Voir la source de Ensemble de Mandelbrot

{{Voir homonymes|Mandelbrot}}

En [[mathématiques]], l{{'}}'''ensemble de Mandelbrot''' est une [[fractale]] définie comme l'[[ensemble]] des points ''c'' du [[plan complexe]] pour lesquels la [[Suite (mathématiques)|suite]] de [[Nombre complexe|nombres complexes]] [[définition par récurrence|définie par récurrence]] par :
:<math>
\begin{cases}
z_0=0\\
z_{n+1}=z_n^2+c
\end{cases}
</math>
est [[Suite bornée|bornée]].
[[Fichier:Mandelbrot Set Whole 12800x10240 6x6.png|alt=Représentation de l'ensemble de Mandelbrot|vignette|L'ensemble de Mandelbrot (en noir)]]
[[Image:Mandelpart2.jpg|droite|vignette|alt=Zoom sur une partie de la représentation|Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'[[autosimilarité]] des structures.]]

L'ensemble de Mandelbrot a été découvert par [[Gaston Julia]] et [[Pierre Fatou]]<ref>Voir à ce sujet : Jean-Pierre Louvet ''[http://www.futura-sciences.com/fr/doc/t/mathematiques/d/les-fractales_234/c3/221/p7/ les fractales]'' sur le site de futura-science ; en réalité, la première description précise de l'ensemble semble due à Brooks et Matelski (voir la [[#Historique|section historique]]).</ref> avant la [[Première Guerre mondiale]]. Sa définition et son nom actuel sont dus à [[Adrien Douady]], en hommage aux représentations qu'en a réalisées [[Benoît Mandelbrot]] dans les [[années 1980]]. Cet ensemble permet d'indicer les [[ensemble de Julia|ensembles de Julia]] associés à la suite : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia [[Connexité (mathématiques)|connexes]]. Cet ensemble est donc intimement lié aux ensembles de Julia, ils produisent d'ailleurs des formes similairement complexes.

Les images de l'ensemble de Mandelbrot sont réalisées en parcourant les nombres complexes sur une région carrée du [[plan complexe]] et en déterminant pour chacun d'eux si le résultat tend vers l'infini ou pas lorsqu'on y itère une [[Opération (mathématiques)|opération mathématique]]. On considère la partie réelle et imaginaire de chaque nombre complexe comme des coordonnées et chaque [[pixel]] est coloré selon la rapidité de [[Limite d'une suite|divergence]], ou si elle ne diverge pas.

Les images de l'ensemble de Mandelbrot exposent une limite élaborée qui révèle progressivement des détails récursifs toujours plus fins en augmentant le grossissement. La limite de l'ensemble est constituée de plus petites versions de la forme principale, donc la propriété [[fractale]] de l'[[autosimilarité]] s'applique à l'ensemble tout entier (et pas simplement à certaines parties).

L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaire hors des mathématiques, comme inspiration artistique et comme exemple de structure complexe venant de l'application de règles simples. C'est l'un des exemples les plus connus de [[Mathématiques expérimentales|visualisation mathématique]].

== Historique ==
[[Fichier:Benoit Mandelbrot mg 1804b.jpg|vignette|[[Benoît Mandelbrot]] en 2007.]]
L'ensemble de Mandelbrot tire ses origines de la [[Dynamique holomorphe|dynamique complexe]], un domaine défriché par les mathématiciens français [[Pierre Fatou]] et [[Gaston Julia]] au début du {{s-|XX}}.

La première représentation de cet ensemble apparaît en 1978 dans un article de [[Robert W. Brooks]] et Peter Matelski<ref>{{en}} Robert Brooks et Peter Matelski, ''{{lang|en|The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C)}}'', in « {{lang|en|Riemann Surfaces and Related Topics}} », ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71 {{ISBN|0-691-08264-2}}.</ref>. Le {{1er}} mars 1980, au [[Thomas J. Watson Research Center|centre Thomas J. Watson]] de [[IBM Research|recherche IBM]] (dans l'[[État de New York]]), [[Benoît Mandelbrot]] obtient pour la première fois, une visualisation par ordinateur de cet ensemble<ref name="bf">{{Article|langue=en|url=http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper311.pdf|titre=Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers|prénom=R. P.|nom=Taylor|prénom2=J. C.|nom2=Sprott|année=2008|revue=Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences|vol=12|numéro=1|éditeur=Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences}}.</ref>. Mandelbrot étudie l'espace des paramètres des [[Fonction du second degré|polynômes quadratiques]] complexes dans un article publié en 1980<ref>{{Article|langue=en|auteur=Benoît Mandelbrot|titre=Fractal aspects of the iteration of <math>z\mapsto\lambda z(1-z)</math> for complex <math>\lambda, z</math>|revue=Annals NY Acad. Sci.|vol=357|année=1980|p.=249/259}}.</ref>.

En 1984, l'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement avec les travaux d'[[Adrien Douady]] et de [[John H. Hubbard]]<ref>Adrien Douady et John H. Hubbard, ''Étude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathématiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985).</ref>, qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot.

En 1985, les mathématiciens {{Lien|langue=en|trad=Heinz-Otto Peitgen|fr=Heinz-Otto Peitgen}} et Peter Richter popularisent l'ensemble de Mandelbrot par des images de qualité qui frappent les esprits<ref>{{Ouvrage|langue=en|co-auteurs=Richter Peter|prénom1=Heinz-Otto|nom1=Peitgen|titre=The Beauty of Fractals|éditeur=Springer-Verlag|lieu=Heidelberg|année=1986|isbn=0-387-15851-0}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{lang|en|''Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut'' by H. O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe.}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=James|nom1=Gleick|titre=Chaos|sous-titre=Making a New Science|éditeur=Cardinal|lieu=Londres|année=1987|passage=229|isbn=}}.</ref>. Dans le numéro d'août 1985 du magazine ''[[Scientific American]]'', l'ensemble de Mandelbrot est présenté au grand public comme {{citation|l'objet mathématique le plus complexe jamais découvert}} et présente l'algorithme qui permet de le tracer soi-même. La couverture de ce numéro reprend une image créée par Peitgen<ref>{{Article|langue=en|titre=Computer recreations|sous-titre=A computer microscope zooms in for a close look at the most complicated object in mathematics|nom={{Lien|trad=Alexander Dewdney|texte=A. K. Dewdney}}|année= 1985|revue=Scientific American|p.=16-24|url=http://www.scientificamerican.com/media/inline/blog/File/Dewdney_Mandelbrot.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{lang|en|Fractals: The Patterns of Chaos}}. John Briggs. 1992. {{p.|80}}.</ref>.

