Voir la source de Endomorphisme de Frobenius

[[Image:GeorgFrobenius.jpg|thumb|right|[[Ferdinand Georg Frobenius]]]]
En [[mathématiques]], l''''endomorphisme de Frobenius''', nommé ainsi en l'honneur de [[Georg Ferdinand Frobenius]], est un [[endomorphisme]] d'[[anneau commutatif]] défini de façon naturelle à partir de la [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]].

Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la [[théorie de Galois]], soit dans le cas des [[corps commutatif|corps]] de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des [[corps fini]]s et dans la [[théorie des corps de classes]]. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un [[automorphisme]].

Il est généralement utilisé en [[théorie algébrique des nombres]], par exemple pour la démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]].

== Définition ==

Soit ''A'' un [[anneau commutatif]] unitaire ayant pour [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] un [[nombre premier]] ''p'' > 0. L''''endomorphisme de Frobenius''' est l'application définie par :
<center><math>\begin{matrix}Frob_A &:&  A& \to& A\\ && x &\mapsto &x^p\end{matrix}</math></center>
Elle est souvent notée ''Frob<sub>A</sub>'', ou ''Frob'' s'il n'y a pas d'ambiguïté.
* Un '''élément de Frobenius''' est une puissance de l'endomorphisme de Frobenius pour la loi de [[composition des applications]].
* L''''automorphisme de Frobenius''' désigne l'endomorphisme de Frobenius s'il est [[bijection|bijectif]].

Si l'endomorphisme de Frobenius est bijectif, l'ensemble des éléments de Frobenius forme un [[sous-groupe]] [[Groupe cyclique|cyclique]] du [[Groupe symétrique|groupe des bijections]] de l'anneau — le [[sous-groupe engendré]] par l'automorphisme de Frobenius — d'où la définition suivante :
* Dans le cas où l'endomorphisme de Frobenius est bijectif, le '''[[Groupe (mathématiques)|groupe]] de Frobenius''' est l'ensemble des éléments de Frobenius muni de la [[loi de composition]] des applications.

== Propriétés ==
=== Morphisme ===
{{Voir|Morphisme d'anneaux}}
*'''L'endomorphisme de Frobenius est un morphisme d'anneaux.'''
Les deux propriétés multiplicatives sont dues au fait que l'anneau est commutatif (et [[Anneau unitaire|unifère]]) :
<center><math>\forall a,b \in A \quad Frob_A(ab)=(ab)^p=a^pb^p=Frob_A(a)Frob_A(b)\text{ et }Frob_A(1)=1^p=1.</math></center>
Pour la propriété additive, on part de la [[formule du binôme de Newton]] :
<center><math>\forall a,b \in A \quad(a+b)^p=\sum_{k=0}^p {p \choose k} a^{p-k} b^k.</math></center>
Comme ''p'' est premier, il divise tous les coefficients binomiaux à l'exception du premier et du dernier ({{cf.}} [[Coefficient binomial#Diviseurs et coefficients binomiaux|Diviseurs et coefficients binomiaux]]). Cette propriété permet de conclure :
<center><math>\forall a,b \in A \quad Frob_A(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=Frob_A(a)+Frob_A(b)</math></center>

=== Injectivité et surjectivité ===
*'''Si l'anneau ''A'' est [[anneau intègre|intègre]] alors l'endomorphisme de Frobenius est [[Injection (mathématiques)|injectif]].
En effet, si l'anneau est intègre alors il ne contient aucun [[diviseur de zéro]], donc une puissance d'un élément est nulle si et seulement si cet élément est nul.

Toute injection d'un [[ensemble fini]] dans lui-même étant une [[surjection]] (donc une [[permutation]]), on en déduit :
*'''Si l'anneau ''A'' est intègre et fini, l'endomorphisme est bijectif.'''

