplifie les variations.

Dans le [[référentiel galiléen]] de la station Saliout, les mouvements de l'écrou observé respectent les [[Principe fondamental de la dynamique|principes]] [[Mécanique newtonienne|newtoniens]] des [[Lois du mouvement de Newton|lois du mouvement]] avec [[moment angulaire]], [[moment d'inertie]] et [[théorème du couple gyroscopique]]<ref name="modelisation"/>. Cependant, l'effet apparent est paradoxal : la [[loi de conservation]] du [[moment angulaire]] devrait rendre invariant l'axe de rotation de l'écrou, or celui-ci pivote de 180° à intervalles réguliers<ref name="videoImpesanteur">{{YouTube|L2o9eBl_Gzw|Эффект Джанибекова|ru}}, vidéo au sujet de l'effet Djanibekov réalisée dans la [[Station spatiale internationale]].</ref>.

=== Exemple ===
Une raquette de tennis qu'on lance en l'air en la tenant par le manche avec le filet horizontal initialement, aura tendance à tourner « autour de l'axe du manche » durant son vol pour retomber dans la main en présentant l'autre côté du filet. D'où le nom de « théorème de la raquette de tennis » donné à cet effet.

En réalité, durant ce vol, la raquette tourne sur ses trois axes durant cet effet.

== Explication mécanique ==
[[File:Intersecting ellipsoids.gif|thumb|upright=1.5|Visualisation de l'instabilité de l'axe intermédiaire. L'amplitude du moment cinétique et l'énergie cinétique sont conservées (représentation de la norme au carré du moment cinétique en bleu, et de l'énergie cinétique en orange). Les valeurs prises sont donc à l'intersection des deux ellipsoïdes. ]]
On se place dans le [[Référentiel (physique)#Référentiel barycentrique|référentiel barycentrique]] du corps (corps en chute libre).

Soit un corps rigide possédant trois inerties différents que l'on classe tel que <math>I_1 < I_2 < I_3 </math>. On note <math>\omega_i</math> la vitesse de rotation du corps autour de l'axe ''i''.

Le [[théorème du moment cinétique]] nous donne : <math>\mathbf{I} \cdot \dot{\boldsymbol\omega} + \boldsymbol\omega \times \left( \mathbf{I} \cdot \boldsymbol\omega \right) = \mathbf{M}.
</math>

Ce qui nous donne en chute libre (<math>M=0</math>), projeté sur les axes :

<math>
\begin{align}
I_1\dot{\omega}_{1}&=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}\\
I_2\dot{\omega}_{2}&=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}\\
I_3\dot{\omega}_{3}&=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(3)}
\end{align}
</math>

=== Premier cas : rotation stable ===
On impose en conditions initiales, une rotation <math>\omega_1</math>. Pour déterminer la nature de la stabilité on impose de petites rotations <math>\omega_2</math> et  <math>\omega_3</math>. D'après (1), <math> \dot{\omega}_{1}</math> est donc petit. On suppose alors que <math>\omega_1</math> est constant.

En dérivant l'équation (2) on trouve : <math>I_2\ddot{\omega_{2}}=(I_3-I_1)\dot{\omega_3}\omega_1</math>

En substituant <math>\dot{\omega}_3</math> avec l'équation (3) on trouve :

<math>
\begin{align}
I_2 I_3 \ddot{\omega}_{2}&= (I_3-I_1) (I_1-I_2)(\omega_1)^2\omega_{2}\\
\end{align}
</math>

Étant donné que <math>I_1 < I_2 < I_3 </math> , on peut dire que :

<math>
\begin{align}

\ddot{\omega}_2 &= \text{(quantité negative)} \times \omega_2
\end{align}
</math>

On effectue le même raisonnement à partir de l'équation 3 pour trouver :

<math>
\begin{align}

\ddot{\omega}_3 &= \text{(quantité negative)} \times \omega_3
\end{align}
</math>

L'accélération angulaire est alors opposée au mouvement suivant ces deux axes : l'objet est stable dans sa rotation.

