Voir la source de Empoisonnement au xénon

Dans un [[réacteur nucléaire]], l''''empoisonnement au xénon''' est le phénomène de production et d'accumulation du [[xénon 135]], un puissant [[absorbeur de neutron]], étouffant la [[réaction nucléaire]] d'un réacteur à l'arrêt, ou provoquant des oscillations de puissance dans les réacteurs de grande taille.

Ce phénomène est un des [[Facteur de risque|facteurs]] ayant conduit à l'[[Catastrophe nucléaire de Tchernobyl#Causes|accident de Tchernobyl]].

== La chaîne Xe ==
=== Production du xénon 135 ===
[[Fichier:Chaine Xenon.PNG|vignette|centre|1200px|Chaine xénon.]]
Le [[xénon 135]] est un [[radioisotope]] (demi-vie : 9,2 h<ref name="Handbook">{{lang|en|texte=Handbook of Chemistry and Physics 58th edition}}</ref>), qui apparaît dans les [[produits de fission]] de la [[fission nucléaire]] d'une [[matière fissile]] (matière employée pour le fonctionnement d'un [[réacteur nucléaire]], [[uranium 235]] ou [[plutonium]] pour les réacteurs de troisième génération).
* Le <sup>135</sup>Xe se forme surtout indirectement, par [[filiation radioactive]], principalement à partir de l'[[Isotopes de l'iode#iode 135|iode 135]] de période 6,7 h<ref name="Handbook"/> (lequel peut lui-même être produit par la désintégration de l'éphémère [[Tellure]] 135, voire en amont par des parents à durée de vie encore plus brève, sans intérêt pour le fonctionnement d'un [[réacteur nucléaire]]).
* Pour mémoire, le <sup>135</sup>Xe peut apparaître aussi de manière marginale comme produit de fission direct, avec un [[rendement de fission]] de 0,4 % pour l'uranium 235.

Dans la fission de l'[[uranium 235]], le [[rendement de produit de fission|rendement de fission]] pour le poids atomique de 135 est de 6,6 % d'atomes produits par fission d'[[isotope fissile]] pour des neutrons thermiques (6,3 % pour des neutrons rapides)<ref>{{en}} [https://www-nds.iaea.org/sgnucdat/c1.htm#92-U-235 Chain Fission Yields], AIEA.</ref>.

=== Disparition du xénon 135 ===
Le <sup>135</sup>Xe peut donner du [[césium 135]], par [[décroissance radioactive]] de période 9,2 h, mais peut également donner en [[réacteur nucléaire]] du xénon 136 par [[Capture neutronique|capture d'un neutron]], quand il est soumis à un [[flux neutronique]]. La proportion relative de ces deux consommations dépend du flux de neutrons (donc de la puissance de fonctionnement et du type de réacteur) : plus le flux est important, et moins le xénon aura le temps de se désintégrer en césium avant de capturer un neutron supplémentaire.

Par la suite, ces deux noyaux <sup>136</sup>Xe et <sup>135</sup>Cs sont pratiquement stables et de section efficace négligeable. Pour mémoire, le <sup>135</sup>Cs est un [[produit de fission]] faiblement radioactif (d'une demi-vie de 2,6 millions d'années), ce qui pose d'autres problèmes pour le gérer en tant que [[déchet radioactif]], mais il n'a pas d'incidence sur le fonctionnement d'un [[réacteur nucléaire]].

Les conditions de fonctionnement d'un réacteur nucléaire sont proches du point où le rapport <sup>136</sup>Xe/<sup>135</sup>Cs bascule : pour un [[flux neutronique]] en réacteur de l'ordre de {{unité|1|e=14|n||cm|-2|s|-1}} (un peu élevé pour un réacteur de puissance, mais en-dessous d'un réacteur d'irradiation), la section efficace du <sup>135</sup>Xe, de l'ordre de σ={{unité|2.65|e=-18|cm|2}}, conduit à une probabilité de capture de {{unité|2.65|e=-4|s|-1}}, c'est-à-dire une demi-vie par capture de l'ordre de l'heure, neuf fois plus que la demi-vie par désintégration. Les demi-vies ayant une incidence exponentielle, la capture l'emporte alors dans une proportion de 2<sup>9</sup> contre un, soit à 99,8 % : en fonctionnement dans ces conditions, la quasi-totalité du <sup>135</sup>Xe fait l'objet d'une capture neutronique. Inversement, si le flux neutronique est dix fois moins intense (comme c'est le cas pour des réacteurs [[candu]] à pleine puissance), les deux demi-vies seront du même [[ordre de grandeur]], et le rapport <sup>136</sup>Xe/<sup>135</sup>Cs sera donc proche de 50 %.

=== Dynamique du xénon 135 ===
Dans un [[réacteur nucléaire]] en fonctionnement stabilisé, la quantité de xénon produit (surtout par la désintégration de l'iode 135) est asymptotiquement égale à la quantité de xénon qui disparaît (par capture neutronique, ou par désintégration) ; mais cet équilibre dépend du flux neutronique, et est très sensible à ses variations, donc aux variations de puissance du réacteur.

La dynamique du xénon en réacteur est gouvernée par les particularités suivantes :
* Le <sup>135</sup>Xe a la plus grande [[section efficace]] connue dans le domaine des neutrons thermiques, de {{unité|2.65|e=6|[[barns]]}} en [[neutron thermique]]<ref>[https://www-nds.iaea.org/sgnucdat/b3.htm Fission product data: Thermal neutron cross sections, resonance integrals, and Westcott factors], AIEA.</ref>, ce qui en fait un [[Poison à neutrons|poison]] pour l'entretien de la [[Réaction en chaîne (nucléaire)|réaction en chaîne]] dans une [[pile atomique]]. Sa présence entraîne donc une perte importante de [[réactivité nucléaire|réactivité]] dans le réacteur, même en faible concentration : pour des flux importants, si tout le <sup>135</sup>Xe (qui représente 6,4 % du [[rendement de fission]]) capture un neutron, le bilan neutronique de l'assemblage baissera de 6,4 % avec la présence de xénon.
* Au bilan, la vitesse de disparition du <sup>135</sup>Xe dépend directement (au premier ordre) du flux neutronique ; mais sa vitesse de production dépend de la taille de son réservoir d'iode 135, lequel est alimenté par les produits de fission en proportion du flux neutronique, et donc dans les équations temporelles, la variation de production en xénon ne suit les variations de flux qu'au second ordre. De ce fait, l'effet d'une variation de flux dans le réacteur sera d'abord dominé par la consommation et la disparition du xénon, la production d'iode 135 et de xénon 135 ne se faisant sentir que dans un deuxième temps.
* Le réservoir d'iode 135, la principale source de xénon 135, a une demi-vie de {{unité|6.58|h}}, significativement plus courte que celle du xénon 135, de {{unité|9.17|h}}. De ce fait, à l'arrêt du réacteur, quand la disparition du xénon n'est plus dominée par la capture neutronique, l'épuisement du réservoir d'iode provoquera l'apparition d'un pic de concentration de xénon, qui ne pourra se résorber que dans un deuxième temps.