Les travaux de Douady et Hubbard coïncidaient avec un intérêt considérable pour la dynamique complexe et l'étude de l'ensemble de Mandelbrot a été le centre d'attention de ce domaine depuis. Parmi les mathématiciens qui apportèrent une contribution significative à l'étude de cet ensemble, il faut citer [[Tan Lei]], [[Mikhail Lyubich]], [[Curtis Tracy McMullen]], [[John Milnor]], {{Lien|langue=en|trad=Mitsuhiro Shishikura|fr=Mitsuhiro Shishikura}} et [[Jean-Christophe Yoccoz]].
[[Fichier:Mandel.png|vignette|La première image publiée de l'ensemble de Mandelbrot, par [[Robert W. Brooks]] et Peter Matelski en 1978]]

== Propriétés ==
=== Définition ===
La théorie générale, développée par [[Pierre Fatou]] et [[Gaston Julia]] au début du {{s-|XX}}, associe à toute fonction (suffisamment [[classe de régularité|régulière]]) ''f''(''z'', ''c'') (à arguments et valeurs [[nombre complexe|complexes]]) les [[ensemble de Julia|ensembles de Julia]] ''J<sub>c</sub>'', définis (pour un ''c'' fixé) comme la [[frontière (topologie)|frontière]] de l'ensemble des ''a'' complexes tels que la suite définie par ''z''<sub>0</sub> = ''a'' et ''z''<sub>''n''+1</sub> = ''f''(''z<sub>n</sub>'', ''c'') reste [[suite bornée|bornée]] (en [[module d'un nombre complexe|module]]) ; pour la fonction particulière {{nobr|1=''f''(''z'', ''c'') = ''z''<sup>2</sup> + ''c'',}} on définit l'ensemble de Mandelbrot ''M'' comme l'ensemble des ''c'' pour lequel ''J<sub>c</sub>'' est [[connexité (mathématiques)|connexe]]. Fatou et Julia ont démontré<ref>{{cf.|maj}} {{Article|langue=en|prénom=A.|nom=Douady|prénom2=J.|nom2=Hubbard|titre=On the dynamics of polynomial-like mappings|revue=[[Annales scientifiques de l'École normale supérieure|ASENS]]|vol=18|année=1985|p.=287-343|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1985_4_18_2_287_0}} et {{Article|langue=en|lien périodique=Bulletin of the American Mathematical Society|revue=Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.)|vol=11|numéro=1|année=1984|p.=1-246|titre=Complex analytic dynamics on the Riemann sphere|prénom=Paul|nom=Blanchard|url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183551835}}.</ref> que cette définition est équivalente à celle donnée dans l'introduction, c'est-à-dire que ''c'' appartient à ''M'' si et seulement si la suite (''z<sub>n</sub>'') définie par ''z''<sub>0</sub> = 0 et ''z''<sub>''n''+1</sub> = ''z<sub>n</sub>''<sup>2</sup> + ''c'' reste bornée (en module) ; restant dans les [[nombre réel|réels]], il s'agit donc des points de coordonnées (''a'',''b'') tels que les deux suites (''x<sub>n</sub>'') et (''y<sub>n</sub>'') définies par la récurrence ''x''<sub>0</sub> = ''y''<sub>0</sub> = 0 et ''x''<sub>''n''+1</sub> = ''x<sub>n</sub>''<sup>2</sup> – ''y<sub>n</sub>''<sup>2</sup> + ''a'' ; ''y''<sub>''n''+1</sub> = 2''x<sub>n</sub>y<sub>n</sub> + b'' restent bornées.

=== Barrière du module égal à 2 ===
Si la suite des [[module d'un nombre complexe|modules]] des ''z{{ind|n}}'' est strictement supérieure à 2 pour un certain indice alors, cette suite est [[Suite (mathématiques élémentaires)#Croissance|croissante]] à partir de cet indice, et elle [[Limite d'une suite#Limite infinie|tend vers l'infini]]{{Référence nécessaire|date=octobre 2024}}.

{{Démonstration/début}}
Par [[inégalité triangulaire]],
:|''z''{{ind|''n''+1}}| = |''z{{ind|n}}''{{2}} + ''c''| ≥ |''z{{ind|n}}''{{2}}| – |''c''| (*).

Soit α la racine positive de l'équation α = α{{2}} – |''c''|. Alors, α ↦ |''c''| est une bijection croissante de {{math|[1, +∞[}} sur {{math|[0, +∞[}}, et (|''c''| > α ⇔ α > 2 ⇔ |''c''| > 2). 

En posant
:''x{{ind|n}}'' = |''z{{ind|n}}''| – α,
(*) devient α + ''x''{{ind|''n''+1}} ≥ (α + ''x{{ind|n}}''){{2}} – |''c''| = α + 2α''x{{ind|n}}'' + ''x{{ind|n}}''{{2}}, d'où
:''x''{{ind|''n''+1}} ≥ 2α''x{{ind|n}}''.

Par conséquent si, pour un certain indice ''k'', ''x{{ind|k}}'' > 0 alors, à partir de cet indice, la suite (''x{{ind|n}}'') croît plus vite qu'une [[suite géométrique]].

Cette condition équivaut à |''z{{ind|k}}''| > α donc a lieu en particulier :
*pour |''c''| > 2, dès que ''k'' = 1 (car |''c''| > 2 ⇒ |''z''{{ind|1}}| = |''c''| > α) ;
*mais aussi, pour |''c''| ≤ 2, dès que |''z{{ind|k}}''| > 2 (car |''c''| ≤ 2 ⇒ α ≤ 2).
{{Démonstration/fin}}

Pour que la suite (''z{{ind|n}}'') soit bornée, il [[Condition suffisante|suffit]] donc qu'elle ne tende pas vers l'infini, et il [[Condition nécessaire|faut]] qu'elle reste bornée par 2 (en module). Ceci fournit deux définitions de l'ensemble de Mandelbrot équivalentes à celle donnée en introduction, et prouve de plus que cet ensemble est inclus dans le [[Boule (topologie)|disque fermé]] de centre 0 et de rayon 2.