=== Point fixe ===
Le [[corps premier]] contenu dans l'anneau ''A'' est le [[corps fini]] à ''p'' éléments, '''F'''{{ind|''p''}} = [[Anneau Z/nZ|ℤ/''p''ℤ]]. D'après le [[petit théorème de Fermat]], ses éléments sont [[Point fixe|fixes]] par ''Frob{{ind|A}}'' :
<center><math>\forall a \in \mathbb F_p \quad Frob_A(a)=a^p=a.</math></center>
*'''Tout élément du corps premier est invariant par l'endomorphisme de Frobenius.'''
Dans le cas où l'anneau est intègre, le polynôme ''X<sup>p</sup> – X'' ne peut posséder plus de racines que son degré. Il possède donc exactement comme racines les éléments de son corps premier.
*'''Si l'anneau est intègre les seuls points fixes de l'endomorphisme de Frobenius sont les éléments du corps premier.'''
Une autre conséquence est le fait suivant :
*'''L'endomorphisme de Frobenius est un [[endomorphisme linéaire]] du F{{ind|''p''}}-[[espace vectoriel]] ''A'',''' c'est-à-dire :
<center><math>\forall\alpha,\beta\in \mathbb F_p\; \forall u,v\in A\quad Frob_A(\alpha u+\beta v)=\alpha Frob_A(u)+\beta Frob_A(v).</math></center>
Pour ''A'' égal à l'anneau des [[polynôme]]s à coefficients dans '''F'''{{ind|''p''}}, cette [[Application linéaire|linéarité]] donne l'identité remarquable :
<center><math>\forall P(X)\in \mathbb F_p[X] \quad (P(X))^p=P(X^p).</math></center>

=== Théorie de Galois ===
{{Article détaillé|Corps fini|Théorie des corps de classes}}
Dans le cas des corps commutatifs de caractéristique non nulle, l'endomorphisme de Frobenius apparaît comme un élément du [[groupe de Galois]] lorsqu'il est bijectif, en particulier donc si le corps est fini.

Le corps fini '''F'''''{{ind|p{{exp|n}}}}'' est une [[extension galoisienne]] de [[Degré d'une extension|degré]] ''n'' de '''F'''''{{ind|p}}'' dont le groupe de Galois (d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''n'') est réduit au groupe de Frobenius. Le [[sous-corps]] des éléments invariants par un élément de Frobenius d'ordre k est donc '''F'''{{ind|''p''{{exp|''m''}}}}, où ''m'' est égal à ''n''/k. Toutes ces propriétés sont démontrées dans l'article sur les corps finis.

Dans le cas des extensions infinies, les éléments de Frobenius jouent aussi un rôle majeur. Ils sont particulièrement utilisés pour comprendre comment les [[idéal premier|idéaux premiers]] se décomposent dans les [[extension abélienne|extensions abéliennes]].

== Applications ==
Les applications sont nombreuses, l'endomorphisme de Frobenius apparaît comme un outil indispensable pour l'analyse des anneaux intègres de caractéristique ''p'' si ''p'' est premier. On peut citer comme exemple l'analyse de la [[extension séparable|séparabilité]] ou encore celles des [[polynôme formel|polynôme]]s [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|minimaux]] dans un corps fini.
=== Polynôme et séparabilité ===
{{Article détaillé|Extension séparable}}
Un polynôme à coefficients dans un corps commutatif est dit séparable s'il n'admet pas de racine multiple dans son [[corps de décomposition]], et le corps est dit [[Corps parfait|parfait]] si tous ses [[Polynôme irréductible|polynômes irréductibles]] sont séparables. L'objet de cette section est de démontrer le théorème :