L'empoisonnement au [[samarium]] 149 (section efficace de capture = 41 140 barns) dont le père est le prométhium 149 (période = 53,08 h) suit un mécanisme similaire, si ce n'est que cet élément n'est pas radioactif : après son accumulation à l'arrêt, il ne disparaît pas ; et un minimum d'excès de réactivité est nécessaire par rapport à la situation d'équilibre pour redémarrer le réacteur, même après un arrêt prolongé. L'excès de samarium 149 par rapport à sa valeur d'équilibre disparaît lentement après redémarrage, « mangé par le flux ». Les phénomènes se déroulent beaucoup plus lentement que dans le cas du xénon et les effets en réactivité sont nettement moindres. Bien que le [[prométhium]] 149 soit présent à l'équilibre en plus grande quantité que l'iode 135 dans le réacteur<ref group="Note">Le produit : (période de décroissance du prométhium 149 = 53,08 h + 1,728 h) × (rendement de fission = 1,09 %) est supérieur au même produit pour l'iode 135 (6,58 h × 6,4 %) donc la quantité de prométhium à l'équilibre est plus élevée.</ref>, la section efficace du samarium 149 est très inférieure à celle du xénon 135 et l'anti-réactivité du samarium à l'équilibre est environ 3 fois moindre que celle du xénon 135.

== Effet du xénon sur le pilotage d'un réacteur ==
=== Étouffement au démarrage ===
Au premier démarrage d'un réacteur nucléaire thermique, la concentration en <sup>135</sup>Xe est nulle. La concentration en xénon va progressivement augmenter (si le flux neutronique est constant) jusqu'à atteindre une valeur d'équilibre au bout d'un jour ou deux. Cet empoisonnement en fonctionnement est de l'ordre de {{nb|3000 pcm}} pour un réacteur [[Réacteur à eau pressurisée|REP]] de 900 MW.

De ce fait, après la divergence initiale, un réacteur perd progressivement sa [[réactivité nucléaire|réactivité]], ce qui doit être compensé par le pilotage (soit pour un réacteur REP: levée des [[Barre de contrôle (nucléaire)|barres de contrôle]] et/ou dilution de la concentration en [[acide borique]]) faute de quoi le réacteur s'arrêtera de lui-même.

Cet effet fut découvert de manière imprévue dans le [[Réacteur B]], premier réacteur de puissance industrielle, réalisé dans le [[complexe nucléaire de Hanford]]. Après sa divergence initiale, les opérateurs eurent la surprise de voir la puissance du réacteur chuter, et la réaction s'arrêter, le réacteur restant impossible à démarrer pendant quelques jours<ref name=Roggenkamp>[http://www.c-n-t-a.com/srs50_files/049roggenkamp.pdf The Influence of Xenon-135 on Reactor Operation], Paul L. Roggenkamp.</ref>. Après analyse du phénomène, le problème put être corrigé, les ingénieurs concepteurs du réacteur ayant prévu des marges suffisantes pour pouvoir rajouter des éléments combustibles par rapport au plan initial, ce qui permit de restaurer la réactivité de l'ensemble en régime de fonctionnement permanent.

=== Pic xénon ===
[[Fichier:Reactor shutdown xe chart en.svg|vignette|Perte de réactivité due à l'augmentation transitoire de la concentration en xénon après l'arrêt d'un réacteur nucléaire.]]
{{Citation|Toute réduction de puissance cause un pic de xénon transitoire. Plus la réduction de puissance est faible, plus le pic est faible et plus il se produit rapidement}}<ref>[https://www.btb.termiumplus.gc.ca/tpv2alpha/alpha-fra.html?lang=fra&i=&index=frt&srchtxt=PIC%20XENON%20TRANSITOIRE Pic xénon transitoire], banque de données terminologiques et linguistiques du gouvernement du Canada, consulté le 18 avril 2022</ref>. Le passage brutal à un faible régime peut conduire à l'étouffement du réacteur. Le phénomène est connu en anglais sous le nom de {{lang|en|''iodine pit''}}, dû à l'aspect de la courbe de réactivité du réacteur après un arrêt (courbe en rouge).

Le pic xénon est particulièrement gênant dans le cas des [[Propulsion nucléaire navale|réacteurs de propulsion navale]] : une baisse importante de puissance ou un arrêt au port ou a fortiori survenant à la mer, ne devant pas conduire à rendre le réacteur donc le bâtiment indisponible. De ce fait, les réacteurs de propulsion navale doivent conserver une réserve de réactivité beaucoup plus importante qu'un réacteur civil : leur [[combustible]] est d'un enrichissement supérieur, et il ne peut pas atteindre les [[taux de combustion]] réalisés couramment pour les réacteurs civils.

==== Description du phénomène ====
À l'arrêt (ou lors d'une réduction de charge) d'un réacteur, la production d'iode 135 s'arrête (ou diminue), ainsi que la consommation du <sup>135</sup>Xe. Le « réservoir d'iode 135 » se transforme alors encore en <sup>135</sup>Xe (avec une demi-vie de 6,7 h). La demi-vie du xénon 135 (avec une demi-vie de 9,2 h) étant supérieure à celle de son père, il y a un effet d'embouteillage : le xénon 135 s'élimine nettement moins vite qu'il n'est formé. Il commence alors par s'accumuler (augmentant ainsi l'anti-réactivité associée), jusqu'à ce que la source d'iode 135 se tarisse et que la désintégration propre du xénon 135 soit suffisante pour l'éliminer progressivement. Le niveau du réservoir xénon passe ainsi par un maximum (au bout d'une dizaine d'heures lors d'un arrêt, ou moins lors d'une réduction de charge), puis tend plus lentement vers zéro.
Le <sup>135</sup>Xe étant un [[poison neutronique]] de premier ordre, cette augmentation transitoire de la teneur en xénon va correspondre à une perte très importante en réactivité du réacteur, pouvant aller jusqu'à interdire le redémarrage du réacteur. Ainsi, à l'arrêt d'un réacteur, quand l'anti-réactivité apportée par le <sup>135</sup>Xe au « pic xénon » est trop importante et que les réserves de réactivité sont insuffisantes (par exemple, en fin de vie du réacteur), le réacteur ne peut plus rediverger pendant quelques heures.

==== Instabilité d'un redémarrage au pic xénon ====
[[Fichier:RedémarrageAuPicXénon.jpg|vignette|Croquis figurant l'évolution de l'empoisonnement xénon lors d'un redémarrage au « pic ».]]
Lors d'un redémarrage au moment du « pic xénon », la disparition du xénon par interaction avec le flux provoque un apport de réactivité important, d'autant plus rapide que la puissance est grande et que la quantité de xénon restante est importante. La montée en puissance du réacteur dans ces conditions doit donc être suffisamment lente pour que la variation de réactivité puisse en permanence être compensée par l'action sur les barres de contrôle, faute de quoi le réacteur pourrait s'emballer.