=== Géométrie élémentaire ===
[[Image:Mandelset hires.png|vignette|Géométrie élémentaire.]]
L'ensemble ''M'' de Mandelbrot est [[Compacité (mathématiques)|compact]], symétrique par rapport à l'axe réel et contient le disque fermé de centre 0 et de rayon 1/4.

Son intersection avec l'axe réel est le [[segment (mathématiques)|segment]] [–2, 1/4].

{{Démonstration/début}}
Notons (''z{{ind|n}}''(''c'')) la suite associée à un complexe ''c'' et pour tout entier ''n'' > 0, ''M{{ind|n}}'' l'ensemble des points ''c'' pour lesquels |''z{{ind|n}}''(''c'')| ≤ 2. D'après le paragraphe ci-dessus, ''M'' est l'intersection de la suite des ''M{{ind|n}}'' (on peut, accessoirement, en déduire aussi que cette suite est décroissante). Or ''M''{{ind|1}} est un disque fermé donc un compact du plan, et chaque ''M{{ind|n}}'' est [[Fermé (topologie)|fermé]], comme [[image réciproque]] de ''M''{{ind|1}} par la [[fonction polynomiale]] ''c'' ↦ ''z{{ind|n}}''(''c''). [[Compacité (mathématiques)#Compacts et fermés|Il en résulte]] que ''M'' est compact.

Les fonctions ''c'' ↦ ''z{{ind|n}}''(''c'') étant des polynômes à coefficients réels, tous les ''M{{ind|n}}'' ainsi que ''M'' sont stables par [[Conjugué|conjugaison complexe]], ce qui se traduit géométriquement par la symétrie des ''M{{ind|n}}'' et de ''M'' par rapport à l'axe réel.

Si |''c''| ≤ 1/4 alors, par récurrence, |''z{{ind|n}}''(''c'')| ≤ 1/2 pour tout ''n'' donc ''c'' appartient à ''M''.

Il reste à élucider la situation si ''c'' est un réel tel que 1/4 < |''c''| ≤ 2.
* si –2 ≤ ''c'' ≤ 0 (autrement dit si ''c''{{2}} + ''c'' ≤ – ''c'') alors, par récurrence, ''c'' ≤ ''z{{ind|n}}''(''c'') ≤ – ''c'' pour tout ''n'' donc ''c'' appartient à ''M''.
* pour tout réel ''c'', ''z''{{ind|''n''+1}}(''c'') – ''z{{ind|n}}''(''c'') ≥ ''c'' – 1/4 [[Suite arithmétique|donc]] si ''c'' > 1/4 alors ''c'' n'appartient pas à ''M''.

''Remarque.'' Toutes les [[Racine d'un polynôme|racines des polynômes]] ''c'' ↦ ''z{{ind|n}}''(''c'') sont dans ''M''. En effet, si ''z{{ind|r}}''(''c'') = 0 alors la suite des ''z{{ind|n}}''(''c'') est de [[Suite périodique|période]] ''r'' donc bornée.

{{Démonstration/fin}}

Son [[aire (géométrie)|aire]] est estimée autour de {{gaps|1,506|591|77}} ± {{gaps|0,000|000|08}}<ref name=mrob>[http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html Mrob.com].</ref>.

Son [[Barycentre#En géométrie|centre de gravité]] est estimé à la position réelle –0,286 768 3 ± 0,000 000 1<ref name=mrob/>.

La principale structure remarquable est la [[cardioïde]] centrale, de centre <math>A\left(\frac14,0\right)</math> et d'équation polaire <math>\rho(\theta)=\frac12\left(1-\cos\theta\right)</math>. On peut aussi citer le [[disque (géométrie)|disque]] de centre <math>B(-1,0)</math> et de rayon <math>1/4</math>.

=== Connexité ===
Douady et Hubbard ont montré, en 1985<ref>{{Harvsp|Douady|Hubbard|1985}}.</ref>, que l'ensemble est [[Connexité simple|simplement connexe]]. Ce résultat n'était pas évident à l'observation des premiers tracés de Mandelbrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Pour ce faire, ils ont montré que le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot est [[transformation conforme|conformément isomorphe]] au complémentaire dans [[Nombre complexe|ℂ]] du [[cercle unité|disque unité]].

On [[conjecture]] que l'ensemble de Mandelbrot est [[Espace localement connexe|localement connexe]]<ref>{{lien web |titre=SMF - Info. diverses |url=https://archive.wikiwix.com/cache/20110407131725/http://smf4.emath.fr/en/InfoDiverses/Carnet/Douady/DepecheAFP.html |site=emath.fr via [[Wikiwix]] |consulté le=06-10-2023}}.</ref>{{,}}<ref>http://www.math.cornell.edu/~hubbard/OrsayFrench.pdf</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://www.academie-sciences.fr/academie/membre/YoccozJC_bio0708.pdf|titre=C.V. de Jean-Christophe Yoccoz|site=[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]]}}.</ref>.

=== Autosimilarité ===
{{article connexe|Autosimilarité}}
[[Image:Mandelzoom1.jpg|gauche|vignette|upright=1.2|Autosimilarité autour d'un point de Misiurewicz −0,1011&nbsp;+&nbsp;0,9563i.]]

[[Image:Mandelbrot zoom.gif|gauche|vignette|Autosimilarité près du point de Feigenbaum -1,401155.]]
[[Image:Mandelzoom.jpg|droite|vignette|upright=1.5|Des copies de l'ensemble dans l'ensemble de Mandelbrot.]]
L'ensemble de Mandelbrot est [[autosimilarité|autosimilaire]] dans le [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] des [[point de Misiurewicz|points de Misiurewicz]]. Ces points sont denses sur toute la [[Frontière (topologie)|frontière]] de l'ensemble. On conjecture qu'il est également autosimilaire, à la limite, autour des [[Nombres de Feigenbaum|points de Feigenbaum]] (ex. : −1,401 155 ou −0,152 8&nbsp;+&nbsp;1,039 7 i)<ref>{{en}} J. Milnor, «'' {{lang|en|Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set}} ''», dans ''{{lang|en|Computers in Geometry and Topology}}'', M. Tangora (éditeur), Dekker, New York, {{p.|211-257}}.</ref>.