{{énoncé|Un corps commutatif de caractéristique non nulle est parfait si et seulement si son endomorphisme de Frobenius est surjectif.}}
dont se déduit le corollaire suivant, dû au fait que [[#Injectivité et surjectivité|l'endomorphisme de Frobenius de tout corps fini est surjectif]] (cet endomorphisme est bien défini car un tel corps est commutatif d'après le [[théorème de Wedderburn]]) :
{{énoncé|Tout corps fini est parfait.}}
Avant de se limiter au cas d'un corps, on peut remarquer que pour tout anneau commutatif ''A'' de caractéristique un nombre premier ''p'', l'anneau ''A''[''X''] est aussi de caractéristique ''p''. L'endomorphisme ''Frob''<sub>''A''[''X'']</sub> est donc défini (et injectif si ''A'' est intègre). Son [[Image d'une application|image]] est constituée des polynômes de la forme ''Q''(''X<sup>p</sup>'') avec ''Q'' polynôme à coefficients dans l'image de ''Frob<sub>A</sub>'', puisque<center><math>\forall (a_i) \in A^{n+1} \quad\left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right)^p=\sum_{i=0}^n a_i^pX^{pi}.</math></center>
Supposons désormais que ''A'' est un corps commutatif de caractéristique ''p'' > 0.
*Si ''Frob<sub>A</sub>'' est surjectif, montrons que ''A'' est parfait. Soit ''P'' un polynôme irréductible sur ''A''. Ce n'est donc pas une puissance ''p''-ième, c'est-à-dire, d'après ce qui précède, qu'il n'existe pas de polynôme ''Q'', à coefficients dans l'image ''A'' de ''Frob<sub>A</sub>'', tel que ''P''(''X'') = ''Q''(''X<sup>p</sup>''). [[Extension séparable#Critères de séparabilité des polynômes|Sachant que ''P'' est irréductible, ceci prouve qu'il est séparable]].
*Réciproquement, si ''A'' est parfait, montrons que ''Frob<sub>A</sub>'' est surjectif, c'est-à-dire que tout élément ''a'' de ''A'' possède une racine ''p''-ième dans ''A''. Considérons le polynôme ''P''(''X'') = ''X{{exp|p}} – a'', et ''r'' une racine dans un [[corps de rupture]]. Alors (''X – r'')<sup>''p''</sup> = ''P''(''X'') donc ''P''(''X'') n'est pas séparable, donc pas irréductible (puisque ''A'' est parfait), c'est-à-dire qu'il existe un entier ''k'', strictement compris entre 0 et ''p'', tel que (''X – r'')<sup>''k''</sup> soit à coefficients dans ''A''. De ''r{{exp|k}}'' ∈ ''A'' et ''r{{exp|p}}'' ∈ ''A'' on déduit, par le [[Théorème de Bachet-Bézout|théorème de Bézout]] : ''r'' ∈ ''A''.

=== Polynôme minimal et corps fini ===
{{Voir|Corps fini#Polynômes irréductibles{{!}}§ « Polynômes irréductibles » de l'article sur les corps finis}}

L'automorphisme de Frobenius permet la détermination de tous les polynômes unitaires à coefficients dans '''F'''{{ind|''p''}} irréductibles et de degré divisant ''n''. Ce sont les polynômes minimaux sur '''F'''{{ind|''p''}} des éléments du corps fini '''F'''{{ind|''q''}} avec ''q'' = ''p{{exp|n}}''. Chaque polynôme minimal d'un élément de '''F'''{{ind|''q''}} apparaît une et une seule fois dans le polynôme ''X<sup>q</sup> – X''. En conséquence, tout polynôme irréductible différent de ''X'' divise un [[polynôme cyclotomique]]. L'ensemble des [[élément conjugué|conjugués]] d'un élément de '''F'''{{ind|''q''}} est l'[[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbite]] de cet élément sous l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] du groupe de Frobenius.

Il devient alors possible de déterminer exactement le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré ''n''. Parmi eux, les polynômes primitifs, c’est-à-dire dont chaque racine est un générateur du groupe multiplicatif '''F'''{{ind|''q''}}*, sont au nombre de φ(''q'' – 1)/''n'', où φ désigne l'[[indicatrice d'Euler]].

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
*{{Samuel1}}
*{{Serre1}}
*{{Lang1}}
* G. Heuzé, ''Sur les corps finis'', Mathématiques et Sciences Humaines, 1974
* [[André Warusfel]], ''Structures algébriques finies'', Hachette Université, 1971

=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups93.pdf|titre=Codes géométriques algébriques et arithmétique sur les corps finis|éditeur=Journées [[École polytechnique (France)|X]]-[[Université Paris-Saclay|UPS]]|année=1993}}
*{{Lien web|url=http://www.gpeyre.com/objectifagregation/documents/corps-fini.pdf|titre=Corps finis|site=www.gpeyre.com/objectifagregation}}
*{{Lien web|url=http://www.gpeyre.com/objectifagregation/documents/signature-frobenius.pdf|titre=Signature et corps finis|site=www.gpeyre.com/objectifagregation}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Corps fini]]