Un non-respect des consignes de sécurité sur l'extraction des barres de contrôle neutronique et une mauvaise préparation de l'essai comptent parmi les évènements ayant provoqué l'[[Catastrophe nucléaire de Tchernobyl|explosion de ce réacteur]] le {{Date|26|avril|1986}}. Cet étouffement de la réaction nucléaire s'était produit sur le réacteur 4 de la [[centrale nucléaire de Tchernobyl]] à la suite d'une réduction volontaire de puissance. Mais ensuite, afin de maintenir la puissance du réacteur dans le but de réaliser un essai sur la partie non nucléaire de l'installation, les opérateurs ont relevé les barres de contrôle au-delà de la limite autorisée ce qui a fait entrer le réacteur dans une zone de fonctionnement instable ([[coefficient modérateur|coefficient de vide positif]]) et provoqué son auto-emballement<ref>[https://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/tchernobyl-25-ans-apres-un-tel-scenario-peut-il-se-repeter_7998 « Tchernobyl, 25 ans après : un tel scénario peut-il se répéter ?»] réponses de Michel Chouha, physicien, représentant de l'IRSN en Europe de l'Est, ''Sciences et avenir'', 26 avril 2011.</ref>.

=== Instabilités aux changements de régime ===
Après un temps de fonctionnement suffisant à puissance constante, la concentration en xénon atteindra un premier équilibre dans un réacteur. À ce stade, si la puissance demandée au réacteur augmente d'un palier, l'augmentation de puissance correspond à une augmentation du flux neutronique, qui augmentera à terme tous les flux et toutes les concentrations des éléments de la chaîne xénon (en proportion, la seule différence induite par la puissance de fonctionnement étant le rapport entre les productions de <sup>136</sup>Xe et <sup>135</sup>Cs). Le point d'équilibre du xénon se déplacera donc vers une plus grande concentration, puisque l'augmentation du flux doit permettre de détruire plus de xénon. Cependant, ce nouveau point d'équilibre asymptotique ne sera pas atteint directement.

Dans un premier temps, l'augmentation de puissance ne fait augmenter le réservoir d'iode que linéairement par rapport au temps. Comme 95 % du xénon 135 provient de la désintégration de l'iode 135, la quantité supplémentaire de xénon apportée par la plus grande puissance varie donc initialement en ''t{{2}}''. En revanche, la vitesse de dégradation du xénon est proportionnelle à la puissance du réacteur : le déficit en xénon résultant de cette destruction est donc initialement proportionnel au temps. L'effet linéaire étant prédominant par rapport à l'effet quadratique, le bilan sera initialement une destruction nette de xénon.

La concentration en xénon suit donc une dynamique paradoxale : dans un premier temps la hausse de puissance entraîne (à l'échelle de l'heure) une diminution transitoire de cette concentration, qui ne rejoint son niveau d'équilibre plus élevé que dans un deuxième temps (à l'échelle de la journée). Par ailleurs, comme le xénon 135 est un poison à neutrons, sa baisse de concentration augmente la réactivité du cœur, et donc la puissance du réacteur, ce qui est compensé par l’insertion des barres de contrôle.

Donc, quand la puissance du réacteur doit être augmentée d'un palier, on verra d’abord les barres de contrôle se lever pour augmenter la puissance, puis se baisser (pour compenser la consommation de xénon) puis repasser au-dessus du niveau initial quand l'équilibre est atteint (pour compenser la quantité de xénon à présent plus importante). Ces variations de réactivité sont suffisamment lentes pour ne pas poser en soi de problème de pilotage, à condition que les réserves de réactivité et d'anti-réactivité soient suffisantes pour maintenir en permanence le réacteur dans une plage de fonctionnement où il peut être piloté, ce qui peut imposer des limites sur la vitesse de variation de la puissance du réacteur.

Lorsque la puissance du réacteur doit être diminuée, le processus ci-dessus est inversé<ref>DOE Handbook, pp. 35–42.</ref>. Toutes choses égales par ailleurs, la baisse de puissance provoque une accumulation de xénon 135 neutrophage, qui tend à diminuer encore plus la puissance. Si le réacteur n'a pas de réserve de réactivité suffisante, cette accumulation peut rendre impossible une stabilisation du réacteur en fonctionnement à faible puissance, après un passage à forte puissance, et provoquer un arrêt du réacteur, par étouffement sous l'effet du pic de xénon non contrôlé.


=== Oscillations dans la distribution de puissance ===
L'anti-réactivité locale introduite par la concentration en xénon peut provoquer des '''oscillations dues au xénon''', radiales ou axiales<ref>[http://www.cea.fr/content/download/2935/13711/file/06-controle.pdf CONTRÔLE ET PILOTAGE DES RÉACTEURS À EAU SOUS-PRESSION - Clefs CEA N°45 Automne 2001 - pp 39,40 - Anne Nicolas (Direction de l'énergie nucléaire CEA/Saclay)]</ref>{{,}}<ref>[http://www.sfen.org/IMG/pdf/ST6-15mars2007.pdf Le pilotage des réacteurs - Réunion SFEN du 15 mars 2007 - François BOUTEILLE ST6 « Physique des Réacteurs (AREVA) »]</ref>{{,}}<ref>[https://books.google.com.hk/books?hl=fr&id=Eb1noVWrRnMC&q=oscillation#v=snippet&q=oscillation&f=false La physique des réacteurs nucléaires (Coll EDF R&D) - p1058 & suivantes - Auteur : MARGUET Serge - Date de parution : 04-2011 - Éditions Lavoisier]</ref>. Le mécanisme de cette [[rétroaction]] passe par quatre étapes<ref name=Roggenkamp/> :
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:top;"
| Une augmentation locale du flux neutronique dans le cœur (induite, par exemple, par un retrait des barres de contrôle servant à ajuster la puissance du réacteur) va provoquer un écart (radial ou axial) par rapport à la distribution de puissance.<p>Comme expliqué précédemment, la section efficace du xénon rend instable la distribution de puissance. Dans les zones où le flux a augmenté, le <sup>135</sup>Xe est consommé plus rapidement, ce qui augmente la réactivité et donc la puissance locale.<p>L'ensemble accentue le déséquilibre initial. Le déséquilibre s'accentue jusqu'à ce que l'effet thermique soit suffisant pour compenser la différence de réactivité.
|Comme le réacteur est piloté pour fonctionner à puissance globale constante, une augmentation locale de puissance impose une diminution de puissance dans les autres parties du cœur.<p>Comme expliqué précédemment, la section efficace du xénon rend instable la distribution de puissance.<p>Dans les zones où la puissance a baissé, l'accumulation locale de <sup>135</sup>Xe entraîne une baisse de puissance locale. L'ensemble accentue le déséquilibre initial. Le déséquilibre s'accentue jusqu'à ce que l'effet thermique soit suffisant pour compenser la différence de réactivité.
|- style="vertical-align:top;"
| Dans les zones de haut flux, la concentration en <sup>135</sup>I produit par les fissions augmente alors progressivement. L'augmentation de la concentration en <sup>135</sup>I finit par être suffisante pour rétablir la production de <sup>135</sup>Xe, et faire remonter sa concentration au niveau d'équilibre correspondant à la puissance locale, ce qui ramène à une valeur d'équilibre la contre-réactivité due au <sup>135</sup>Xe.
| Dans les zones de flux moindre, la concentration en <sup>135</sup>I produit par les fissions diminue progressivement. La diminution de la concentration en <sup>135</sup>I ralentit la production de <sup>135</sup>Xe, et fait diminuer sa concentration, diminuant la contre-réactivité due au <sup>135</sup>Xe.
|- style="vertical-align:top;"
|Quand l'équilibre de réactivité est atteint, la concentration en <sup>135</sup>I est au-dessus de sa valeur d'équilibre, et continue à produire plus de <sup>135</sup>Xe que le flux local ne peut en consommer.
La réactivité de la zone diminue au-delà de sa valeur d'équilibre, conduisant à une baisse locale du flux neutronique dans le cœur, plus ou moins amortie par la baisse de température.
| Dans les zones de faible flux, la concentration en <sup>135</sup>I tombe en-dessous de sa valeur d'équilibre, ce qui entraîne un déficit dans la production de <sup>135</sup>Xe.
La réactivité de la zone augmente au-delà de sa valeur d'équilibre.
|- style="vertical-align:top;"
| L'instabilité au changement de régime joue alors dans l'autre sens, accentuant la baisse de puissance locale dans la zone précédemment en excès.
| Le réacteur étant piloté pour fonctionner à puissance constante, cette baisse de puissance locale est compensée par la hausse concomitante de puissance dans les zones où le flux avait été réduit : le déséquilibre (radial ou axial) s'inverse.
|- style="vertical-align:top;"
|Dans la zone à présent de bas flux, étouffées par un excès de <sup>135</sup>Xe, la production en <sup>135</sup>I passe en-dessous de sa valeur d'équilibre, et malgré une consommation moindre par capture neutronique, la concentration en <sup>135</sup>Xe diminue lentement par décroissance radioactive. Au bout d'un certain temps, la contre-réactivité s'élimine et retrouve une valeur d'équilibre, mais dans une zone à présent déficitaire en <sup>135</sup>I, ce qui provoquera à terme un déficit en <sup>135</sup>Xe, une augmentation locale du flux, et enclenchera un nouveau cycle.
| La zone précédemment à bas flux devient à haut flux : la dissymétrie a été inversée par rapport à la situation initiale.
|}