Des versions réduites de l'ensemble de Mandelbrot apparaissent sur toute sa frontière, jusqu'à des grossissements infinis, avec de légères différences<ref name="McMullen">{{en}} Curtis T. McMullen, « ''{{lang|en|The Mandelbrot set is universal}}'' », 1998, [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.51.5135 abstract].</ref>, mais l'ensemble de Mandelbrot n'est pas, en général, strictement autosimilaire.{{clr}}

=== Universalité ===
L'ensemble de Mandelbrot ''M'' a un caractère universel pour de nombreuses [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]]<ref name="McMullen"/>. Des copies de ''M'' sont visibles sur les frontières de leurs ''bassins d'attraction'', c'est-à-dire des ensembles des ''c'' pour lesquels les itérés ''f''(''f''(…''f''(''z'')))) convergent vers un complexe donné. En voici quelques exemples, avec des [[Fonction transcendante|fonctions transcendantes]] :
* <math>z \mapsto \cos(z)+c</math> (fonction cosinus)
* <math>z \mapsto{\rm e}^{-z^2}+c</math> (fonction de Gauss)

On retrouve également ''M'' lors de l'itération d'une famille de fonctions cubiques telles que <math>z\mapsto z^3+(\lambda-1)z-\lambda</math>, par la [[fractale de Newton|méthode de Newton]]. L'ensemble des points <math>\lambda</math> ne convergeant pas vers une racine de ce polynôme prend la forme de ''M''.

Là encore, l'autosimilarité n'est pas stricte (il n’y a pas de [[Similitude (géométrie)|similitude]] exacte avec ''M''), mais il existe une déformation de faible amplitude entre ''M'' et ces copies.

<gallery mode="packed">
Image:Newton-lplane-Mandelbrot-smooth.jpg|L'ensemble des points ne convergeant pas, pour une fonction cubique, par la [[méthode de Newton]].
File:Mandelbrot cosine zoom.png|Points de non-convergence pour les itérées de f(z,c)=cos(z)+1/c, région [-0.09:-0.07]x[0.345:0.36].
</gallery>

=== Dimension de Hausdorff ===
La [[dimension de Hausdorff]] de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot vaut 2. Ce résultat a été démontré en 1990 par Mitsuhiro Shishikura<ref>{{en}} Mitsuhiro Shishikura, « {{lang|en|The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets}} », ''Ann. of Math.'', vol. 147, 1998, {{p.|225-267}} (publication originale de 1991 [http://www.math.sunysb.edu/preprints.html Stony Brook IMS Preprint], {{Arxiv2|math.DS/9201282}}).</ref>. On ne sait pas si cette frontière a une [[Aire (géométrie)|aire]] (définie par la [[mesure de Lebesgue]]) positive.

=== Lien avec l'équation logistique ===
[[Fichier:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|vignette|Correspondance entre l'ensemble de Mandelbrot et le [[diagramme de bifurcation]] de l'[[Modèle de Verhulst|équation logistique]].]]
Les paramètres de ''M'', dans l'intervalle réel [–2, 1/4], peuvent être mis en correspondance bijective avec ceux de l'[[Modèle de Verhulst|équation logistique]] : <math>z\mapsto \lambda z(1-z),\quad \lambda\in[1,4],</math>
la correspondance étant donnée par : <math>c = \frac\lambda2\left(1-\frac\lambda2\right).</math>

=== Lien avec les ensembles de Julia ===
{{…}}
L'ensemble de Mandelbrot ''M'' peut être défini comme l'ensemble des complexes ''c'' pour lesquels l'[[ensemble de Julia]] correspondant, ''J{{ind|c}}'', est connexe. Mais, plus précisément, on a (à la limite) identité entre ''J{{ind|c}}'' et ''M'' au voisinage de ''c'', lorsque ''c'' appartient à la frontière de ''M''<ref>{{en}} [[Tan Lei]], « [http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104201823 Lei.pdf {{lang|en|Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets}}] », ''Comm. Math. Phys.'', vol. 134, 1990, {{p.|587-617}}.</ref>. Ainsi, il y a une correspondance proche entre la géométrie de l'ensemble de Mandelbrot à un point donné et la structure de l'ensemble de Julia lui correspondant. Par exemple, un point est dans l'ensemble de Mandelbrot exactement là où l'ensemble de Julia correspondant est [[Connexité (mathématiques)|connexe]].

Ce principe est exploité dans beaucoup de preuves et découvertes profondes sur l'ensemble de Mandelbrot. Par exemple, Mitsuhiro Shishikura a prouvé que la frontière de l'ensemble de Mandelbrot possède une [[dimension de Hausdorff]] égale à 2 et que l'ensemble de Julia correspondant à un point de cette frontière a aussi une dimension égale à 2<ref name="shishikura">{{en}} Mitsuhiro Shishikura, '' The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets'', {{arxiv|math.DS/9201282}}</ref>.

[[Jean-Christophe Yoccoz]] a prouvé que l'ensemble de Julia est un [[espace localement connexe]] pour certains paramètres, avant de l'établir également pour l'ensemble de Mandelbrot aux points correspondant à ces paramètres<ref>{{en}} J. H. Hubbard, [http://www.math.cornell.edu/~hubbard/hubbard.pdf ''Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci: three theorems of J.-C. Yoccoz''].</ref> (mais la connexité locale de ''M'' en tout point reste une conjecture ouverte en 2024).