=== Deuxième cas : rotation instable (l'effet Djanibekov) ===
Si maintenant on impose en conditions initiales une rotation <math>\omega_2</math>. Avec le même raisonnement, on trouve :

<math>
\begin{align}
I_1 I_3 \ddot{\omega}_{1}&= (I_2-I_3) (I_1-I_2) (\omega_{2})^2\omega_1\\
\text{C-à-d.}~~~~ \ddot{\omega}_1 &= \text{(quantité positive)} \times \omega_1
\end{align}
</math>

==== Les « 180 degrés » ====
Un mouvement perturbateur autour de l'axe 1 est alors amplifié : la rotation est instable. Une petite perturbation va alors obliger l'axe de rotation de l'objet à se retourner.

L'amplification de la perturbation va se poursuivre jusqu'à 90°. À ce moment, la rotation autour de l'axe intermédiaire est nulle : on se retrouve dans une position où la rotation est stable. L'inertie fait que le corps continue encore sur 90°. L'objet a alors effectué un « demi-tour » de 180°. Et on se retrouve dans la situation initiale. L'objet refait alors un « 180° ».

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Tennis racket theorem|462834523}}
{{Références
 |colonnes   = 2
 |références =
<ref name="Ashbaugh1991">{{article
 | doi = 10.1007/BF01049489
 | issn = 1040-7294
 | volume = 3
 | numéro = 1
 | pages = 67-85
 | lang = en
 | nom1 = Ashbaugh
 | prénom1 = Mark S.
 | nom2 = Chicone
 | prénom2 = Carmen C.
 | nom3 = Cushman
 | prénom3 = Richard H.
 | titre = The twisting tennis racket
 | périodique = Journal of Dynamics and Differential Equations
 | date = 21 janvier 1991
 | url = http://math.ucalgary.ca/files/publications/cushman/tennis.pdf
}}</ref>

<ref name="Bio_Djanibekov_par_Austronautix">{{en}} [http://www.astronautix.com/astros/dzhbekov.htm Fiche biographique] du [[Astronaute#Terminologie|cosmonaute]] [[Union des républiques socialistes soviétiques|soviétique]] Vladimir Djanibekov dans l' ''[[Encyclopedia Astronautica]]'', consultée le 19 mars 2012.</ref>

<ref name="Graner1998">
{{Ouvrage
 | prénom1=François
 | nom1=Graner
 | titre=Petits problèmes de physique : mathématiques spéciales MP, PC, PSI et premier cycle universitaire
 | éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]
 | année=1998
 | pages totales=122
 | passage=15
 | isbn=978-3-540-64026-4
 | oclc=39140684
 | lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=aOgfThtEWR0C&pg=PA15&dq=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la+raquette+de+tennis
}}</ref>

<ref name="modelisation">
{{YouTube
 |VHNvzXy-Iqs
 |Эффект Джанибекова
 |ru
}}. Modélisation de l'effet Djanibekov avec le logiciel Mathcad 14.</ref>

<ref name="Saliout_7_EO-4-1b_par_Astronautix">{{en}} [http://www.astronautix.com/flights/saleo41b.htm Description de la mission Saliout 7 EO-4-1b] dans l' ''[[Encyclopedia Astronautica]]'', consultée le 19 mars 2012.</ref>

<ref name="TemoignageVideo">
{{YouTube
 |dL6Pt1O_gSE
 |джанибеков
 |ru
}}. Entretien télévisé lors duquel le [[Astronaute#Terminologie|cosmonaute]] Vladimir Djanibekov explique au journaliste les circonstances et les implications de son expérience spatiale.</ref>

}}

== Voir aussi ==
=== Articles liés ===
*[[Angles d'Euler]]
*[[Géométrie symplectique]]
*[[Moment angulaire]]
*[[Moment d'inertie]]
*[[Mouvement à la Poinsot]]
*[[Théorème du couple gyroscopique]]

=== Bibliographie ===
* [[Louis Poinsot]], [https://catalog.hathitrust.org/Record/100228096 Théorie nouvelle de la rotation des corps], Paris, Bachelier, 1834, 170{{Nb p.}} {{OCLC| 457954839}}

{{portail|Astronautique|Génie mécanique}}

{{DEFAULTSORT:Effet Djanibekov}}
[[Catégorie:Théorème de physique]]
[[Catégorie:Dynamique du solide]]
[[Catégorie:Mécanique spatiale]]