La répétition du cycle déplace les déséquilibres de distribution de puissance dans le cœur, avec une périodicité de l'ordre de 15 heures<ref name=DOE>[http://nuclearpowertraining.tpub.com/h1019v2/css/h1019v2_63.htm Reactor Theory (Nuclear Parameters) DOE-HDBK-1019/2-93 XENON]</ref>.

Ces oscillations peuvent induire des déséquilibres dans la distribution de puissance d'un facteur trois voire plus<ref name=DOE/>. Un tel déséquilibre peut créer un point chaud dans le réacteur et mettre en danger les éléments combustibles.

Dans un réacteur présentant un coefficient de température fortement négatif, ces oscillations sont réduites assez rapidement<ref name=DOE/>.

Afin de contrôler le déséquilibre de puissance axial, l'instrumentation des [[Réacteur à eau pressurisée|REP]] informe en permanence l'exploitant de sa valeur (axial-offset (Dpmax)).

À l'apparition d'une oscillation xénon, l'exploitant du réacteur se doit de la contenir par un « contre-pilotage » adapté (ajustement des barres de réglage et de la concentration en [[bore]]), avant d'atteindre les limites de fonctionnement du réacteur nécessitant une baisse de puissance, et éventuellement, son arrêt automatique par action des systèmes de protection.

Cette instabilité ne peut apparaître que dans les grands réacteurs, la diffusion des neutrons étant suffisante pour gommer les écarts de concentration à petite échelle. {{référence nécessaire|Les petits réacteurs non soumis à ces oscillations xénon sont dits : ''réacteurs couplés''}}.

== Quelques équations ==
On donne les équations du phénomène de l'empoisonnement au xénon et les ordres de grandeurs dans le cas d'un réacteur de caractéristiques proches d'un [[Réacteur à eau pressurisée|REP 900 MWe]].

On évalue en un premier temps les quantités d'iode et de xénon formées en fonction du flux (donc de la puissance du réacteur), on apprécie ensuite l'effet négatif sur la réactivité du cœur apporté par le xénon.

Les données et notations sont celles de l'article [[flux neutronique]]

{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Données et notations principales
! scope="col" | Grandeur physique
! scope="col" | Notation
! scope="col" | Valeur
! scope="col" | Unité
! scope="col" | Grandeur physique
! scope="col" | Notation
! scope="col" | Valeur
! scope="col" | Unité
|-
| scope="row" | '''Puissance thermique <br>du cœur'''
| <math>W</math>
| 2 768
| MW
| '''Température moyenne de <br>l'eau primaire dans le cœur'''
| Tm
| 304,5
| °C
|-
| scope="row" | '''Masse d’uranium'''
| MU
| 72 367
| kg
| '''Flux neutronique <br>thermique'''
| <math>\phi</math>
|
| {{nb|n/cm2/s}}
|-
| scope="row" | '''Enrichissement moyen <br>en uranium 235'''
|
| 2,433 %
| sans dim
| '''[[Flux neutronique]]<ref group="Note">En toute rigueur, la valeur du flux thermique donnée dans l'article flux neutronique serait à augmenter de 7 % pour tenir compte de ce que le flux thermique est évalué dans cet article en tenant compte d'un flux rapide responsable de 7 % des fissions</ref> <br>thermique à l'équilibre'''
| <math>\phi_o</math>
| [[Flux neutronique|{{nb|3,2|e=13}}]]
| {{nb|n/cm2/s}}
|-
| scope="row" | '''Volume du cœur'''
|
| 26,571
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|
| {{nb|at/cm3}}
|-
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|
|
|
| '''Concentration en iode 135 <br>à l'équilibre'''
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|
| '''Concentration en xénon 135'''
| <math>X</math>
|
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| ''' '''
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|
| '''Concentration en xénon 135 <br>à l'équilibre'''
| <math>X_o</math>
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| {{nb|at/cm3}}
|}