=== Bourgeons, antennes et périodicités ===
[[Image:Mandelbrot Set – Periodicities coloured.png|droite|vignette|Bourgeons et périodicités.]]
L'ensemble de Mandelbrot fait apparaître nombre de structures en forme de bourgeons entourant une structure principale en forme de [[cardioïde]].
* La cardioïde est l'ensemble des points ''c'' qui convergent vers un [[point fixe]] (période 1). Ce sont les points de la forme <math>c = \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right)</math> pour tout <math>\mu</math> appartenant au disque unité.
* Le bourgeon principal, à gauche de la cardioïde, lui est attaché au point ''c'' = –3/4. Il s'agit d'un disque centré en ''c'' = –1 et de rayon 1/4, formé de l'ensemble des points paramètres qui, à la limite, convergent vers un cycle de période 2.
* Les autres bourgeons tangents à la cardioïde sont les points admettant d'autres périodicités. Pour tout [[nombre rationnel]] p/q, avec ''p'' et ''q'' premiers entre eux, il existe un bourgeon presque circulaire tangent à la cardioïde au point <math>c_{p/q} = \frac{e^{2\pi ip/q}}2\left(1-\frac{e^{2\pi ip/q}}2\right)</math>. Chacun de ces bourgeons est appelé « bourgeon ''p''/''q'' ». Il s'agit de l'ensemble des points paramètres convergeant vers un cycle de période ''q''.
* Enfin, chaque bourgeon porte lui-même des bourgeons, représentatifs d'une périodicité différente, selon le même schéma. Par exemple, le bourgeon à gauche du grand bourgeon de période 2 a une périodicité de période 4. Le bourgeon immédiatement à sa gauche est de période 8, puis 16, etc., suivant ainsi le motif de doublement de période du [[diagramme de bifurcation]] de l'équation logistique.

[[Image:Mandel rays.jpg|vignette|upright=2|Antennes et périodicités.]]
Les bourgeons sont également surmontés de filaments en forme d'antenne. Le nombre d'antennes est directement lié à la périodicité du bourgeon. Ainsi, compter le nombre d'antennes permet de déterminer la périodicité du bourgeon.

== Dessiner l'ensemble ==

On a vu plus haut que dès que le module d'un ''z<sub>n</sub>'' est strictement plus grand que 2, la suite diverge vers l'infini, et donc ''c'' est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à 2 et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme.
Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.

Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes [[couleur]]s. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à 2).
Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées des points c pour lesquels la suite (''z<sub>n</sub>'') tend « plus rapidement » vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.

Le nombre maximum d'itérations influe donc fortement sur la représentation de l'ensemble de Mandelbrot. En effet si la forme de base de l'ensemble ne varie pas outre mesure à partir de 100 itérations il n'en est pas de même pour tous les centres et tous les zooms de cet ensemble.
[[Fichier:Variation de la valeur d'itération maximum.webm|centré|upright=2.5|Variation de la valeur maximale d'itération (40-300) au point {{nobr|{{nombre|-0.06783611264225832}} + {{nombre|0.6617460391250546}} {{math|i}}}} de l'ensemble de Mandelbrot.|vignette]]

=== Optimisations ===

==== Cardioïde / bourgeon principal ====
{{section à sourcer|date=juin 2017}}
Un moyen de limiter les calculs est de trouver au préalable les points appartenant à la cardioïde et au bourgeon principal, c'est-à-dire au disque de centre (–1, 0) et de rayon 1/4. Ces points coûtent particulièrement cher en calculs, puisqu'ils appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot, et nécessitent donc d'aller jusqu'au maximum d'itérations. Avant de passer un point de coordonnées <math>x+iy</math> dans l’algorithme itératif, il faut donc vérifier :
* si <math> x < p - 2p^2 + \frac14</math> avec <math> p = \sqrt{  \left(x - \frac14\right)^2 + y^2} </math>alors le point appartient à la cardioïde, donc à l'ensemble de Mandelbrot ;
* si <math> (x+1)^2 + y^2 < \frac1{16} </math>alors le point appartient au disque de centre (–1, 0) et de rayon 1/4, c'est-à-dire au bourgeon principal, et donc à l'ensemble de Mandelbrot.
Les autres bourgeons n'ont pas de test équivalent, puisqu'ils ne sont pas parfaitement circulaires. Il est néanmoins possible de vérifier si un point appartient à un cercle que l'on sait inscrit dans un de ces bourgeons, permettant à la plupart des points de ces derniers de ne pas lancer l'algorithme itératif.

==== Algorithme par perturbation ====

Il est possible de reformuler l'équation principale, de manière à raisonner sur la différence d'évolution par rapport à un point voisin. Cette méthode permet de ramener ces différences <math>\Delta_n</math> à une faible précision (vingtaine de chiffres significatifs), dans le domaine des [[Unité de calcul en virgule flottante|unités de calcul en virgule flottante]] matérielles de l'ordinateur, qui sont beaucoup plus rapides que les bibliothèques d'[[arithmétique multiprécision]] qui ne sont pas autant accélérées matériellement. L'ensemble est ainsi calculé à partir d'un (ou plusieurs) points de référence, calculés de manière absolue.

Si on raisonne en absolu, les nombres mis en œuvre pour le calcul de l'ensemble peuvent atteindre des milliers de chiffres significatifs pour des grands niveaux de zoom, et s'accroissant davantage avec le zoom. Avec cet algorithme, la vitesse de calcul reste relativement constante selon le niveau de zoom, la vitesse de calcul dépendant plus de la complexité de la scène<ref name="SFTM">{{lien web|url=http://www.superfractalthing.co.nf/sft_maths.pdf|titre=Superfractalthings Maths}}.</ref>.

Cet algorithme est à la base d'un des programmes de calcul le plus rapide de l'ensemble de Mandelbrot en [[2017]] : ''Kalles Fraktaler''<ref>{{lien web|url=http://www.chillheimer.de/kallesfraktaler/|titre=Kalles Fraktaler 2}}.</ref>.


Principe<ref name="SFTM"/> :

<math>X_{n+1} = X^2_n+X_0</math>

<math>Y_{n+1} = Y^2_n+Y_0</math>

<math>\Delta_n =Y_n - X_n</math>

<math>
\begin{align}
\Delta_{n+1} = Y_{n+1} - X_{n+1} 
& = (Y^2_n+Y_0) - (X^2_n+X_0) \\
& = ((X_n+ \Delta_n)^2+X_0+ \Delta_0)-(X^2_n+X_0) \\
& = (X^2_n+ 2X_n\Delta_n+ \Delta^2_n+X_0+ \Delta_0)-(X^2_n+X_0) \\
& = 2X_n\Delta_n+ \Delta^2_n + \Delta_0
\end{align}
</math>

Tous les <math>\Delta_n</math>, calculés à partir des <math>X_n</math> de référence mémorisés, ont une faible précision, permettant d'utiliser les unités de calcul en virgule flottante matérielles de l'ordinateur pour les opérations les plus nombreuses et coûteuses.

Le calcul peut encore être davantage optimisé en exprimant <math>\Delta_n</math> en utilisant l'approximation<ref name="SFTM"/> :

<math>\Delta_n=A_n\Delta_0+B_n\Delta_0^2+C_n\Delta_0^3+o(\Delta_0^4)</math>

avec <math>A_n, B_n, C_n</math> ne dépendant pas de <math>\Delta_n</math>, mais seulement de <math>X_n</math> (série du point de référence à partir duquel on calcule les perturbations).

Donc, une fois calculés et mémorisés tous les <math>A_n, B_n, C_n</math> pour le point de référence (<math>\Delta_0 = 0</math>), on peut rechercher directement pour tout point voisin (en faisant varier <math>\Delta_0</math>), par [[recherche dichotomique]], le <math>\Delta_n</math> qui provoque la divergence de la suite (puisqu'on n'a pas besoin du <math>\Delta_{n-1}</math> pour calculer <math>\Delta_n</math>) et le calcul d'un point se fait avec une [[complexité en temps]] <math>O(\log{N})</math> au lieu de <math>O(N)</math>, <math>N</math> étant le nombre maximum d'itérations<ref>[http://www.fractalforums.com/announcements-and-news/superfractalthing-arbitrary-precision-mandelbrot-set-rendering-in-java/msg62945/#msg62945]</ref>.

== Un zoom commenté ==
[[Image:Mandelbrot sequence new.gif|vignette|droite|Cliquer sur cette image pour lancer l'animation.]]
L'ensemble de Mandelbrot doit beaucoup sa popularité à la variété et la beauté de ses structures et à la profondeur infinie de ses détails, mais aussi à la possibilité de l'explorer soi-même à l'aide des nombreux logiciels aujourd'hui disponibles.

La séquence d'exploration commentée ci-dessous est un zoom profond vers la valeur de c = –0,743643887037151 + 0,13182590420533i, à travers nombre de motifs caractéristiques. Le rapport de grossissement entre la dernière et la première image est d'environ {{nobr|60 [[milliard]]s}} (si la dernière image était en taille réelle, la première ferait une petite dizaine de fois la distance Terre-Lune).
La séquence entière (et sa suite jusqu'à un grossissement d'environ 10<sup>30</sup>) peut être visionnée sur l'animation ci-contre.

{| class="wikitable" cellspacing="5"
|- 
! scope=col width="160" | Étape
! scope=col | Description
|-
|[[Image:mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|150px|alt=Première étape - description ci-contre]]||L'ensemble de Mandelbrot initial.
Nous allons zoomer sur la vallée située entre la cardioïde et le bourgeon principal.
|-
|[[Image:mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|150px|alt=Seconde étape - description ci-contre]]||Cette vallée a été baptisée « vallée des hippocampes ».
|-
|[[Image:mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|150px|alt=Troisième étape - description ci-contre]]||À gauche, des spirales doubles, à droite les « hippocampes ».
Nous zoomons sur l'un d'eux.
|-
|[[Image:mandel zoom 03 seehorse.jpg|150px|alt=Quatrième étape - description ci-contre]]||Un « hippocampe », tête en bas. Cet hippocampe est composé de {{nobr|25 « antennes »}} consistant en {{nobr|2 groupes}} de 12 et un filament relié à la cardioïde. Nous en déduisons que le bourgeon qui le porte a une périodicité de 25. Le point de rencontre de ces antennes est un « [[point de Misiurewicz]] ». Sur la plus longue antenne, celle qui mène à la « queue » de l'hippocampe, on reconnaît une copie réduite de l'ensemble de Mandelbrot, appelée aussi « satellite ».
Nous zoomons maintenant sur la queue de l'hippocampe.
|-
|[[Image:mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|150px|alt=Cinquième étape - description ci-contre]]||L'extrémité de la queue, enroulée en spirale, est aussi un point de Misiurewicz.
Nous zoomons sur le haut de l'image.
|-
|[[Image:mandel zoom 05 tail part.jpg|150px|alt=Sixième étape - description ci-contre]]||Une section de la queue. Cette structure complexe est composée d'un seul et unique chemin qui mène jusqu'à l'extrémité de la queue. L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble [[simplement connexe]], ce qui signifie qu'il n'y a ni boucles, ni ilots.
Zoomons vers le centre de l'image.
|-
|[[Image:mandel zoom 06 double hook.jpg|150px|alt=Septième étape - description ci-contre]]||Un deuxième « satellite » (ou « minibrot ») apparait, au cœur de ce carrefour. Un exemple d'autosimilarité : La frontière de l'ensemble de Mandelbrot contient une infinité de copies de lui-même. Quel que soit le lieu on l'on zoome on en trouvera toujours au moins un. Les deux spirales sont le début d'une série de couronnes concentriques, avec le satellite en son centre.
Nous zoomons vers ce satellite.
|-
|[[Image:mandel zoom 07 satellite.jpg|150px|alt=Huitième étape - description ci-contre]]||Chacune de ces couronnes est composée de spirales similaires. Leur nombre s'accroit en puissances de 2, un phénomène typique de l'environnement des satellites. Le chemin vers l'extrémité de la queue entre dans le satellite par le point d'inflexion de la cardioïde et ressort par l'extrémité son antenne.
|-
|[[Image:mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|150px|alt=Neuvième étape - description ci-contre]]||L'antenne du satellite. On peut distinguer plusieurs satellites du deuxième ordre.
Zoomons en haut à droite de l'image.
|-
|[[Image:mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|150px|alt=Dixième étape - description ci-contre]]||La « vallée des hippocampes » du satellite. Toutes les structures déjà rencontrées précédemment réapparaissent.
|-
|[[Image:mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|150px|alt=Onzième étape - description ci-contre]]||Spirales doubles et hippocampes. Contrairement à la première vallée, celle-ci est peuplée, en plus, de légères structures spirales. Dans un satellite d'ordre n cohabitent n+1 types de structures différentes. Pour ce satellite d'ordre 1 coexistent donc deux types de structures différentes.
Nous zoomons sur une double spirale, à gauche de la vallée.
|-
|[[Image:mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|150px|alt=Douzième étape - description ci-contre]]||Double-spirale avec satellites du deuxième ordre.
Nous zoomons, maintenant, sur une des structures dentelées blanches en haut à droite de l'image.
|-
|[[Image:mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|150px|alt=Treizième étape - description ci-contre]]||Ces structures légères rappellent celles de certains ensembles de Julia. Là encore, ce motif très torturé n'est constitué que d'un seul filament.
Nous zoomons sur le « double-crochet » que l'on distingue à droite de l'image.
|-
|[[Image:mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|150px|alt=Quatorzième étape - description ci-contre]]||Ce double crochet rappelle, encore une fois, la forme en spirale de la queue d'un hippocampe.
Nous zoomons vers le motif central.
|-
|[[Image:mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|150px|alt=Quinzième étape - description ci-contre]]||Des îlots apparaissent, à la manière d'une [[poussière de Cantor]]. La forme générale est celle d'un ensemble de Julia ''J<sub>c</sub>''. Toutefois, contrairement à un ensemble de Julia, ces points sont tous connectés, car nous sommes toujours dans l'ensemble de Mandelbrot. La forme générale de cet ensemble n'est pas celle de l'ensemble de Julia associé à cette position. Il s'agit de l'ensemble de Julia que nous aurions obtenu si nous avions sélectionné, au début de notre exploration, un point à proximité d'une double spirale au lieu d'un hippocampe.
Ces structures sont elles-mêmes connectées à une structure centrale que nous pourrions découvrir si nous poussions encore plus loin le grossissement. En théorie, le grossissement pourrait ainsi être infini, et faire découvrir sans cesse de nouvelles structures. Pour en voir davantage, cliquer sur l'animation en haut à droite de cette section.
|}