{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Autres données et notations
! scope="col" | Grandeur physique
! scope="col" | Notation
! scope="col" | Valeur
! scope="col" | Unité
! scope="col" | Grandeur physique
! scope="col" | Notation
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|-
| scope="row" | '''[[Rendement de produit de fission|Rendement de fission]] <br>de l'iode 135'''
| <math>\gamma_i </math>
| 0,064
| sans dim
| '''Masse d’uranium 235 <br>= 72 367 × 2,433 %'''
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| 1 760,93
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| scope="row" | '''Rendement de fission <br>du xénon 135'''
| <math>\gamma_x </math>
| 0,004
| sans dim
| '''Masse d'eau primaire <br>dans le cœur'''
|
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|-
| scope="row" | ''' [[Poison à neutrons|Période <br>de l'iode 135]] <br>= 6,58 × 3 600'''
|
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| '''Concentration des atomes <br>d'uranium 235 <br>dans le cœur'''
| <math>U_5</math>
|
| {{nb|at/cm3}}
|-
| scope="row" | ''' Constante radioactive <br>de l'iode 135 <br>= ln(2)/(6,58 × 3 600)'''
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| '''Concentration des atomes <br>d'hydrogène dans le cœur'''
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| {{nb|at/cm3}}
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| scope="row" | ''' Période <br>du xénon 135 <br>= 9,17 × 3 600'''
| ''' '''
| 33 012
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| ''' Masse de zirconium <br>dans le cœur '''
|
| 19 096
| kg
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| scope="row" | '''Constante radioactive <br>du xénon 135 = ln(2)/ 33 012'''
| <math>\lambda_x</math>
| {{nb|2,0996|e=-5}}
| s<sup>−1</sup>
| '''Concentration des atomes <br>d'oxygène du modérateur <br>dans le cœur'''
| <math>O_m</math>
|
| {{nb|at/cm3}}
|-
| scope="row" | '''[[Section efficace]] microscopique <br>de capture d'un neutron <br>par l'iode 135 = 7 barn'''
|<math>\sigma_i</math>
| {{nb|7|e=-24}}
| cm<sup>2</sup>
| '''Facteur de fissions rapides'''
| <math>\varepsilon</math>
| [[Formule des quatre facteurs|1,07]]
| sans dim
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron <br>par le xénon 135 = {{nb|2,65|e=6|barn}}'''
| <math>\sigma_x</math>
| {{nb|2,65|e=-18}}
| cm<sup>2</sup>
| '''Section efficace microscopique<br>de fission thermique <br>de l'uranium 235 = 579,5 barn'''
| <math>\sigma_f</math>
| {{nb|5,795|e=-22}}
| cm<sup>2</sup>
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron <br>par le xénon 135 = {{nb|2,65|e=6| barn}}'''
| <math>\sigma_x</math>
| {{nb|2,65|e=-18}}
| cm<sup>2</sup>
| '''Section efficace macroscopique <br>de fission thermique'''
| <math>\Sigma_f</math>
| [[Flux neutronique|0,098 40]]
| cm<sup>−1</sup>
|-
| scope="row" | '''Section efficace macroscopique <br>de capture d'un neutron <br>par le xénon 135'''
| <math>\Sigma_x</math>
| ''' '''
| cm<sup>−1</sup>
| '''Section efficace macroscopique <br>d'absorption d'un neutron thermique <br>dans le combustible'''
| <math>\Sigma_u</math>
|
| cm<sup>−1</sup>
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de fission de l'uranium 235 = '''
| <math>\sigma_f</math>
| 579,5
| barn
| ''' Concentration des atomes <br>de zirconium dans le cœur '''
| <math>Z</math>
|
| {{nb|at/cm3}}
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>d'absorption<ref group="Note">On entend par absorption le total fission + capture</ref> par l'uranium 235 = '''
| <math>\sigma_a</math>
| 679,9
| barn
| ''' Facteur d'utilisation thermique <br>avant empoisonnement xénon'''
| <math>f</math>
|
| sans dim
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par l'oxygène = {{nb|0,267|e=-3|barn}}'''
| <math>\sigma_o</math>
| {{nb|0,267|e=-27}}
| cm{{2}}
| ''' Facteur d'utilisation thermique <br>après empoisonnement xénon'''
| <math>f'</math>
|
| sans dim
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par le zirconium = 0,182 barn'''
| <math>\sigma_z</math>
| {{nb|0,182|e=-24}}
| cm<sup>2</sup>
| '''Réactivité du cœur avant <br>empoisonnement xénon'''
| <math>\rho</math>
|
| pcm
|-
| scope="row" | '''Section efficace macroscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>dans le modérateur'''
| <math>\Sigma_m</math>
|
| cm<sup>−1</sup>
| '''Réactivité du cœur après<br>empoisonnement xénon'''
| <math>\rho'</math>
|
| pcm
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par l'hydrogène = 0,332 barn'''
| <math>\sigma_h</math>
| {{nb|0,332|e=-24}}
| cm<sup>2</sup>
| '''Concentration des atomes <br>d'oxygène du combustible <br>dans le cœur '''
| <math>O_u</math>
|
| {{nb|at/cm3}}
|-
| scope="row" | '''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par l'uranium 238 = 2,72 barn'''
| <math>\sigma_8</math>
| {{nb|2,72|e=-24}}
| cm<sup>2</sup>
| ''' '''
| ''' '''
|
|
|-
|}

=== Évolution de la concentration en iode 135 ===
* Lors d'un démarrage et d'une montée en puissance de quelques dizaines de minutes<ref group="Note">Le rythme maximal de montée en allure d'un REP est de 6 % par minute ; le rythme normal est de 3 % par minute</ref>, suivie d'un palier, à partir d'une situation cœur vierge sans iode ni xénon, l'iode atteint sa valeur d'équilibre au bout d'un temps de l'ordre de : <math> { 1 \over \lambda_i } </math> = 9,5 h

* La concentration à l'équilibre s'écrit :
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
|<math> I_o = {\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i + \sigma_i \times \Phi_o } \times \Phi_o \approxeq {\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i} \times \Phi_o = 6{,}886\times 10^{15}</math> {{nb|at/cm3}}
|}
* On peut voir que la concentration à l'équilibre est proportionnelle à la valeur du flux ; plus le flux est élevé plus il y a d'iode.
* La fonction générale donnant I(t) à partir d'un démarrage sans iode ni xénon est la suivante:
:<math>I(t) = I_o \times ( 1 - e^{-\lambda_i \times t} )</math> <ref group="Note">Relation similaire à une décroissance radioactive simple</ref>
:<math>I(t) = {\gamma_i \over \lambda_i} \times \Sigma_f \times \Phi_o \times ( 1 - e^{-\lambda_i \times t} ) </math> <br>Si le flux est variable, on remplace Φ<sub>o</sub> par Φ(t)<br><math>I(t) = {\gamma_i \over \lambda_i} \times \Sigma_f \times \Phi(t) \times ( 1 - e^{-\lambda_i \times t} ) </math>

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Évaluation de la quantité d'iode 135 dans le cœur}}
* '''Liminaire''' : On néglige la présence du tellure 135 dont la période est faible devant celle de l'iode 135 et qui n'est pas capturant des neutrons et on fait l'hypothèse simplificatrice que l'iode 135 est produite directement par les fissions avec le rendement de fission du tellure 135 soit : 0,064

* Variation de la concentration en iode 135 = d''I''/d''t''

'''<math> {\mathrm{d}I \over \mathrm{d}t} = \text{[Production par fission] - [Disparition par décroissance radioactive] - [Disparition par capture d'un neutron]} </math>

<math> {\mathrm{d}I \over \mathrm{d}t} = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi(t) - \lambda_i \times I - \sigma_i \times I \times \Phi(t) </math>

* La concentration en iode à l'équilibre <math> \left( {\mathrm{d}I \over \mathrm{d}t} = 0 \right)</math> est solution de l'équation :

:<math> 0 = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi_o - \lambda_i \times I - \sigma_i \times I \times \Phi_o </math> <br><br><math> I_o = {\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i + \sigma_i \times \Phi_o } \times \Phi_o </math>