== Généralisations et variantes ==
[[Fichier:Animation de l'ensemble de Mandelbrot.gif|vignette|alt=Animation de l'ensemble pour n allant de 2 à 5|Animation de l'[[ensemble de Multibrot]] pour d allant de 2 à 5 (voir la formule de généralisation).]]
[[Image:Buddhabrot.jpg|droite|vignette|alt=Visualisation de l'ensemble de Mandelbrot par la méthode Buddhabrot|Méthode ''[[Buddhabrot]]''.]]
L'ensemble de Mandelbrot peut être généralisé pour des puissances ''d'' réelles supérieures à 2 pour ''z'' ↦ ''z{{exp|d}} + c''. Ces généralisations sont parfois appelées « [[Ensemble de Multibrot|multibrot]] », mais pour certains auteurs (comme McMullen), le terme « ensemble de Mandelbrot » doit également désigner ces généralisations{{Référence nécessaire|date=octobre 2024}}.

<gallery mode="packed">
Fichier:Multibrot power 3.png|Puissance 3
Fichier:Multibrot power 4.png|Puissance 4
Fichier:Multibrot power 5.png|Puissance 5
Fichier:Multibrot power 6.png|Puissance 6
</gallery>

Une modification de la méthode de traçage, proposée par Melinda Green en 1993, mène à une variante baptisée « [[Buddhabrot]] »<ref>{{en}} {{lang|en|[http://www.superliminal.com/fractals/bbrot/bbrot.htm Buddhabrot fractal method]}}.</ref>. On y voit la densité des points visités par les [[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbites]] correspondant aux valeurs de ''c'' qui divergent, donc choisies à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot.[[Image:Fractal-zoom-1-03-Mandelbrot Buzzsaw.png|droite|vignette|alt=Plan tiré d'une vidéo d'un agrandissement progressif de l'ensemble de Mandelbrot|Vue fixe d'une [//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/Fractal-zoom-1-03-Mandelbrot_Buzzsaw.ogv vidéo d'agrandissement progressif] sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i.]]

En {{nobr|3 dimensions}}, il n'existe pas de structure de corps comparable à celle des nombres complexes, donc pas d'extension « naturelle ». Notons toutefois l'extension de Daniel White, réalisée en 2009, baptisée « [[Mandelbulb]]<ref>[http://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbrot.html Variantes en 3D].</ref>. »

En {{nobr|4 dimensions}}, l'extension naturelle au [[Corps gauche|corps]] des [[quaternion]]s a été étudiée par John Holbrook en 1987<ref>{{en}} J. A. R. Holbrook, « {{lang|en|Quaternionic Fatou-Julia sets}} », ''Ann. Sc. Math. Quebec'', vol. 1, 1987, {{p.|79-94}}.</ref>. D'autres résultats théoriques ont été traités pour l'ensemble de Mandelbrot quaternionique <ref name="Briggs">S. Bedding and K. Briggs, "Iteration of Quaternion Maps", Int. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Eng., 5:877–881, 1995. {{doi|10.1142/S0218127495000661}}</ref>{{,}}<ref name="Gomatam">J. Gomatam, J. Doyle, B. Steves and I. McFarlane, "Generalization of the Mandelbrot Set: Quaternionic Quadratic Maps", Chaos, Solitons & Fractals, 5:971–985, 1995. {{doi|10.1142/S0218127495000661}}</ref> (voir [https://www.youtube.com/watch?v=nfhiWHimcLc vidéo]) défini avec un polynôme quadratique de la forme <math>q^2+c</math>.

[[Fichier:Quaternion Julia Douady rabbit.jpg|droite|vignette|Ensemble de Julia rempli quaternionique avec le paramètre c = −0,123 + 0.745i et une coupe du plan XY. L'ensemble de Julia associé au ''Lapin de Douady'' est visible dans la coupe 2D]]

En 2000, Dominic Rochon a utilisé [[Anneau (mathématiques)|l’anneau commutatif]] des [[Nombre bicomplexe|nombres bicomplexes]] pour donner une nouvelle version de l’ensemble de Mandelbrot en dimension trois et quatre. De ses travaux émerge le {{citation|Tétrabrot}}<ref>{{article|nom1=Rochon|prénom1=Dominic|titre=A Generalized Mandelbrot Set For Bicomplex Numbers|journal=Fractals|date=décembre 2000|volume=8|numéro=4|pages=355–368|doi=10.1142/S0218348X0000041X}}</ref>{{,}}<ref name="MartRochon">É. Martineau and D. Rochon, "On a Bicomplex Distance Estimation for the Tetrabrot", International Journal of Bifurcation and Chaos, 15(6):501–521, 2005. {{doi|10.1142/S0218127405013873}}</ref>.

[[Image:Tetrabrot with Julia sets.png|centré|vignette|alt=Illustration du Tétrabrot avec des ensembles de Julia remplis bicomplexes|Illustration du Tétrabrot avec des ensembles de Julia remplis bicomplexes]]



Il est aussi possible de généraliser encore, et de considérer plutôt des itérations quelconques <math>z_{n+1}=f(z_n,c)</math>.

<gallery mode="packed">
File:Mandelbrot_cosine_variation.png|Une variante pour f(z,c)=cos(z/c)
File:Mandelbrot_hyperbolic_sine_variation.png|f(z,c)=sinh(z)+1/c²
File:Cosine_mandelbrot_set_2.png|f(z,c)=cos(z)+1/c
File:Gamma_mandelbrot_variaton.png|f(z,c)=c{{exp|z-1}}e{{exp|-c}} (intégrande de la fonction Gamma)
File:Hyperbolic_sine_mandelbrot_gif.gif|f(z,c)=sinh(z)+1/c{{exp|k}} (k variant entre 0.1 et 10)
File:Conjuguate_sine_mandelbrot.png|f(z,c)=<span style="text-decoration: overline">z²+sin(c{{exp|3}})</span>
File:Mandelbrot_20180701220927.png|f(z,c)=z²+c{{exp|3}}-δ, avec δ≈-1.401155 le point de Feigenbaum
File:Mandelbrot_20180708020809.png|f(z,c)=z²+(c{{exp|3}}+0.7-0.2i){{exp|3}}+i (zoom en 0.36+0.7i)
</gallery>

== Références culturelles ==
L'ensemble de Mandelbrot est l'un des objets mathématiques les plus populaires et les plus connus{{Selon qui}}. Il est évoqué par divers artistes, dans des livres ou des musiques notamment :
* La musique de [[Jonathan Coulton]] ''Mandelbrot Set'' est un hommage à l'ensemble de Mandelbrot lui-même et à son « père », Benoît Mandelbrot. Les paroles rappellent entre autres la définition par récurrence de l'ensemble<ref>{{Lien web|langue=anglais|titre=Never Trend Away: Jonathan Coulton on Benoit Mandelbrot|url=https://www.wired.com/2010/10/never-trend-away-jonathan-coulton-on-benoit-mandelbrot/|site=www.wired.com}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=anglais|titre=Mandelbrot Set/Lyrics - JoCopedia, the Jonathan Coulton wiki|url=http://www.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics|site=www.jonathancoulton.com}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=anglais|nom1=Arthur Archibald Wonderfluff XIII|titre=Jonathan Coulton - Mandelbrot Set|url=https://www.youtube.com/watch?v=AGUlJus5kpY|site=www.youtube.com|date=2012-04-09}}.</ref>.
* Le second livre de la série {{Lien|langue=en|trad=Mode series|fr=Mode (livres)}} de [[Piers Anthony]], "Fractal Mode", décrit un monde qui est un modèle 3D parfait de l'ensemble<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Piers Anthony|titre=Fractal Mode|éditeur=HarperCollins|année=1992|pages totales=302|isbn=978-0-246-13902-3|lire en ligne={{Google Livres|XdUyAAAACAAJ}}}}.</ref>.
* Le roman de [[Arthur C. Clarke]] "''[[Le Fantôme venu des profondeurs]]''" contient un lac artificiel créé pour répliquer la forme de l'ensemble de Mandelbrot<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Arthur C. Clarke|titre=The Ghost From The Grand Banks|éditeur=Orion|année=29 Septembre 2011|pages totales=274|isbn=978-0-575-12179-9|lire en ligne={{Google Livres|6ELsYigmXNoC}}}}.</ref>.
* Le chanteur de heavy metal sud-coréen {{Lien|langue=en|trad=Norazo|fr=Norazo|texte=Norazo}}a fait un clip musical Ni pal za ya (ton destin), qui commence avec une vidéo hypnotique de l'ensemble de Mandelbrot<ref>Vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=s0UjELAUMjE.</ref>.
* L'album [[Jupiter's Darling]] du groupe de rock américain [[Heart]] présente un ensemble de Mandelbrot sur sa couverture. L'ensemble est tourné de manière que le cardioïde soit en haut et que la figure ressemble à un cœur.

== Logiciels générateurs de fractales ==
* [http://www.chaospro.de ChaosPro] - (propriétaire - pour Windows)
* [https://www.softanep.com/ FractaNep] (gratuit - pour Windows)
* [http://www.fractile.net Fractile Plus] (gratuit pour iOS)
* [[Fractint]] (propriétaire - porté sur de nombreuses plates-formes)
* [http://fractale.gecif.net/ Gecif]
* [https://fract4d.github.io/gnofract4d/ Gnofract 4D] - (puissant et rapide - pour Linux, [[FreeBSD]] ou Mac OS X)
* [http://www.chillheimer.de/kallesfraktaler/ Kalles Fraktaler] (gratuit - pour Windows)
* [http://www.subblue.com/projects/mandelbulb Mandelbulb 3D] (gratuit pour de nombreuses plateformes, exemple de réalisation : [https://www.youtube.com/watch?v=7Pf6jZWguCc Vidéo])
* [http://matek.hu/xaos/doku.php XaoS] ([[Logiciel libre]] - Licence [[Licence publique générale GNU|GPL]], pour [[Windows]], [[Mac OS X]], [[Linux]] et systèmes type [[Unix]])

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | commons = Category:Mandelbrot sets
  | wikiversity =Approfondissement sur les suites numériques/Travail pratique/Fractale de Mandelbrot
}}
* [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]]
* [[Mandelbox]]
* [[Mandelbulb]]
* [[Fractale de Newton]]

{{Palette|Fractales}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Fractale|Mandelbrot (Ensemble de)]]
[[Catégorie:Art fractal]]