* On simplifie l'équation différentielle en remarquant que le terme σ<sub>i</sub> × Φ est négligeable devant λ<sub>i</sub>, ce qui revient à dire que l'iode n'est pas un poison, en effet :

<math>\sigma_i \times \Phi_o = 7 \times 10^{-24} \times 3{,}2\times 10^{13} = 2{,}24\times 10^{-10}</math> captures par seconde à comparer à :

<math> \lambda_i = 2{,}926\times 10^{-05}</math> désintégrations par seconde

d'où l'équation simplifiée :

<math> {\mathrm{d}I \over \mathrm{d}t} = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi - \lambda_i \times I </math>

et la valeur à l'équilibre approximée :

<math>{\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i} \times \Phi_o = { 0{,}064 \times 0{,}098\,40 \times 3{,}2\times 10^{13} \over 2{,}926\times 10^{-5} } = 6{,}886\times 10^{15}</math> {{nb|at/cm3}} <ref group="Note">Les valeurs du flux et de Σ<sub>f</sub> sont calculées dans l'article [[Flux neutronique]]</ref>

* L'équation générale est résolue en multipliant l'équation différentielle par <math>e^{\lambda_i \times t} </math>

<math> {\mathrm{d}I \over \mathrm{d}t} \times e^{\lambda_i \times t} + \lambda_i \times I \times e^{\lambda_i \times t} = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi(t) \times e^{\lambda_i \times t}</math>

<math> {\mathrm{d} (I \times e^{\lambda_i \times t}) \over \mathrm{d}t} = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi(t) \times e^{\lambda_i \times t}</math>

<math> I(t) = I(o) + \left( \gamma_i \times \Sigma_f \times \int_{o}^{t} \Phi(u) \times e^{\lambda_i \times u} \times \mathrm{d}u \right) \times e^{-\lambda_i \times t} </math>

* On fait l'hypothèse d'un démarrage du réacteur vierge (sans iodes ni xénon), d'où I(o) = 0, et d'une croissance du flux pour atteindre la valeur Φ<sub>o</sub> en quelques dizaines de minutes durée faible devant le rythme d'évolution de l'iode. On peut alors simplifier la fonction donnant I(t) en remplaçant Φ (t) par la valeur à terme du flux Φ<sub>o</sub> <ref group="Note">Ceci revient à considérer un "échelon" de puissance pour le réacteur</ref>

<math> I(t) = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi_o \times \left[ \int_{o}^{t} e^{\lambda_i \times u } \times \mathrm{d}u \right] \times e^{-\lambda_i \times t} </math>

<math> I(t) = \gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi_o \times { e^{\lambda_i \times t} - 1 \over \lambda_i } \times e^{-\lambda_i \times t} </math>

<math> I(t) = { \gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i } \times \Phi_o \times ( 1 - e^{-\lambda_i \times t}) = I_o \times ( 1 - e^{-\lambda_i \times t}) </math>

{{Boîte déroulante/fin}}

=== Évolution de la concentration en xénon 135 ===
* Lors d'un démarrage et d'une montée en puissance de quelques dizaines de minutes suivie d'un palier, à partir d'une situation cœur vierge sans iode ni xénon, le xénon atteint sa valeur d'équilibre au bout d'un temps supérieur à celui de l'iode ; dit de façon simpliste, il faut attendre que l'iode ait atteint un régime stable pour que le xénon soit à l'équilibre.
* La concentration à l'équilibre s'écrit :
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
|<math> X_o = { (\gamma_x + \gamma_i ) \times \Sigma_f \times \Phi_o \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o } = 2{,}024\times 10^{15}</math> {{nb|at/cm3}}
|}

* On peut voir que si le flux augmente la concentration en xénon à l'équilibre plafonne vers la valeur :
<math> X_{omax} = \frac{\gamma_x + \gamma_i \times \Sigma_f}{\sigma_x}= 2{,}525\times 10^{15}</math> {{nb|at/cm3}}

'''qui ne dépend pas du flux'''. Ce résultat est à rapprocher de celui concernant l'iode dont la concentration est proportionnelle au flux.

Dans le cas d'un réacteur à flux élevé il y a une réserve d'iode d'autant plus importante en valeur relative devant le xénon présent dans le cœur à l'équilibre que le flux est élevé. Le "pic de xénon" suivant un arrêt du réacteur en sera d'autant plus important.
* Il est instructif d'évaluer le rapport <math> {I_o \over X_o } </math> qui exprime le rapport entre "la réserve d' iode" destinée à se transformer en xénon après un arrêt et la concentration de xénon déjà présent dans le cœur à l'équilibre. Ce rapport rend compte de l'ampleur du "pic" xénon qui suivra un arrêt :

<math> {I_o \over X_o } = { {\gamma_i \times \Sigma_f \times \Phi_o \over \lambda_i} \over {( \gamma_i + \gamma_x ) \times \Sigma_f \times \Phi_o \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o } } = {\gamma_i \over \gamma_i + \gamma_x } \times { \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o \over \lambda_i } </math>

Le rapport le rapport <math> {I_o \over X_o } </math> augmente avec la valeur du flux. <math>.~ \gamma_i ~ \gamma_x ~ \sigma_x ~ \lambda_x~ et ~ \lambda_i~.</math> sont des constantes physiques, le rapport <math> {I_o \over X_o} </math> dépend du dessin du réacteur considéré uniquement par la valeur du flux lequel est inversement proportionnel à la concentration moyenne de matière fissile présente dans le cœur. Plus l'usure du combustible est importante plus la concentration du xénon à l'équilibre est faible en valeur relative devant la quantité d'iode "stockée" conduisant à un effet de "pic" accru.

La fonction générale donnant X(t) en cas de démarrage cœur vierge sans iode ni xénon est assez lourde :

<math> X(t) = X_o \times \left[ 1 + {1 \over \gamma_i + \gamma_x} \times \left( { \gamma_i \times \lambda_i \over \lambda_x - \lambda_i + \sigma_x \times \Phi_o } - \gamma_x \right) \times e^{-(\lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o) \times t } - {\gamma_i \over \gamma_i + \gamma_x} \times \left( { \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o \over \lambda_x - \lambda_i + \sigma_x \times \Phi_o } \right) \times e^{-\lambda_i \times t} \right] </math> <br/>avec Xo = valeur à l'équilibre

* Si le flux est variable, on remplace Φ<sub>o</sub> par Φ(t)

* Si Φ(t) reste constant, le deuxième terme de l'équation converge assez lentement vers la valeur 1.

* Dans le cas d'un arrêt rapide du réacteur à partir d'un [[régime permanent]] initial établi (le cas du "pic xénon") :

<math>I(t) = {\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i} \times \Phi_o \times e^{-\lambda_i \times t}</math>

<math> X(t) = \Sigma_f \times \Phi_o \times \left[ {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} \times e^{- \lambda_i \times t} + \left({\gamma_i + \gamma_x \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o} - {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} \right) \times e^{-\lambda_x \times t } \right] </math>

On en déduit l'instant du « pic » suivant un arrêt rapide après une marche continue à pleine puissance :

<math> t_{pic} = { 1 \over \lambda_x - \lambda_i} \times \ln\left[ { \lambda_x \times (\lambda_x - \lambda_i)\over\lambda_i \times \gamma_i } \times \left( {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} - {\gamma_i + \gamma_x \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o} \right)\right] </math>

Dans l'exemple type choisi on trouve ''t''<sub>pic</sub> = {{nb|3,051|e=4|s}} = 8,47 h. Plus le flux est élevé plus le pic est tardif et ample.

* En pratique dans les réacteurs de puissance, un calculateur effectue un calcul "pas à pas" qui suit l'évolution constatée de la puissance, tient compte de l'ensemble des facteurs et donne aux exploitants une prévision entretenue de l'évolution du xénon post arrêt du réacteur survenant inopinément ou suivant un programme de fonctionnement prévisionnel.

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Évaluation de la concentration du xénon 135 dans le cœur}}
Variation de la concentration en xénon 135 = <math>\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}</math>

'''<math> {\mathrm{d}X \over \mathrm{d}t} = \scriptstyle + [\mathsf{Production ~par~ decroissance ~de ~l'iode}] + [\mathsf{Production ~par~fission}]- [\mathsf{Disparition~par~decroissance~radioactive}] - [\mathsf{Disparition~par~capture~d'~un~neutron}] </math>
:<math> {\mathrm{d}X \over \mathrm{d}t} = \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi(t) + \lambda_i \times I - \lambda_x \times X - \sigma_x \times X \times \Phi(t) </math>

* La concentration en xénon à l'équilibre <math>\left( {\mathrm{d}X \over \mathrm{d}t} = 0 \right) </math> est solution de l'équation :

<math> 0 = \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi_o + \lambda_i \times I_o - \sigma_x \times X_o \times \Phi_o - \lambda_x \times X_o </math>

<math> X_o = { \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi_o + \lambda_i \times I_o \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o }</math>

<math>I_o = {\gamma_i \over \lambda_i} \times \Sigma_f \times \Phi_o </math>

<math> X_o = { \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi_o + \lambda_i \times ({\gamma_i \over \lambda_i} \times \Sigma_f \times \Phi_o) \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o } = { (\gamma_x + \gamma_i ) \times \Sigma_f \times \Phi_o \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o }</math>

<math> X_o = { (0{,}004 + 0{,}064 ) \times 0{,}098\,40 \times 3{,}2\times 10^{13} \over \ 2{,}0997\times 10^{-5} + 2{,}65\times 10^{-18} \times 3{,}2\times 10^{13} } = 2{,}024\times 10^{15}</math> {{nb|at/cm3}}

* La concentration en xénon à l'équilibre ne dépasse pas la valeur limite : <math> Xomax = { ( \gamma_x + \gamma_i ) \times \Sigma_f \over \sigma_x}</math>

<math> Xomax = { ( 0{,}064 + 0{,}004 ) \times 0{,}098\,40 \over 2{,}65\times 10^{-18} } \; \rm at/cm^3 = 2{,}525\times 10^{15}</math>

La valeur limite X<sub>omax</sub> ne dépend pas du flux.

* À remarquer que, dans la situation d'équilibre, l'essentiel de la production de xénon vient de la désintégration de l'iode en effet :

Production de xénon par désintégration de l'iode = <math> \lambda_i \times I_o = 2{,}926\times 10^{-5} \times 6{,}886\times 10^{15} = 2{,}0148\times 10^{11}</math> {{nb|at/cm3/s}} ; soit 94,1 % du total produit

Production de xénon directement par fission = <math> \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi_o = 0{,}04 \times 0{,}098\,40 \times 3{,}2\times 10^{13} = 1{,}2593\times 10^{10} </math> {{nb|at/cm3/s}} ; soit 5,9 % du total produit <ref group="Note">La quantité de xénon produite par fission est un peu plus élevée car il faut tenir compte des fissions rapides</ref>

* L'équation différentielle générale est résolue en multipliant l'équation par <math>e^{\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u} </math>

avec

<math> \psi(u) = \lambda_x + \sigma_x \times \Phi(u) </math>

Il vient :

<math> {\mathrm{d}X \over \mathrm{d}t} \times e^{\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u} + \psi(t) \times X(t) \times e^{\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u} = \left[ \lambda_i \times I(t) + \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi(t) \right] \times e^{\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u} </math>

<math> {\mathrm{d} (X \times e^{\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u})\over \mathrm{d}t} = \left[ \lambda_i \times I(t) + \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi(t)\right] \times e^{\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u} </math>

* Finalement : <math> X (t) = e^{-\int_{o}^t \psi(u) \times \mathrm{d}u} \times \left[ \int_{o}^t e^{\int_{o}^u \psi(v) \times \mathrm{d}v} \times (\lambda_i \times I(u) + \gamma_x \times \Sigma_f \times \Phi(u)) \times \mathrm{d}u + X(o) \right] </math>

* Dans l'hypothèse d'un démarrage du réacteur vierge (sans iode ni xénon), d'où I(o) = X(o) = 0, et d'une croissance du flux pour atteindre la valeur Φ<sub>o</sub> en quelques dizaines de minutes durée faible devant l'évolution de l'iode et du xénon, on peut simplifier la fonction donnant X(t) en remplaçant Φ (t) par la valeur à terme Φ<sub>o</sub> ;

Par ailleurs, on a vu que :

<math>I(t) = {\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i} \times \Phi_o \times ( 1 - e^{-\lambda_i \times t} )</math>
<math> X(t) = X_o \times \left[ 1 + {1 \over \gamma_i + \gamma_x} \times \left( { \gamma_i \times \lambda_i \over \lambda_x - \lambda_i + \sigma_x \times \Phi_o } - \gamma_x \right) \times e^{-(\lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o) \times t } - {\gamma_i \over \gamma_i + \gamma_x} \times \left( { \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o \over \lambda_x - \lambda_i + \sigma_x \times \Phi_o } \right) \times e^{-\lambda_i \times t} \right] </math>

avec X<sub>o</sub> = valeur à l'équilibre

* Dans le cas d'un arrêt rapide du réacteur à partir d'un régime permanent initial établi les équations s'allègent un peu :

<math>I(t) = {\gamma_i \times \Sigma_f \over \lambda_i} \times \Phi_o \times e^{-\lambda_i \times t}</math>

<math> X(t) = \Sigma_f \times \Phi_o \times \left[ {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} \times e^{- \lambda_i \times t} + \left({\gamma_i + \gamma_x \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o} - {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} \right) \times e^{-\lambda_x \times t } \right] </math>

La fonction donnant X(t) est aisément dérivable :

<math> X'(t) \div - \lambda_i \times {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} \times e^{-\lambda_i \times t } + \lambda_x \times \left( {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} - {\gamma_i + \gamma_x \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o} \right) \times e^{-\lambda_x \times t } </math>

L'instant du "pic xénon" est évaluable analytiquement.

<math> \lambda_i \times {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} \times e^{(\lambda_x -\lambda_i) \times t_{pic} } = \lambda_x \times \left( {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} - {\gamma_i + \gamma_x \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o} \right) </math>

Pour finir :

<math> t_{pic} = { 1 \over \lambda_x - \lambda_i} \times \ln\left[ { \lambda_x \times (\lambda_x - \lambda_i)\over\lambda_i \times \gamma_i } \times \left( {\gamma_i \over \lambda_x - \lambda_i} - {\gamma_i + \gamma_x \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi_o} \right)\right] </math>

Dans l'exemple type choisi du REP 900 MWe on trouve t<sub>pic</sub> = {{nb|3,051|e=4|s}} = 8,47 h post arrêt. Plus le flux est élevé plus le pic est tardif et ample.

{{Boîte déroulante/fin}}

=== Empoisonnement xénon - Effet en réactivité ===
* Parmi les [[Formule des quatre facteurs|4 facteurs]] de la formule <math> k_\infty = \varepsilon \times \eta \times p \times f </math>, c'est le facteur ''f'' qui est affecté par la présence du xénon 135 formé

Cœur vierge avant empoisonnement : <math> f = \frac{\Sigma_u}{\Sigma_u + \Sigma_m} </math><ref group="Note">L'incertitude principale du calcul effectué dans cet article vient de l'estimation de la capture dans le combustible : Σ<sub>u</sub></ref>

Après empoisonnement <math> f' = \frac{\Sigma_u}{\Sigma_u + \Sigma_m + \Sigma_x} </math>

<math> { f' \over f} = 0{,}964\,06 = {k_{eff}' \over k_{eff}} = {e^{\rho'} \over e^{\rho}} = e^{\rho' -\rho}</math>

<math>\rho'-\rho = 100\,000 \times \ln(0{,}964\,06) = </math> -{{nb|3660 pcm}}

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Évaluation de l'effet en réactivité du xénon 135}}
* L'empoisonnement par le xénon affecte le facteur ''f'' de la formule des 4 facteurs

''f'' avant empoisonnement = <math> f = {\Sigma_u \over \Sigma_u + \Sigma_m } </math>

''f''' après empoisonnement = <math> f' = {\Sigma_u \over \Sigma_u + \Sigma_m + \Sigma_x} </math>

Le rapport <math>\frac{f}{f'}</math> exprime la variation de ''k''<sub>eff</sub>

<math> { f \over f' } = 1 + { \Sigma_x \over \Sigma_u + \Sigma_m}</math>
* Évaluation de <math> \Sigma_u = \sigma_5 \times U_5 + \sigma_8 \times U_8 + \sigma_o \times O_u + \sigma_z \times Zr </math>

<math> \Sigma_u = ( 679{,}9 \times U_5 + 2{,}72 \times U_8 + 0{,}267\times 10^{-3} \times O_u + 0{,}182 \times Zr ) \times 10^{-24}</math> {{nb|cm-1}}

Concentration des atomes d'uranium 235 = <math>U_5 = 1760{,}93/0{,}235\,044 \times N_A / 26{,}571\times 10^6 = 1{,}6980\times 10^{20}</math> {{nb|at/cm3}}

Concentration des atomes d'uranium 238 = <math> U_8 = \frac{72\,367 - 1760{,}93)}{0{,}238\,051 \times N_A / 26{,}571\times 10^{6}} = 6{,}722\times 10^{21}</math> {{nb|at/cm3}}

Concentration des atomes d'oxygène du combustible = <math>O_u = 2 \times ( U_5 + U_8 ) = 1{,}3784\times 10^{22} </math> {{nb|at/cm3}}

Concentration des atomes de zirconium = <math>Zr = 19\,096 / 0{,}091\,224 \times N_A / 26{,}571\times 10^{6} = 4{,}744\times 10^{21}</math> {{nb|at/cm3}}

D'où : <math> \Sigma_u = 0{,}134\,60</math> {{nb|cm-1}}
* Évaluation de <math> \Sigma_m = \sigma_h \times H + \sigma_o \times O_m </math>

<math> \Sigma_m = \sigma_h \times H + \sigma_o \times O_m </math>

<math> \Sigma_m = ( 0{,}332 \times H + 0{,}267\times 10^{-3} \times O_m ) \times 10^{-24} </math> {{nb|cm-1}}

Nombre de moles d'eau dans le cœur = <math>\frac{11\,073{,}8 \times 1000}{15{,}9994 + 2\times 1{,}007\,94} = 614\,690</math>

Concentration des atomes d'hydrogène = <math> \frac{614\,690 \times 2 \times N_A}{ 26{,}571\times 10^{6}} = 2{,}786\times 10^{22}</math> {{nb|at/cm3}}

Concentration des atomes d'oxygène du modérateur =<math> 2{,}786\times 10^{22} / 2 = 1{,}3932\times 10^{22} </math> {{nb|at/cm3}}

<math> \Sigma_m = 2{,}786\times 10^{22} \times 0{,}332 + 1{,}3932\times 10^{22} \times 0{,}267\times 10^{-3} \times 10^{-24} = 0{,}009\,2543</math> {{nb|cm-1}}
* Évaluation de Σ<sub>x</sub> à l'équilibre = <math> \Sigma_x = \sigma_x \times X_o = 2{,}65\times 10^{-18} \times 2{,}024\times 10^{15} = 0{,}005\,3630 </math> {{nb|cm-1}}
* <math> { f \over f' } = 1 + { \Sigma_x \over \Sigma_u + \Sigma_m }</math>

<math> { f \over f' } = 1 + { 0{,}005\,3630 \over 0{,}134\,60 + 0{,}009\,2543 } = 1{,}037\,28 </math>

La variation relative de k<sub>eff</sub>, si le cœur était juste critique avant empoisonnement, s'écrit:

<math> {k_{eff}' \over k_{eff}} = { f' \over f } = \frac{1}{1{,}037\,28} = 0{,}964\,06 </math>

L'effet en réactivité correspondant vaut : <math> {k_{eff}' \over k_{eff}} = {e^{\rho'} \over e^{\rho}} = e^{\rho'-\rho}</math>

; exprimé en pcm : <math>\rho'-\rho = 100\,000\times \ln(0{,}964\,06) = </math> -{{nb|3660 pcm}}

* En fonction du flux :

<math> { f \over f' } = 1 + { \sigma_x \times { ( \gamma_i + \gamma_x ) \times \Sigma_f \times \Phi(t) \over \lambda_x + \sigma_x \times \Phi(t)} \over \Sigma_u + \Sigma_m }</math>

<math> { f \over f' } = 1 + { 1{,}2326\times 10^{-19} \times \Phi(t) \over 2{,}0997\times 10^{-5} + 2{,}65\times 10^{-18} \times \Phi(t)} </math>
{{Boîte déroulante/fin}}

== Références et liens ==
* {{pdf}} [http://www.cenbg.in2p3.fr/heberge/EcoleJoliotCurie/coursJC/Joliotcurie2006.pdf Cours de Physique des Réacteurs Nucléaires], Peter Baeten.
{{Références}}

== Notes ==
{{Références|groupe=Note|colonnes=2}}

{{Portail|nucléaire}}

[[Catégorie:Fonctionnement d'un réacteur nucléaire]]